Espaços Vetoriais Euclidianos

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Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Sec¸a˜o 4.1
Fa´bio S. Bemfica
EC&T - UFRN
11 de setembro de 2012
Fa´bio Sperotto Bemfica Espac¸os Vetoriais EuclidianosSec¸a˜o 4.1
Espac¸o Euclidiano n-Dimensional
O Espac¸o Vetorial Rn
Se n e´ um inteiro positivo, dizemos que uma sequ¨eˆncia (a1, a2, · · · , an) de
nu´meros, sendo ai ∈ < ∀i = 1, · · · , n, e´ uma n-upla ordenada. O
conjunto de todas as n-uplas ordenadas e´ chamado de espac¸o
n-dimensional e denotado por Rn.
Exemplo
O ponto ou vetor (−1, 2, 3) e´ um exemplo de um tripleto no R3 com
coordenadas x = −1, y = 2 e z=3.
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Espac¸o Euclidiano n-Dimensional
Vetores no Espac¸o n-dimensional
Dois vetores ~u = (u1, u2, · · · , un) e ~v = (v1, v2, · · · , vn) em Rn sa˜o ditos
iguais se
u1 = v1, u2 = v2, · · · , un = vn .
A soma ~u + ~v e´ definida por
~u + ~v = (u1 + v1, u2 + v2, · · · , un + vn)
e se k ∈ < e´ um escalar qualquer, o mu´ltiplo escalar k~v de ~v e´ definido por
k~v = (kv1, kv2, · · · , kvn) .
O vetor nulo ou zero em Rn e´ denotado por ~0 e definido por
~0 = (0, 0, · · · , 0) .
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Espac¸o Euclidiano n-Dimensional
Definic¸a˜o de um Espac¸o Vetorial Rn (Teorema 4.1.1)
Se ~u = (u1, u2, · · · , un), ~v = (v1, v2, · · · , vn) e ~w = (w1,w2, · · · ,wn) sa˜o
vetores em Rn e k , l ∈ <, enta˜o:
(a)~u + ~v = ~v + ~u ∈ Rn (b)~u + (~v + ~w) = (~u + ~v) + ~w
(c)~u +~0 = ~u (d)~u + (−~u) = ~0
(e)k(l~u) = kl(~u) ∈ Rn (f )l(~u + ~v) = l~u + l~v
(g)(k + l)~v = k~v + l~v (h)1~u = ~u
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Produto Interno Euclidiano (Teorema 4.1.2)
O Produto Interno Euclidiano
Se ~u, ~v ∈ Rn, enta˜o
~u · ~v = u1v1 + u2v2 + ·+ unvn =
n∑
i=1
uivi
define o produto interno euclideano ~u · ~v entre ~u e ~v .
Exemplo
Sejam os vetores
~u = (−1, 2, 3, 2) e ~v = (5,−2, 3, 1)
pertencentes ao R4. O produto interno Euclidiano
~u · ~v = (−1)(5) + (2)(−2) + (3)(3) + (2)(1) = 2 .
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Produto Interno Euclidiano
Propriedades do produto interno Euclidiano
Se ~u, ~v , ~w ∈ Rn e l ∈ <, enta˜o:
(a)~u · ~v = ~v · ~u (b)(~u + ~v) · ~w = ~u · ~w + ~v · ~w
(c)(l~u) · ~v = l(~u · ~v) (d)~v · ~v ≥ 0.
Ademais, se ~u · ~v = 0 ∀~v ∈ Rn, enta˜o ~u = 0! A propriedade (d) acima nos
leva a` definic¸a˜o a seguir:
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Produto Interno Euclidiano
Norma e Distaˆncia no Espac¸o Euclidiano
A norma euclidiana (ou o comprimento euclidiano) de um vetor ~u ∈ Rn e´
definido como
||~u|| ≡
√
~u · ~u =
√
u21 + u
2
2 + · · ·+ u2n .
Da mesma forma, a distaˆncia entre dois vetores ~u, ~v ∈ Rn e´ definida por
d(~u, ~v) ≡ ||~u − ~v || =
√
(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + · · ·+ (un − vn)2 .
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Produto Interno Euclidiano
Theorem (Teorema 4.1.3 - A Desigualdade de Cauchy-Schwarz em
Rn)
Se ~u, ~v ∈ Rn, enta˜o:
|~u · ~v | ≤ ||~u|| ||~v || .
Demonstrac¸a˜o.
Seja ~w ≡ ~u + k~v ∈ Rn se suponhamos ~u, ~v 6= 0 (se um deles e´ nulo a desigualdade
esta´ automaticamente satisfeita), onde k ∈ <. Para qualquer k real sabemos que
||~w ||2 = ~w · ~w = ||~u||2 + 2k~u · ~v + k2||~v ||2 ≥ 0 .
Sendo assim, podemos escolher k = −||~u||2/(~u · ~v) e a equac¸a˜o acima resulta em
||~w ||2 = −||~u||2 + ||~u||
4 ||~v ||2
(~u · ~v)2 ≥ 0 =⇒ |~u · ~v | ≤ ||~u|| ||~v ||.
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Produto Interno Euclidiano
Propriedades do Produto Interno em Rn
Se ~u, ~v , ~w ∈ Rn e k ∈ <, enta˜o:
(a)||~u|| ≥ 0 (b)||~u|| = 0 −→ ~u = ~0
(c)||k~u|| = |k| ||~u|| (d)||~u + ~v || ≤ ||~u||+ ||~v ||
(Desigualdade triangular)
Demonstrac¸a˜o.
A prova da desigualdade triangular e´ simples:
||~u + ~v ||2 = ||~u||2 + 2~u · ~v + ||~v ||2 ≤ ||~u||2 + 2|~u · ~v |+ ||~v ||2
≤ ||~u||2 + 2||~u||||~v ||+ ||~v ||2
= (||~u||+ ||~v ||)2
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Produto Interno Euclidiano
Propriedades da Distaˆncia em Rn
Se ~u, ~v , ~w ∈ Rn enta˜o:
(a)d(~u, ~v) ≥ 0 (b)d(~u, ~v) = 0 −→ ~u = ~v
(c)d(~u, ~v) = d(~v , ~u) (d)d(~u, ~v) ≤ d(~u, ~w) + d(~w , ~v)
(Desigualdade triangular)
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Vetores Ortogonais em Rn (Teorema 4.1.7)
Definic¸a˜o
Dois vetores ~u, ~v ∈ Rn sa˜o ortogonais se ~u · ~v = 0.
Theorem (Teorema de Pita´goras em Rn)
Se ~u, ~v ∈ Rn sa˜o vetores ortogonais com relac¸a˜o ao produto interno
euclidiano, enta˜o
||~u + ~v ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 .
Demonstrac¸a˜o.
A prova sai diretamente do fato de que ~u · ~v = 0. Neste caso vemos que o
triaˆngulo formado pelos vetores ~u, ~v e ~u + ~v obedecem ao teorema de
Pita´goras.
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O teorema de Pita´goras
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Notac¸o˜es alternativas
Notac¸o˜es alternativas para vetores no Rn: Podemos escrever o vetor
~u = (u1, u2, · · · , un) ∈ Rn como o vetor coluna
~u =

u1
u2
...
un
 ,
sendo que todas as propriedades dos vetores sa˜o automaticamente
satisfeitas pelas propriedades das matrizes. No entanto o produto escalar
deve ser escrito como o produto de matrizes da seguinte forma:
~u · ~v = ~uT~v
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Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 4.1 do livro texto
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Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 4.1 do livro texto
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Respostas Referentes a` Sec¸a˜o 4.1 do livro texto
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