Aula 10

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Espac¸os Vetoriais Arbitra´rios
Sec¸a˜o 5.1
Fa´bio S. Bemfica
EC&T - UFRN
13 de setembro de 2012
Fa´bio Sperotto Bemfica Espac¸os Vetoriais Arbitra´riosSec¸a˜o 5.1
Espac¸os Vetoriais Reais
Axiomas de Espac¸o Vetorial
Seja V um conjunto na˜o-vazio qualquer de objetos no qual esta˜o definidos
duas operac¸o˜es, a adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o. Por adic¸a˜o entendemos uma
regra que associa a cada par de objetos u e v em V um objeto u + v,
chamado de soma de u e v; por multiplicac¸a˜o por escalar entendemos
uma regra que associa a cada escalar k e cada objeto v ∈ V um objeto
kv, chamado mu´ltiplo de v por k . Sendo assim, se u, v, w ∈ V e k , l ∈ <,
V e´ um espac¸o vetorial se:
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Espac¸os Vetoriais Reais
Axiomas de Espac¸o Vetorial
1 Para cada u e v em V , u + v ∈ V
2 u + v = v + u
3 u + (v + w) = (u + v) + w
4 Existe um objeto 0 em V tal que u + 0 = u para todo u ∈ V
5 Para cada u ∈ V existe um objeto −u tambe´m em V tal que
u + (−u) = 0
6 ku ∈ V
7 l(u + v) = lu + lv
8 (k + l)v = kv + lv
9 k(lu) = (kl)u
10 1u = u
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Espac¸os Vetoriais Reais
Exemplos
Rn e´ um espac¸o vetorial
Como vimos, V = Rn e´ um espac¸o vetorial pois os vetores ~u, ~v , ~w ∈ Rn
obedecem a todos os axiomas acima citados.
Espac¸o de matrizes 2× 2
O conjunto V de todas as matrizes 2× 2 com entradas reais e´ um espac¸o
vetorial se a adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o por um escalar de uma matriz for
definida como vimos ate´ agora. Exemplo:
u =
[
u11 u12
u21 u22
]
e v =
[
v11 v12
v21 v22
]
Verificar se V e´ um espac¸o vetorial.
Na verdade, o conjunto de todas as matrizes m × n obedecem aos 6
axiomas e, portanto, sa˜o espac¸os vetoriais.
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Espac¸os Vetoriais Reais
Exemplos
Um espac¸o vetorial de func¸o˜es reais
Seja V o conjunto de func¸o˜es reais definidas na reta real (−∞,∞). Se
f = f (x) e g = g(x) sa˜o duas dessas func¸o˜es e k ∈ <, definindo-se a soma
(f + g)(x) = f (x) + g(x) e (kf)(x) = kf (x)
e´ fa´cil verificar que V e´ um espac¸o vetorial. Note que como V e´ o conjunto
de todas as func¸o˜es reais definidas em <, enta˜o a soma e a multiplicac¸a˜o
acima pertencem a V . Da mesma forma, −f (x) tambe´m pertence a V .
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Espac¸os Vetoriais Reais
Exemplos
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Espac¸os Vetoriais Reais
Exemplos
O conjunto V de todos os planos que passam pela origem e´ um
espac¸o vetorial
Seja V os pontos sobre um plano qualquer que passa pela origem do R3.
Sabemos que o R3 todo e´ um espac¸o vetorial, portanto os axiomas
2,3,7,8,9 e 10 esta˜o automaticamente satisfeitos. Como o plano passa pela
origem, ele tem uma equac¸a˜o da forma
ax + by + cz = 0.
Testamos o restante dos axiomas, ou seja, 1,4,5 e 6, usando os vetores
~u = (u1, u2, u3) e ~v = (v1, v2, v3) em V os quais obedecem a equac¸a˜o
acima.
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Espac¸os Vetoriais Reais
Theorem (Teorema 5.1.1)
Sejam V um espac¸o vetorial, u um vetor em V e k um escalar, enta˜o:
(a)0u = 0
(b)k0 = 0
(c)(−1)u = −u
(d)ku = 0 =⇒ ou k = 0 ou u = 0.
Demonstrac¸a˜o.
Prova (a): Podemos escrever, pelo axioma 8,
0u + 0u = (0 + 0)u = 0u =⇒ 0u = 0. Prova (b): pelos axiomas 4 e 7 temos que
k0 + ku = k(0 + u) = ku =⇒ k0 = 0. Prova (c): usando a prova (a) e os
axiomas 5, 8 e 10 temos que 0 = 0u = (1− 1)u = u + (−1)u =⇒ (−1)u = −u.
Prova (d): suponha que k 6= 0 e u 6= 0. Pelo axioma 7,
k(v + u) = kv + ku = kv. Esta igualdade somente e´ satisfeita ou quando k = 0
pela prova (a) ou quando u = 0 levando em conta o axioma 4.
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Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 5.1 do livro texto
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Respostas Referentes a` Sec¸a˜o 5.1 do livro texto
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