Aula 13

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Bases e Dimensa˜o
Sec¸a˜o 5.4
Fa´bio S. Bemfica
EC&T - UFRN
20 de setembro de 2012
Fa´bio Sperotto Bemfica Bases e Dimensa˜oSec¸a˜o 5.4
Bases e Dimensa˜o
Noc¸o˜es ba´sicas
Geralmente quando pensamos em dimensa˜o estamos associando a isso as
dimenso˜es na reta, em um plano ou no espac¸o tridimensional a` nossa
volta. E para representar um vetor ou ponto qualquer neste espac¸o usamos
uma BASE ortogonal para esses vetores. No caso tridimensional usamos o
sistema de coordenadas ortogonal dos eixos x , y e z e os vetores ~ı, ~ e ~k
como a base desse sistema.
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Bases e Dimensa˜o
Sistemas de coordenadas ortogonais e na˜o ortogonais
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Bases e Dimensa˜o
Escalas e eixos dos sistemas de coordenadas
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Bases e Dimensa˜o
Definic¸a˜o
Se V e´ um espac¸o vetorial qualquer e S = {v1, v2, · · · , vn} e´ um conjunto
de vetores em V , dizemos que S e´ uma base em V se valerem as seguintes
condic¸o˜es:
(a) S e´ linearmente independente.
(b) S gera V .
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Exemplo
Como sabemos, os vetores canoˆnicos ~ı = (1, 0, 0), ~ = (0, 1, 0) e
~k = (0, 0, 1) formam um conjunto linearmente independente de vetores
S = {~ı,~,~k} ⊂ R3. (S na˜o e´ um subespac¸o de R3, apenas um subconjunto
de vetores do R3). Uma combinac¸a˜o linear qualquer dos vetores de S
~v = a~ı + b~ + c~k
para a, b, c ∈ < descreve qualquer vetor em R3, ou seja S gera R3. Sendo
assim, S e´ uma base do R3.
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Exemplo de base na˜o ortogonal
Sejam os vetores ~v1 = (1, 1, 0), ~v2 = (0, 1, 1) e ~v3 = (0, 0, 1). Note que
~v1 · ~v2 = 1 = ~v2~v3 6= 0 na˜o sa˜o vetores ortogonais. No entanto
a~v1 + b~v2 + c~v3 = 0 tem, como u´nica soluc¸a˜o, a = b = c = 0. Ou seja,
S = {~v1, ~v2, ~v3} formam um conjunto linearmente independente de
vetores. Ale´m do mais, qualquer vetor do ~v ∈ R3 pode ser representado
pela combinac¸a˜o linear
~v = k1~v1 + k2~v2 + k3~v3 = k1~ı+ (k1 + k2)~+ (k2 + k3)~k = k
′
1~ı+ k
′
2~+ k
′
3
~k .
para k1, k2, k3 ∈ <. Sendo assim, S gera o R3 e, portanto, e´ uma base
na˜o-ortogonal para o R3.
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Bases e Dimensa˜o
Theorem (Teorema 5.4.1: Unicidade da Representac¸a˜o em Base)
Se S = {v1, v2, · · · , vn} e´ uma base de um espac¸o vetorial V , enta˜o cada
vetor em V pode ser expressa da forma v = c1v1 + c2v2 + · · ·+ cnvn de
uma u´nica maneira.
Demonstrac¸a˜o.
Suponha que possamos representar de duas maneiras o vetor v, ou seja,
v = c1v1 + c2v2 + · · ·+ cnvn e v = k1v1 + k2v2 + · · ·+ knvn. Como o
conjunto S e´ linearmente independente, temos que
v − v = 0 = (c1 − k1)v1 + (c2 − k2)v2 + · · ·+ (cn − kn)vn
=⇒ c1 = k1, c2 = k2, · · · , cn = kn ,
correspondendo a` mesma representac¸a˜o.
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Exemplo: A base canoˆnica do Rn
Seja
~e1 = (1, 0, 0, · · · , 0), ~e2 = (0, 1, 0, 0, · · · , 0), · · · , ~en = (0, 0, 0, · · · , 1) ∈ Rn
enta˜o S = {~e1,~e2, · · · ,~en} e´ um conjunto linearmente independente em
Rn. Ale´m disso, S gera o Rn, podendo qualquer vetor ~v ∈ Rn ser escrito
como uma combinac¸a˜o linear dos vetores em S . Obviamente S e´ uma base
ortogonal de vetores para Rn.
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Bases e Dimensa˜o
Exemplo: A base na˜o-ortogonal para R3
Sejam ~v1 = (1, 2, 1), ~v2 = (2, 9, 0) e ~v3 = (3, 3, 4). Mostre que o conjunto
S = {~v1, ~v2, ~v3} e´ uma base do R3.
Escreva o vetor ~v = (5,−1, 9) em termos dos vetores da base S . Soluc¸a˜o
no quadro.
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Exemplo: A base canoˆnica de Mmn
Sejam
M1 =
[
1 0
0 0
]
, M2 =
[
0 1
0 0
]
, M3 =
[
0 0
1 0
]
, M4 =
[
0 0
0 1
]
.
O conjunto S = {M1,M2,M3,M4} ⊂ M22 e´ uma base do espac¸o vetorial
M22 das matrizes 2× 2. Claramente, qualquer matriz 2× 2 pode ser
escrita por uma combinac¸a˜o linear dos vetores de S[
a b
c d
]
= a
[
1 0
0 0
]
+ b
[
0 1
0 0
]
+ c
[
0 0
1 0
]
+ d
[
0 0
0 1
]
e S e´ um conjunto linearmente independente de matrizes. Sendo assim, S
gera M22, sendo a base canoˆnica dessas matrizes.
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Definic¸a˜o
Um espac¸o vetorial na˜o-nulo V e´ chamado de dimensa˜o finita se conte´m
um nu´mero finito {v1, v2, · · · , vn} de vetores que constitui a base de V . Se
na˜o existir um tal conjunto, dizemos que V e´ de dimensa˜o infinita. Ale´m
disso, consideramos o espac¸o vetorial nulo como sendo de dimensa˜o finita.
Exemplo
Rn, Pn e Mmn sa˜o de dimensa˜o finita. Ja´ os espac¸os F (−∞,∞),
C (−∞,∞), Cm(−∞,∞) e C∞(−∞,∞) sa˜o de dimensa˜o infinita.
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Theorem (Teorema 5.4.2)
Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita e {v1, v2, · · · , vn} uma
base qualquer.
(a) Um conjunto com mais do que n vetores e´ linearmente
dependente
(b) Um conjunto com menos do que n vetores na˜o gera V .
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Demonstrac¸a˜o.
Prova (a): Seja S ′ = {w1,w2, · · · ,wm} ⊂ V um conjunto qualquer de m > n
vetores. Como S = {v1, v2, · · · , vn} e´ uma base de V , podemos escrever qualquer
vetor de S ′ como uma combinac¸a˜o linear destes. Sendo assim
w1 = a11v1 + a21v2 + · · · an1vn
w2 = a12v1 + a22v2 + · · · an2vn
...
wm = a1mv1 + a2mv2 + · · · anmvn
Para verificar independeˆncia linear dos vetores de S ′ devemos verificar a equac¸a˜o
k1w1 + k2w2 + · · ·+ knwn = 0, o que leva a`s equac¸o˜es lineares
a11k1 + a12k2 + · · · a1mkm = 0
a21k1 + a22k2 + · · · a2mkm = 0
...
an1k1 + an2k2 + · · · anmkm = 0
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Demonstrac¸a˜o.
ou seja, a equac¸a˜o acima tem mais inco´gnitas do que equac¸o˜es,
permitindo infinitas soluc¸o˜es ao sistema, o que prova a parte (a).
A prova para a parte (b) e´ equivalente. Supomos que S ′ gera V , o que
nos permite reescrever os vetores da base S como uma combinac¸a˜o linear
dos vetores de S ′. No entanto, para que a equac¸a˜o
k1v1 + k2v2 + · · ·+ knvn = 0 tenha soluc¸a˜o u´nica, teremos mais inco´gnitas
do que equac¸o˜es para os ki´s, o que mostra que S
′ na˜o gera todos os
vetores de V , ou seja, na˜o gera V .
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Propriedade: Teorema 5.4.3
Todas as bases de um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita teˆm o mesmo
nu´mero de vetores.
A prova deste teorema sai diretamente como consequ¨eˆncia do teorema
5.4.2 (a) e (b).
Definic¸a˜o
A dimensa˜o de um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita V e´ definida pelo
nu´mero de vetores de uma base de V e denotada por dim(V ). Ale´m disso,
definimos o espac¸o nulo como tendo dimensa˜o zero.
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Dimensa˜o de alguns espac¸os
dim(Rn) = n
dim(Pn) = n + 1
dim(Mmn) = mn
Exemplo
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Alguns teoremas
Teorema de mais-menos (Teorema 5.4.4)
Seja S um conjunto na˜o-vazio de vetores em um espac¸o vetorial V .
(a) Se S e´ linearmente independente e se v e´ um vetor de V que
esta´ fora de ger(S), enta˜o o conjunto S ∪ {v} e´ ainda
linearmente independente
(b) Se v e´ um vetor em S que pode ser expresso como uma
combinac¸a˜o linear dos outros vetores de S e se S − {v} e´
obtido removendo-se v de S , enta˜o
ger(S) = ger(S − {v}) .
Teorema 5.4.5
Se V e´ um espac¸o vetorialn-dimensional e se S e´ um conjunto em V com
exatamente n vetores, enta˜o S e´ uma base de V se S ou gera V ou e´
linearmente independente.
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Alguns teoremas
Teorema 5.4.6
Seja S um conjunto finito de vetores em um espac¸o vetorial V de
dimensa˜o finita.
(a) Se S gera V mas na˜o e´ uma base de V , enta˜o S pode ser
reduzido a uma base de V removendo vetores apropriados de
S .
(b) Se S e´ um conjunto linearmente independente que na˜o e´
uma base de V , enta˜o S pode ser ampliado para uma base
de V acrescentando-se vetores apropriados a S .
Teorema 5.4.7
Se W e´ um subespac¸o de um espac¸o vetorial V de dimensa˜o finita, enta˜o
dim(W ) ≤ dim(V ); ale´m disso, se dim(W ) = dim(V ), enta˜o W = V .
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Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 5.4 do livro texto
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Respostas Referentes a` Sec¸a˜o 5.4 do livro texto
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