Aula 15

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Posto e Nulidade
Sec¸a˜o 5.6
Fa´bio S. Bemfica
EC&T - UFRN
25 de setembro de 2012
Fa´bio Sperotto Bemfica Posto e NulidadeSec¸a˜o 5.6
Posto e Nulidade
Quatro espac¸os matriciais fundamentais
Considerando simultaneamente uma matriz A e sua transposta AT , temos
quatro espac¸os de interesse, sejam eles,
o espac¸o-linha de A o espac¸o-coluna de A
o espac¸o-nulo de A o espac¸o-nulo de AT
Nota que o espac¸o-linha e espac¸o-coluna de A correspondem ao
espac¸o-coluna de AT e espac¸o-linha de AT , respectivamente.
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Theorem (Teorema 5.6.1)
Se A e´ uma matriz qualquer, enta˜o o espac¸o-linha e o espac¸o-coluna de A
teˆm a mesma dimensa˜o.
Demonstrac¸a˜o.
Vimos que se R e´ a forma escalonada de A, enta˜o dim(espac¸o-linha de
A)=dim(espac¸o-linha de R) e que dim(espac¸o-coluna de
A)=dim(espac¸o-coluna de R). A dim(espac¸o-linha de R) corresponde ao
nu´mero de linhas na˜o-nulas de R, ou seja, ao nu´mero de pivoˆs de R que,
por sua vez, corresponde a` dim(espac¸o-coluna de R). Sendo assim,
dim(espac¸o-linha de A)=dim(espac¸o-coluna de A)
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Definic¸a˜o
A dimensa˜o comum do espac¸o-linha e do espac¸o-coluna de uma matriz A e´
chamada de posto de A, que no´s denotamos por pos(A); a dimensa˜o do
espac¸o-nulo de A e´ chamada nulidade de A, que no´s denotamos por
nul(A).
Uma consequ¨eˆncia direta do teorema 5.6.1 e´ que pos(A) = pos(AT ).
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Exemplo
Encontre o posto e a nulidade da matriz
A =

−1 2 0 4 5 −3
3 −7 2 0 1 4
2 −5 2 4 6 1
4 −9 2 −4 −4 7

A soluc¸a˜o esta´ na matriz reduzida por linhas de A
A ∼ R =

1 0 −4 −28 −37 13
0 1 −2 −12 −16 5
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

Temos que pos(A) = 2 pos temos duas linhas na˜o nulas, ou seja, dois pivoˆs em
R.
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continuac¸a˜o
O espac¸o nulo e´ o espac¸o das soluc¸o˜es
x1 − 4x3 − 28x4 − 37x5 + 13x6 = 0
x2 − 2x3 − 12x4 − 16x5 + 5x6 = 0
Tomando x3 = r , x4 = s, x5 = t e x6 = u como as varia´veis livres do sistema
acima obtemos como soluc¸a˜o geral
x2
x2
x3
x4
x5
x6
 = r

4
2
1
0
0
0
+ s

28
12
0
1
0
0
+ t

37
16
0
0
1
0
+ u

−13
−5
0
0
0
1

Os quatro vetores do lado direito da equac¸a˜o acima formam uma base do
espac¸o-soluc¸a˜o, ou espac¸o-nulo, de modo que nul(A) = 4.
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Theorem (Teorema 5.6.3)
Se A e´ uma matriz com n colunas, enta˜o
pos(A) + nul(A) = n .
Demonstrac¸a˜o.
Como A tem n colunas, o sistema linear homogeˆneo A~x = ~0 tem n
inco´gnitas (varia´veis xi ). Estas varia´veis sa˜o de duas categorias: as
varia´veis l´ıderes e as livres. Obviamente, o nu´mero das varia´veis livres
somado ao nu´mero das varia´veis l´ıderes deve ser igual ao nu´mero n total
de varia´veis. No entanto, o nu´mero de varia´veis l´ıderes e´ igual ao nu´mero
de l´ıderes na forma escalonada R, ou seja, ao pos(R) = pos(A), enquanto
que o nu´mero das varia´veis livres do sistema homogeˆneo corresponde ao
nu´mero de paraˆmetros na soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o homogeˆnea, ou seja, e´
igual a` nul(A). Sendo assim pos(A) + nul(A) = n.
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Exemplo
Como vimos no exemplo anterior
A =

−1 2 0 4 5 −3
3 −7 2 0 1 4
2 −5 2 4 6 1
4 −9 2 −4 −4 7
 ∼ R =

1 0 −4 −28 −37 13
0 1 −2 −12 −16 5
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

Neste caso pos(A) = 2 enquanto que os quatro paraˆmetros livres r , s, t e u nos
dizem que nul(A) = 4. Sendo assim, pos(A) + nul(A) = 6 correspondendo a`s seis
inco´gnitas do problema, ou seis colunas de A.
Seja pos(A) = r e A
uma matriz m × n:
Espac¸o-Fundamental Dimensa˜o
Espac¸o-linha de A r
Espac¸o-coluna de A r
Espac¸o-nulo de A n-r
Espac¸o-nulo de AT m-r
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Valor ma´ximo do posto
Se A e´ uma matriz m × n, enta˜o dim(espac¸o-linha de A) ≤ n, enquanto
que dim(espac¸o-coluna de A) ≤ m pois lin(A) ⊆ Rn e col(A) ⊆ Rm. No
entanto dim(espac¸o-linha de A) = dim(espac¸o-coluna de A). Sendo assim,
pos(A) ≤ min(m, n)
onde min(m, n) e´ o menor dos dois nu´meros m e n se m 6= n e o seu valor
comum se m = n.
Sistema sobredeterminado
Seja o sistema A~x = ~b de m equac¸o˜es e n inco´gnitas. Se o sistema e´
consistente pore´m m > n, enta˜o o sistema e´ dito sobredeterminado.
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Exemplos
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Alguns teoremas
Theorem (Teorema 5.6.5: o teorema da consisteˆncia)
Se A~x = ~b e´ sistema linear de m equac¸o˜es em n inco´gnitas, enta˜o as
seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(a) A~x = ~b e´ consistente.
(b) ~b esta´ no espac¸o-coluna de A.
(c) A matriz A e a matriz aumentada [A|~b] teˆm o mesmo posto.
Theorem (Teorema 5.6.6)
Se A~x = ~b e´ sistema linear de m equac¸o˜es em n inco´gnitas, enta˜o as
seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(a) A~x = ~b e´ consistente para qualquer matriz ~b de tamanho
m × 1.
(b) os vetores-coluna de A geram Rm.
(c) pos(A) = m
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Alguns teoremas
Theorem (Teorema 5.6.8)
Se A e´ uma matriz m × n, enta˜o as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(a) A~x = ~0 possui somente a soluc¸a˜o trivial.
(b) Os vetores-coluna de A sa˜o linearmente independentes.
(c) A~x = ~b tem no ma´ximo uma soluc¸a˜o (uma ou nenhuma)
para cada matriz ~b de tamanho m × 1.
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exemplos
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Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 5.6 do livro texto
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Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 5.6 do livro texto
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Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 5.6 do livro texto
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Respostas Referentes a` Sec¸a˜o 5.6 do livro texto
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