Aula 17

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Aˆngulo e Ortogonalidade em Espac¸os com Produto
Interno
Sec¸a˜o 6.2
Fa´bio S. Bemfica
EC&T - UFRN
04 de outubro de 2012
Fa´bio Sperotto Bemfica Aˆngulo e Ortogonalidade em Espac¸os com Produto InternoSec¸a˜o 6.2
Aˆngulo e Ortogonalidade em Espac¸os com Produto Interno
Theorem (Teorema 6.2.1: Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
Se u e v sa˜o vetores de um espac¸o com produto interno real, enta˜o
|〈u, v〉| ≤ ||u|| ||v|| .
Demonstrac¸a˜o.
Se 〈u, v〉 = 0 a desigualdade esta´ automaticamente satisfeita. Se
〈u, v〉 6= 0, enta˜o seja w = u + γv. O axioma de positividade garante que
||w|| ≥ 0, ou seja
||w||2 = ||u||2 + 2γ〈u, v〉+ γ2||v||2 ≥ 0
para qualquer u, v e qualquer valor de γ. Seja, enta˜o, γ ≡ −||u||2/〈u, v〉. Neste
caso a equac¸a˜o acima se torna
−||u||2 + ||u||
4||v||2
(〈u, v〉)2 ≥ 0 =⇒ |〈u, v〉| ≤ ||u|| ||v|| .
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Aˆngulo e Ortogonalidade em Espac¸os com Produto Interno
Propriedades do Comprimento (Teorema 6.2.2)
Se u e v sa˜o vetores em um espac¸o com produto interno V e se k ∈ <,
enta˜o:
(a) ||u|| ≥ 0
(b) ||u|| = 0 se e somente se u = 0
(c) ||kv|| = |k | ||v||
(d) ||u + v|| ≤ ||u||+ ||v|| (Desigualdade triangular)
A prova da desigualdade triangular foi dada na aula 9 e a prova aqui e´
equivalente.
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Aˆngulo e Ortogonalidade em Espac¸os com Produto Interno
Propriedades da Distaˆncia (Teorema 6.2.3)
Se u e v sa˜o vetores em um espac¸o com produto interno V enta˜o:
(a) d(u, v) ≥ 0
(b) d(u, v) = 0 se, e somente se, u = v
(c) d(u, v) = d(v,u)
(d) d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w, v) (Desigualdade triangular)
A prova da desigualdade triangular foi dada na aula 9 e a prova aqui e´
equivalente.
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Aˆngulo e Ortogonalidade em Espac¸os com Produto Interno
aˆngulo entre vetores
Sejam u e v dois vetores na˜o nulos em um espac¸o com produto interno V .
Pelo teorema de Cauchy-Schwarz temos que
|〈u, v〉|
||u|| ||v|| ≤ 1 ,
ou seja
−1 ≤ 〈u, v〉||u|| ||v|| ≤ 1 .
Ou seja, podemos estender a ide´ia de aˆngulo entre vetores para espac¸os
mais gerais que o Rn. Se 0 ≤ θ ≤ pi, enta˜o −1 ≤ cos θ ≤ 1, de forma que
podemos definir o aˆngulo entre u e v da forma
cos θ =
〈u, v〉
||u|| ||v|| .
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Aˆngulo e Ortogonalidade em Espac¸os com Produto Interno
Exemplo
Tomando o produto interno euclidiano em R4 encontre o cosseno do
aˆngulo θ entre os vetores ~u = (4, 3, 1,−2) e ~v = (−2, 1, 2, 3).
Soluc¸a˜o: Primeiro obtemos a norma de cada vetor, ou seja, ||~u|| = √30 e
||~v || = √18. Enta˜o, calculamos o produto escalar entre os dois vetores
(~u, ~v) = −9, o que nos leva a`
cos θ = − 9√
30
√
18
= − 3
2
√
5
.
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Aˆngulo e Ortogonalidade em Espac¸os com Produto Interno
Ortogonalidade
Dois vetores u e v de um espac¸o vetorial com produto interno sa˜o
chamados ortogonais se 〈u, v〉 = 0.
Vetores ortogonais em P2
Tomando em P2 o produto interno
〈p,q〉 =
∫ 1
−1
p(x)q(x)dx ,
sejam p = x e q = x2 os dois vetores da base canoˆnica {1, x , x2} de P2. Enta˜o
||p|| = √〈p,p〉 = [∫ 1−1 xxdx]1/2 = √ 23
||q|| = √〈q,q〉 = [∫ 1−1 x2x2dx]1/2 = √ 25
〈p,q〉 = ∫ 1−1 xx2dx = x44 ∣∣∣1−1 = 0 . p e q sa˜o ortogonais entre si!
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Aˆngulo e Ortogonalidade em Espac¸os com Produto Interno
Theorem (Teorema 6.2.4: Teorema de Pita´goras Generalizado)
Se u e v sa˜o vetores ortogonais em um espac¸o vetorial com produto
interno, enta˜o:
||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2 .
Teorema de Pita´goras em P2
Tomando o exemplo anterior, vimos que 〈p,q〉 = 0. Sendo assim,
podemos verificar que
||p + q||2 =
∫ 1
−1
(x + x2)2 =
16
15
= ||p||2 + ||q||2 .
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Complemento Ortogonal
Seja W um subespac¸o vetorial de um espac¸o com produto interno V . Um
vetor u de V e´ dito ortogonal a W se e´ ortogonal a` cada vetor de W , e o
conjunto de todos os vetores ortogonais a W e´ chamado complemento
ortogonal de W e denotado por W⊥.
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Aˆngulo e Ortogonalidade em Espac¸os com Produto Interno
Theorem (Teorema 6.2.5: Propriedades do Complemento Ortogonal)
Se W e´ um subespac¸o de um espac¸o com produto interno V de dimensa˜o finita,
enta˜o:
(a) W⊥ e´ um subespac¸o de V
(b) O u´nico vetor comum de W e W⊥ e´ 0
(c) O complemento ortogonal de W⊥ e´ W , ou seja, (W⊥)⊥ = W
Demonstrac¸a˜o.
Prova (a): Seja u, v ∈W⊥ e w ∈W . Como 〈0,w〉 = 0, enta˜o 0 tambe´m deve
estar em W⊥. Os axiomas que temos que verificar sa˜o,
〈u + v,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v,w〉 = 0 e, portanto, u + v ∈W⊥, e
〈ku,w〉 = k〈u,w〉 = 0, sendo assim ku ∈W⊥.
Prova (b): Seja v um vetor de ambos W e W⊥. Sendo assim, por definic¸a˜o
〈v, v〉 = 0 o que implica que v = 0 pelo axioma (4) do produto escalar.
A prova (c) sera´ vista mais adiante.
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Aˆngulo e Ortogonalidade em Espac¸os com Produto Interno
Exemplo
Seja os vetores canoˆnicos do R3, sejam eles ~ı, ~ e ~k . Seja agora o
subespac¸o W de R3 gerado pelos vetores ~ı e ~, ou seja, W = ger{~ı,~}.
Temos que ~k e´ um vetor ortogonal a` W pois, para qualquer vetor ~v ∈W
temos que
(~v , ~k) = (a~ı+ b~, ~k) = a(~ı, ~k) + b(~, ~k) = 0
para todo a e b reais. W⊥ e´ o complemento ortogonal de W .
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Aˆngulo e Ortogonalidade em Espac¸os com Produto Interno
Theorem (Teorema 6.2.6)
Se A e´ uma matriz m × n, enta˜o:
(a) O espac¸o-nulo de A e o espac¸o-linha de A sa˜o complementos
ortogonais em Rn com relac¸a˜o ao produto interno euclidiano
(b) O espac¸o-nulo de AT e o espac¸o-coluna de A sa˜o
complementos ortogonais em Rm com relac¸a˜o ao produto
interno euclidiano
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Aˆngulo e Ortogonalidade em Espac¸os com Produto Interno
Demonstrac¸a˜o.
Prova (a): O espac¸o-linha e´ gerado pelas m linhas de A
~r1, ~r2, · · · , ~rm ∈ Rn e tera´ dimensa˜o ≤ min(m, n). Ja´ o espac¸o-nulo, que e´
o espac¸o soluc¸a˜o da equac¸a˜o A~x = ~0 tera´ dimensa˜o igual ao posto de A
menos n e pertence ao Rn tambe´m. Seja ~v um vetor do espac¸o-nulo, ou
seja, A~v = ~0. Sendo assim,
A~v =

~r1
~r2
...
~rm
 ~v =

~r1 · ~v
~r2 · ~v
...
~rm · ~v
 =

0
0
0
0

Ou seja, todo vetor do espac¸o-nulo de A deve ser ortogonal ao espac¸o-linha
de A, sendo, portanto, espac¸os ortogonais complementares do Rn
Prova (b): Esta prova e´ equivalente.
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Aˆngulo e Ortogonalidade em Espac¸os com Produto Interno
Exemplo
Seja W o subespac¸o de R5 gerado pelos vetores
~w1 = (2, 2,−1, 0, 1) ~w2 = (−1,−1, 2,−3, 1)
~w3 = (1, 1,−2, 0, 1) ~w4 = (0, 0, 1, 1, 1)
Encontre uma base para o complemento ortogonal de W .
Soluc¸a˜o no quadro.
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Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 6.2 do livro texto
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Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 6.2 dolivro texto
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Respostas Referentes a` Sec¸a˜o 6.2 do livro texto
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