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ECT1303-2013.2-Aula5-Resolucao_Equacoes - Introdução e Método da Bisseção

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UFRN 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
Escola de Ciências e Tecnologia 
Raízes de Equações Transcendentais 
Parte I: Resolução gráfica, método 
da bisseção e da falsa posição 
ECT1303 – Computação Numérica 
• Manter o telefone celular sempre 
desligado/silencioso quando estiver em 
sala de aula; 
• Nunca atender o celular na sala de aula. 
Motivação 
• Problema: 
 Os elementos físicos que representam os bits nas 
calculadoras são os componentes mais caros em um 
projeto de uma calculadora. Desta forma, um engenheiro 
é contratado para desenvolver uma calculadora no 
sistema flutuante F(2,p,-14,15) que utilize o menor 
número de bits possível para que o erro relativo máximo 
seja menor do que 10 -5. 
• Pergunta: 
1. Qual o valor de “p” (precisão) para resolver este 
problema? 
 
 
 
 
 
Motivação 
• Como o maior erro relativo? 
ɛ = β1-p 
 
p−− > 15 210
Que pode ser escrito da forma: 
0102 51 <− −− p
Pode-se igualar a zero e, em caso de fração, 
somar 1 ao resultado e truncar. 
Motivação 
• Resumindo ... 
• Dados β e ɛ, encontrar p significa encontrar a raiz da função 
• Por que não apresentar diretamente a equação? 
• Computador como ferramenta de apoio à resolução! 
p−
=
1βε
εβ −= − ppf 1)(
Ou seja, encontrar os valores de p para que f(x) seja igual a zero!!! 
Raízes de Equações Algébricas 
• Achar a raiz de uma função �(�) significa achar um 
número � = � tal que � � = 	 
 
• Algumas funções podem ter suas raízes calculadas 
analiticamente, porém outras são de difícil solução 
(algumas funções transcendentes, por exemplo) ou de 
solução desconhecida (polinômios de ordem maior que 4, 
ou uma função simples como � � = 
�� − �), sendo 
necessário, nestes casos, a solução por métodos 
numéricos 
• Através de análise crítica sobre o problema, inferir: 
– Intervalos de confiança onde espera-se que a solução (soluções) seja 
encontrada; 
– Grau de precisão para a solução, no caso em que uma aproximação 
deve ser encontrada; 
– Possíveis problemas que venha a ter usando determinado método 
numérico. 
Raízes de Equações Algébricas 
 
 
Etapas importantes na resolução de 
problemas usando métodos numéricos 
 
 
0102)( 51 =−= −− ppf
Isolamento de raízes 
• Se uma função contínua �(�) assume valores de sinais 
opostos entre o intervalo [�, �], então a função possui pelo 
menos uma raiz neste intervalo (Teorema de Bolzano) 
– Consequência do Teorema do valor intermediário: se �(�) 
for contínua em [�, �] então ∀� ∈ � � , � � , ∃� ∈
�, � | � � = � 
• Se a derivada da função preservar o sinal dentro do intervalo, 
ou seja, se a função for estritamente crescente ou 
estritamente decrescente, a raiz será única 
• Pode-se estimar o intervalo [�, �] pelo esboço do gráfico da 
função ou pela construção de tabelas para análise da 
variação do sinal da função 
Isolamento de raízes por esboço do 
gráfico ou Tabela de valores 
• Dada a função f(�), o ponto � � = 0 é 
exatamente o ponto onde a função cruza o eixo � 
 
 
 
 
 
• Também é possível determinar o valor através de 
uma tablea de valores (como?) 
 
 
y 
x 
a 
b x0 
Podemos usar 
o Scilab!!! 
Tabela de Valores e Gráfico 
• Encontrar o ponto em que a função cruza o eixo X 
 
 
 
 
Podemos usar um papel milimetrado para plotar o gráfico 
da função em vários pontos! 
p f(p) 
15 5.10 *10-5 
16 2.05 *10-5 
17 0.53 *10-5 
18 -0.24 *10-5 
19 -0.62 *10-5 
0102)( 51 =−= −− ppf
15 15.5 16 16.5 17 17.5 18 18.5 19 19.5 20
-1
0
1
2
3
4
5
6
x 10-5
Tabela de Valores e Gráfico 
• E se quisermos encontrar uma solução mais precisa: 
 
 
 
 
p f(p) 
17.1 0.48 *10-5 
17.2 0.33 *10-5 
17.3 0.24 *10-5 
17.4 0.16 *10-5 
17.5 0.08*10-5 
 
17.6 0.67 *10-7 
 
17.7 -0.6 *10-6 
Raiz próxima de p = 17,6 
17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x 10-6
Isolamento de raízes por esboço do gráfico 
• Caso a função f(x) seja complexa (difícil), podemos tentar 
escrevê-la na forma � � = � � − ℎ(�) 
• Supondo f � = 0 teremos 
 � � − ℎ � = 0 ⇒ � � = ℎ � 
• Dessa forma, podemos traçar os gráficos das funções 
� � e ℎ � e o ponto de interseção destes irá nos 
fornecer a raiz da função � � 
g(x) 
h(x) 
x 
y 
ξ
Exemplo 
• Ex 1: trace o gráfico e determine um intervalo que 
contenha raízes de � � = 
� − �
 � − 2 
Quadro 
Solução 
– Ex 1: 
� � = 
� − �
 � − 2 = � � − ℎ(�) 
g � = 
� 
ℎ � = �
 � # 2 
 
 
 
 
 
 
Raiz no intervalo [0,5; 1,5] 
 
Como checar se o intervalor 
realmente contem raiz? 
• Exercício 1: trace o gráfico e determine um intervalo que 
contenha raízes das seguintes funções: 
– � � = �$ − �
 � − 1 
– � � = � # log � 
– � � = � − �(� � 
 
 
 
 
Exercício 
Análise Gráfica 
• Métodos gráficos são limitados! 
– Precisão da solução é pequena, limitada à análise visual 
– Difícil sistematização usando o computador 
• São importantes para visualizarmos intervalos de 
localização das raízes. 
 
 
 
MÉTODO DA BISSECÇÃO 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
 
 
Teorema de Bolzano 
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b]. Se 
f(a)f(b) < 0, então f(x) tem pelo menos uma raiz em (a,b) 
 
 
a b 
f(b) 
f(a) 
0 
f(x) 
x 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
 
 
Descrição do Método: 
 
 
1. Encontrar um intervalo [a,b] que contenha a raiz 
2. Seccionar o intervalo no seu ponto médio 
 
 
3. Se x for uma solução aceitável para o valor da 
raiz, pare. 
4. Senão, use o Teorema para verificar se a raiz 
está em [a,x] ou em [x,b]. Redefina o intervalo 
[a,b] e volte ao passo 1. 
Critérios de parada 
• Procedimentos iterativos 
– Para quando atingir um determinado critério 
• Existem vários tipo de critérios de parada: 
– Analise do valor da função: � � < * 
• Perigoso! Ex: �+ − 32 = 0 ou �-,. − 2 = 0 
 
– Erro absoluto: �/ − �/�. < * 
 
– Erro relativo: 
�0��012
�0
< * 
 
– Número máximo de iterações (Por que?) 
Erro Relativo 
– Um dos critérios mais utilizados. O algoritmo deve parar quando 
estimações sucessivas estão “próximas o suficiente entre si”. 
 
Seja xk+1 a estimativa do valor da raiz na iteração (K+1) e xk a 
estimativa na iteração anterior (K) 
O algoritmo deve parar uma vez que xk+1 coincida em pelo 
menos p algarismos significativos com xk! 
p = Precisão desejada 
Método da Bissecção 
• Exemplo: Achar a raiz da equação � � = �3 − 10 
 no intervalo [2,3] com o critério de parada sendo o erro 
absoluto < 0,2 
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
– Portanto, a raiz da função se encontra no intervalo 
[2,125; 2,25] 
0172)3()2( <⋅−=⋅ ff
62,5)5,2(5,22/)32(0 =→=+= fx
39,1)25,2(25,22/)5,22(1 =→=+= fx
40,0)125,2(125,22/)25,22(2 −=→=+= fx
OK! 
A raiz está no intervalo 2; 2,5 2,5 − 2 = 0,5 < 0,2? Continua 
A raiz está no intervalo 2; 2,25 2,25 − 2,5 = 0, 25 < 0,2? Continua 
A raiz está no intervalo 2,125; 2,25 
 2,125 − 2,25 = 0, 125 < 0,2? PAROU! 
Método da Bissecção 
Exemplo: 
 - Encontre a raiz maior que zero da equação abaixo com três 
algarismos significativos de precisão. 
Raiz em (0,12;0,13) 
J fA(J) 
0,12 -0,006 
 
0,13 0,019 
 
Método da Bissecção 
Resolução 
 
 
ResoluçãoMétodo da Bissecção 
Resolução 
 
 
Resolução 
 
 
 
A solução desejada é obtida arredondando-se o resultado
 
para 
três algarismos significativos: 
AJA = 0,122 = 12,2% 
Exercício 
• Exercício 1: Calcular a raiz de � � = �$ # ln (�) com o 
erro relativo 8 ≤ 0,05 (isto nos dará uma precisão de 
quantas casas decimais?) 
 
• Exercício 2: Utilize o método da bisseção para calcular 
5. 
Método da Bissecção 
• Observações importantes: 
– Esta equação possui duas 
raízes! 
– E Raízes multiplas (tangentes 
ao eixo x)? 
 
Método da Bissecção 
• Observações importantes: 
– O método da Bissecção é um método iterativo que fornece uma 
resposta aproximada com precisão desejada. 
– Método da Bissecção pertence a classe dos métodos 
intervalares. 
– Com quantos algarismos significativos devo calcular J1, J2, J3, ... 
? 
• Depende da precisão exigida; aconselha-se usar 2 ou 3 algarismos a mais 
do que a precisão 
 
• Vantagens 
– O método sempre converge para uma solução 
– Simples, não eixge maiores conhecimentos sobre a função �(�) 
que se deseja achar a raiz 
• Desvantagens 
– O esforço computacional do método da bisseção cresce 
demasiadamente quando se aumenta a exatidão da raiz 
desejada 
• Deve ser usado apenas para diminuir o intervalo que 
contém a raiz para posterior aplicação de outro método, 
como o método das cordas ou o método de Newton, por 
exemplo 
Características da Bisseção 
Método da Bissecção - Algoritmo 
Método da Bissecção 
Exercício: 
 - Use o método da Bissecção para encontrar a raiz quadrada 
de 2 com 3 algarismos significativos de precisão. 
Método da Bissecção 
• Exercício: uma gamela (barril serrado ao meio ao longa da 
altura) de comprimento : e secção transversal semicircular 
com raio ;, cheia de água até uma distancia ℎ do topo tem 
volume dado por: 
< = :[0.5>;$ − ;$�;��
 
ℎ
;
− ℎ ;$ − ℎ$ -.+] 
Suponha que : = 10 ?, ; = 1 ? e < = 12.4 : e calcule a 
profundidade da água na gamela. Qual a precisão que devemos 
utilizar? 
 
Resp: em torno de 0.83 ? 
 
Método da falsa posição 
• È semelhante ao método da bisseção, mas com uma 
aceleração de convergência (em geral) 
• O intervalo [a,b] não é dividido ao meio, mas sim em 
partes proporcionais a razão −�(�)/�(�) 
 
 C = D −
(E�D)�(D)
� E ��(D)
 
 
 
• Alguma situação em que convergiria mais lento que 
bisseção? 
 
� 
� 
� 
�(�) 
Método da Bissecção 
• Exemplo: Achar a raiz da equação � � = �3 − 10 
 no intervalo [2,3] com o critério de parada sendo o erro 
absoluto < 0,2 utilizando o método da falsa posição 
 
Estudo Extra-Classe 
Livro Neide Franco: 
• Leitura: Capítulo 3, seções 3.1 e 3.2 
• Exercícios: 3.1 e 3.2 
• Exercícios complementares: 3.28 ao 3.30 
 
Livro Chapra: 
• Leitura: Capítulo 5, seções 5.1 e 5.2 
• Exercícios: 5.1 a 5.17 que envolvam método da bissecção

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