ECT1303-2013.2-Aula8-Resolucao_Equacoes - Convergencia e Problemas

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UFRN
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Ciências e Tecnologia
Resolução de Equações:
Convergência e problemas
ECT1303 – Computação Numérica
• Manter o telefone celular sempre 
desligado/silencioso quando estiver em 
sala de aula;
• Nunca atender o celular na sala de aula.
Comparação dos métodos
Ordem de convergência
• Convergência significa que o método, após um determinado
número de iterações, leva os valores de estimativas sucessivas para
um determinado valor (que pode ser diferente do valor desejado!).
• Ordem de convergência: “velocidade” com que o método converge
para um determinado valor exato procurado.
Ordem de convergência
• Interpretação da ordem de convergência: algoritmos de 
1ª ordem.
Após “muitas” iterações, o erro verdadeiro da iteração 
atual é proporcional ao erro verdadeiro da iteração 
anterior.
Ordem de convergência
• Como estimar a ordem de convergência:
Ordem de convergência
Exemplo:
- Estime a ordem de convergência do Método de Newton
usando o exemplo das aulas anteriores. A solução correta com
15 algarismos é JA = 0,122399453612344
(chute inicial: J0 = 0,6)
J3 0,122706687813199
J4 0,122399939183680
J5 0, 122399453613563
J6 0,122399453612344 = 
JA
C = 1,999
Usando as estimativas J3, J4, J5
Ordem de convergência
• De fato, é possível mostrar que:
Problemas com o método de Newton
Problemas com o método de Newton
• Raízes próximas a pontos de inflexão
f(x)
xx1 x0 x2
Problemas com o método de Newton
• Buscas perto de pontos de mínimos ou máximos locais
f(x)
x
x1x0 x2 x3x4
Problemas com o método de Newton
• Chute inicial longe da raiz
f(x)
x
x1 x0
Problemas com o método de Newton
• Derivada igual a zero
f(x)
xx1x0
Problemas com o método de Newton
• Derivada próxima de zero
f(x) = x10 - 1
x
x0 0,5
x1 51.65
x2 46.48
x3 41.83
x4 37.65
x5 33.89
x6 30.50
x7 27.45
x8 24.70
x9 22.23
x10 20.01
x2
7
3.337
x2
8
3.003
x3
6
1.299
x3
7
1.178
x3
9
1.023
x4
0
1.002
x4
1
1.000023
Problemas com o método de Newton
• Derivada próxima de zero
x0 0,5
x1 51.65
x2 46.48
x3 41.83
x4 37.65
x5 33.89
x6 30.50
x7 27.45
x8 24.70
x9 22.23
x10 20.01
Problemas com o método de Newton
• Derivada próxima de zero
x0 0,5
x1 51.65
x2 46.48
x3 41.83
x4 37.65
x5 33.89
x6 30.50
x7 27.45
x8 24.70
x9 22.23
x10 20.01
Exemplo do comportamento de Circuito RLC
• Saída de circuito RLC
f(t)
t
Máximo local
f’(t) ≈ 0
Chute longe da raiz
Exercício
V
R
h
No projeto do tanque esférico da figura abaixo de raio R=3m, 
deseja-se saber a profundidade da água h para que o tanque 
armazene 30m3 de água. Utilizando este exemplo, encontre a 
ordem de convergência do método da bisseção, newton e 
secante.
Estudo Extra-Classe
Livro Neide Franco:
• Leitura: Seções 3.4 e 3.5.
• Exercícios: 3.9 a 3.13. 
• Exercícios complementares: 3.34 ao 3.39 e 3.40.
• Problemas aplicados a Projetos do Capítulo 3: todos os
exercícios que envolvam os métodos de Newton e da
Secante.
Livro Chapra:
• Leitura: Capítulo 6, seções 6.2 e 6.3.
• Exercícios: 6.2 a 6.15 que envolvam os métodos de Newton
e da Secante.