ECT1303-2013.2-Aula13 14 15-Ajuste_CurvasI

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UFRN 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
Escola de Ciências e Tecnologia 
Ajuste de Curvas 
Parte I: Introdução e Método dos 
Mínimos Quadrados 
ECT1303 – Computação Numérica 
• Manter o telefone celular sempre 
desligado/silencioso quando estiver em 
sala de aula; 
• Nunca atender o celular na sala de aula. 
Motivação 
Ceres é o menor planeta anão identificado no sistema 
solar. 
Foi descoberto por Giuseppe Piazzi, em 1801. Piazzi 
seguiu sua órbita por 40 dias, até perdê-la, devido ao 
brilho do sol. 
Ceres visto por um 
telescópio espacial da 
NASA em 2004 
Motivação 
Piazzi observou um total de 24 vezes até 11 de fevereiro 
de 1801. 
Por volta do final daquele ano, Ceres teria se tornado 
visível novamente. 
Mas como reencontrá-lo? Como predizer a sua posição 
exata? 
O planeta só foi reencontrado 
 devido às predições de Gauss, 
 então com 24 anos! 
O método de Gauss 
Havia uma série de pontos dados pelas observações 
temporais de Piazzi. 
 
Gauss estimou uma função: 
posição = f(t) 
 a partir destes dados, de modo que, para os pontos 
conhecidos, o erro fosse “o menor possível”. 
O método de Gauss 
Ajuste de Curvas ou Aproximação de Funções 
Dados discretos são obtidos por experimentos dentro 
de um intervalo contínuo. 
Pode ser necessário: 
Fazer estimativas em pontos que estão entre os valores 
discretos; 
Obter uma versão simplificada de uma função complicada. 
Existem duas abordagens: 
1. Regressão pelo método dos mínimos quadrados 
2. Interpolação 
Ajuste de Curvas ou Aproximação de Funções 
Aproximação pelo método dos mínimos quadrados 
Dados com alto grau de erro ou “ruído” 
Encontra-se uma única curva que represente a 
tendência geral dos dados e que pode não passar 
exatamente pelos pontos 
Aproximação por interpolação 
Dados são precisos 
Ajusta uma curva ou uma série de curvas que 
passam exatamente pelos pontos dados 
 respectivamente 
Regressão pelo Método 
dos Mínimos Quadrados 
Regressão 
Aproximar uma função y= f(x) por uma combinação 
linear de funções conhecidas: 
 
 
de tal modo que a distância de f(x) a F(x) seja a 
menor possível. 
f (x) ≅ a0g0(x) + a1g1(x) + ...+ amgm (x) = F(x)
Precisamos definir uma noção de 
distância entre duas funções. 
Caso discreto 
Inicialmente, vamos considerar o caso em que sabemos 
a função a aproximar em apenas alguns pontos: 
 
 
Por exemplo: 
 
Vemos que os pontos 
 parecem uma reta. 
 
A pergunta é: 
qual a melhor reta? 
)(...)()()()(
...
321
321
n
n
xfxfxfxfxf
xxxxx
 respectivamente Regressão Linear 
O ajuste de curvas usando uma equação linear é o 
processo pelo qual uma equação na forma: 
 
 onde 
 é usada para fornecer o melhor ajuste de um conjunto 
de pontos. 
Tarefa: escolher a1 e a0 de modo que o erro seja 
mínimo. 
 a1 representa a inclinação da reta 
 a0 representa a interseção com o eixo y 
Regressão Linear 
F(x) = a0g0(x) + a1g1(x) = a1x + a0
g0(x) =1 e g1(x) = x
Regressão Linear 
Qual a melhor reta se os dados compreenderem 
apenas dois pontos? 
 
y 
x 
Os coeficientes a1 e a0 
podem ser obtidos de 
forma que a equação 
forneça os valores exatos 
nos pontos. 
Isto corresponde à linha 
reta que passa pelos dois 
pontos. 
Regressão Linear 
E quando temos mais de dois pontos? 
Pode não haver uma linha reta que passe por todos os 
pontos. 
 
Neste caso, os coeficientes 
a1 e a0 são determinados 
de forma a obter o melhor 
ajuste como um todo. 
É preciso definir “melhor 
ajuste”! 
y 
x 
Qualidade de um ajuste 
É importante para: 
Comparar duas funções usadas no ajuste de um mesmo 
conjunto de dados 
Determinar os coeficientes da função que levam ao 
melhor ajuste. 
Para isso, usamos o cálculo do erro (resíduo) entre 
cada ponto do conjunto de dados e o valor da função 
aproximada. 
Em seguida, os resíduos são usados para calcular o 
erro total. 
Qualidade de um ajuste 
Resíduo em um ponto (xi,yi): 
y 
x 
r1 
r2 
r3 
r4 
(x1,y1) 
(x2,y2) 
(x4,y4) 
(x3,y3) 
F(x) = a1x+a0 
ei = y i − F(x i)
ei = y i − a1x i − a0
Como calculamos o erro total de F(x)? 
Qualidade de um ajuste 
Critério 1: minimizar a soma dos resíduos individuais 
 
 
Este critério é ruim. Por quê? 
 
E = ei
i=1
n
∑ = (y i − a1x i − a0)
i=1
n
∑
y 
x 
Ponto médio 
Qualquer reta passando 
pelo ponto médio resulta 
em erro mínimo igual a 
zero. 
Qualidade de um ajuste 
Critério 2: minimizar a soma do valor absoluto dos 
resíduos individuais 
 
 
Este critério também não é bom. Por quê? 
E = ei
i=1
n
∑ = y i − a1x i − a0
i=1
n
∑
Qualquer reta dentro das 
retas tracejadas minimiza 
a soma dos valores 
absolutos dos resíduos. 
Portanto, o critério não 
fornece um melhor ajuste 
único! 
y 
x 
Qualidade de um ajuste 
Melhor Critério: minimizar a soma do quadrado dos 
resíduos 
 
 
O erro global é sempre positivo. 
Maiores resíduos têm um efeito relativamente maior. 
Pode ser usado para encontrar os coeficientes da única 
reta que leva ao menor erro total. 
Este procedimento é chamado de regressão linear por 
mínimos quadrados. 
 
E = ei
2
i=1
n
∑ = y i − a1x i − a0( )2
i=1
n
∑
Método dos mínimos quadrados 
Para um dado conjunto de n pontos, o erro total é dado 
por: 
 
 
Como os valores xi e yi são conhecidos, E é uma função 
não-linear de duas variáveis, a1 e a0. 
Do cálculo diferencial, 
 se a função E tem mínimo, 
 então as derivadas parciais 
 em relação a a1 e a0 
 são iguais a zero: 
 
E = ei
2
i=1
n
∑ = y i − a1x i − a0( )2
i=1
n
∑
∂E
∂a0
= −2 y i − a1x i − a0( )
i=1
n
∑ = 0
∂E
∂a1
= −2 y i − a1x i − a0( )
i=1
n
∑ x i = 0
Método dos mínimos quadrados 
Como , tem-se o 
seguinte sistema de equações 
lineares com incógnitas a1 e a0: 
 
 
cuja solução dá os valores procurados de a1 e a0. 
 
 
a0
i=1
n
∑ = na0 na0 + x i
i=1
n
∑
 
 
 
 
 
 a1 = y i
i=1
n
∑
x i
i=1
n
∑
 
 
 
 
 
 a0 + x i
2
i=1
n
∑
 
 
 
 
 
 a1 = x iy i
i=1
n
∑
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
Obter a reta que melhos ajusta os dados: 
 
 
Solução: Como vimos, a reta F(x) = a1x + a0 que melhor 
se ajusta é aquela cujos coeficientes resolvem o sistema: 
x 0 1 2 3 4
f (x) 0.98 −3.01 −6.99 −11.01 −15
x i y i x i
2 x iy i
0.00 0.98 0.00 0.00
1.00 −3.01 1.0 −3.01
2.00 −6.99 4.00 −13.98
3.00 −11.01 9.00 −33.03
4.00 −15.00 16.00 −60.00
soma = 10.00 −35.03 30.00 −110.02






−
−
=











02.110
03.35
 
3010
105
1
0
a
a
9960.31 −=a
9860.00 =a
Exemplo - solução 
Logo: 
f(x) ≈ F(x) = -3.9960 x + 0.9860 
 
Erro: 
 e1
2
= (f(0)-F(0))2 = 0.0000 
 e2
2
= (f(1)-F(1))2 = 0.0000 
 e3
2
= (f(2)-F(2))2 = 0.0003 
 e4
2
= (f(3)-F(3))2 = 0.0001 
 e5
2
= (f(4)-F(4))2 = 0.0000 
ei
2
i=1
5
∑ = 0.0004
Qualidade do Ajuste 
• A qualidade da aproximação poderia ser dada pelo 
somatório do quadrado cada erro: ∑���, contudo este 
não é um valor normalizado 
– dependendo do problema pode apresentar valores muito 
pequenos ou muito grandes 
• Por isso utilizamos o coeficiente de determinação ��: 
�� = ∑ 	� − 	�
� − ∑���
∑ 	� − 	� � 
Onde 	� = ∑ �
� , ou seja, a média dos 	’s 
• 0 ≤ �� ≤ 1, e quanto mais próximo da unidade, melhorsera o ajuste 
Qualidade do Ajuste 
• Calcule a qualidade do ajuste do exemplo anterior 
Regressão Linear Múltipla 
Muitas vezes, deseja-se aproximar uma função de duas ou 
mais variáveis independentes. 
No caso linear, f poderia ser aproximada por uma função 
de x1 e x2: 
 
Para esse caso, ao invés de uma ‘reta’ temos um ‘plano’ de 
regressão. 
F(x1,x2) = a0 + a1x1 + a2x2
Regressão Linear Múltipla 
Os melhores valores dos coeficientes também são 
determinados a partir da soma dos quadrados dos 
resíduos, 
 
 e derivando com relação a cada coeficiente, temos: 
 
 
2
1
01122 )(∑
=
−−−=
n
i
iii axaxayE
∂E
∂a0
= −2 y i − a2x2i − a1x1i − a0( )
i=1
n
∑ = 0
∂E
∂a1
= −2 y i − a2x2i − a1x1i − a0( )
i=1
n
∑ x1i = 0
∂E
∂a2
= −2 y i − a2x2i − a1x1i − a0( )
i=1
n
∑ x2i = 0
Regressão Linear Múltipla 
A solução deste sistema fornece os valores dos 
coeficientes que minimizam a soma dos quadrados dos 
resíduos: 


















=




























∑
∑
∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑
=
=
=
===
===
==
n
i
ii
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
yx
yx
y
a
a
a
xxxx
xxxx
xxn
1
2
1
1
1
2
1
0
1
2
2
1
21
1
2
1
21
1
2
1
1
1
1
2
1
1
 
Método dos Mínimos Quadrados 
Aproximação Polinomial 
(Caso Discreto) 
 
Ajuste de curvas com 
polinômios de ordem superior 
Obviamente, nem toda função que desejaremos aproximar 
será uma reta. 
Um determinado conjunto de dados contendo n pontos 
pode ser ajustado com polinômios de ordens diferentes 
até uma ordem n-1. 
No entanto, não se recomenda o uso de polinômios de 
ordem elevada no ajuste de curvas. Por quê? 
Ajuste de curvas com 
polinômios de ordem superior 
Quando muitos pontos estão envolvidos, o polinômio de 
ordem n-1 possui um grau elevado. 
Embora, este polinômio forneça os valores exatos nos 
pontos dados, geralmente ele apresenta um desvio 
significativo entre alguns pontos. 
Regressão Polinomial 
O método dos mínimos quadrados pode ser estendido 
para ajustar dados por um polinômio de grau mais alto. 
É um procedimento usado para determinar os 
coeficientes de um polinômio de segundo grau, 
ou de ordem maior, de forma que esse polinômio 
produza o melhor ajuste de um determinado 
conjunto de dados 
Regressão Polinomial 
Suponha que queremos ajustar por um polinômio de 
segundo grau: 
 
 
Neste caso, o método dos mínimos quadrados dá o erro 
total: 
 
F(x) = a0g0(x) + a1g1(x) + a2g2(x) = a2x 2 + a1x + a0
com g0(x) =1, g1(x) = x e g2(x) = x 2
E = ei
2
i=1
n
∑ = y i − a2x i2 − a1x i − a0( )2
i=1
n
∑
Regressão Polinomial 
Calculando as derivadas parciais e igualando a zero, 
obtemos: 
 ( )
( )
( ) 02
02
02
2
1
01
2
2
2
1
01
2
2
1
1
01
2
2
0
=−−−−=
=−−−−=
=−−−−=
∑
∑
∑
=
=
=
i
n
i
iii
i
n
i
iii
n
i
iii
xaxaxay
a
E
xaxaxay
a
E
axaxay
a
E
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Regressão Polinomial 
Temos então o sistema de três equações lineares em 
função das incógnitas a2, a1 e a0: 
 
 
 
 
 
 
A solução deste sistema fornece os valores dos 
coeficientes do polinômio de segundo grau que melhor se 
ajusta aos n pontos. 


















=




























∑
∑
∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑
=
=
=
===
===
==
n
i
ii
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
yx
yx
y
a
a
a
xxx
xxx
xxn
1
2
1
1
2
1
0
1
4
1
3
1
2
1
3
1
2
1
1
2
1
 
Regressão Polinomial 
Caso geral: os coeficientes de polinômios de ordem 
superior são deduzidos da mesma forma. 
 
Calculando as derivadas parciais e igualando a zero, 
obtemos um sistema de m+1 equações lineares: 
n x i
i=1
n
∑ ... x im
i=1
n
∑
x i
i=1
n
∑ x i2
i=1
n
∑ ... x im+1
i=1
n
∑
... ... ... ...
x i
m
i=1
n
∑ x im+1
i=1
n
∑ ... x i2m
i=1
n
∑
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a0
a1
...
am
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=
y i
i=1
n
∑
x iy i
i=1
n
∑
...
x i
my i
i=1
n
∑
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F(x) = amxm + am−1xm−1 + ...+ a1x + a0
Exemplo 
 Considere a função f(x) definida conforme a tabela: 
 
 
 
Ao traçarmos o gráfico, vemos que os pontos se 
assemelham a uma parábola. Portanto, encontre o 
polinômio de segundo grau que melhor se ajusta aos 
pontos. 
x −2 −1 0 1 2 3
f (x) 19.01 3.99 −1.00 4.01 18.99 45.00
F(x) = a0g0(x) + a1g1(x) + a2g2(x) = a2x 2 + a1x + a0
com g0(x) =1, g1(x) = x e g2(x) = x 2
Exemplo - solução 
Temos o seguinte sistema de equações lineares: 
 
 
 
6 x i
i=1
6
∑ x i2
i=1
6
∑
x i
i=1
6
∑ x i2
i=1
6
∑ x i3
i=1
6
∑
x i
2
i=1
6
∑ x i3
i=1
6
∑ x i4
i=1
6
∑
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a0
a1
a2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=
y i
i=1
6
∑
x iy i
i=1
6
∑
x i
2y i
i=1
6
∑
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g2(x i)g2(x i)
i=1
6
∑g0(x i)g1(x i)
i=1
6
∑
Exemplo - solução 
x i x i
2 x i
3 x i
4 y i x iy i x i
2y i
−2.00 4.00 −8.00 16.00 19.01 −38.02 76.04
−1.00 1.00 −1.00 1.00 3.99 −3.99 3.99
0.00 0.00 0.00 0.00 −1.00 0 0.00
1.00 1.00 1.00 1.00 4.01 4.01 4.01
2.00 4.00 8.00 16.00 18.99 37.98 75.96
3.00 9.00 27.00 81.00 45.00 135.00 405.00
soma = 3.00 19.00 27.00 115.00 90.00 134.98 565.00










=




















565
98.134
90
 
1152719
27193
1936
2
1
0
a
a
a a2 = 5.0893
a1 = 0.0515
a0 = −1.1403
Exemplo - solução 
Obtemos então: 
F(x) = 5.0893 x2 + 0.0515 x - 1.1403 
 
Nenhuma outra função quadrática apresentará um 
menor erro quadrático para aqueles pontos segundo o 
método dos mínimos quadrados. 
Ajuste Linear Genérico 
• Se a curva que desejamos ajustar for uma 
combinação linear de várias funções ��(�) na forma 
� � = ���� � + ���� � +⋯+� � � 
onde as constantes �� são desconhecidas, podemos 
utilizar o mesmo princípio dos mínimos quadrados 
• As funções ��(�) não precisam ser funções lineares, 
– Ex: �� = �!, g� x = �� 
• É necessário que o usuário informe quais os tipos de 
funções ��(�) 
– Isto pode ser feito se observando o diagrama de dispersão 
ou baseando-se em fundamentos teóricos do experimento 
Ajuste Linear Genérico 
• Aplicando a teoria dos mínimos quadrados, podemos concluir que a solução 
do problema se resume a solução do seguinte sistema de equações 
$�� �� � $��(��)��(��) ⋯ $��(��)� (��) 
$��(��)��(��) $�� �� � ⋯ $��(��)� (��) 
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
$� (��)��(��) $� (��)��(��) ⋯ $� �� �
��
��
⋮
� 
 
=
$	���(��)
$	���(��)
⋮
$	�� (��)
 
Ajuste Linear Genérico• A solução do problema tambem pode ser calculada da 
seguinte foma: suponha o sistema dado por 
(� = 	 
�� �� �� �� ⋯ � (��)
�� �� ��(��) ⋯ � (��)
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
�� �� ��(��) ⋯ � (��)
��
��
��
⋮
� 
=
	�
	�
	�
⋮
	�
 
• Assim, resolver o sistema ()(� = ()	 é equivalente a resolver o 
sistema dos mínimos quadrados apresentado na transparência 
anterior 
• Este método é mais facil de implementar em linguagens que 
operam com matrizes (scilab, matlab…) 
• Se as funções �� = ��, a matriz ( será a matriz de Vandermonde 
Ajuste Linear Genérico 
• Ex: Ajuste a seguinte tabela a um polinômio do segundo 
grau, ou seja � � = �� + ��� + ����, utilizando a 
matriz de Vandermonde ( e o formato ()(� = ()	 
 
 
 
 
 
 
 
 
�� *� 
−2 −30,5 
−1,5 −20,2 
0 −3,3 
1 8,9 
2,2 16,8 
3,1 21,4 
Método dos Mínimos Quadrados 
Aproximação Não-Polinomial 
(Caso Discreto) 
Linearização de equações não-lineares 
Diversas situações na engenharia, mostram que a relação 
entre as grandezas envolvidas não é linear nem polinomial. 
Linearização de equações não-lineares 
Um experimento no 
laboratório de física gerou os 
seguintes pontos de y = f(x) 
(-2; 0,05), (-1; 0,15) 
(0; 0,4) (1; 1,1) 
(2; 2,3) (3; 7,1) 
Um polinômio talvez não 
seja a melhor opção de 
aproximação para f (x)! 
Linearização de equações não-lineares 
Polinômios de graus 1 e 2 
Linearização de equações não-lineares 
Polinômio de grau 3 
Linearização de equações não-lineares 
Polinômio de grau 4 
Linearização de equações não-lineares 
Uma função do tipo 
h(x) = abx 
parece ser uma 
opção mais 
adequada! 
Como encontrar 
 a e b 
tais que h(x) 
“melhor” aproxime 
 f (x) ? 
Linearização de equações não-lineares 
Há muitos tipo de funções não lineares. Por exemplo: 
 
 
 
 
Podemos ‘linearizar’ estas funções de forma a usar a 
regressão linear por mínimos quadrados. 
h(x) = ax b (função de potência)
h(x) = abx (função exponencial)
h(x) = 1
a + bx
 (função inversa)
Ajuste Exponencial 
 
 
A função exponencial pode ser linearizada calculando-se o 
logaritmo natural de ambos os lados: 
{ {
xaaxF
bxaxh
abxh
aa
xF
x
10
)(
)(
lnln)(ln
)(
10
+=
+=
=
321
Aproximação Exponencial 
Dados n pontos de y = f(x), encontrar F(x) = a0 + a1x 
tal que h(x) = abx “melhor” aproxime f(x) 
e que F(x) = ln h(x), a0 = ln a e a1 = ln b. 
Ajuste Exponencial 
Se h(x) aproxima f(x), então F(x) aproxima ln(f(x)). 
Isto significa que uma regressão linear pode ser usada para 
fazer com que a equação h(x) = abx se ajuste a um conjunto de 
pontos (xi,yi). 
Para tanto, calcula-se a1 e a0 resolvendo o sistema linear: 
 
 com a substituição de yi por ln(yi). 
 
Uma vez conhecidos a1 e a0, os coeficientes a e b na equação 
exponencial h(x) = abx são calculados com: 
 b = ea1a = ea0
n x i
i=1
n
∑
x i
i=1
n
∑ x i2
i=1
n
∑
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a0
a1
 
 
 
 
 
 =
y i
i=1
n
∑
x iy i
i=1
n
∑
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ajuste Exponencial 
Um experimento no laboratório de física 
gerou os seguintes pontos de y = f(x) 
(-2; 0,05), (-1; 0,15), (0; 0,4), (1; 1,1) 
 (2; 2,3) e (3; 7,1) 
y1→ ln(0.05) = −2.996
y2→ ln(0.15) = −1.897
y3→ ln(0.4) = −0.916
y4 → ln(1.1) = 0.0953
y5→ ln(2.3) = 0.833
y6→ ln(7.1) =1.960
Ajuste Exponencial 
y1→ ln(0.05) = −2.996
y2→ ln(0.15) = −1.897
y3→ ln(0.4) = −0.916
y4 → ln(1.1) = 0.0953
y5→ ln(2.3) = 0.833
y6→ ln(7.1) =1.960
x i ln y i x i
2 x i ln y i
−2 −2.996 4 5.992
−1 −1.897 1 1.897
0 −0.916 0 0.000
1 0.095 1 0.095
2 0.833 4 1.666
3 1.960 9 5.880
soma = 3 −2.921 19 15.530
6 3
3 19
 
 
 
 
 
 
a0
a1
 
 
 
 
 
 =
−2.921
15.530
 
 
 
 
 
 
a0 = −0.972
a1 = 0.971
a = ea0 = 0.38
b = ea1 = 2.64 h(x) = ab
x
= 0.38(2.64 x )
Ajuste Exponencial 
A função procurada é: 
Importante: 
Neste caso, o MMQ minimiza o 
erro total com relação à 
função linearizada! 
Um experimento no 
laboratório de física gerou os 
seguintes pontos de y = f(x) 
(-2; 0,05), (-1; 0,15) 
(0; 0,4) (1; 1,1) 
(2; 2,3) (3; 7,1) 
Ajuste Hiperbólico 
 
 
{ { xba
xh
xF
bxa
xh
aa 10
)(
1)(
1)(
+==
+
=
Aproximação Hiperbólica 
Dados n pontos de y = f(x), encontrar F(x) = a0 + a1x 
tal que h(x) = 1/(a0 + a1x) “melhor” aproxime f(x) 
e que F(x) = 1/h(x), a0 = a e a1 = b. 
Ajuste Hiperbólico 
Considere a função f(x) tabelada nos pontos como segue: 
 
 
 
Determine uma função inversa h(x) que melhor se ajusta aos 
dados da tabela e calcule 
 ei
2
i=1
5
∑
x −3 −2 −1 −0.5 −0.4
f (x) −0.13 −0.20 −0.49 −2.01 −4.99
Ajuste Hiperbólico 
Graficamente, temos: 
 
 
 
 
 
 
 que tem o formato: 
h(x) = 1
a + bx
Ajuste Hiperbólico 
Consideramos a função 1/f(x): 
 
 
 
E fazemos o ajuste linear para F(x) = a0 + a1x. 
Os coeficientes obtidos serão aqueles que aproximam 
 
 da função original. 
h(x) = 1
a0 + a1x
x −3 −2 −1 −0.5 −0.4
1 f (x) −7.6923 −5.00 −2.0408 −0.4975 −0.2004
Ajuste Hiperbólico 
5 −6.9
−6.9 14.41
 
 
 
 
 
 
a0
a1
 
 
 
 
 
 =
−15.4310
35.4467
 
 
 
 
 
 
a0 = 0.9093
a1 = 2.8952
F(x) = 0.9093+ 2.8952x h(x) = 1
0.9093+ 2.8952x
Erro: 
 e1
2
= (f(-3) – h(-3))2 = 0.0000 
 e2
2
= (f(-2) – h(-2))2 = 0.0000 
 e3
2
= (f(-1) – h(-1))2 = 0.0002 
 e4
2
= (f(-0.5) – h(-0.5))2 = 0.0232 
 e5
2
= (f(-0.4) – h(-0.4))2 = 0.9423 
ei
2
i=1
5
∑ = 0.9657
Outro Tipo de Aproximação 
{ { xbaxhxF
bxaxh
aa 10
)()(
)(
2 +==
+=
Atividade 
 
• Usando o Scilab, simular dados medidos, fazendo uso das 
funções geométrica e hiperbólica, adicionando ruído e 
encontrar as funções que geram menor erro possível 
usando MMQ. 
 
Método dos Mínimos Quadrados 
Caso contínuo 
Caso discreto 
Vimos que o método dos mínimos quadrados pode ser usado 
para determinar a função: 
 
 
 que melhor aproxima uma série de pontos (xi, f(xi)) de forma a 
minimizar a soma dos quadrados dos resíduos. 
F(x) = a0g0(x) + a1g1(x)+ ...+ amgm (x)
Caso contínuo 
Vamos ver agora como usar o método para obter uma função 
que aproxima não apenas uma série de pontos, mas uma 
função contínua: 
Caso contínuo 
Nesse caso, o erro será dado pela área entre as curvas. 
Portanto, para determinar o erro necessitamos calcular: 
 
 
E, como antes, queremos encontrar os parâmetros a0, a1, …, am 
que minimizam o erro. 
O ponto de mínimo necessariamente satisfaz: 
E = ( f (x) − a0g0(x)− a1g1(x) − ...− amgm (x))2a
b
∫ dx
∂E
∂a0
=
∂E
∂a1
= ...=
∂E
∂am
= 0
Caso contínuo 
Logo, derivando a expressão do erro em relação a a0, temos: 
 
 
 
No caso geral, derivando em relação a ai: 
∂E
∂a0
= −2 f (x)g0(x) − akgk (x)g0(x)
k= 0
m
∑
 
 
 
 
 
 dx = 0
a
b
∫
∂E
∂ai
= −2 f (x)gi(x)− akgk (x)gi(x)
k= 0
m
∑
 
 
 
 
 
 dx = 0
a
b
∫
Caso contínuo 
Vamos denotar o produto escalar de duas funções por: 
 
 
Igualando todas as derivadas parciais a zero, temos, portanto o 
seguinte sistema de equações normais: 
〈 f ,g〉 = f (x)g(x)dx
a
b∫
















〉〈
〉〈
〉〈
〉〈
=
































〉〈〉〈〉〈
〉〈〉〈〉〈
〉〈〉〈〉〈
〉〈〉〈〉〈
fg
fg
fg
fg
a
a
a
a
gggggg
gggggg
gggggg
gggggg
mmmmmm
m
m
m
,
,
,
,
 
,,,
,,,
,,,
,,,
3
2
0
2
1
0
10
21202
11101
01000
MM
L
LM
L
L
L
Caso contínuo 
Se o determinante do sistema de equações normais for 
diferente de zero, então há um ajuste único de parâmetros que 
minimiza o erro quadrático. 
 
Quando as funções escolhidas (g0, g1...,gm) forem linearmente 
independentes, o determinante será diferente de zero! 
Exemplo 
Usando o método dos mínimos quadrados, aproxime a função 
f(x) = e-x no intervalo [1,3] por um polinômio de grau 1, da 
forma: F(x) = a0 + a1x. 
 
Solução: 
 g0(x) = 1 e g1(x) = x 
 O sistema de equações normais é dado por: 
〈1,1〉 〈1,x〉
〈x,1〉 〈x,x〉
 
 
 
 
 
 
a0
a1
 
 
 
 
 
 =
〈1,e−x 〉
〈x,e−x 〉
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
Resolvendo as integrais: 
 
 
 
 
2 4
4 26 /3
 
 
 
 
 
 
a0
a1
 
 
 
 
 
 =
0.3181
0.5366
 
 
 
 
 
 
〈1,1〉 = 1dx
1
3
∫ = 2
〈1,x〉 = xdx
1
3
∫ = 4
〈x,x〉 = x 2dx
1
3
∫ = 26 /3
〈1,e−x 〉 = e−xdx
1
3
∫ = 0.3181
〈x,e−x 〉 = xe−xdx
1
3
∫ = 0.5366
Lembrete :
xe−xdx∫ = −(x +1)e−x
a0 = 0.45785
a1 = −0.1494
Exemplo 
Graficamente: 
 f(x) = e-x e F(x) = 0.458 - 0.149x