Lista 01

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Centro de Cieˆncias e Tecnologias Agroalimentar - CCTA
Unidade Acadeˆmica de Tecnologia de Alimentos - UATA
Disciplina: Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
Primeira Lista de Exerc´ıcios : Vetores
Vetores no Plano e no Espac¸o
01) Dados dois vetores −→u e −→v na˜o-paralelos, construir no mesmo gra´fico os vetores −→u +−→v , −→u −−→v ,
−→v −−→u e −−→u −−→v .
02) Represente graficamente os seguintes pontos:
a) A(-2,3), B(1,4), C(1,2), D(4,3) e P(3,1)
b) A(0,0,1), B(0,0,2), C(4,0,2) e D(4,0,1)
03) O aˆngulo entre os vetores −→u e −→v e´ de 60o, determinar o aˆngulo formado pelos vetores
a) −→u e −−→v b) −−→u e 2−→v c) −−→u e −−→v d) 3−→u e 5−→v .
04) Dados os vetores −→u = (3,−1) e −→v = (−1, 2), determinar o vetor −→x tal que
a) 4(−→u −−→v ) + 1
3
−→x = 2−→u −−→x ; determinar o vetor −→x tal que
a) 4(−→u −−→v ) + 1
3
−→x = 2−→u −−→x ; b) 3−→x − (2−→v −−→u ) = 2(4−→x − 3−→u ).
05) Encontrar o ve´rtice oposto a B no paralelogramo ABCD, para:
a) A(-3,-1), B(4,2) e C(5,5) b) A(-1,0,3), B(1,1,2) e C(3,-2,5).
06) Dados os vetores −→u = (1,−1),−→v = (−3, 4) e −→w = (8,−6), determinar:
a) |−→u +−→v | b) |2−→u −−→w | c) |−→w − 3−→v | d)
−→v
|−→w | .
07) Provar que os pontos A(-2,-1), B(2,2), C(-1,6) e D(-5,-3) sa˜o ve´rtices de um quadrado ABCD.
08) Dados os pontos A(2,-2,3) e B(1,1,5) e o vetor −→v = (1, 3,−4), calcular:
a) A+ 3−→v b) −−→BA−−→v c) B + 2−−→AB d) 2−→v − 3−−→AB.
09) Dados os pontos A(1,-2,3), B(2,1,-4) e C(-1,-3,1), determinar o ponto D tal que
−−→
AB +
−−→
CD =
−→
0 .
10) Dados os pontos A(3,-4,-2) e B(-2,1,0), determinar o ponto N do segmento AB tal que
−−→
AN =
2
5
−−→
AB.
11) Determinar os treˆs ve´rtices de um triaˆngulo, sabendo que os pontos me´dios de seus lados sa˜o
M(5, 0,−2), N(3, 1,−3) e P (4, 2, 1).
12) Determinar a e b de modo que os vetores −→u = (3, 2,−1) e −→v = (a, 6, b)+2(3, 2, 5) sejam paralelos.
13) Verificar se sa˜o colineares os pontos:
a) A(-1,-5,0), B(2,1,3) e C(-2,-7,-1) b) A(2,1,-1), B(3,-1,0) e C(1,0,4).
14) Determinar o valor de b para que o triaˆngulo de ve´rtices A(4,b,4), B(10,b,-2) e C(2,0,-4) seja
equila´tero.
Produto Interno
15) Dados os vetores −→u = (2,−3,−1) e −→v = (1,−1, 4), calcular:
a) 2−→u .(−−→v ) b) (−→u +3−→v ).(−→v − 2−→u ) c) (−→u +−→v ).(−→u −−→v ) d) (−→u +−→v ).(−→v −−→u ).
16) Sabendo que |−→u | = 2, |−→v | = 3 e −→u .−→v = −1, calcular
a) (−→u −3−→v ).−→u b) (2−→v −−→u ).(2−→v ) c) (−→u +−→v ).(−→v −4−→u ) d) (3−→u +4−→v ).(−2−→u −5−→v ).
2
17) Dados os vetores −→u = (2, 1, c),−→v = (c − 2,−5, 1) e −→w = (2, 8, c), determinar o valor de c para
que o vetor −→u +−→v seja ortogonal ao vetor −→w +−→u .
18) Provar que os pontos A(-1,2,3), B(-3,6,0) e C(-4,7,2) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo retaˆngulo.
19) Determinar o aˆngulo entre os vetores:
a) −→u = (2,−1,−1) e −→v = (−1,−1, 2) b) −→u = (1,−2, 1) e −→v = (−1, 1, 0).
20) Calcular o valor de m de modo que os vetores −→u = (1,−2, 1) e −→v = (−2, 1,m + 1) formem um
aˆngulo de 120o.
21) Seja o triaˆngulo de ve´rtices A(3,4,4), B(2,-3,4) e C(6,0,4). Determine o aˆngulo interno ao ve´rtice
B. Qual o aˆngulo externo?
22) Determinar o valor de k de modo que os vetores −→u = (−2, 3) e −→v = (k,−4) sejam:
a) paralelos b) ortogonais.
Produto Vetorial
23) Dados os vetores −→u = (3,−1,−2),−→v = (2, 4,−1) e −→w = (−1, 0, 1), calcular:
a) |−→u ×−→u | b) (−→u −−→v )×−→w c) −→u × (−→v +−→w ) d) −→u × (−→v ×−→w ).
24) Dados os pontos A(2,1,-1), B(3,0,1) e C(2,-1,-3), determinar o ponto D tal que
−−→
AD =
−−→
BC ×−→AC.
25) Dados os vetores −→u = (1, 1, 0) e −→v = (−1, 1, 2), determinar:
a) um vetor unita´rio simultaneamente ortogonal a −→u e −→v ;
b) um vetor de mo´dulo 5 simultaneamente ortogonal a −→u e −→v .
26) Sendo |−→u | = 2√2, |−→v | = 4 e 45o o aˆngulo entre −→u e −→v , calcular:
a) |2−→u ×−→v | b) |2
5
−→u × 1
2
−→v |.
27) Dados os vetores −→u = (3,−1, 2) e −→v = (−2, 2, 1), determinar:
a) a a´rea do paralelogramo determinado por −→u e −→v ;
b) a altura do paralelogramo relativa a` base definida pelo vetor −→v .
28) Calcular o valor de m de modo que a a´rea do paralelogramo determinado pelos vetores −→u =
(m,−3, 1) e −→v = (1,−2, 2) seja igual a √26.
29) Dados os pontos A(-4,1,1), B(1,0,1) e C(0,-1,3), calcular a a´rea do triaˆngulo ABC e a altura
relativa ao lado BC.
30) Sabendo-se que os pontos me´dios dos lados do triaˆngulo ABC sa˜o M(0,1,3), N(3,-2,2) e P(1,0,2),
determinar a a´rea desse triaˆngulo.
31) Mostrar que o quadrila´tero ABCD de ve´rtices A(4,1,2), B(5,0,1), C(-1,2,-2) e D(-2,3,-1) e´ um
paralelogramo e calcular sua a´rea.
32) Sabendo-se que |−→u | = 6, |−→v | = 4 e 30o o aˆngulo entre −→u e −→v , calcular:
a) a a´rea do triaˆngulo determinado por −→u e −→v ;
b) a a´rea do paralelogramo determinado por −→u e −−→v ;
c) a a´rea do paralelogramo determinado por −→u +−→v e −→u −−→v .
33) Calcular a a´rea do paralelogramo determinado pelos vetores −→u e −→v , sabendo-se que suas diago-
nais sa˜o −→u +−→v = (−1, 3, 4) e −→u −−→v = (1,−1, 2).
3
Produto Misto
34) Dados os vetores −→u = (3,−1, 1),−→v = (1, 2, 2) e −→w = (2, 0,−3), calcular
a) [−→u ,−→v ,−→w ]; b) [−→w ,−→u ,−→v ]; c) [−→w ,−→v ,−→u ].
35) Sabendo-se que [−→u ,−→v ,−→w ] = 5, calcular
a) [−→w ,−→v ,−→u ]; b) [−→v ,−→u ,−→w ]; c) [−→w ,−→u ,−→v ]; c) −→v .(−→w ×−→u ).
36) Sabendo-se que −→u .(−→v ×−→w ) = 2, calcular
a) −→u .(−→w ×−→v ); b) −→v .(−→w ×−→u ); c) (−→u ×−→w ).(3−→v ); d) (−→u +−→v ).(−→u ×−→w ).
37) Verificar se sa˜o coplanares os vetores
a) −→u = (1,−1, 2),−→v = (2, 2, 1) e −→w = (−2, 0,−4); b) −→u = (2,−1, 3),−→v = (3, 1,−2) e −→w = (7,−1, 4).
38) Verificar se sa˜o coplanares os pontos
a) A=(1,1,0), B=(-2,1,-6), C(-1,2,-1) e D(2,-1,-4); b) A=(2,1,2), B=(0,1,-2), C(1,0,-3) e D(3,1,-2).
39) Um paralelep´ıpedo e´ determinado pelos vetores −→u = (3,−1, 4),−→v = (2, 0, 1) e −→w = (−2, 1, 5).
Calcular seu volume e a altura relativa a` base definida pelos vetores −→u e −→v .
40) Determinar o valor de m para que o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores −→u =
(0,−1, 2),−→v = (−4, 2,−1) e −→w = (3,m,−2) seja igual a 33. Calcular a altura relativa a` base definida
pelos vetores −→u e −→v .
Respostas
Questa˜o 03: a) 120o; b) 120o; c) 60o; d) 60o Questa˜o 04: a) −→x = (−15
2
,
15
2
); b) −→x = (23
5
,−11
5
).
Questa˜o 05: a) D(−2, 2); b) D(1,−3, 6); Questa˜o 06: a) √13; b) 2√13; c) √613;
d) (−3/10, 4/10). Questa˜o 08: a) (5, 7,−9); b) (0,−6, 2); c) (−1, 7, 9); d) (5,−3,−14).
Questa˜o 09: D=(-2,-6,8). Questa˜o 10: N=(1,-2,-6/5). Questa˜o 11: (4,-1,-6), (6,1,2) e (2,3,0).
Questa˜o 12: a=9 e b=-15. Questa˜o 13: a) sim; b) na˜o. Questa˜o 14: b = ±2.
Questa˜o 15: a) −2; b) 21; c) −4; d) 4. Questa˜o 16: a) 7; b) 38; c) −4; d) −181.
Questa˜o 17: c=3 ou c=-6. Questa˜o 19: a) 120o; b) 150o. Questa˜o 20: m=0 ou m=-18.
Questa˜o 21: 45o e 135o. Questa˜o 22: a) 8/3; b) −6. Questa˜o 23: a) 0; b) (−5, 0,−5);
c) (8,−2, 13); d) (−6,−20, 1). Questa˜o 24: D=(-4,-1,1). Questa˜o 25: a) ( 1√
3
,− 1√
3
,
1√
3
) ou
(− 1√
3
,
1√
3
,− 1√
3
); b) (
5√
3
,− 5√
3
,
5√
3
) ou (− 5√
3
,
5√
3
,− 5√
3
). Questa˜o 26: a) 16; b) 8/5.
Questa˜o 27: a) 3
√
10; b)
√
10. Questa˜o 28: m=0 ou m=2. Questa˜o 29: A =
√
35 e h = 2
√
35
6
.
Questa˜o 30: 4
√
2. Questa˜o 32: a) 6; b) 12; c) 24. Questa˜o 33:
√
35. Questa˜o 34: a) −29;
b) −29; c) 29. Questa˜o 35: a) 5; b) 5; c) −5; d) −5. Questa˜o 36: a) −2; b) 2; c) −6;
d) −2. Questa˜o 37: a) na˜o; b) sim. Questa˜o 39: 17 e 17√
30
. Questa˜o 40: m=4 ou m=-17/4 e
h = 33/
√
89.