Aula 4 Gabarito

Prévia do material em texto

UNOPAR VIRTUAL 
Engenharia da Produção / Engenharia da Computação 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II 
Prof. (a): Jenai Oliveira Cazetta 
Aula: Aula 4 – 10/03/2016 
Semestre: 2º e 3º 
 
 
Aula Atividade 
 
 
Objetivo da Atividade: 
 
 
A aula atividade de hoje tem o objetivo a resolução de exercícios sobre o tema: Funções de 
Várias Variáveis e Derivadas Parciais. 
 
 
Orientações: 
 
 
Caro Tutor, 
 
 
A atividade poderá ser realizada individualmente ou em grupo de no Máximo 03 alunos. 
 
 
Observações: 
 
 
Caro Tutor, 
 
 
Aproveite para enviar as dúvidas dos alunos pelo Chat Atividade para que o professor possa 
esclarecê-las 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tenham um ótimo trabalho! 
 
 Profa. Jenai O. Cazetta 
 
 
UNOPAR VIRTUAL 
Engenharia da Produção / Engenharia da Computação 
1) Encontre o domínio de cada função abaixo e correlacione-o com as representações gráficas 
mostradas. 
(a) 13 2  x)y,x(f 
(b) 
22
23
yx
yx
)y,x(f 
 
(c) 
yx
x
)y,x(f 
33
 
(d) 
yx
yx
)y,x(f


2
2
 
(e)  221 yxln)y,x(f  
 
2) Correlacione a função com sua curva de nível. 
(a) 2 zem
x
y
)y,x(f 
(b) 
12  y
x
)y,x(f 
(c) 22 yx)y,x(f  
(d) 21 y)y,x(f  
 
 
UNOPAR VIRTUAL 
Engenharia da Produção / Engenharia da Computação 
 
3) Calcule as derivadas parciais das funções abaixo. 
(a) ݂(ݔ, ݕ) = 4ݔଶݕଶ + ݔଷݕ + 3ݕ + ݔ + 2 
(b) ݂(ݔ, ݕ) = ݔଶ݁௬ + ݈݊ݔݕ 
(c) ݂(ݔ, ݕ) = ݔݏ݁݊(ݔݕ) 
(d) ݂(ݔ, ݕ, ݖ) = 3ݔଶݖݕ + ݔݖݕଶ 
(e) ݂(ݔ, ݕ, ݖ, ݓ, ݒ) = ݈݊ݕ + 4݁௬௭ − ݕ ݏ݁݊(3ݔ) + ݓݔ + ݒ 
4) Calcule a diferencial total das funções do exercício anterior. 
(a) ݂(ݔ, ݕ) = 4ݔଶݕଶ + ݔଷݕ + 3ݕ + ݔ + 2 
(b) ݂(ݔ, ݕ) = ݔݏ݁݊(ݔݕ) 
(c) ݂(ݔ, ݕ, ݖ) = 3ݔଶݖݕ + ݔݖݕଶ 
(d) ݂(ݔ, ݕ, ݖ, ݓ, ݒ) = ݈݊ݕ + 4݁௬௭ − ݕ ݏ݁݊(3ݔ) + ݓݔ + ݒ 
5) Verifique se డ
డ௫
ቀడ௙
డ௬
ቁ =
డ
డ௬
ቀడ௙
డ௫
ቁ. 
(a) ݂(ݔ, ݕ) = ݔସݕ − 2ݔଷݕଶ + 4ݔ − 3ݕ + 2 
(b) ݂(ݔ, ݕ) = ݕଷ݁ିଶ௫ + ଵ
௫మ
ܿ݋ݏݕ 
6) Uma função de ݔ e ݕ é dita harmônica se డ
మ௙
డ௫మ
+
డమ௙
డ௬మ
= 0 em todo o domínio de ݂. Verifique se as 
funções dadas são harmônicas. 
(a) ݂(ݔ, ݕ) = 2݁ି௫ܿ݋ݏݕ + 2݁ି௬ܿ݋ݏݔ 
(b) ݂(ݔ, ݕ) = ݕଷ݁ିଶ௫ + ଵ
௫మ
ܿ݋ݏݕ 
7) Utilizando a regra da cadeia, dê a expressão da derivada total das funções: 
(a) ݖ = ݔଶݕ + 2ݔݕଶ, onde ݔ = ܿ݋ݏݐ e ݕ = ݏ݁݊ݐ 
(b) ݖ = ݔݕ − ݔଶ + ݕଶ, onde ݔ = ݐଶ − 2 e ݕ = 2ݐ + 1 
 
 
 
UNOPAR VIRTUAL 
Engenharia da Produção / Engenharia da Computação 
GABARITO 
1) Encontre o domínio de cada função abaixo e correlacione-o com as representações gráficas 
mostradas. 
(a) 13 2  x)y,x(f 
ܦ݅ݒ݅ݏã݋ ݌݋ݎ ݖ݁ݎ݋  ܰã݋ ݐ݁݉! ܴܽ݅ݖ ݌ܽݎ ݀݁ ݊ú݉݁ݎ݋ ݊݁݃ܽݐ݅ݒ݋  ܰã݋ ݐ݁݉! 
ܦ = ܴଶ 
 
(f) 
22
23
yx
yx
)y,x(f 
 
ܦ݅ݒ݅ݏã݋ ݌݋ݎ ݖ݁ݎ݋  ݔଶ + ݕଶ ≠ 0  ݔ ≠ 0 ݁ ݕ ≠ 0 
ܴܽ݅ݖ ݌ܽݎ ݀݁ ݊ú݉݁ݎ݋ ݊݁݃ܽݐ݅ݒ݋  ܰã݋ ݐ݁݉! 
ܦ = {(ݔ, ݕ) ∈ ܴଶ|(ݔ, ݕ) ≠ (0,0)} 
 
(g) 
yx
x
)y,x(f 
33
 
ܦ݅ݒ݅ݏã݋ ݌݋ݎ ݖ݁ݎ݋  ݔ − ݕ ≠ 0  ݕ ≠ ݔ ܴܽ݅ݖ ݌ܽݎ ݀݁ ݊ú݉݁ݎ݋ ݊݁݃ܽݐ݅ݒ݋  ܰã݋ ݐ݁݉! 
ܦ = {(ݔ, ݕ) ∈ ܴଶ|ݕ ≠ ݔ} 
 
 
 
UNOPAR VIRTUAL 
Engenharia da Produção / Engenharia da Computação 
(h) 
yx
yx
)y,x(f


2
2
 
ܦ݅ݒ݅ݏã݋ ݌݋ݎ ݖ݁ݎ݋  ݔଶ − ݕ ≠ 0  ݕ ≠ ݔଶ 
ܴܽ݅ݖ ݌ܽݎ ݀݁ ݊ú݉݁ݎ݋ ݊݁݃ܽݐ݅ݒ݋  ݔଶ − ݕ ≥ 0  ݕ ≤ ݔଶ 
ܦ = {(ݔ, ݕ) ∈ ܴଶ|ݕ < ݔଶ} 
 
(i)  221 yxln)y,x(f  
ܦ݅ݒ݅ݏã݋ ݌݋ݎ ݖ݁ݎ݋  ܰã݋ ݐ݁݉! ܴܽ݅ݖ ݌ܽݎ ݀݁ ݊ú݉݁ݎ݋ ݊݁݃ܽݐ݅ݒ݋  ܰã݋ ݐ݁݉! 
∄ ݈݊ݖ ݌ܽݎܽ ݖ ≤ 0  1 − ݔଶ − ݕଶ > 0  ݔଶ + ݕଶ < 1 
ܦ = {(ݔ, ݕ) ∈ ܴଶ|ݔଶ + ݕଶ < 1} 
 
2) Correlacione a função com sua curva de nível. 
(a) 2 zem
x
y
)y,x(f 
ݕ
ݔ
= 2 ݕ = 2ݔ 
 
(b) 
12  y
x
)y,x(f 
 
 
UNOPAR VIRTUAL 
Engenharia da Produção / Engenharia da Computação 
ݔ
ݕଶ − 1
= ݇ 
ݔ
݇
= ݕଶ − 1 ݕଶ =
ݔ
݇
+ 1 ݕ = ±ට
ݔ
݇
+ 1  ܲܽݎáܾ݋݈ܽݏ ݊݋ ݁݅ݔ݋ ݕ! 
 
(c) 22 yx)y,x(f  
ݔଶ + ݕଶ = ݇  ܥ݅ݎܿݑ݂݊݁ݎê݊ܿܿ݅ܽݏ ݀݁ ݎܽ݅݋ √݇! 
 
 
(d) 21 y)y,x(f  
1 − ݕଶ = ݇ ݕଶ = 1 − ݇ ݕ = ±√1 − ݇  ܴ݁ݐܽݏ ݌ܽݎ݈݈ܽ݁ܽݏ ܽ݋ ݁݅ݔ݋ ݔ! 
 
3) Calcule as derivadas parciais das funções abaixo. 
(a) ݂(ݔ, ݕ) = 4ݔଶݕଶ + ݔଷݕ + 3ݕ + ݔ + 2 
߲݂
߲ݔ
= 8ݔݕ2 + 3ݔ2ݕ + 1 
߲݂
߲ݕ
= 8ݔ2ݕ + ݔ3 + 3 
 
 
 LAUTRIV RAPONU
 oãçatupmoC ad airahnegnE / oãçudorP ad airahnegnE
 )ݕݔ(݊݁ݏݔ = )ݕ ,ݔ(݂ )b(
݂߲
ݔ߲
 )ݕݔ(ݏ݋ܿݕݔ + )ݕݔ(݊݁ݏ =
݂߲
ݕ߲
 )ݕݔ( ݏ݋ܿଶݔ = ݔ)ݕݔ(ݏ݋ܿݔ =
 ଶݕݖݔ + ݕݖଶݔ3 = )ݖ ,ݕ ,ݔ(݂ )c(
݂߲
ݔ߲
 ଶݕݖ + ݕݖݔ6 =
݂߲
ݕ߲
 ݕݖݔ2 + ݖଶݔ3 =
݂߲
ݖ߲
 ଶݕݔ + ݕଶݔ3 =
 ݒ + ݔݓ + )ݔ3(݊݁ݏ ݕ − ௭௬݁4 + ݕ݈݊ = )ݒ ,ݓ ,ݖ ,ݕ ,ݔ(݂ )d(
݂߲
ݔ߲
 ݓ + )ݔ3(ݏ݋ܿݕ3− =
݂߲
ݕ߲
=
1
ݕ
 )ݔ3(݊݁ݏ − ௭௬݁ݖ4 +
݂߲
ݖ߲
 ௭௬݁ݕ4 =
݂߲
ݓ߲
 ݔ =
݂߲
ݒ߲
 1 =
 .roiretna oicícrexe od seõçnuf sad latot laicnerefid a eluclaC )4
 2 + ݔ + ݕ3 + ݕଷݔ + ଶݕଶݔ4 = )ݕ ,ݔ(݂ )a(
= ݂݀
݂߲
ݔ߲
+ ݔ݀
݂߲
ݕ߲
 ݕ݀
 ݕ݀ )3 + 3ݔ + ݕ2ݔ8(+ ݔ݀ )1 + ݕ2ݔ3 + 2ݕݔ8( = ݂݀
 )ݕݔ(݊݁ݏݔ = )ݕ ,ݔ(݂ )b(
= ݂݀
݂߲
ݔ߲
+ ݔ݀
݂߲
ݕ߲
 ݕ݀
 ݕ݀ ])ݕݔ(ݏ ݋ܿଶݔ[ + ݔ݀ ])ݕݔ(ݏ݋ܿݕݔ + )ݕݔ(݊݁ݏ[ = ݂݀
 ଶݕݖݔ + ݕݖଶݔ3 = )ݖ ,ݕ ,ݔ(݂ )c(
= ݂݀
݂߲
ݔ߲
+ ݔ݀
݂߲
ݕ߲
+ ݕ݀
݂߲
ݖ߲
 ݖ݀
 ݖ݀ )ଶݕݔ + ݕଶݔ3( + ݕ݀ )ݕݖݔ2 + ݖଶݔ3( + ݔ݀ )ଶݕݖ + ݕݖݔ6( = ݂݀
 ݒ + ݔݓ + )ݔ3(݊݁ݏ ݕ − ௭௬݁4 + ݕ݈݊ = )ݒ ,ݓ ,ݖ ,ݕ ,ݔ(݂ )d(
= ݂݀
݂߲
ݔ߲
+ ݔ݀
݂߲
ݕ߲
+ ݕ݀
݂߲
ݖ߲
+ ݖ݀
݂߲
ݓ߲
+ ݓ݀
݂߲
ݒ߲
 ݒ݀
൤ + ݔ݀ ]ݓ + )ݔ3(ݏ݋ܿݕ3−[ = ݂݀
1
ݕ
 ݒ݀ + ݓ݀ݔ + ݖ݀௭௬݁ݕ4 + ݕ݀ ൨)ݔ3(݊݁ݏ − ௭௬݁ݖ4 +
 
 
UNOPAR VIRTUAL 
Engenharia da Produção / Engenharia da Computação 
5) Verifique se డ
డ௫
ቀడ௙
డ௬
ቁ =
డ
డ௬
ቀడ௙
డ௫
ቁ. 
(a) ݂(ݔ, ݕ) = ݔସݕ − 2ݔଷݕଶ + 4ݔ − 3ݕ + 2 
߲݂
߲ݔ
= 4ݔଷݕ − 6ݔଶݕଶ + 4 
߲
߲ݕ
൬
߲݂
߲ݔ
൰ = 4ݔଷ − 12ݔଶݕ 
߲݂
߲ݕ
= ݔସ − 4ݔଷݕ − 3 
߲
߲ݔ
൬
߲݂
߲ݕ
൰ = 4ݔଷ − 12ݔଶݕ 
(b) ݂(ݔ, ݕ) = ݕଷ݁ିଶ௫ + ଵ
௫మ
ܿ݋ݏݕ 
߲݂
߲ݔ
= −2ݕଷ݁ିଶ௫ −
2
ݔଷ
ܿ݋ݏݕ 
߲
߲ݕ
൬
߲݂
߲ݔ
൰ = −6ݕଶ݁ିଶ௫ +
2
ݔଷ
ݏ݁݊ݕ 
߲݂
߲ݕ
= 3ݕଶ݁ିଶ௫ −
1
ݔଶ
ݏ݁݊ݕ 
߲
߲ݔ
൬
߲݂
߲ݕ
൰ = −6ݕଶ݁ିଶ௫ +
2
ݔଷ
ݏ݁݊ݕ 
6) Uma função de ݔ e ݕ é dita harmônica se డ
మ௙
డ௫మ
+
డమ௙
డ௬మ
= 0 em todo o domínio de ݂. Verifique se as 
funções dadas são harmônicas. 
(a) ݂(ݔ, ݕ) = 2݁ି௫ܿ݋ݏݕ + 2݁ି௬ܿ݋ݏݔ 
߲݂
߲ݔ
= −2݁ି௫ܿ݋ݏݕ − 2݁ି௬ݏ݁݊ݔ 
߲ଶ݂
߲ݔଶ
= 2݁ି௫ܿ݋ݏݕ − 2݁ି௬ܿ݋ݏݔ 
߲݂
߲ݔ
= −2݁ି௫ݏ݁݊ݕ − 2݁ି௬ܿ݋ݏݔ 
߲ଶ݂
߲ݔଶ
= −2݁ି௫ܿ݋ݏݕ + 2݁ି௬ܿ݋ݏݔ 
߲ଶ݂
߲ݔଶ
+
߲ଶ݂
߲ݕଶ
= 0 ܣ ݂ݑ݊çã݋ ݂(ݔ, ݕ) é ℎܽݎ݉ô݊݅ܿܽ! 
(b) ݂(ݔ, ݕ) = ݕଷ݁ିଶ௫ + ଵ
௫మ
ܿ݋ݏݕ 
߲݂
߲ݔ
= −2ݕଷ݁ିଶ௫ −
2
ݔଷ
ܿ݋ݏݕ 
߲ଶ݂
߲ݔଶ
= 4ݕଷ݁ିଶ௫ +
6
ݔସ
ܿ݋ݏݕ 
߲݂
߲ݔ
= 3ݕଶ݁ିଶ௫ −
1
ݔଶ
ݏ݁݊ݕ 
߲ଶ݂
߲ݔଶ
= 6ݕ݁ିଶ௫ −
1
ݔଶ
ܿ݋ݏݕ 
߲ଶ݂
߲ݔଶ
+
߲ଶ݂
߲ݕଶ
≠ 0 ܣ ݂ݑ݊çã݋ ݂(ݔ, ݕ) ݊ã݋ é ℎܽݎ݉ô݊݅ܿܽ! 
7) Utilizando a regra da cadeia, dê a expressão da derivada total das funções: 
(a) ݖ = ݔଶݕ + 2ݔݕଶ, onde ݔ = ܿ݋ݏݐ e ݕ = ݏ݁݊ݐ 
݂݀
݀ݐ
= ൬
߲݂
߲ݔ
൰
݀ݔ
݀ݐ
+ ൬
߲݂
߲ݕ
൰
݀ݕ
݀ݐ
 
߲݂
߲ݔ
= 2ݔݕ + 2ݕଶ 
߲݂
߲ݕ
= ݔଶ + 4ݔݕ 
݀ݔ
݀ݐ
= −ݏ݁݊ݐ 
݀ݕ
݀ݐ
= ܿ݋ݏݐ 
݂݀
݀ݐ
= (2ݔݕ + 2ݕଶ) (−ݏ݁݊ݐ) + (ݔଶ + 4ݔݕ) (ܿ݋ݏݐ) 
݂݀
݀ݐ
= (2 ܿ݋ݏݐ ݏ݁݊ݐ + 2ݏ݁݊ଶݐ) (−ݏ݁݊ݐ) + (ܿ݋ݏଶݐ + 4 ܿ݋ݏݐ ݏ݁݊ݐ) (ܿ݋ݏݐ) 
݂݀
݀ݐ
= (−2 ܿ݋ݏݐ ݏ݁݊ଶݐ − 2ݏ݁݊ଷݐ) + (ܿ݋ݏଷݐ + 4 ܿ݋ݏଶݐ ݏ݁݊ݐ) 
(b) ݖ = ݔݕ − ݔଶ + ݕଶ, onde ݔ = ݐଶ − 2 e ݕ = 2ݐ + 1 
 
 
UNOPAR VIRTUAL 
Engenharia da Produção / Engenharia da Computação 
݂݀
݀ݐ
= ൬
߲݂
߲ݔ
൰
݀ݔ
݀ݐ
+ ൬
߲݂
߲ݕ
൰
݀ݕ
݀ݐ
 
߲݂
߲ݔ
= ݕ − 2ݔ 
߲݂
߲ݕ
= ݔ + 2ݕ 
݀ݔ
݀ݐ= 2ݐ 
݀ݕ
݀ݐ
= 2 
݂݀
݀ݐ
= (ݕ − 2ݔ) (2ݐ) + (ݔ + 2ݕ) (2) 
݂݀
݀ݐ
= (2t + 1 − 2tଶ + 4) (2ݐ) + (ݐଶ − 2 + 4ݐ + 2) (2) 
݂݀
݀ݐ
= 4tଶ + 2ݐ − 4tଷ + 8ݐ + 2tଶ − 4 + 8ݐ + 4 
݂݀
݀ݐ
= −4tଷ + 6tଶ + 18ݐ