Exercicios e Gabarito - Derivada de Função Polinomial

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Derivada de uma função polinomial Página 1 
 
Derivada de uma função polinomial 
Esta lista tem o objetivo de apresentar uma regra prática para a diferenciação (ou derivação) de 
funções polinomiais simples, bem como algumas aplicações em Física, no entanto, o estudo em 
profundidade será feito no curso de Cálculo. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos. Diferencie as funções abaixo: 
a) 
2x
1
)x(f 
 b) 
3 2x)x(y 
 
a) 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo. Diferencie a função 
5x6x10x4x12x)x(f 3458 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 Universidade São Judas Tadeu 
 
 
 
Regra da potência. Dada a função polinomial 
n
xy(x) k
, onde n é um número real qualquer e 
k uma constante, sua derivada é dada por: 
-1n
x(x)y' nk
 ou 
-1n
x
dx
dy
nk
 
 
Regra da soma e subtração: Se f e g forem ambas diferenciáveis, então. 
 
)x(g
dx
d
)x(f
dx
d


dx
g(x) f(x)d
 
 
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Em Física, se a posição x de um corpo em função do tempo t é dada por uma função x(t), a 
função velocidade vx(t) e a função aceleração ax(t) são obtidas por diferenciação, como segue: 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. Diferencie (derive) cada função a seguir. 
x
x
1
x)x(g)k
2xx
3
1
x3)x(f)j
7u6u2u5)u(f)i
10t6t3)t(f)h
1x2)x(f)g
x5x10)x(f)f
xx)x(f)e
x
2
1
)x(f)d
x10)x(f)c
x)x(f)b
10)x(f)a
2
2
45
23
2
23
32
2
5
5











 
2. Uma partícula move-se ao longo do eixo x de acordo com a função x(t) = 50t + 2t3, sendo x em 
metros e t em segundos. Calcule: 
a) a velocidade média da partícula durante os três primeiros segundos de movimento; 
b) a velocidade instantânea da partícula em t = 3,0 s e 
c) a aceleração nesse mesmo instante. 
 
3. A posição de um corpo é dada por: 
62 t100,0t80,417,2)t(x 
, onde x está em metros e t 
em segundos. 
a) Determine os instantes para os quais carro possui velocidade zero. 
b)Determine sua posição e sua aceleração para os instantes em que o carro possui velocidade 
zero. 
 
4) A posição de um corpo no instante t é dada por S = 3t3 + 4t2 – t + 3, onde t é dado em 
segundos e S em metros. Determine a velocidade e a aceleração desse corpo no instante 
t = 1 s.Sabe –se que a velocidade é a taxa de variação do espaço em função do tempo e a 
aceleração é taxa de variação da velocidade em função do tempo. 
5) Um empresário estima que quando x unidades de certo produto são vendidas, a receita bruta 
associada ao produto é dada por C = 0,5 x2 + 3x -2 milhares de reais. Qual é a taxa de variação 
da receita quando 3 unidades estão sendo vendidas? Resp. 6 mil reais /unidade 
 
 
 Função velocidade: 
dt
dx
(t)vx 
 Função aceleração: 
dt
dv
(t)a xx 
 
 
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Respostas: 
1-) 
 
a) 0 
b) 5x4 
c) 50x4 
d) x 
e) 2x+3x2 
f) 30x2+10x 
g) 2 
h) 6t-6 
i) 15u2-4u+6 
j) 15x4 + (4/3)x3 + 1 
k) 
x2
1
x
1
2x
3

 
2-) 
a) 68m/s 
b) 104 m/s 
c) 36 m/s2 
 
3) 
a) 0 e 2s 
b) 
Posição: x(0)= 2,17 m e x(2,0)=15 m. 
Aceleração: a(0)=9,60 m/s2 e a(2,0)=-38,4 m/s2