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Exercícios Programados 04-Auxiliar-C2-2016-1-Gabarito

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Fundação CECIERJ
Cálculo II – EP04 
Solução do Exercício 1 
a) ( ) ln ( 1)f x x= +
Como a função logarítmica
domínio de f é o conjunto
 1 0}{ | xx + > =∈R�� { |x∈
Vamos esboçar o gráfico de
(veja notas de aula do EP04
na Figura 4.1. 
Deslocando horizontalmente
gráfico da função ( ) ln( 1)f x x=
b) ( ) ln | |f x x=
Como a função logarítmica natural
função valor absoluto é sempre maior ou igual que zero
Solução do Exercício 1 
Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância
 Derivadas
Como a função logarítmica natural é definida somente para os números positivos então o
é o conjunto 
1} ( 1, ){ | xx > − = − +∞∈R��
Vamos esboçar o gráfico de f em etapas. Estamos usando as transformações de funções
notas de aula do EP04, páginas 17 e 18). Começamos pelo gráfico de
Figura 4.1 
horizontalmente o gráfico anterior em 1 unidade para a esquerda
( ) ln( 1)f x x += (veja Figura 4.2). 
Figura 4.2 
natural é definida somente para os números positivos e
é sempre maior ou igual que zero obtemos então que o domínio de
Vice Presidência de Educação Superior a Distância
dAuxiliar (2016/1) Revisão de Derivadas
é definida somente para os números positivos então o 
transformações de funções 
o gráfico de lny x= dado 
1 unidade para a esquerda obtemos o 
é definida somente para os números positivos e por outro lado a 
que o domínio de f é o
Cálculo II EP04 Auxiliar (Revisão de derivadas) – Tutor 2016/1
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
P
á
g
in
a
2
 
conjunto 0}{ | {0}xx ≠ =∈ −R�� R� . Podemos ver também que é uma função par, pois
( ) ln | | ln | | ( )f x x x f x− = − = = para todo 0x ≠ , então existe simetria do gráfico em relação ao
eixo y . Como 
ln 0( ) ln | |
ln( ) 0
x xf x x
x x
>
= = 
− <
 podemos ver na Figura 4.3 que o gráfico tem dois 
ramos e cada ramo é a imagem espelhada do outro. 
Figura 4.3 
c) 3( ) log ( 1)f x x= −
Como a função logarítmica de base 3 é definida somente para os números positivos então 
o domínio de f é o conjunto
 1 0} 1} (1, ){ | { |x xx x− > = > = +∞∈ ∈R�� R�� 
Vamos esboçar o gráfico de f em etapas. Estamos usando as transformações de funções 
(veja notas de aula do EP04, páginas 17 e 18). Começamos pelo gráfico de 3logy x= dado 
na Figura 4.4. 
Figura 4.4 
Deslocando horizontalmente o gráfico anterior em uma unidade para a direita obtemos o 
gráfico da função 3( ) log ( 1)f x x −=
 
(veja Figura 4.5). 
Cálculo II EP04 Auxiliar (Revisão de derivadas) – Tutor 2016/1
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
P
á
g
in
a
3
 
Figura 4.5 
d) ( ) xf x e−=
Lembremos que o domínio da função exponencial natural 
xy e= é o conjunto R , o gráfico é
mostrado na Figura 4.6 
Figura 4.6 
Fazendo uma reflexão em torno do eixo y do gráfico de xy e= obtemos o gráfico de
( ) xf x e−= (veja Figura 4.7). O domínio de f é também o conjunto R . 
Figura 4.7 
Cálculo II EP04 Auxiliar (Revisão de derivadas) – Tutor 2016/1
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
P
á
g
in
a
4
 
e)
| |( ) xf x e=
Como a função exponencial natural é definida para todo número real e por outro lado a função 
valor absoluto é sempre maior ou igual que zero obtemos então que o domínio de f é o
conjunto R�. Podemos ver também que é uma função par, pois 
| | | |( ) ( )x xf x e e f x−− = = = para 
todo ,x ∈R então existe simetria do gráfico em relação ao eixo y . Como 
| | 0( )
0
x
x
x xf x
x
e
e
e−



≥
= =
<
 , podemos ver na Figura 4.8 o gráfico da função pedida. 
Figura 4.8 
f)
1( ) xf x e −=
Lembremos que o domínio da função exponencial natural 
xy e= é o conjunto R , o gráfico é
mostrado na Figura 4.6. Deslocando horizontalmente o gráfico da função xy e= em uma 
unidade para a direita obtemos o gráfico da função ( 1)( ) xf x e −= (veja Figura 4.9). E claro 
que o domínio de f é também o conjunto R 
Figura 4.9 
g)
21( ) )
5
( xf x +=
Cálculo II EP04 Auxiliar (Revisão de derivadas) – Tutor 2016/1
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P
á
g
in
a
5
 
Lembremos que o domínio da função exponencial 
1( )
5
xy = de base 10 1
5
< < é o conjunto R , o 
gráfico é mostrado na Figura 4.10 
Figura 4.10 
Deslocando horizontalmente o gráfico anterior em 2 unidades para a esquerda obtemos 
o gráfico da função 2
1( ) )
5
( xf x += (veja Figura 4.11). 
Figura 4.11 
Observe também que neste caso por propriedades da função exponencial sabemos que 
{
2 21 1 1 1 1( ) ) ) ) )
5 5 5 25 5
( ( ( (x x x
A
f x + = == assim podemos também neste caso olhar a função f dada
como sendo uma compressão ou redução vertical de 
1( )
5
xy = onde 10 1
25
A< = < . 
h)
| | 1( ) 3)( xf x +=
Como a função exponencial de base 3 1> , é definida para todo número real e por outro lado a 
função valor absoluto é sempre maior ou igual que zero obtemos então que o domínio de f é o
conjunto .R Podemos ver também que é uma função par, pois 
| | 1 | | 1( ) ( 3) ( 3) ( )x xf x f x− + +− = = = para todo ,x ∈R então existe simetria do gráfico em 
relação ao eixo y . Observe que | | 1
1
1
3) ( 3) 0( )
( 3) 0
( x
x
x
xf x
x
+
+
− +



≥
= =
<
(*) 
Cálculo II EP04 Auxiliar (Revisão de derivadas) – Tutor 2016/1
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P
á
g
in
a
6
 
Lembremos que o domínio da função exponencial ( 3)xy = de base 3 1> é o conjunto R , o
gráfico é mostrado na Figura 4.12. 
Figura 4.12 
Deslocando horizontalmente o gráfico anterior em 1 unidades para a esquerda obtemos 
o gráfico da função
1( ) 3)( xf x += (veja Figura 4.13). 
Figura 4.13 
Por outro lado, fazendo uma reflexão em torno do eixo y do gráfico de 3)( xy = obtemos o 
gráfico de 3)( xy −= (veja Figura 4.14). O domínio desta função também é o conjunto R . 
Figura 4.14 
Cálculo II EP04 Auxiliar (Revisão de derivadas) – Tutor 2016/1
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P
á
g
in
a
7
 
Deslocando horizontalmente o gráfico anterior em 1 unidades para a direita obtemos o 
gráfico da função 
1 ( 1)( ) 3) 3)( (x xf x − + − −== (veja Figura 4.15). 
Figura 4.15 
Assim finalmente podemos ver na Figura 4.16 o gráfico da função (*). 
Figura 4.16 
Observemos também que neste caso por propriedades da função exponencial sabe-se que 
| | 1 | |( ) 3) 3) 3) ( 3) ( 3) 0
( 3) ( 3) 0
( ( (x x
x
x
f x x
x
+
−

= 

≥
=
<
= , assim podemos neste caso também 
olhar a função f dada como sendo uma ampliação ou alongamento vertical (onde 3 1A = > ) da
função 
| |( 3) xy = cujo gráfico aparece na Figura 4.17. O gráfico final da função f assim
considerada é mostrado na Figura 4.18. Observe que o gráfico obtido na Figura 4.16 é o mesmo 
que o obtido na Figura 4.18, o qual é correto já que a função f é a mesma.
Cálculo II EP04 Auxiliar (Revisão de derivadas) – Tutor 2016/1
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
P
á
g
in
a
8
 
Figura 4.17 Figura 4.18 
_______________________________________________________________________________________ 
Solução do Exercício 2: 
a) ( ) ln ( 1)f x x= +
Como a função logarítmica natural é definida somente para os números positivos então o domínio de 
f é o conjunto
1 0}{ | xx + > =∈R�� 1} ( 1, ){ | xx > − = − +∞∈R��
Seja ( ) 1g x x= + ( ) 0g x > para todo 1x > − . Como lnf g= o para todo 1x > − , segue pela regra
da cadeia g é derivável para todo 1x > − e 1( ) (ln ) ln ( ( )) ( )
1
f x g g x g x
x
′ ′ ′ ′= = =
+
o para todo 
1x > − . 
b) ( ) ln | |f x x=
Como a função logarítmica natural é definida somente para os números positivos e poroutro lado a 
função valor absoluto é sempre maior ou igual que zero obtemos então que o domínio de f é o
conjunto 0}{ | {0}xx ≠ =∈ −R�� R� .
Afirmamos que se 0x ≠ então 1( ) (ln | |)df x x
dx x
′ = =
 Com efeito, se 0x > , então | |x x= e o resultado segue da proposição 7.1 do caderno didático. 
Se 0x < , então | | 0x x= − > e temos 1 1( ) (ln( ))df x x
dx x x
−
′ = − = =
−
. 
c) 
2( ) ln ( 4 5)f x x x= − + 
Como a função logarítmica natural é definida somente para os números positivos então o domínio 
de f é o conjunto 2 4 5 0}{ | xx x − + >∈R�� Observe que função 
2 2 24 5 ( 4 4) 1 ( 2) 1x x x xy x − + = − + + = − += é uma quantidade sempre maior que zero, assim 
o domínio de f é o conjunto R .
Seja 
2( ) 4 5g x xx= − + definida em R .Como lnf g= o segue pela regra da cadeia g é derivável
para todo x ∈� e 2
2 4( ) (ln ) ln ( ( )) ( )
4 5
xf x g g x g x
x x
−
′ ′ ′ ′= = =
− +
o para todo x∈R�. 
d) ( ) ln( )f x x= −
Solução do Exercício 2: 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
P
á
g
in
a
9
 
Cálculo II EP04 Auxiliar (Revisão de derivadas) – Tutor 2016/1
Como a função logarítmica natural é definida somente para os números positivos obtemos que 
Dom ( ,0)f = −∞ . Assim 1 1( ) (ln( ))df x x
dx x x
−
′ = − = =
−
. 
e) 3( ) log ( 1)f x x= −
Como a função logarítmica na base 3 é definida somente para os números positivos obtemos que o 
domínio de f é o conjunto 1 0}{ | xx − > =∈R�� 1} (1, ){ | xx > = +∞∈R�� 
Seja ( ) 1g x x= − , ( ) 0g x > para todo 1x > . Como 3( ) (log )( )f x g x= o para todo 1x > , segue 
pela regra da cadeia que é derivável f e 
3( ) log ( ( )) ( )f x g x g x′ ′ ′= = 3
1 1 1log ( 1)1
ln 3 ( 1) ( 1) ln 3x x x′ − = ⋅ =− −
f) 
2
2( ) log ( 1)f x x x= + +
Como a função logarítmica na base 2 é definida somente para os números positivos obtemos que o 
domínio de f é o conjunto 2 1 0}{ | xx x + + >∈R�� . 
 Observe que função 
2 2 21 3 1 31 ( ) ( ) 0
4 4 2 4
x x x xy x + + = + + + = + + >= é uma quantidade 
sempre maior que zero, assim o domínio de f é o conjunto R , assim o domínio de f é o
conjunto R .Seja 
2( ) 1g x x x= + + , ( ) 0g x > para todo x ∈R . Como 2( ) (log )( )f x g x= o para 
todo x ∈R , segue pela regra da cadeia que é derivável f e
2( ) log ( ( )) ( )f x g x g x′ ′ ′= = 22 2 2
1 (2 1) (2 1)log ( 1) (2 1)
ln 2 ( 1) ( 1) ln 2
x x
x x x
x x x x
+ +
′ + + + = ⋅ =
+ + + +
. 
g) 
2 1( ) x xf x e + +=
Lembremos que o domínio da função exponencial natural 
xy e= é o conjunto R , seja
2( ) 1g x x x= + + , g é derivável em R e ( ) 2 1g x x′ = + . Como ( )( ) g xf x e= para todo x ∈R , 
segue pela regra da cadeia que f é derivável em R e
2( ) 1( ) (2 1)( ) g x x xg x xf x e e + +′ = +′ = para todo x ∈R . 
h) 
2 1( )
x
xf x e +=
Lembremos que o domínio da função exponencial natural 
xy e= é o conjunto R , seja
2( ) 1
xg x
x
=
+
 , g é derivável em R e 
2 2
2 2 2 2
( 1)1 (2 ) 1( ) ( 1) ( 1)
x x x xg x
x x
+ − −
′ = =
+ +
 . Como 
( )( ) g xf x e=
para todo x ∈R , segue pela regra da cadeia que f é derivável em R e
2
2
( ) 1
2 2
(1 )( ) ( 1)( )
x
g x x xg x
x
f x e e + −′ =
+
′ = para todo x ∈R . 
i) 
tg( ) x
xf x
e
=
Lembremos que o domínio da função exponencial natural 
xy e= é o conjunto R e 0xe > para 
todo x ∈R . Por outro lado o domínio da função tangente é 
3
, ,...}
2 2
{ |x x pi pi≠ ± ±∈R�� . Assim 
Cálculo II EP04 Auxiliar (Revisão de derivadas) – Tutor 2016/1
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P
á
g
in
a
1
0
 
o domínio de f é o conjunto 3, ,...}
2 2
{ |x x pi pi≠ ± ±∈R�� . Por outro lado no domínio 
anteriormente mencionado temos que 
tg( ) x
xf x
e
= é o quociente de duas funções deriváveis e 
( )
2
2
2
2
(tg ) (tg ) (sec ) (tg )( ) sec tg
x x
x
x x
xx
x x e x x ef x x x
e
e e
ee
′
− −
′ = =
−
= . 
j) 
2 4( ) )
2
1(
x
xf x −=
Lembremos que o domínio da função exponencial de base 
10 1
2
< < é o conjunto R e 
) 0
2
1( xy >= para todo x ∈R . Seja 2( ) 4
xg x
x
=
−
, g é derivável em { 2,2}− −R� e
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( 4)1 (2 ) 4 ( 4)( ) ( 4) ( 4) ( 4)
x x x x xg x
x x x
− − − − +
′ = = = −
− − −
 . Como 
( ))
2
1( ) ( g xf x = para todo 
{ 2,2}x ∈ − −R� , segue pela regra da cadeia que f é derivável em { 2,2}− −R� e
2 2
2 2
( ) 4 4
2 2 2 2
( 4) 1 ( 4) ln 2) ( ) ln ) ln 2 )( 4) 2 2( 4)2 2 2 2
1 1( ) ( 1 1( (
x x
g x x xx xg x
x x
f x − − + + ′ − − =  
− −  
′ = = para 
todo { 2,2}x ∈ − −R� .
k) 2
log( ) 3 xf x =
Lembremos que o domínio da função exponencial de base 3 1> é o conjunto R e note que 
3 0xy >= para todo x ∈R . Seja 2( ) logg x x= , é claro que g é derivável em (0, )+∞ e
1( )
ln 2
g x
x
′ = . Como 2
log( ) 3 xf x = para todo (0, )x∈ +∞ , segue pela regra da cadeia que f é
derivável em (0, )+∞ e 22 2log logln 3(log ) ln 3 ln 2( ) 3 3
x x
x
x
f x ′ =′ =
l) ( ) xf x x= (0, );x ∈ +∞
Seja (0, )I = +∞ , :h I →R onde ( )h x x= é uma função derivável em I tal que ( ) 0h x > para todo
x I∈ e :g I → R onde ( )g x x= é uma função derivável em I . Então a função 
( )( ) ( ( ))g x xf x h x x== é derivável em I e ( ) ( )ln( ( )) ln( ) ( ( ))g x g x h x x xf x h x e e= = = para todo x I∈
, segue da regra da cadeia que f é derivável em I e 
ln ln ln1( ) ( ln ) ( ln ) (1 ln ) (1 ln )x x x x x x xf x x x x x x x
x
e e e x′ ′ = + = + = += . 
m) 
3 27 6( ) x xxf x x − += (0, );x ∈ +∞ 
Seja (0, )I = +∞ , :h I →R onde ( )h x x= é uma função derivável em I tal que ( ) 0h x > para todo
x I∈ e :g I → R onde 3 2( ) 7 6g x x xx − += é uma função derivável todo R em particular em I .
Então a função 
3 2( ) 7 6( ) ( ( ))g x x xxf x h x x − += = é derivável em I e 
2 27 6 )( ) ( )ln( ( )) ( ln( ) ( ( )) x xg x g x h x x xf x h x e e − += = = para todo x I∈ , segue da regra da cadeia que 
f é derivável em I e 
Cálculo II EP04 Auxiliar (Revisão de derivadas) – Tutor 2016/1
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
P
á
g
in
a
1
1
 
( )3 23 2( 7 6 )ln( ) ( 7 6 ) lnx x x xf x x x x xe − + ′′ − +=
( )
( )
3 2
3 2
3 2 2
7 6 3 2 2
7 6 2 2
3 2( 7 6 )ln( ) ( 7 6 )(ln ) (ln )(3 14 6)
1( ) ( 7 6 ) (ln )(3 14 6)
( ) ( 7 6) (ln )(3 14 6) .
x x x
x x x
x x x xf x x x x x x x x
f x x x x x x x x
x
f x x x x x x x
e
− +
− +
− +
′ ′= − + + − +
 
′ = − + + − + 
 
′ = − + + − +
________________________________________________________________________________ 
Solução do Exercício 3: 
No Cálculo I, você estudou (na Aula 29 do caderno didático n°2) as funções trigonométricas inversas e suas 
derivadas. Lembre que: 
( )
2
1
arcsen ,
1
x
x
′
=
−
 para 1x < , ( )
2
1
arccos ,
1
x
x
′
= −
−
 para 1x < 
( ) 21arctg 1x x′ = + ( ) 2
1
arcctg
1
x
x
′
= −
+
( )
2
1
arcsec | | 1x x x
′
=
−
, para 1x > , ( )
2
1
arccossec | | 1x x x
′
= −
−
, para 1x > . 
a)
1( ) arccos( ) arcsec( )f x x
x
= + , 0x ≠ e 1x ≤ 
( ) 1( ) arccos( ) arcsec( )f x x
x
′ ′
′ = +  
 
. Observe que arccos( )x é derivável para 1x < e como 0x ≠
então
1
x
 esta bem definida e podemos ver que 
1 1
x
> , assim 
1
arcsec( )
x
 é derivável para 1x < e 
0x ≠ . Segue das regras de derivação e da regra da cadeia em cada somando que 
2
2
1 1 1( )
1 11 | | 1
f x
xx
x x
′ 
′ = − +  
 
−
−
22
2
1 1 1
1 11 | | 1 xx
x x
 
= − + − 
 
−
−
. 
22 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1 2
11 1 1 1 1| | xx x x x x
x x
 
= − + − = − − = − 
 
− − − − −
. 
b) ( ) arcsen(tg )f x x=
Da regra de derivação de arcsen( )x e da regra da cadeia temos 
( )
2
2 2
(tg ) sec( ) arcsen(tg )
1 (tg ) 1 (tg )
x xf x x
x x
′
′
′ = = =
− −
 . Observe que neste caso arcsen( )x é derivável 
para valores de x tais que tg 1x < . 
c) ( ) sen (arctg ( ))f x x=
Da regra de derivação de sen e da regra da cadeia temos 
Solução do Exercício 3: 
Cálculo II EP04 Auxiliar (Revisão de derivadas) – Tutor 2016/1
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
P
á
g
in
a
1
2
 
( )( ) sen (arctg ( )) cos(arctg ( )).(arctg ( ))f x x x x′′ ′= = 21cos(arctg ( )). 1x x
 
=  + 
. Observe que neste caso 
arc tg( )x é derivável para todo x real. 
d) 
2( ) arccossec ( )f x x= 
( )2( ) arccossec ( )f x x ′′ =
Da formula da derivada de arccossec e a regra da cadeia temos que 
2
2 2 2 2 4
( ) 2( ) | | ( ) 1 | | 1
x xf x
x x x x
′
′ = − = −
− −
. Observe que neste caso arccossec é derivável para valores 
de x tais que 2 1x > . 
e) ( ) 22( ) arcsen (2 )f x x −= . 
( ) 22( ) arcsen (2 )f x x − ′ ′ =   
Pela Regra da Cadeia temos que 
( ) ( )32 2( ) 2 arcsen (2 ) . arcsen (2 )f x x x− ′′ = − Observe que neste caso arcsen é derivável para valores de 
x tais que 22 1x < . 
( ) ( )( )
2
32
22
2( ) 2 arcsen (2 ) .
1 2
xf x x
x
−
′
′ = −
−
( ) ( )
32
32
4 4
arcsen (2 )4( ) 2 arcsen (2 ) . 8
1 4 1 4
xxf x x x
x x
−
−
′ = − = −
− −
. 
_______________________________________________________________________________________

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