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Fundação CECIERJ Cálculo II – EP04 Solução do Exercício 1 a) ( ) ln ( 1)f x x= + Como a função logarítmica domínio de f é o conjunto 1 0}{ | xx + > =∈R�� { |x∈ Vamos esboçar o gráfico de (veja notas de aula do EP04 na Figura 4.1. Deslocando horizontalmente gráfico da função ( ) ln( 1)f x x= b) ( ) ln | |f x x= Como a função logarítmica natural função valor absoluto é sempre maior ou igual que zero Solução do Exercício 1 Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância Derivadas Como a função logarítmica natural é definida somente para os números positivos então o é o conjunto 1} ( 1, ){ | xx > − = − +∞∈R�� Vamos esboçar o gráfico de f em etapas. Estamos usando as transformações de funções notas de aula do EP04, páginas 17 e 18). Começamos pelo gráfico de Figura 4.1 horizontalmente o gráfico anterior em 1 unidade para a esquerda ( ) ln( 1)f x x += (veja Figura 4.2). Figura 4.2 natural é definida somente para os números positivos e é sempre maior ou igual que zero obtemos então que o domínio de Vice Presidência de Educação Superior a Distância dAuxiliar (2016/1) Revisão de Derivadas é definida somente para os números positivos então o transformações de funções o gráfico de lny x= dado 1 unidade para a esquerda obtemos o é definida somente para os números positivos e por outro lado a que o domínio de f é o Cálculo II EP04 Auxiliar (Revisão de derivadas) – Tutor 2016/1 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P á g in a 2 conjunto 0}{ | {0}xx ≠ =∈ −R�� R� . Podemos ver também que é uma função par, pois ( ) ln | | ln | | ( )f x x x f x− = − = = para todo 0x ≠ , então existe simetria do gráfico em relação ao eixo y . Como ln 0( ) ln | | ln( ) 0 x xf x x x x > = = − < podemos ver na Figura 4.3 que o gráfico tem dois ramos e cada ramo é a imagem espelhada do outro. Figura 4.3 c) 3( ) log ( 1)f x x= − Como a função logarítmica de base 3 é definida somente para os números positivos então o domínio de f é o conjunto 1 0} 1} (1, ){ | { |x xx x− > = > = +∞∈ ∈R�� R�� Vamos esboçar o gráfico de f em etapas. Estamos usando as transformações de funções (veja notas de aula do EP04, páginas 17 e 18). Começamos pelo gráfico de 3logy x= dado na Figura 4.4. Figura 4.4 Deslocando horizontalmente o gráfico anterior em uma unidade para a direita obtemos o gráfico da função 3( ) log ( 1)f x x −= (veja Figura 4.5). Cálculo II EP04 Auxiliar (Revisão de derivadas) – Tutor 2016/1 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P á g in a 3 Figura 4.5 d) ( ) xf x e−= Lembremos que o domínio da função exponencial natural xy e= é o conjunto R , o gráfico é mostrado na Figura 4.6 Figura 4.6 Fazendo uma reflexão em torno do eixo y do gráfico de xy e= obtemos o gráfico de ( ) xf x e−= (veja Figura 4.7). O domínio de f é também o conjunto R . Figura 4.7 Cálculo II EP04 Auxiliar (Revisão de derivadas) – Tutor 2016/1 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P á g in a 4 e) | |( ) xf x e= Como a função exponencial natural é definida para todo número real e por outro lado a função valor absoluto é sempre maior ou igual que zero obtemos então que o domínio de f é o conjunto R�. Podemos ver também que é uma função par, pois | | | |( ) ( )x xf x e e f x−− = = = para todo ,x ∈R então existe simetria do gráfico em relação ao eixo y . Como | | 0( ) 0 x x x xf x x e e e− ≥ = = < , podemos ver na Figura 4.8 o gráfico da função pedida. Figura 4.8 f) 1( ) xf x e −= Lembremos que o domínio da função exponencial natural xy e= é o conjunto R , o gráfico é mostrado na Figura 4.6. Deslocando horizontalmente o gráfico da função xy e= em uma unidade para a direita obtemos o gráfico da função ( 1)( ) xf x e −= (veja Figura 4.9). E claro que o domínio de f é também o conjunto R Figura 4.9 g) 21( ) ) 5 ( xf x += Cálculo II EP04 Auxiliar (Revisão de derivadas) – Tutor 2016/1 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P á g in a 5 Lembremos que o domínio da função exponencial 1( ) 5 xy = de base 10 1 5 < < é o conjunto R , o gráfico é mostrado na Figura 4.10 Figura 4.10 Deslocando horizontalmente o gráfico anterior em 2 unidades para a esquerda obtemos o gráfico da função 2 1( ) ) 5 ( xf x += (veja Figura 4.11). Figura 4.11 Observe também que neste caso por propriedades da função exponencial sabemos que { 2 21 1 1 1 1( ) ) ) ) ) 5 5 5 25 5 ( ( ( (x x x A f x + = == assim podemos também neste caso olhar a função f dada como sendo uma compressão ou redução vertical de 1( ) 5 xy = onde 10 1 25 A< = < . h) | | 1( ) 3)( xf x += Como a função exponencial de base 3 1> , é definida para todo número real e por outro lado a função valor absoluto é sempre maior ou igual que zero obtemos então que o domínio de f é o conjunto .R Podemos ver também que é uma função par, pois | | 1 | | 1( ) ( 3) ( 3) ( )x xf x f x− + +− = = = para todo ,x ∈R então existe simetria do gráfico em relação ao eixo y . Observe que | | 1 1 1 3) ( 3) 0( ) ( 3) 0 ( x x x xf x x + + − + ≥ = = < (*) Cálculo II EP04 Auxiliar (Revisão de derivadas) – Tutor 2016/1 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P á g in a 6 Lembremos que o domínio da função exponencial ( 3)xy = de base 3 1> é o conjunto R , o gráfico é mostrado na Figura 4.12. Figura 4.12 Deslocando horizontalmente o gráfico anterior em 1 unidades para a esquerda obtemos o gráfico da função 1( ) 3)( xf x += (veja Figura 4.13). Figura 4.13 Por outro lado, fazendo uma reflexão em torno do eixo y do gráfico de 3)( xy = obtemos o gráfico de 3)( xy −= (veja Figura 4.14). O domínio desta função também é o conjunto R . Figura 4.14 Cálculo II EP04 Auxiliar (Revisão de derivadas) – Tutor 2016/1 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P á g in a 7 Deslocando horizontalmente o gráfico anterior em 1 unidades para a direita obtemos o gráfico da função 1 ( 1)( ) 3) 3)( (x xf x − + − −== (veja Figura 4.15). Figura 4.15 Assim finalmente podemos ver na Figura 4.16 o gráfico da função (*). Figura 4.16 Observemos também que neste caso por propriedades da função exponencial sabe-se que | | 1 | |( ) 3) 3) 3) ( 3) ( 3) 0 ( 3) ( 3) 0 ( ( (x x x x f x x x + − = ≥ = < = , assim podemos neste caso também olhar a função f dada como sendo uma ampliação ou alongamento vertical (onde 3 1A = > ) da função | |( 3) xy = cujo gráfico aparece na Figura 4.17. O gráfico final da função f assim considerada é mostrado na Figura 4.18. Observe que o gráfico obtido na Figura 4.16 é o mesmo que o obtido na Figura 4.18, o qual é correto já que a função f é a mesma. Cálculo II EP04 Auxiliar (Revisão de derivadas) – Tutor 2016/1 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P á g in a 8 Figura 4.17 Figura 4.18 _______________________________________________________________________________________ Solução do Exercício 2: a) ( ) ln ( 1)f x x= + Como a função logarítmica natural é definida somente para os números positivos então o domínio de f é o conjunto 1 0}{ | xx + > =∈R�� 1} ( 1, ){ | xx > − = − +∞∈R�� Seja ( ) 1g x x= + ( ) 0g x > para todo 1x > − . Como lnf g= o para todo 1x > − , segue pela regra da cadeia g é derivável para todo 1x > − e 1( ) (ln ) ln ( ( )) ( ) 1 f x g g x g x x ′ ′ ′ ′= = = + o para todo 1x > − . b) ( ) ln | |f x x= Como a função logarítmica natural é definida somente para os números positivos e poroutro lado a função valor absoluto é sempre maior ou igual que zero obtemos então que o domínio de f é o conjunto 0}{ | {0}xx ≠ =∈ −R�� R� . Afirmamos que se 0x ≠ então 1( ) (ln | |)df x x dx x ′ = = Com efeito, se 0x > , então | |x x= e o resultado segue da proposição 7.1 do caderno didático. Se 0x < , então | | 0x x= − > e temos 1 1( ) (ln( ))df x x dx x x − ′ = − = = − . c) 2( ) ln ( 4 5)f x x x= − + Como a função logarítmica natural é definida somente para os números positivos então o domínio de f é o conjunto 2 4 5 0}{ | xx x − + >∈R�� Observe que função 2 2 24 5 ( 4 4) 1 ( 2) 1x x x xy x − + = − + + = − += é uma quantidade sempre maior que zero, assim o domínio de f é o conjunto R . Seja 2( ) 4 5g x xx= − + definida em R .Como lnf g= o segue pela regra da cadeia g é derivável para todo x ∈� e 2 2 4( ) (ln ) ln ( ( )) ( ) 4 5 xf x g g x g x x x − ′ ′ ′ ′= = = − + o para todo x∈R�. d) ( ) ln( )f x x= − Solução do Exercício 2: Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P á g in a 9 Cálculo II EP04 Auxiliar (Revisão de derivadas) – Tutor 2016/1 Como a função logarítmica natural é definida somente para os números positivos obtemos que Dom ( ,0)f = −∞ . Assim 1 1( ) (ln( ))df x x dx x x − ′ = − = = − . e) 3( ) log ( 1)f x x= − Como a função logarítmica na base 3 é definida somente para os números positivos obtemos que o domínio de f é o conjunto 1 0}{ | xx − > =∈R�� 1} (1, ){ | xx > = +∞∈R�� Seja ( ) 1g x x= − , ( ) 0g x > para todo 1x > . Como 3( ) (log )( )f x g x= o para todo 1x > , segue pela regra da cadeia que é derivável f e 3( ) log ( ( )) ( )f x g x g x′ ′ ′= = 3 1 1 1log ( 1)1 ln 3 ( 1) ( 1) ln 3x x x′ − = ⋅ =− − f) 2 2( ) log ( 1)f x x x= + + Como a função logarítmica na base 2 é definida somente para os números positivos obtemos que o domínio de f é o conjunto 2 1 0}{ | xx x + + >∈R�� . Observe que função 2 2 21 3 1 31 ( ) ( ) 0 4 4 2 4 x x x xy x + + = + + + = + + >= é uma quantidade sempre maior que zero, assim o domínio de f é o conjunto R , assim o domínio de f é o conjunto R .Seja 2( ) 1g x x x= + + , ( ) 0g x > para todo x ∈R . Como 2( ) (log )( )f x g x= o para todo x ∈R , segue pela regra da cadeia que é derivável f e 2( ) log ( ( )) ( )f x g x g x′ ′ ′= = 22 2 2 1 (2 1) (2 1)log ( 1) (2 1) ln 2 ( 1) ( 1) ln 2 x x x x x x x x x + + ′ + + + = ⋅ = + + + + . g) 2 1( ) x xf x e + += Lembremos que o domínio da função exponencial natural xy e= é o conjunto R , seja 2( ) 1g x x x= + + , g é derivável em R e ( ) 2 1g x x′ = + . Como ( )( ) g xf x e= para todo x ∈R , segue pela regra da cadeia que f é derivável em R e 2( ) 1( ) (2 1)( ) g x x xg x xf x e e + +′ = +′ = para todo x ∈R . h) 2 1( ) x xf x e += Lembremos que o domínio da função exponencial natural xy e= é o conjunto R , seja 2( ) 1 xg x x = + , g é derivável em R e 2 2 2 2 2 2 ( 1)1 (2 ) 1( ) ( 1) ( 1) x x x xg x x x + − − ′ = = + + . Como ( )( ) g xf x e= para todo x ∈R , segue pela regra da cadeia que f é derivável em R e 2 2 ( ) 1 2 2 (1 )( ) ( 1)( ) x g x x xg x x f x e e + −′ = + ′ = para todo x ∈R . i) tg( ) x xf x e = Lembremos que o domínio da função exponencial natural xy e= é o conjunto R e 0xe > para todo x ∈R . Por outro lado o domínio da função tangente é 3 , ,...} 2 2 { |x x pi pi≠ ± ±∈R�� . Assim Cálculo II EP04 Auxiliar (Revisão de derivadas) – Tutor 2016/1 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P á g in a 1 0 o domínio de f é o conjunto 3, ,...} 2 2 { |x x pi pi≠ ± ±∈R�� . Por outro lado no domínio anteriormente mencionado temos que tg( ) x xf x e = é o quociente de duas funções deriváveis e ( ) 2 2 2 2 (tg ) (tg ) (sec ) (tg )( ) sec tg x x x x x xx x x e x x ef x x x e e e ee ′ − − ′ = = − = . j) 2 4( ) ) 2 1( x xf x −= Lembremos que o domínio da função exponencial de base 10 1 2 < < é o conjunto R e ) 0 2 1( xy >= para todo x ∈R . Seja 2( ) 4 xg x x = − , g é derivável em { 2,2}− −R� e 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 4)1 (2 ) 4 ( 4)( ) ( 4) ( 4) ( 4) x x x x xg x x x x − − − − + ′ = = = − − − − . Como ( )) 2 1( ) ( g xf x = para todo { 2,2}x ∈ − −R� , segue pela regra da cadeia que f é derivável em { 2,2}− −R� e 2 2 2 2 ( ) 4 4 2 2 2 2 ( 4) 1 ( 4) ln 2) ( ) ln ) ln 2 )( 4) 2 2( 4)2 2 2 2 1 1( ) ( 1 1( ( x x g x x xx xg x x x f x − − + + ′ − − = − − ′ = = para todo { 2,2}x ∈ − −R� . k) 2 log( ) 3 xf x = Lembremos que o domínio da função exponencial de base 3 1> é o conjunto R e note que 3 0xy >= para todo x ∈R . Seja 2( ) logg x x= , é claro que g é derivável em (0, )+∞ e 1( ) ln 2 g x x ′ = . Como 2 log( ) 3 xf x = para todo (0, )x∈ +∞ , segue pela regra da cadeia que f é derivável em (0, )+∞ e 22 2log logln 3(log ) ln 3 ln 2( ) 3 3 x x x x f x ′ =′ = l) ( ) xf x x= (0, );x ∈ +∞ Seja (0, )I = +∞ , :h I →R onde ( )h x x= é uma função derivável em I tal que ( ) 0h x > para todo x I∈ e :g I → R onde ( )g x x= é uma função derivável em I . Então a função ( )( ) ( ( ))g x xf x h x x== é derivável em I e ( ) ( )ln( ( )) ln( ) ( ( ))g x g x h x x xf x h x e e= = = para todo x I∈ , segue da regra da cadeia que f é derivável em I e ln ln ln1( ) ( ln ) ( ln ) (1 ln ) (1 ln )x x x x x x xf x x x x x x x x e e e x′ ′ = + = + = += . m) 3 27 6( ) x xxf x x − += (0, );x ∈ +∞ Seja (0, )I = +∞ , :h I →R onde ( )h x x= é uma função derivável em I tal que ( ) 0h x > para todo x I∈ e :g I → R onde 3 2( ) 7 6g x x xx − += é uma função derivável todo R em particular em I . Então a função 3 2( ) 7 6( ) ( ( ))g x x xxf x h x x − += = é derivável em I e 2 27 6 )( ) ( )ln( ( )) ( ln( ) ( ( )) x xg x g x h x x xf x h x e e − += = = para todo x I∈ , segue da regra da cadeia que f é derivável em I e Cálculo II EP04 Auxiliar (Revisão de derivadas) – Tutor 2016/1 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P á g in a 1 1 ( )3 23 2( 7 6 )ln( ) ( 7 6 ) lnx x x xf x x x x xe − + ′′ − += ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 2 7 6 3 2 2 7 6 2 2 3 2( 7 6 )ln( ) ( 7 6 )(ln ) (ln )(3 14 6) 1( ) ( 7 6 ) (ln )(3 14 6) ( ) ( 7 6) (ln )(3 14 6) . x x x x x x x x x xf x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x e − + − + − + ′ ′= − + + − + ′ = − + + − + ′ = − + + − + ________________________________________________________________________________ Solução do Exercício 3: No Cálculo I, você estudou (na Aula 29 do caderno didático n°2) as funções trigonométricas inversas e suas derivadas. Lembre que: ( ) 2 1 arcsen , 1 x x ′ = − para 1x < , ( ) 2 1 arccos , 1 x x ′ = − − para 1x < ( ) 21arctg 1x x′ = + ( ) 2 1 arcctg 1 x x ′ = − + ( ) 2 1 arcsec | | 1x x x ′ = − , para 1x > , ( ) 2 1 arccossec | | 1x x x ′ = − − , para 1x > . a) 1( ) arccos( ) arcsec( )f x x x = + , 0x ≠ e 1x ≤ ( ) 1( ) arccos( ) arcsec( )f x x x ′ ′ ′ = + . Observe que arccos( )x é derivável para 1x < e como 0x ≠ então 1 x esta bem definida e podemos ver que 1 1 x > , assim 1 arcsec( ) x é derivável para 1x < e 0x ≠ . Segue das regras de derivação e da regra da cadeia em cada somando que 2 2 1 1 1( ) 1 11 | | 1 f x xx x x ′ ′ = − + − − 22 2 1 1 1 1 11 | | 1 xx x x = − + − − − . 22 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 11 1 1 1 1| | xx x x x x x x = − + − = − − = − − − − − − . b) ( ) arcsen(tg )f x x= Da regra de derivação de arcsen( )x e da regra da cadeia temos ( ) 2 2 2 (tg ) sec( ) arcsen(tg ) 1 (tg ) 1 (tg ) x xf x x x x ′ ′ ′ = = = − − . Observe que neste caso arcsen( )x é derivável para valores de x tais que tg 1x < . c) ( ) sen (arctg ( ))f x x= Da regra de derivação de sen e da regra da cadeia temos Solução do Exercício 3: Cálculo II EP04 Auxiliar (Revisão de derivadas) – Tutor 2016/1 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P á g in a 1 2 ( )( ) sen (arctg ( )) cos(arctg ( )).(arctg ( ))f x x x x′′ ′= = 21cos(arctg ( )). 1x x = + . Observe que neste caso arc tg( )x é derivável para todo x real. d) 2( ) arccossec ( )f x x= ( )2( ) arccossec ( )f x x ′′ = Da formula da derivada de arccossec e a regra da cadeia temos que 2 2 2 2 2 4 ( ) 2( ) | | ( ) 1 | | 1 x xf x x x x x ′ ′ = − = − − − . Observe que neste caso arccossec é derivável para valores de x tais que 2 1x > . e) ( ) 22( ) arcsen (2 )f x x −= . ( ) 22( ) arcsen (2 )f x x − ′ ′ = Pela Regra da Cadeia temos que ( ) ( )32 2( ) 2 arcsen (2 ) . arcsen (2 )f x x x− ′′ = − Observe que neste caso arcsen é derivável para valores de x tais que 22 1x < . ( ) ( )( ) 2 32 22 2( ) 2 arcsen (2 ) . 1 2 xf x x x − ′ ′ = − − ( ) ( ) 32 32 4 4 arcsen (2 )4( ) 2 arcsen (2 ) . 8 1 4 1 4 xxf x x x x x − − ′ = − = − − − . _______________________________________________________________________________________
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