Exercícios Programados 06-C2-2016-1-Aluno

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
Cálculo II – EP06 (2016/1) 
Observação 
Como material complementar e em arquivo adicional, você encontrará na Semana 6 do caderno da 
coordenação exercícios resolvidos sobre a Integral Indefinida e Técnicas de Integração: Método de 
Integração por Partes. No apêndice 4, procure a semana 6, nela você encontrará exercícios adicionais 
referentes ao tema. 
 
Método de Integração por Partes: 
Continuando com o tema de Técnicas de Integração, nesta semana veremos o método de integração por 
partes. 
Como visto na aula 19 do caderno didático, o método de integração por partes provém da regra de 
derivação do produto de funções, juntamente com o T.F.C. e tem a seguinte fórmula de aplicação prática 
 
udv uv vdu  
 (*) 
 
O caso de aplicação deste método é aquele em que se deseja obter a primitiva de um produto de funções 
da forma 
( ). '( )f x g x dx
, ou seja, um dos fatores do integrando é a derivada de alguma função conhecida. 
O objetivo da fórmula (*) é transformar o problema de calcular a primitiva 
udv
, naquele de calcular 
vdu
. Esta última deve ser uma integral mais fácil ou equivalente à primeira. 
Vejamos alguns exemplos de aplicações: 
 
Exemplo 1 (Aplicações Imediatas): 
a) 
xxe dx
 . Faça (*)
x x x x x
x x
u x du dx
xe dx xe e dx xe e C
dv e dx v e
  
       
  
 
 
 
b) 
ln xdx
 . Faça 
 *1
ln
ln ln ln
u x du dx
xdx x x dx x x x Cx
dv dx
v x

  
       
  
 
 
 
Exemplo 2 (Aplicações Múltiplas): 
 
2 xx e dx
 . Faça (*)2
2 2
( )
2
2x x x
xx
I
du x dxu x
x e dx x e xe dx
v edv e dx
  
    
 
 
 (i) 
 
Repetindo o método na integral (I), faça 
 
(*)
2 2
2 2 2 2 2x x x x x
x x
u x du dx
xe dx xe e dx xe e C
dv e dx v e
  
       
  
 
 
 
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Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a2
 
Substituindo esta última em (i), fica 
 2 2 22 2 2 2x x x x xx e dx x e xe e C e x x C         
 
 
Exemplo 3 (Aplicações Repetidas): 
 
xe sen xdx
. Faça 
(*)
( )
cos cos cos cos
cos
x x
x x x x x
I
u e du e dx
e sen xdx e x e xdx e x e xdx
dv sen xdx v x
  
         
   
  
 (i) 
 
Reaplicando o método de Integração por Partes em (I), faça 
 
cos
xx du e dxu e
v senxdv xdx
   
 
  
 . Tem-se portanto 
cosx x xe xdx e senx e senxdx  
. Substituindo-se 
 
esta última em (i), fica: 
 
cosx x x xe sen xdx e x e senx e senxdx    
. Note que as duas integrais que aparecem nesta última 
expressão são justamente aquela que se deseja calcular no exemplo. Colocando ambas no lado esquerdo 
da equação , temos: 
 
1
2 cos ( cos )
2
x x x x xe sen xdx e x e senx e sen xdx e senx x C       
 
 
Assim, o problema na aplicação deste método, em geral, é o de determinar que funções farão os papeis de 
u
 e 
v
 na fórmula (*). A prática com os exercícios deverão sanar estas dúvidas. 
 
 
 
Exercício 1: Calcule as seguintes integrais: 
a)
 
43 xxe dx
 
b) 
27 csc (3 )t t dt
 c) 
2 5.2 xx dx 
 d) 2 2
3
1
(ln )x
dx
x 
 
 
Exercício 2: Calcule as seguintes integrais: 
a) 
3 cos 2te t dt
 b) 
23 3x sen x dx
 
 
 
 
 
Exercício3: Verifique , usando integração por partes: 
a) 
6 5 3 21 5 5cos cos
6 24 8
sen xdx sen x x sen x x sen xdx    
 
b) 
5 4 21 4 8cos cos . cos .
5 15 15
xdx x sen x x sen x sen x C   
 
 
c) Use o item (b) para obter a primitiva 
( )F x
 da função 
5cosy x
 tal que 
4
6 15
F
 
 
 
 
 
 
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P
ág
in
a3
 
Exercício 4: Neste exercício, primeiro faça uma substituição conveniente e, na sequência, use integração 
por partes para calcular 
a) 
3 2
/2
t sen(t )dt 



 b) /2
2cos
0
2xe sen x dx


 
 
 
Exercício 5: Sem expandir o binômio no integrando, use integração por partes para calcular a integral 
definida 
 
1
4 3
0
(1 )x x dx
 
 
 Uma ótima semana para todos! 
 Profs. Acir e Sonia