AP1_2012 1º GABARITO

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ME´TODOS DETERMINI´STICOS - AP1 - 2012.1
Questa˜o 1 (1,5 pontos). Uma empresa teve seus lucros anuais reduzidos em 20% no ano
de 2011 (lucrou neste ano 20% a menos do que em 2010). Para compensar esta reduc¸a˜o nos
lucros, a empresa esta´ realizando cortes de gastos e tentando atingir novos consumidores.
Para que os ganhos de 2012 voltem ao mesmo n´ıvel que os de 2010, os lucros de 2012 devem
ser quantos porcento superiores aos de 2011?
Soluc¸a˜o:
Vamos chamar de L o lucro obtido em 2010. Em 2011 a empresa lucrou apenas 0, 8L
(pois lucrou 20% a menos que no ano anterior). Para que os ganhos voltem a L em 2012, a
empresa deve lucrar 0,2L a mais que no ano anterior (quando lucrou 0, 8L). Como sabemos,
0,2L e´ um quarto ou 25% de 0, 8L. Logo os lucros de 2012 devem ser 25% superiores aos de
2011 para retornar ao mesmo n´ıvel de 2010.
Questa˜o 2 (3 pontos). Sejam A = {10, 11} e B = {11, 12} Em cada item abaixo, escreva
por extenso a proposic¸a˜o dada, decida se e´ verdadeira ou falsa e justifique suas resposta
analisando os elementos dos conjuntos em questa˜o.
a) ∃x ∈ A, ∃y ∈ B; x = y
Existe x pertencente a A e existe y pertencente a B tais que x e´ igual a y.
Proposic¸a˜o verdadeira. Basta tomar x = 11 e y = 11.
b) ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, x < y;
Para todo x pertencente a A e para todo y pertencente a B, x e´ menor que y.
Proposic¸a˜o falsa. Tomando x = 11 e y = 11, vemos que na˜o vale x < y.
1
c) ∀x ∈ A, ∃y ∈ B; y = x+ 1;
Para todo x pertencente a A, existe y pertencente a B tal que y e´ igual a x mais um.
Proposic¸a˜o verdadeira. Para x = 10 tomamos y = 11 e temos que x = y + 1. Para
x = 11 tomamos y = 12 e temos que x = y + 1.
d) ∃y ∈ B; ∀x ∈ A, y = x+ 1;
Existe y pertencente a B tal que para todo x pertencente a A, y e´ igual a x mais um.
Proposic¸a˜o falsa. Vemos que y = 11 na˜o e´ igual a x+1 para todo x em A (basta tomar
x = 11). Tambe´m o y = 12 na˜o satisfaz a proposic¸a˜o, ja´ que para x = 10 na˜o vale
x+ 1 = 12.
Questa˜o 3 (3 pontos). Tome como premissas as seguintes proposic¸o˜es sobre um conjunto
C:
1) C ⊂ N;
2) Se 5 e´ elemento de C, enta˜o todos os naturais mu´ltiplos de 5 tambe´m sa˜o elementos
de C;
3) Se 10 e´ elemento de C, enta˜o 20 na˜o e´ elemento de C;
4) Se 3 e´ elemento de C enta˜o 5 tambe´m pertence a C;
A partir das premissas dadas, indique se a proposic¸a˜o em cada item abaixo expressa uma
conclusa˜o va´lida ou na˜o sobre o conjunto C e justifique sua resposta.
a) 5 pertence a C.
Na˜o expressa conclusa˜o va´lida. Pela premissa 2 vemos que 10 e 20 na˜o podem pertencer
a C simultaneamente, logo 5 na˜o pode pertencer a C (pois pela primeira premissa, se
5 ∈ C enta˜o todos os mu´ltiplos de 5 tambe´m deveriam pertencer a C).
2
b) 10 pertence a C e 20 na˜o pertence a C.
Na˜o expressa conclusa˜o va´lida. Observe que, por exemplo, o conjunto A = {20} satisfaz
todas as premissas dadas. Logo na˜o podemos concluir que 10 pertence a C nem que
20 na˜o pertence (e muito menos que estas duas coisas acontecem simultaneamente).
c) 3 na˜o pertence a C.
Conclusa˜o va´lida. Conforme ja´ vimos no item a), 5 na˜o pode pertencer a C. Mas pela
premissa 4, se 3 pertencer a C, 5 tambe´m tem que pertencer. Logo conclu´ımos que 3
na˜o pertence a C.
d) Existe algum elemento em C que e´ mu´ltiplo de 5.
Na˜o expressa conclusa˜o va´lida. Basta observar que, por exemplo, o conjunto B = {2, 4}
satisfaz todas as premissas dadas. Logo na˜o podemos concluir que existe em C algum
mu´ltiplo de 5.
e) Nenhum elemento de C e´ mu´ltiplo de 5.
Na˜o expressa conclusa˜o va´lida. Como ja´ vimos no item b), por exemplo, o conjunto
A = {20} satisfaz todas as premissas dadas. Logo na˜o podemos concluir que na˜o existe
em C nenhum mu´ltiplo de 5.
f) Todos os mu´ltiplos de 5 sa˜o elementos de C.
Na˜o expressa conclusa˜o va´lida. Como ja´ vimos no item d) na˜o e´ poss´ıvel nem mesmo
afirmar, a partir das premissas dadas, que existe em C um mu´ltiplo de 5. Logo na˜o po-
demos de forma alguma concluir que todos os mu´ltiplos de 5 pertencem a C (considere,
por exemplo, os conjuntos A e B ja´ citados).
Questa˜o 4 (2,5 pontos). Resolva as expresso˜es:
a) −
7
10
−
2
10
÷
(
3
12
+
1
8
)
+
(
7
5
+
1
15
)
×
6
9
−
4
9
3
b)
15a2 − 5a
5ab
·
20b2
3a− 1
+ (b12)1/3 · b−2
a)
−
7
10
−
2
10
÷
(
3
12
+
1
8
)
+
(
7
5
+
1
15
)
×
6
9
−
4
9
= −
7
10
−
1
5
÷
(
2
8
+
1
8
)
+
(
21
15
+
1
15
)
×
6
9
−
4
9
= −
7
10
−
1
5
÷
3
8
+
22
15
×
6
9
−
4
9
= −
7
10
−
1
5
×
8
3
+
22
5
×
2
9
−
4
9
= −
7
10
−
8
15
+
44
45
−
4
9
= −
21
30
−
8
15
+
44
45
−
20
45
= −
21
30
−
8
15
+
24
45
= −
21
30
−
8
15
+
8
15
= −
21
30
b)
15a2 − 5a
5ab
·
20b2
3a− 1
+ (b12)1/3 · b−2
=
5a(3a− 1)
5ab
·
20b2
3a− 1
+ b4 · b−2
=
3a− 1
b
·
20b2
3a− 1
+ b2
= 20b+ b2
4