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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO CEARÁ - CAMPUS CEDRO Professor: Ms. Maxwell de Sousa Pita Aluno (a): Turno: Curso: Período: Carga Horária: 80 Horas Notas de Aula de Cálculo I UNIDADE I 1 Limites 1 Limites 1.1 Noção Intuitiva de Limite Quando estamos realizando o estudo de funções, nossa primeira preocupação deve ser o seu domínio (condição de existência), afinal, só faz sentido utilizá-la nos pontos onde esteja definida. No entanto, em muitos casos, é importante saber como a função se comporta quando a variável está muito próxima de um ponto que não pertence ao seu domínio. E para este estudo, nos valemos da teoria de limites, a qual permite a análise de uma função em uma vizinhança muito próxima de um ponto, sem se preocupar com o valor da função neste ponto. Assim, nos exemplos abaixo estudaremos casos em que a variável esteja próxima de um número a, mas que não seja necessariamente igual a a. Exemplo 1.1 Considere a função f(x) = x3 − 2x2 3x− 6 com a = 2. Note que 2 não está no domínio de f , pois, fazendo x = 2 obtemos a expressão indeterminada 0 0 . A tabela a seguir obtida com uma calculadora, relaciona alguns valores (com oito decimais) para x próximo de 2. x f(x) 1, 9 1, 20333333 1, 99 1, 302003333 1, 999 1, 33200033 1, 9999 1, 33320000 1, 99999 1, 33332000 1, 999999 1, 33333200 x f(x) 2, 1 1, 47000000 2, 01 1, 34670000 2, 001 1, 33466700 2, 0001 1, 33346667 2, 00001 1, 33334667 2, 000001 1, 33333467 Parece que quanto mais próximo de 2 está x, mais próximo de 4 3 está f(x), entretanto não podemos ter certeza disto, porque calculamos apenas alguns valores da função para x próximo de 2. Para obtermos um argumento mais convincente, fatoremos o numerador e o denominador de f f(x) = x2(x− 2) 3(x− 2) . 2 1.1 Noção Intuitiva de Limite Se x 6= 2, podemos cancelar o fator comum x − 2. Assim, temos f(x) = 1 3 x2 e o gráfico de f é a parábola dada por y = 1 3 x2 com o ponto (2, 4 3 ) omitido, conforme a figura abaixo. Exemplo 1.2 Considere a função f(x) = 2x2 + x− 3 x− 1 . com a = 1. Fatorando o numerador obtemos f(x) = (2x+ 3)(x− 1) (x− 1) . Se x 6= 1 podemos dividir numerador e denominador por x− 1 para obter f(x) = 2x+ 3. Note que, quando x se aproxima de 1 tem-se que f(x) se aproxima de 5, ou seja, é possível fazer o valor de f(x) tão próximo de 5 quanto desejarmos, tomando x suficientemente próximo de 1, mas não necessariamente igual a 1. Ou ainda, o valor absoluto da diferença f(x) − 5 tão pequeno quanto desejarmos, tomando o valor absoluto da diferença x − 1 suficientemente pequeno. Uma maneira mais precisa de notar isso é através de dois símbolos para essas pequenas diferenças. Os símbolos comumente usados são as letras gregas � (epsilon) e δ (delta). Assim enunciamos que para todo número � dado positivo existe um número δ escolhido apropriadamente, tal que se |x − 1| for menor do que δ e |x−1| 6= 0 (isto é, x 6= 1), então |f(x)−5| será menor do que �, ou seja, dado um número � > 0 qualquer, existe um número δ > 0 suficientemente pequeno, tal que se 0 < |x−1| < δ então |f(x)− 5| < �. Por exemplo, se |x−1| < 0, 1, então |f(x)−5| = |2x+3−5| = |2x−2| = |2(x−1)| = 2.|x − 1| < 2.0, 1 = 0, 2. Assim, dado � = 0, 2, tomamos δ = 0, 1 e afirmamos que se 0 < |x − 1| < 0, 1 então |f(x) − 5| < 0, 2. Analogamente, se |x − 1| < 0, 001, então 3 2 Definição Formal de Limite |2x + 3 − 5| = 2.|x − 1| < 0, 002. Logo, se � = 0, 002, tomamos δ = 0, 001 e afirmamos que se 0 < |x− 1| < 0, 001 então |f(x)− 5| < 0, 002. Continuando com esse raciocínio podemos atribuir a � qualquer valor positivo, a fim de encontrar um valor adequado para δ, de tal forma que se |x − 1| for menor do que δ e x 6= 1 (ou |x − 1| > 0), então |f(x) − 5| será menor do que �. Podemos, resumir está afirmação da seguinte forma: Para todo � > 0 podemos encontrar um δ > 0, tal que se 0 < |x − 1| < δ, então |f(x) − 5| < �. Nestas condições, afirmamos que o limite de f(x) quando x tende a 1 é igual a 5 ou, em símbolos lim x→1 f(x) = 5. A figura abaixo ilustra o significado geométrico de � e δ. Observação 1.1 Note que f(x) pode se tornar tão próximo de 5 quanto desejarmos, tomando x suficientemente próximo de 1 e essa propriedade da função f não depende do fato de f estar definida em x = 1. 2 Definição Formal de Limite Agora, definiremos o limite de uma função em geral. Definição 2.1 Seja f uma função definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de a é L, e escrevemos lim x→a f(x) = L se para todo � > 0, existe um δ > 0 tal que se 0 < |x− a| < δ então |f(x)− L| < �. 4 2 Definição Formal de Limite Em outras palavras, se x 6= a está variando no intervalo (a − δ, a + δ) então f(x) ∈ (L − �, L + �) sendo � e δ números positivos quaisquer, tão pequenos quanto se possa imaginar. Na maioria dos casos δ dependerá de � e quanto menor o �, menor será o δ. Geometricamente, temos a seguinte representação. A tabela abaixo resume o que foi discutido até agora. Notação Significado Intuitivo Interpretação Geométrica lim x→a f(x) = L Podemos tornar f(x) tão próximo de L quanto qui- sermos, escolhendo x sufici- entemente próximo de a e x 6= a. Exemplo 2.1 Seja f(x) = 3x + 2. Usando a definição formal de limite, mostre que lim x→3 f(x) = 11. Solução: Devemos mostrar que, para todo � > 0, existe um δ > 0, tal que se 0 < |x− 3| < δ então |(3x+ 2)− 11| < �. 5 2.1 Unicidade do Limite O exame da desigualdade envolvendo � proporciona uma chave para a escolha de δ. Assim, temos |3x+ 2− 11| < � |3x− 9| < � |3(x− 3)| < � |3||(x− 3)| < � 3|x− 3| < � |x− 3| < � 3 . A última desigualdade nos sugere a escolha do δ. Assim, fazendo δ = � 3 , obtemos que se 0 < |x− 3| < δ então |(3x+ 2)− 11| < �. Portanto, lim x→3 (3x+ 2) = 11. Exercício 2.1 Dado � = 0, 03, determine um δ > 0 tal que 0 < |x − (−2)| < δ ⇒ |(3x+ 7)− 1| < �. Exercício 2.2 Mostre que: a) lim x→−2 (3x+ 7) = 1 b) lim x→3 (4x− 1) = 11. 2.1 Unicidade do Limite O teorema a seguir estabelece que uma função não pode tender a dois limites diferentes ao mesmo tempo. Ele é chamado de teorema de unicidade, pois garante que se o limite de uma função existir, ele será único. Teorema 2.1 (Unicidade do Limite) Se lim x→a f(x) = L1 e lim x→a f(x) = L2, então L1 = L2. 2.2 Propriedades dos Limites A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites sem apelar para a pesquisa do número δ que aparece na definição formal de limite. Proposição 2.1 (Propriedades dos Limites) Se lim x→a f(x) = L e lim x→a g(x) =M e k ∈ R, então: 6 2.2 Propriedades dos Limites a) lim x→a x = a e lim x→a k = k (k constante); b) lim x→a [f(x)± g(x)] = L±M ; c) lim x→a f(x).g(x) = L.M ; d) lim x→a kf(x) = kL; e) lim x→a f(x) g(x) = L M , M 6= 0; f) Se r e s são inteiros com s 6= 0, então lim x→a [f(x)] r s = L r s , desde que L r s ∈ R; g) lim x→a |f(x)| = |L|; h) lim x→a ln[f(x)] = ln[lim x→a f(x)], se lim x→a f(x) > 0; i) lim x→a sen [f(x)] = sen [lim x→a f(x)]; j) lim x→a cos[f(x)] = cos[lim x→a f(x)]. Exercício 2.3 Seja f : R → R tal que f(x) = ax + b, com a, b ∈ R e a 6= 0 e seja x0 ∈ R. Então, lim x→x0 f(x) = f(x0). Exercício 2.4 Seja f : R → R tal que f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c ∈ R e a 6= 0 e seja x0 ∈ R. Então, lim x→x0 f(x) = f(x0). Teorema 2.2 Se p(x) é um polinômio, digamos p(x) = anx n+an−1xn−1+ . . .+a1x+a0, com a0, a1, . . . , an ∈ R, então lim x→x0 p(x) = p(x0). Teorema 2.3 Se f(x) e q(x) são polinômios e q(x0) 6= 0, então lim x→x0f(x) q(x) = f(x0) q(x0) . Exemplo 2.2 Utilize as propriedades dos limites para obter os seguintes limites: a) lim x→−3 5 Solução: lim x→−3 5 = 5. 7 2.2 Propriedades dos Limites b) lim x→a (2x+ 3) Solução: lim x→a (2x+ 3) = 2a+ 3. c) lim x→√3 x Solução: lim x→√3 x = √ 3. d) lim x→2 (x3 + 4x2 − 3) Solução: lim x→2 (x3 + 4x2 − 3) = lim x→2 x3 + lim x→2 4x2 − lim x→2 3 = 23 + 4.22 − 3 = 8 + 16− 3 = 21. e) lim x→1 x4 − x2 − 1 x2 + 5 Solução: lim x→1 x4 − x2 − 1 x2 + 5 = lim x→1 (x4 − x2 − 1) lim x→1 (x2 + 5) = lim x→1 x4 − lim x→1 x2 − lim x→1 1 lim x→1 x2 + lim x→1 5 = 14 − 12 − 1 12 + 5 = 1− 1− 1 1 + 5 = −1 6 . f) lim x→−2 √ 4x2 − 3 Solução: lim x→−2 √ 4x2 − 3 = √ lim x→−2 (4x2 − 3) = √ lim x→−2 4x2 − lim x→−2 3 = √ 4(−2)2 − 3 = √16− 3 = √ 13. Exemplo 2.3 Determine lim x→4 f(x) onde f(x) = x− 3, se x 6= 45, se x = 4 Solução: Quando calculamos lim x→4 f(x) estamos considerando valores de x próximos de 4, mas não iguais a 4. Assim, lim x→4 f(x) = lim x→4 (x− 3) = 1. 8 2.2 Propriedades dos Limites Nos casos em que, aplicando as propriedades dos limites obtemos uma expressão do tipo 0 0 , que chamamos de indeterminação, temos que utilizar algum recurso algébrico para eliminar a indeterminação e determinar, se existir, o limite. Exemplo 2.4 Determine os seguintes limites. a) lim x→1 x2 − 1 x− 1 Solução: Neste caso, não podemos aplicar a propriedade do quociente pois temos uma indeterminação do tipo 0 0 . Porém se fatorarmos o numerador obtemos x2 − 1 x− 1 = (x+ 1)(x− 1) x− 1 = x+ 1 para x 6= 1. Como no processo de limite os valores de x considerados são próximos de 1, mas diferentes de 1, temos lim x→1 x2 − 1 x− 1 = limx→1(x+ 1) = 2 b) lim x→1 x2 + x− 2 x2 − x Solução: Assim como no item anterior, aqui temos uma indeterminação do tipo 0 0 . Neste caso, podemos fatorar o numerador e o denominador x2 + x− 2 x2 − x = (x− 1)(x+ 2) x(x− 1) = x+ 2 x para x 6= 1. Logo, obtemos lim x→1 x2 + x− 2 x2 − x = limx→1 x+ 2 x = 3 1 = 3. c) lim x→4 √ x− 2 x− 4 Solução: Novamente, temos uma indeterminação do tipo 0 0 . Neste caso, para simplicar o quociente, racionalizamos o numerador multiplicando o numerador e o denominador por √ x+ 2. Assim, temos √ x− 2 x− 4 = ( √ x− 2)(√x+ 2) (x− 4)(√x+ 2) = x− 4 (x− 4)(√x+ 2) = 1√ x+ 2 para x 6= 4. 9 3 Teorema do Confronto Logo, lim x→4 √ x− 2 x− 4 = limx→4 = 1√ x+ 2 = 1 4 . Exercício 2.5 Calcule os seguintes limites: a) lim x→0 √ 6 + x−√6 x b) lim x→3 x2 − 4x+ 3 x2 − 9 c) limt→0 √ 25 + 3t− 5 t . 3 Teorema do Confronto Se não pudermos obter o limite de uma função diretamente, talvez possamos obtê-lo indiretamente utilizando o teorema do confronto. Teorema 3.1 (Teorema do Confronto) Sejam f , h e g funções tais que f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em x = a, e se lim x→a f(x) = lim x→a g(x) = L então, lim x→a h(x) = L. Exemplo 3.1 Sabendo que 1 − x 2 4 ≤ f(x) ≤ 1 + x 2 2 , para qualquer x 6= 0. Determine lim x→0 f(x). Solução: Como lim x→0 ( 1− x 2 4 ) = 1 e lim x→0 ( 1 + x2 2 ) = 1 pelo Teorema do Confronto, temos que lim x→0 f(x) = 1. Exemplo 3.2 Determinar lim x→0 x2 ∣∣∣sen 1x∣∣∣. 10 3 Teorema do Confronto Solução: Usando o Teorema do Confronto, como todos os valores da função seno estão entre −1 e 1, temos 0 ≤ ∣∣∣sen 1 x ∣∣∣ ≤ 1, ∀ x 6= 0. Multiplicando a desigualdade por x2, temos 0 ≤ x2 ∣∣∣sen 1 x ∣∣∣ ≤ x2, ∀ x 6= 0. Como lim x→0 0 = 0 e lim x→0 x2 = 0, pelo Teorema do Confronto concluímos que lim x→0 x2 ∣∣∣sen 1 x ∣∣∣ = 0. Exemplo 3.3 Mostre que lim x→0 |x|√ x4 + 4x2 + 7 = 0. Solução: Note que, 0 ≤ |x|√ x4 + 4x2 + 7 ≤ |x| como lim x→0 0 = 0 e lim x→0 |x| = 0. Portanto, pelo Teorema do Confronto, temos que lim x→0 |x|√ x4 + 4x2 + 7 = 0. Proposição 3.1 Sejam f e g funções definidas para todo x em um intervalo aberto con- tendo a. Suponha que lim x→a f(x) = 0 e existe K > 0 tal que |g(x)| ≤ K para todo x satisfazendo 0 < |x− a| < δ para algum δ > 0. Então, lim x→a f(x).g(x) = 0. Exercício 3.1 Calcule lim x→0 x sen 1 x . Exercício 3.2 Mostre que se lim x→a |f(x)| = 0, então lim x→a f(x) = 0. Exercício 3.3 Sabendo que −|x| ≤ sen x ≤ |x| para todo x, calcule lim x→0 sen x. Exercício 3.4 Sabendo que 0 ≤ 1− cosx ≤ |x|, para todo x, calcule lim x→0 cosx. 11 4 Limites Laterais 4 Limites Laterais Definição 4.1 Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a, c). Dizemos que um número L é o limite à direita da função f quando x tende para a, e escrevemos lim x→a+ f(x) = L se para todo � > 0, existe um δ > 0 tal que, se a < x < a+ δ então |f(x)− L| < �. Definição 4.2 Seja f uma função definida em um intervalo aberto (d, a). Dizemos que um número L é o limite à esquerda da função f , quando x tende para a, e escrevemos lim x→a− f(x) = L se para todo � > 0, existe um δ > 0 tal que, se a− δ < x < a então |f(x)− L| < �. Observação 4.1 As propriedades dos limites também são válidas para os limites laterais. Exemplo 4.1 Dada a função f(x) = x |x| . Determine limx→0+ f(x) e limx→0− f(x). Solução: Primeiro note que f(x) = 1, se x ≥ 0−1, se x < 0 logo, lim x→0+ x |x| = limx→0+ 1 = 1 e lim x→0− x |x| = limx→0−(−1) = −1. Note que lim x→0− f(x) 6= lim x→0+ f(x). Exemplo 4.2 Dada a função f(x) = (1+ √ x− 3). Determinar, se possível, lim x→3+ f(x) e lim x→3− f(x). 12 4 Limites Laterais Solução: A função dada só é definida para x ≥ 3. Assim, não existe lim x→3− f(x). Para calcular lim x→3+ f(x), podemos aplicar as propriedades dos limites. Temos, lim x→3+ f(x) = lim x→3+ (1 + √ x− 3) = lim x→3+ 1 + lim x→3+ ( √ x− 3) = 1 + √ lim x→3+ (x− 3) = 1 + 0 = 1. Exemplo 4.3 Dada a função f(x) = |x|, determinar lim x→0+ f(x) e lim x→0− f(x). Solução: Se x ≥ 0, então f(x) = x. Logo lim x→0+ f(x) = lim x→0+ x = 0. Se x < 0, então f(x) = −x. Logo lim x→0− f(x) = lim x→0− (−x) = 0. O próximo teorema estabelece uma relação existente entre os limites laterais e o limite de uma função. Teorema 4.1 Se f é uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto pos- sivelmente no ponto a, então lim x→a f(x) = L se, e somente se lim x→a+ f(x) = L e lim x→a− f(x) = L. Exemplo 4.4 Analizando os exemplos anteriores, podemos concluir que: a) Não existe lim x→0 x |x| . b) Não existe lim x→3 (1 + √ x− 3). c) lim x→0 |x| = 0. 13 4 Limites Laterais Exemplo 4.5 Seja f(x) = x2 + 1, se x < 2 2, se x = 2 9− x2, se x > 2 . Determinar, se existirem, lim x→2− f(x), lim x→2+ f(x) e lim x→2 f(x). Esboce o gráfico da função. Solução: Se x < 2, então f(x) = x2 + 1. Portanto, lim x→2− f(x) = lim x→2− (x2 + 1) = 4 + 1 = 5. Se x > 2, então f(x) = 9− x2. Portanto, lim x→2+ f(x) = lim x→2+ (9− x2) = 9− 4 = 5. Como lim x→2− f(x) = lim x→2+ f(x) = 5, concluímos que lim x→2 f(x) = 5. O gráfico de f é dado pela figura abaixo. Exemplo 4.6 Seja f uma função definida por f(x) = x+ 5, se x < −3 √ 9− x2, se − 3 ≤ x ≤ 3 3− x, se x > 3 Determine, se existirem, cada um dos seguintes limites: lim x→−3− f(x), lim x→−3+ f(x), lim x→−3 f(x), lim x→3− f(x),lim x→3+ f(x) e lim x→3 f(x). Solução: Temos que, lim x→−3− f(x) = lim x→−3− (x+ 5) = 2. 14 5 Limites no Infinito e lim x→−3+ f(x) = lim x→−3+ √ 9− x2 = 0. Como lim x→−3− f(x) 6= lim x→−3+ f(x), então lim x→−3 f(x) não existe. Agora temos, lim x→3− f(x) = lim x→3− √ 9− x2 = 0. e lim x→3+ f(x) = lim x→3+ (3− x) = 0. Como lim x→3− f(x) = lim x→3+ f(x), então lim x→3 f(x) = 0. 5 Limites no Infinito Nesta seção vamos considerar limites de funções, quando a variável independente cresce ou diminui indefinidamente. Definição 5.1 Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a,+∞). Denotamos lim x→+∞ f(x) = L quando para qualquer � > 0, existe M > 0 tal que se x > M então |f(x)− L| < �. Definição 5.2 Seja f uma função definida em um intervalo aberto (−∞, b). Denotamos lim x→−∞ f(x) = L quando para qualquer � > 0, existe N < 0 tal que se x < N então |f(x)− L| < �. Observação 5.1 As propriedades dos Limites também são válidas para limites no infi- nito. Teorema 5.1 Se n é um número inteiro positivo, então (i) lim x→+∞ 1 xn = 0. (ii) lim x→−∞ 1 xn = 0. 15 5 Limites no Infinito Exemplo 5.1 Calcule lim x→+∞ ( 5 + 1 x ) . Solução: Temos que lim x→+∞ ( 5 + 1 x ) = lim x→+∞ 5 + lim x→+∞ 1 x = 5 + 0 = 5 Vejamos agora como resolver indeterminações do tipo ±∞ ±∞ . Exemplo 5.2 Determine os seguintes limites: a) lim x→+∞ 4x− 3 2x+ 5 Solução: Neste caso temos uma indeterminação do tipo +∞ +∞ . Assim, vamos dividir o numerador e o denominador por x, obtendo lim x→+∞ 4x− 3 2x+ 5 = lim x→+∞ 4− 3 x 2 + 5 x = 4− 0 2 + 0 = 2. b) lim x→+∞ 5x2 + 8x− 3 3x2 + 2 Solução: Novamente temos uma indeterminação do tipo +∞ +∞ . Assim, vamos dividir o numerador e o denominador por x2, obtendo lim x→+∞ 5x2 + 8x− 3 3x2 + 2 = lim x→+∞ 5 + 8 x − 3 x2 3 + 2 x2 = 5 + 0− 0 3 + 0 = 5 3 . c) lim x→−∞ 11x+ 2 2x3 − 1 Solução: Aqui temos uma indeterminação do tipo −∞ −∞ . Vamos dividir o numerador e o denominador por x3, obtendo lim x→−∞ 11x+ 2 2x3 − 1 = limx→−∞ 11 x2 + 2 x3 2− 1 x3 = 0 + 0 2− 0 = 0. 16 6 Limites Infinitos 6 Limites Infinitos Nesta seção, em vez de exigir que f(x) fique arbitrariamente próximo de um número finito L para todo x suficientemente próximo de a, as definições de limites infinitos exigem que f(x) esteja arbitrariamente longe da origem. Definição 6.1 Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no ponto a. Dizemos que lim x→a f(x) = +∞, se para qualquer M > 0, existe um δ > 0 tal que se 0 < |x− a| < δ então f(x) > M . Definição 6.2 Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no ponto a. Dizemos que lim x→a f(x) = −∞, se para qualquer N < 0, existe um δ > 0 tal que se 0 < |x− a| < δ então f(x) < N . Observação 6.1 O símbolo +∞ (mais infinito) não representa um número real. É ape- nas uma notação para denotar que f(x) cresce sem limite (tomando valores positivos muito grandes) quando x se aproxima de um número real. O símbolo −∞ (menos infi- nito) é usado de modo análogo para indicar que f(x) decresce sem limite (tomando valores negativos muito grandes) quando x se aproxima de um número real. Teorema 6.1 Se n é um número inteiro positivo qualquer, então (i) lim x→0+ 1 xn = +∞. (ii) lim x→0− 1 xn = +∞, se n é par−∞, se n é ímpar . Observação 6.2 As propriedades dos limites também são válidas para limites infinitos, embora devamos tomar cuidado quando combinamos funções envolvendo esses limites. Exemplo 6.1 Determinar lim x→0 (x3 + √ x+ 1 x2 ). Solução: Temos, lim x→0 (x3 + √ x+ 1 x2 ) = lim x→0 x3 + lim x→0 √ x+ lim x→0 1 x2 = 0 + 0 +∞ = +∞. 17 7 Limites Infinitos no Infinito Exemplo 6.2 Determinar lim x→0+ |x| x2 , lim x→0− |x| x2 e lim x→0 |x| x2 . Solução: Para x > 0, temos |x| = x. Assim, lim x→0+ |x| x2 = lim x→0+ x x2 = lim x→0+ 1 x = +∞. Para x < 0, temos |x| = −x. Assim, lim x→0− |x| x2 = lim x→0− −x x2 = lim x→0− −1 x = +∞. Como lim x→0+ |x| x2 = lim x→0− |x| x2 = +∞, conclímos que lim x→0 |x| x2 = +∞. Exemplo 6.3 Verifique que não existe lim x→2 1 x− 2 . Solução: Para x > 2, temos que lim x→2+ 1 x− 2 = +∞. Para x < 2, temos lim x→2− 1 x− 2 = −∞. Exemplo 6.4 Determine os limites laterais da função f(x) = x2 + 3x+ 1 x2 + x− 6 , no ponto a = 2. Solução: Temos lim x→2+ x2 + 3x+ 1 x2 + x− 6 = +∞ e lim x→2− x2 + 3x+ 1 x2 + x− 6 = −∞. 7 Limites Infinitos no Infinito Além dos limites vistos até agora, podemos ainda considerar os casos em que tanto x quanto f(x) tendem para +∞ ou −∞, isto é, limites do tipo lim x→+∞ f(x) = +∞, lim x→+∞ f(x) = −∞, lim x→−∞ f(x) = +∞ e lim x→−∞ f(x) = −∞. Exemplo 7.1 Determine os seguintes limites. 18 8 Assíntotas Verticais e Horizontais a) lim x→−∞ 2x2 − 3 7x+ 4 Solução: Vamos dividir o numerador e o denominador por x, obtendo lim x→−∞ 2x2 − 3 7x+ 4 = lim x→−∞ 2x− 3 x 7 + 4 x = −∞. b) lim x→−∞ −4x3 − 7x 2x2 − 3x− 10 Solução: Vamos dividir o numerador e o denominador por x2, obtendo lim x→−∞ −4x3 − 7x 2x2 − 3x− 10 = limx→−∞ −4x− 7 x 2− 3 x − 10 x2 = +∞. c) lim x→+∞ (3x5 − 4x3 + 1) Solução: Neste caso, temos uma indeterminação do tipo +∞−∞, para determinar o limite utilizamos o seguinte artíficio lim x→+∞ (3x5 − 4x3 + 1) = lim x→+∞ x5 ( 3− 4 x2 + 1 x5 ) = +∞. 8 Assíntotas Verticais e Horizontais Em aplicações práticas, encontramos com muita frequência gráficos que se aproximam de uma reta à medida que x cresce ou decresce. Estas retas são chamadas de assíntotas. Vamos analisar as assíntotas horizontais e verticais. Definição 8.1 A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico da função y = f(x) se lim x→+∞ f(x) = b ou lim x→−∞ f(x) = b. A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico da função y = f(x) se lim x→a+ f(x) = ±∞ ou lim x→a− f(x) = ±∞. Exemplo 8.1 Analisando f(x) = 1 x , podemos observar o seguinte lim x→+∞ 1 x = 0 e lim x→−∞ 1 x = 0 19 8 Assíntotas Verticais e Horizontais Assim, a reta y = 0 é a assíntota horizontal do gráfico de f . Temos também que lim x→0+ 1 x = +∞ e lim x→0− 1 x = −∞ Assim, a reta x = 0 é a assíntota vertical do gráfico de f . Note que o denominador é zero quando x = 0 e que a função não está definida aí. Exemplo 8.2 Encontre as assíntotas do gráfico de f(x) = x+ 3 x+ 2 . Solução: Estamos interessados no comportamento da curva quando x→ ±∞ e quando x→ −2, onde o denominador é zero. Assim, a assíntota horizontal é a reta y = 1, pois lim x→±∞ f(x) = 1 e a assíntota vertical é dada pela reta x = −2, pois x+ 2 = 0 quando x = −2. Exemplo 8.3 Encontre as assíntotas do gráfico de f(x) = − 8 x2 − 4 . 20 9 Limite Fundamental Solução: Estamos interessados no comportamento do gráfico quando x→ ±∞ e quando x→ ±2. Temos que lim x→±∞ f(x) = 0, logo a reta y = 0 é a assíntota horizontal da função. Temos ainda que lim x→2+ − 8 x2 − 4 = −∞, limx→2−− 8 x2 − 4 = +∞, lim x→−2+ − 8 x2 − 4 = +∞ e limx→−2−− 8 x2 − 4 = −∞ logo, a reta x = 2 e a reta x = −2 são assíntotas verticais. Note que as assíntotas verticais são obtidas quando o denominador é zero, assim temos que x2 − 4 = 0 quando x = ±2. 9 Limite Fundamental O seguinte limite é dito limite fundamental. lim x→0 senx x = 1. Exemplo 9.1 Calcule osseguintes limites. a) lim x→0 sen 2x x . Solução: Neste caso, utilizaremos inicialmente alguns artifícios de cálculo como segue lim x→0 sen 2x x = lim x→0 sen 2x x . 2 2 = 2 lim x→0 sen 2x 2x = 2.1 = 2. 21 10 Funções Contínuas b) lim x→0 sen 3x sen 4x . Solução: Temos lim x→0 sen 3x sen 4x = lim x→0 sen 3x 3x .3x sen 4x 4x .4x = 3 4 lim x→0 sen 3x 3x lim x→0 sen 4x 4x = 3 4 . 1 1 = 3 4 . c) lim x→0 tg x x . Solução: Neste caso, temos lim x→0 tg x x = lim x→0 sen x cosx x = lim x→0 sen x x . 1 cosx = lim x→0 sen x x . lim x→0 1 cosx = 1.1 = 1. Exercício 9.1 Determinar lim x→0 x sen x sen (2x2) . Exercício 9.2 Calcule lim x→0 1− cosx x . 10 Funções Contínuas Quando definimos lim x→a f(x) analisamos o comportamento da função f para valores de x próximos de a, mas diferentes de a. Em muitos exemplos vimos que lim x→a f(x) pode existir, mesmo que f não seja definida no ponto a. Se f está definida em a e lim x→a f(x) existe, pode ocorrer que este limite seja diferente de f(a). No entanto, quando lim x→a f(x) = f(a) diremos que a função f é contínua em a. Definição 10.1 Dizemos que uma função f é contínua no ponto a se as seguintes con- dições forem satisfeitas: (i) f está definida no ponto a; (ii) lim x→a f(x) existe; (iii) lim x→a f(x) = f(a). Observação 10.1 Se (iii) é satisfeita, então (i) e (ii) também são verificadas. 22 10 Funções Contínuas Observação 10.2 Se pelo menos uma das condições (i), (ii) ou (iii) não é satisfeita, então f é dita descontínua em a. Exemplo 10.1 Verifique se as seguintes funções são contínuas no ponto a = 1. a) f(x) = x2 − 1 x− 1 . Solução: Verificando a condição (i): A função f não está definida em x = 1. Logo, não satisfaz a condição (i) da Definição 10.1. Portanto, f não é contínua. b) g(x) = x2 − 1 x− 1 , se x 6= 1 1, se x = 1 . Solução: Verificando a condição (i): A função g está definida no ponto a = 1. Verificando a condição (ii): Temos que lim x→1 x2 − 1 x− 1 = limx→1 (x+ 1)(x− 1) x− 1 = limx→1(x+ 1) = 2. Logo, existe lim x→1 g(x). Verificando a condição (iii): Temos que g(1) = 1. Logo, lim x→1 g(x) 6= g(1). Assim, a função g não satisfaz a condição (iii) da Definição 10.1 e portanto não é contínua. Exemplo 10.2 Verifique se a função f dada é contínua no ponto a = 0. f(x) = x |x| , se x 6= 0 0, se x = 0 . Solução: Verificando a condição (i): A função f está definida no ponto a = 0. 23 10 Funções Contínuas Verificando a condição (ii): Temos, Se x > 0, então lim x→0+ f(x) = lim x→0+ 1 = 1. Se x < 0, então lim x→0− f(x) = lim x→0− (−1) = −1. Logo, não existe lim x→0 f(x) e portanto f não é contínua em a = 0. Exemplo 10.3 Verifique que h(x) = x+ 3, se x ≥ −1−x+ 1, se x < −1 é contínua em todos os pontos. Solução: De fato, seja a ∈ R. Se a > −1, temos lim x→a h(x) = lim x→a (x+ 3) = a+ 3 = h(a). Se a < −1, temos lim x→a h(x) = lim x→a (−x+ 1) = −a+ 1 = h(a). Se a = −1, temos lim x→−1+ h(x) = lim x→−1+ (x+ 3) = 2 = h(−1). e lim x→−1− h(x) = lim x→−1− (−x+ 1) = 2 = h(−1). Portanto, a função é contínua para todo a ∈ R. Exemplo 10.4 Seja f(x) = 1 x+ 2 , se x 6= −2 3, se x = −2 . A função f não é contínua em x = −2, pois lim x→−2− f(x) = lim x→−2− 1 x+ 2 = −∞ e lim x→−2+ f(x) = lim x→−2+ 1 x+ 2 = +∞. Logo, não existe lim x→−2 f(x) e, portanto f não é contínua em x = 2. 24 10.1 Propriedades das Funções Contínuas 10.1 Propriedades das Funções Contínuas Proposição 10.1 Se as funções f e g são contínuas em um ponto a, então (i) f + g é contínua em a; (ii) f − g é contínua em a; (iii) f.g é contínua em a; (iv) f g é contínua em a, desde que g(a) 6= 0. Teorema 10.1 (i) Uma função polinomial é contínua em todo número real. (ii) Uma função racional é continua em todos os pontos do seu domínio. Exemplo 10.5 Determine os pontos nos quais a função f(x) = x3 + 1 x2 − 9 é contínua. Solução: O domínio de f é o conjunto dos números reais, exceto aqueles para os quais x2− 9 = 0, isto é, x = ±3. Assím, D(f) = R−{−3, 3}. Como f é uma função racional, segue que f será contínua em todos os números reais, exceto 3 e −3. Teorema 10.2 Se f é conínua em a e g é contínua em f(a), então a função composta g ◦ f é contínua no ponto a. Definição 10.2 Dizemos que f é contínua no intervalo fechado [a, b], quando f for con- tínua no intervalo aberto (a, b) e vale as igualdades lim x→a+ f(x) = f(a) e lim x→b− f(x) = f(b). Exercício 10.1 Verifique se a função f(x) = √ 4− x2 é contínua em [−2, 2]. Exercício 10.2 Determine o valor de k para que a função dada seja contínua no ponto a = 2. f(x) = kx− 2, se x < 22x3, se x ≥ 2 25 11 Teorema do Valor Intermediário 11 Teorema do Valor Intermediário Teorema 11.1 Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e suponha que L é um número real tal que f(a) < L < f(b), então existe pelo menos um c ∈ [a, b] tal que f(c) = L. Consequência do Teorema do Valor Intermediário: Se f é contínua em [a, b] e se f(a) e f(b) tem sinais opostos, então existe pelo menos um c ∈ [a, b] tal que f(c) = 0. Exemplo 11.1 Mostre que a equação x3 − 4x + 8 = 0 admite pelo menos uma raiz real no intervalo [−3, 0]. Solução: Temos que f em contínua em todo número real, em particular, f é contínua em [−3, 0]. Além disso, temos que f(0) = 8 > 0 e f(−3) = −7 < 0. Portanto, pelo teorema do valor intermediário existe pelo menos um c ∈ [−3, 0] tal que f(c) = 0, isto é, a equação x3 − 4x+ 8 = 0 admite pelo menos uma raiz real no intervalo [−3, 0]. Exercício 11.1 Mostre que a equação x3 + x− 1 = 0 possui pelo menos uma solução no intervalo [0, 1]. 26 12 Lista 2 - Unidade I 12 Lista 2 - Unidade I 1. Use a definição formal de limite para provar que: a) lim x→2 (2x+ 4) = 8 b) lim x→5 (−4x) = −20 c) lim x→5 3 = 3 d) lim x→6 ( 3− 1 2 x ) = 0 2. Usando as propriedades de limites, calcule. a) lim x→−2 (2x+ 5) b) lim x→2 x+ 2 x2 + 5x+ 6 c) lim h→0 3√ 3h+ 1 + 1 d) lim t→−5 t2 + 3t− 10 t+ 5 e) lim x→−2 −2x− 4 x3 + 2x2 f) lim y→1 y − 1√ y + 3− 2 g) lim x→1 √ x− 1 x− 1 h) limx→0 √ x+ 2−√2 x i) lim x→2 x √ x−√2 3x− 4 j) lim x→pi x3 cosx k) lim x→0 cosx x2 + 10 l) lim x→1 (x2 + 3)2 m) lim x→2 √ x3 + x2 − 1 n) lim x→1 sen (x2 + 3x) o) lim x→2 x2 − 4 x− 2 3. Em cada caso calcule o limite de f(x), quando x→ a. a) f(x) = √ x2 + 8− 3 x+ 1 , a = −1 b) f(x) = 1− √ 1 + x√ x− 1− x , a = 3 c) f(x) = x4 − 1 x3 − 1 , a = 1 d) f(x) = 3−√x 9− x , a = 9 e) f(x) = x2 + x x , a = 0 f) f(x) = x2 + 8x− 20 x2 − x− 2 , a = 2 g) f(x) = (3− x3)4 − 16 x3 − 1 , a = 1 h) f(x) = 3 √ x+ 2− 1 x+ 1 , a = −1 i) f(x) = 4x2 − 1 2x− 1 , a = 1 2 j) f(x) = √ x−√3 x− 3 , a = 3 k) f(x) = 2senx− cosx+ cotgx, a = pi 2 l) f(x) = ex + 4x, a = 4 m) f(x) = x2 − 5x+ 4 x− 1 , a = 1 n) f(x) = x3 − 3x+ 2 x2 − 1 , a = 1 o) f(x) = √ x+ 3−√3 x , a = 0 p) f(x) = x− 2√ 2x− 4 , a = 2 q) f(x) = x− 4√ x− 2 , a = 4 r) f(x) = √ 1 + 2x− 3√ x− 2 , a = 4 27 12 Lista 2 - Unidade I 4. Sabendo que lim x→2 f(x)− 5 x− 2 = 3, calcule limx→2 f(x). 5. Seja f uma função e suponha que |f(x)| ≤ x2 para todo x ∈ D(f). Calcule, lim x→0 f(x). 6. Seja f uma função definida em R tal que para x 6= 1, −x2 + 3x ≤ f(x) ≤ x 2 − 1 x− 1 . Calcule lim x→1 f(x). 7. Considere a função g definida por g(x) = 1, se x ≤ 0−1, se x > 0 . Investigue a existência dos limites: lim x→0 g(x) e lim x→0 x2g(x). 8. Determine lim x→a+ f(x), lim x→a− f(x) e lim x→a f(x), se existirem, e esboce o gráfico das funções dadas. (a) f(x) = 2, se x < 1 −1, se x = 1 −3, se x > 1 , a = 1 (b) f(x) = −2, se x < 02, se x ≥ 0 , a = 0 (c) f(x) = x+ 4, se x ≤ −44− x, se x > −4 , a = −4 (d) f(x) = x2, se x < 28− 2x, se x ≥ 2 , a = 2 (e) f(x) = |x− 5|, a = 5 (f) f(x) = |x− 3| x− 3 , se x 6= 3 0, se x = 3 28 12 Lista 2 - Unidade I 9. Dada f(x) = 3x+ 2, se x < 45x+ k, se x ≥ 4 . Ache o valor de k para o qual limx→4 f(x) existe. 10. Dada f(x) = x2, se x ≤ −2 ax+ b, se − 2 < x < 2 2x+ 6, se x ≥ 2 . Ache os valores de a e b tais que lim x→−2 f(x) e lim x→2 f(x) ambos existam. 11. Calcule lim x→2+ √ x− 2 e verifique se existe lim x→2− √ x− 2. 12. Se f(x) = 1 (x+ 2)2 . Determine lim x→−2 f(x) e lim x→+∞ f(x). 13. Calcule os seguintes limites. a) lim x→+∞ (2x3 + 5x2 − 1) b) lim x→+∞ ( 2 + 1 x2 + 3 x ) c) lim x→+∞ ( t+ 1 t2 + 1 ) d) lim t→+∞ t2 − 2t+ t 2t2 + 5t− 3 e) lim x→+∞ 2x5 − 3x3 + 2 −x2 + 7 f) limx→−∞ 3x5 − x2 + 7 2− x2 g) lim x→+∞ x2 + 3x+ 1 x h) lim x→+∞ x √ x+ 3x− 10 x3 i) lim t→+∞ t2 − 1 t− 4 j) limx→+∞ √ x2 + 1 x+ 1 k) lim x→−∞ √ x2 + 1 x+ 1 l) lim t→+∞ ( √ t2 + 1−√t2 − 1) m) lim x→+∞ x( √ x2 − 1− x) n) lim x→−∞ x3 − 2x+ 1 x2 − 1 o) lim x→3+ x x− 3 p) limx→3− x x− 3 q) lim x→2+ x x2 − 4 r) limx→2− x x2 − 4 s) lim x→6+ x+ 6 x2 − 36 t) limx→3− 1 |x− 3| u) lim x→4+ x− 3 x2 − 2x+ 8 v) limt→+∞ √ 18x4 + x 2x4 + 3x− 1 14. Determinar as assíntotas verticais e horizontais das seguintes funções. 29 12 Lista 2 - Unidade I a) f(x) = 4 x− 4 b) f(x) = −3 x+ 2 c) f(x) = 4 x2 − 3x+ 2 d) f(x) = −1 (x− 3)(x+ 4) e) f(x) = 1√ x+ 4 f) f(x) = − 2√ x− 3 g) f(x) = 2x2 x2 − 16 h) f(x) = x√ x2 + x− 12 i) f(x) = e 1 x j) f(x) = 3− 4 (x− 2)2 15. Usando os limites fundamentais, calcule. a) lim x→0 sen 7x x b) lim x→0 sen 4x 3x c) lim x→0 sen 7x 4x d) lim x→0 tg 2x x e) lim x→0 1− cosx x2 f) lim x→0 3 tg2x x2 16. Verifique se as seguintes funções são contínuas nos pontos indicados. a) f(x) = senx x , se x 6= 0 0, se x = 0 , x = 0 b) f(x) = x− |x|, x = 0 c) f(x) = x3 − 8 x2 − 4 , se x 6= 2 3, se x = 2 , x = 2 d) f(x) = x2sen 1x , se x 6= 00, se x = 0 , x = 0 e) f(x) = 1− x2, se x < 1 1− x, se x > 1 1, se x = 1 , x = 1 f) f(x) = x2 − 4 x− 2 , se x 6= 2 0, se x = 2 , x = 2 g) f(x) = x2, se x ≥ −11− |x|, se x < −1 , x = −1 30 12 Lista 2 - Unidade I h) f(x) = x2 − 3x+ 7 x2 + 1 , x = 2 17. Determine k de modo que as funções abaixo sejam contínuas. a) f(x) = x2 + kx+ 2, se x 6= 33, se x = 3 b) f(x) = e2x, se x 6= 0k3 − 7, se x = 0 c) f(x) = x+ 2k, se x ≤ −1k2, se x > −1 18. Determine, se existirem, os pontos onde as seguintes funções não são contínuas. a) f(x) = x (x− 3)(x+ 7) b) f(x) = √ (3− x)(6− x) c) f(x) = x3 + 3x− 1 x2 − 6x+ 10 19. Seja f uma função real contínua, definida em torno do ponto a = 1, tal que f(x) = x2 − 3x+ 2 x− 1 , para x 6= 1. Quanto vale f(1)? Justifique. 20. Construa o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções. a) f(x) = 2− x, se x > 1x2, se x ≤ 1 b) f(x) = x− 2 |x− 2| , se x 6= 2 1, se x = 2 c) f(x) = x2 − 4 x+ 2 , se x 6= −2 1, se x = −2 21. Sejam a ∈ R, k uma constante e f : R → R uma função definida no ponto a. Se lim x→a f(x)− f(a) x− a = k, prove que f é contínua no ponto a. 22. Prove que a equação x5 + x+ 1 = 0 tem pelo menos uma raiz no intervalo [−1, 0]. 31 13 Respostas e Sugestões 13 Respostas e Sugestões 1. a) δ = � 2 b) δ = � 4 c) qualquer δ d) δ = 2� 2. a) 1 b) 1 5 c) 3 2 d) −7 e) −1 2 f) 4 g) 1 2 h) 1 2 √ 2 i) √ 2 2 j) −pi3 k) 1 10 l) 16 m) √ 11 n) sen 4 o) 4 3. a) −1 3 b) − 1√ 2−3 c) 4 3 d) 1 6 e) 1 f) 4 g) −32 (Dica: faça u = 3− x3) h) 1 3 (Dica: faça u = 3 √ x+ 2) i) 2 j) 1 2 √ 3 k) 2 l) e4 − 16 m) −3 n) 0 o) 1 2 √ 3 p) 0 q) 4 r) 4 3 4. 5 5. 0 6. 2 7. Não existe lim x→0 g(x) e lim x→0 x2g(x) = 0. 8. a) lim x→1+ f(x) = 3, lim x→1− f(x) = 2 e não existe lim x→1 f(x) b) lim x→0+ f(x) = 2, lim x→0− f(x) = −2 e não existe lim x→0 f(x) c) lim x→4+ f(x) = 8, lim x→4− f(x) = 0 e não existe lim x→4 f(x) d) lim x→2+ f(x) = 4, lim x→2− f(x) = 4 e lim x→2 f(x) = 4 e) lim x→5+ f(x) = 0, lim x→5− f(x) = 0 e lim x→5 f(x) = 0 f) lim x→3+ f(x) = 1, lim x→3− f(x) = −1 e não existe lim x→3 f(x) 32 13 Respostas e Sugestões 9. −6 10. a = 3 2 e b = 7 11. Quando x→ 2+ o limite existe e vale 0. Quando x→ 2− o limite não existe. 12. Quando x→ −2, f(x)→ +∞ e quando x→ +∞, f(x)→ 0. 13. a) +∞ b) 2 c) 0 d) 1 2 e) −∞ f) +∞ g) +∞ h) 0 i) +∞ j) 1 k) −1 l) 0 m) −1 2 n) −∞ o) +∞ p) −∞ q) +∞ r) −∞ s) +∞ t) +∞ u) 1 16 v) 3 14. a) y = 0, x = 4 b) y = 0, x = −2 c) y = 0, x = 1, x = 2 d) y = 0, x = 3, x = −4 e) y = 0, x = −4 f) y = 0, x = 3 g) y = 2, x = −4, x = 4 h) y = −1, y = 1, x = 3, x = −4 i) y = 1, x = 0 j) y = 3, x = 2 15. a) 7 b) 4 3 c) 7 4 d) 2 e) 1 2 f) 3 16. a) f não é contínua em x = 0. b) f é contínua em x = 0. c) f é contínua em x = 2. d) f é contínua em x = 0. e) f não é contínua em x = 1. f) f não é contínua em x = 2. g) f não é contínua em x = −1. h) f é contínua em x = 2. 17. a) k = −8 3 b) k = 2 c) k = 1 18. a) x = 3, x = −7 b) 3 < x < 6 c) não existe 19. f(1) = −1 (justifique) 33 13 Respostas e Sugestões 20. a) f é contínua em todos os pontos. b) f não é contínua em x = 2. c) f não é contínua em x = −2. 21. Use as propriedades dos limites. 22. Use o Teorema do Valor Intermediário. 34
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