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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA
DO CEARÁ - CAMPUS CEDRO
Professor: Ms. Maxwell de Sousa Pita
Aluno (a): Turno:
Curso: Período:
Carga Horária: 80 Horas
Notas de Aula de Cálculo I
UNIDADE I
1 Limites
1 Limites
1.1 Noção Intuitiva de Limite
Quando estamos realizando o estudo de funções, nossa primeira preocupação deve
ser o seu domínio (condição de existência), afinal, só faz sentido utilizá-la nos pontos
onde esteja definida. No entanto, em muitos casos, é importante saber como a função se
comporta quando a variável está muito próxima de um ponto que não pertence ao seu
domínio. E para este estudo, nos valemos da teoria de limites, a qual permite a análise
de uma função em uma vizinhança muito próxima de um ponto, sem se preocupar com
o valor da função neste ponto. Assim, nos exemplos abaixo estudaremos casos em que a
variável esteja próxima de um número a, mas que não seja necessariamente igual a a.
Exemplo 1.1 Considere a função
f(x) =
x3 − 2x2
3x− 6
com a = 2. Note que 2 não está no domínio de f , pois, fazendo x = 2 obtemos a expressão
indeterminada
0
0
. A tabela a seguir obtida com uma calculadora, relaciona alguns valores
(com oito decimais) para x próximo de 2.
x f(x)
1, 9 1, 20333333
1, 99 1, 302003333
1, 999 1, 33200033
1, 9999 1, 33320000
1, 99999 1, 33332000
1, 999999 1, 33333200
x f(x)
2, 1 1, 47000000
2, 01 1, 34670000
2, 001 1, 33466700
2, 0001 1, 33346667
2, 00001 1, 33334667
2, 000001 1, 33333467
Parece que quanto mais próximo de 2 está x, mais próximo de 4
3
está f(x), entretanto
não podemos ter certeza disto, porque calculamos apenas alguns valores da função para x
próximo de 2. Para obtermos um argumento mais convincente, fatoremos o numerador e
o denominador de f
f(x) =
x2(x− 2)
3(x− 2) .
2
1.1 Noção Intuitiva de Limite
Se x 6= 2, podemos cancelar o fator comum x − 2. Assim, temos f(x) = 1
3
x2 e o gráfico
de f é a parábola dada por y = 1
3
x2 com o ponto (2, 4
3
) omitido, conforme a figura abaixo.
Exemplo 1.2 Considere a função
f(x) =
2x2 + x− 3
x− 1 .
com a = 1. Fatorando o numerador obtemos
f(x) =
(2x+ 3)(x− 1)
(x− 1) .
Se x 6= 1 podemos dividir numerador e denominador por x− 1 para obter f(x) = 2x+ 3.
Note que, quando x se aproxima de 1 tem-se que f(x) se aproxima de 5, ou seja, é possível
fazer o valor de f(x) tão próximo de 5 quanto desejarmos, tomando x suficientemente
próximo de 1, mas não necessariamente igual a 1. Ou ainda, o valor absoluto da diferença
f(x) − 5 tão pequeno quanto desejarmos, tomando o valor absoluto da diferença x −
1 suficientemente pequeno. Uma maneira mais precisa de notar isso é através de dois
símbolos para essas pequenas diferenças. Os símbolos comumente usados são as letras
gregas � (epsilon) e δ (delta). Assim enunciamos que para todo número � dado positivo
existe um número δ escolhido apropriadamente, tal que se |x − 1| for menor do que δ e
|x−1| 6= 0 (isto é, x 6= 1), então |f(x)−5| será menor do que �, ou seja, dado um número
� > 0 qualquer, existe um número δ > 0 suficientemente pequeno, tal que se 0 < |x−1| < δ
então |f(x)− 5| < �.
Por exemplo, se |x−1| < 0, 1, então |f(x)−5| = |2x+3−5| = |2x−2| = |2(x−1)| =
2.|x − 1| < 2.0, 1 = 0, 2. Assim, dado � = 0, 2, tomamos δ = 0, 1 e afirmamos que se
0 < |x − 1| < 0, 1 então |f(x) − 5| < 0, 2. Analogamente, se |x − 1| < 0, 001, então
3
2 Definição Formal de Limite
|2x + 3 − 5| = 2.|x − 1| < 0, 002. Logo, se � = 0, 002, tomamos δ = 0, 001 e afirmamos
que se 0 < |x− 1| < 0, 001 então |f(x)− 5| < 0, 002.
Continuando com esse raciocínio podemos atribuir a � qualquer valor positivo, a fim
de encontrar um valor adequado para δ, de tal forma que se |x − 1| for menor do que δ
e x 6= 1 (ou |x − 1| > 0), então |f(x) − 5| será menor do que �. Podemos, resumir está
afirmação da seguinte forma:
Para todo � > 0 podemos encontrar um δ > 0, tal que se 0 < |x − 1| < δ, então
|f(x) − 5| < �. Nestas condições, afirmamos que o limite de f(x) quando x tende a 1 é
igual a 5 ou, em símbolos
lim
x→1
f(x) = 5.
A figura abaixo ilustra o significado geométrico de � e δ.
Observação 1.1 Note que f(x) pode se tornar tão próximo de 5 quanto desejarmos,
tomando x suficientemente próximo de 1 e essa propriedade da função f não depende do
fato de f estar definida em x = 1.
2 Definição Formal de Limite
Agora, definiremos o limite de uma função em geral.
Definição 2.1 Seja f uma função definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto
possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de a é
L, e escrevemos
lim
x→a
f(x) = L
se para todo � > 0, existe um δ > 0 tal que se 0 < |x− a| < δ então |f(x)− L| < �.
4
2 Definição Formal de Limite
Em outras palavras, se x 6= a está variando no intervalo (a − δ, a + δ) então f(x) ∈
(L − �, L + �) sendo � e δ números positivos quaisquer, tão pequenos quanto se possa
imaginar. Na maioria dos casos δ dependerá de � e quanto menor o �, menor será o δ.
Geometricamente, temos a seguinte representação.
A tabela abaixo resume o que foi discutido até agora.
Notação Significado Intuitivo Interpretação
Geométrica
lim
x→a
f(x) = L
Podemos tornar f(x) tão
próximo de L quanto qui-
sermos, escolhendo x sufici-
entemente próximo de a e
x 6= a.
Exemplo 2.1 Seja f(x) = 3x + 2. Usando a definição formal de limite, mostre que
lim
x→3
f(x) = 11.
Solução: Devemos mostrar que, para todo � > 0, existe um δ > 0, tal que se
0 < |x− 3| < δ então |(3x+ 2)− 11| < �.
5
2.1 Unicidade do Limite
O exame da desigualdade envolvendo � proporciona uma chave para a escolha de δ.
Assim, temos
|3x+ 2− 11| < �
|3x− 9| < �
|3(x− 3)| < �
|3||(x− 3)| < �
3|x− 3| < �
|x− 3| < �
3
.
A última desigualdade nos sugere a escolha do δ. Assim, fazendo δ = �
3
, obtemos que
se 0 < |x− 3| < δ então |(3x+ 2)− 11| < �.
Portanto, lim
x→3
(3x+ 2) = 11.
Exercício 2.1 Dado � = 0, 03, determine um δ > 0 tal que 0 < |x − (−2)| < δ ⇒
|(3x+ 7)− 1| < �.
Exercício 2.2 Mostre que:
a) lim
x→−2
(3x+ 7) = 1 b) lim
x→3
(4x− 1) = 11.
2.1 Unicidade do Limite
O teorema a seguir estabelece que uma função não pode tender a dois limites diferentes
ao mesmo tempo. Ele é chamado de teorema de unicidade, pois garante que se o limite
de uma função existir, ele será único.
Teorema 2.1 (Unicidade do Limite) Se lim
x→a
f(x) = L1 e lim
x→a
f(x) = L2, então
L1 = L2.
2.2 Propriedades dos Limites
A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites
sem apelar para a pesquisa do número δ que aparece na definição formal de limite.
Proposição 2.1 (Propriedades dos Limites) Se lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) =M e k ∈
R, então:
6
2.2 Propriedades dos Limites
a) lim
x→a
x = a e lim
x→a
k = k (k constante);
b) lim
x→a
[f(x)± g(x)] = L±M ;
c) lim
x→a
f(x).g(x) = L.M ;
d) lim
x→a
kf(x) = kL;
e) lim
x→a
f(x)
g(x)
=
L
M
, M 6= 0;
f) Se r e s são inteiros com s 6= 0, então lim
x→a
[f(x)]
r
s = L
r
s
, desde que L
r
s ∈ R;
g) lim
x→a
|f(x)| = |L|;
h) lim
x→a
ln[f(x)] = ln[lim
x→a
f(x)], se lim
x→a
f(x) > 0;
i) lim
x→a
sen [f(x)] = sen [lim
x→a
f(x)];
j) lim
x→a
cos[f(x)] = cos[lim
x→a
f(x)].
Exercício 2.3 Seja f : R → R tal que f(x) = ax + b, com a, b ∈ R e a 6= 0 e seja
x0 ∈ R. Então, lim
x→x0
f(x) = f(x0).
Exercício 2.4 Seja f : R → R tal que f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c ∈ R e a 6= 0 e
seja x0 ∈ R. Então, lim
x→x0
f(x) = f(x0).
Teorema 2.2 Se p(x) é um polinômio, digamos p(x) = anx
n+an−1xn−1+ . . .+a1x+a0,
com a0, a1, . . . , an ∈ R, então
lim
x→x0
p(x) = p(x0).
Teorema 2.3 Se f(x) e q(x) são polinômios e q(x0) 6= 0, então
lim
x→x0f(x)
q(x)
=
f(x0)
q(x0)
.
Exemplo 2.2 Utilize as propriedades dos limites para obter os seguintes limites:
a) lim
x→−3
5
Solução:
lim
x→−3
5 = 5.
7
2.2 Propriedades dos Limites
b) lim
x→a
(2x+ 3)
Solução:
lim
x→a
(2x+ 3) = 2a+ 3.
c) lim
x→√3
x
Solução:
lim
x→√3
x =
√
3.
d) lim
x→2
(x3 + 4x2 − 3)
Solução:
lim
x→2
(x3 + 4x2 − 3) = lim
x→2
x3 + lim
x→2
4x2 − lim
x→2
3 = 23 + 4.22 − 3 = 8 + 16− 3 = 21.
e) lim
x→1
x4 − x2 − 1
x2 + 5
Solução:
lim
x→1
x4 − x2 − 1
x2 + 5
=
lim
x→1
(x4 − x2 − 1)
lim
x→1
(x2 + 5)
=
lim
x→1
x4 − lim
x→1
x2 − lim
x→1
1
lim
x→1
x2 + lim
x→1
5
=
14 − 12 − 1
12 + 5
=
1− 1− 1
1 + 5
= −1
6
.
f) lim
x→−2
√
4x2 − 3
Solução:
lim
x→−2
√
4x2 − 3 =
√
lim
x→−2
(4x2 − 3) =
√
lim
x→−2
4x2 − lim
x→−2
3 =
√
4(−2)2 − 3 = √16− 3 =
√
13.
Exemplo 2.3 Determine lim
x→4
f(x) onde
f(x) =
 x− 3, se x 6= 45, se x = 4
Solução: Quando calculamos lim
x→4
f(x) estamos considerando valores de x próximos de
4, mas não iguais a 4. Assim,
lim
x→4
f(x) = lim
x→4
(x− 3) = 1.
8
2.2 Propriedades dos Limites
Nos casos em que, aplicando as propriedades dos limites obtemos uma expressão do
tipo
0
0
, que chamamos de indeterminação, temos que utilizar algum recurso algébrico para
eliminar a indeterminação e determinar, se existir, o limite.
Exemplo 2.4 Determine os seguintes limites.
a) lim
x→1
x2 − 1
x− 1
Solução: Neste caso, não podemos aplicar a propriedade do quociente pois temos
uma indeterminação do tipo
0
0
.
Porém se fatorarmos o numerador obtemos
x2 − 1
x− 1 =
(x+ 1)(x− 1)
x− 1 = x+ 1 para x 6= 1.
Como no processo de limite os valores de x considerados são próximos de 1, mas
diferentes de 1, temos
lim
x→1
x2 − 1
x− 1 = limx→1(x+ 1) = 2
b) lim
x→1
x2 + x− 2
x2 − x
Solução: Assim como no item anterior, aqui temos uma indeterminação do tipo
0
0
. Neste caso, podemos fatorar o numerador e o denominador
x2 + x− 2
x2 − x =
(x− 1)(x+ 2)
x(x− 1) =
x+ 2
x
para x 6= 1.
Logo, obtemos
lim
x→1
x2 + x− 2
x2 − x = limx→1
x+ 2
x
=
3
1
= 3.
c) lim
x→4
√
x− 2
x− 4
Solução: Novamente, temos uma indeterminação do tipo
0
0
. Neste caso, para simplicar
o quociente, racionalizamos o numerador multiplicando o numerador e o denominador
por
√
x+ 2. Assim, temos
√
x− 2
x− 4 =
(
√
x− 2)(√x+ 2)
(x− 4)(√x+ 2) =
x− 4
(x− 4)(√x+ 2) =
1√
x+ 2
para x 6= 4.
9
3 Teorema do Confronto
Logo,
lim
x→4
√
x− 2
x− 4 = limx→4 =
1√
x+ 2
=
1
4
.
Exercício 2.5 Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→0
√
6 + x−√6
x
b) lim
x→3
x2 − 4x+ 3
x2 − 9 c) limt→0
√
25 + 3t− 5
t
.
3 Teorema do Confronto
Se não pudermos obter o limite de uma função diretamente, talvez possamos obtê-lo
indiretamente utilizando o teorema do confronto.
Teorema 3.1 (Teorema do Confronto) Sejam f , h e g funções tais que f(x) ≤ h(x) ≤
g(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em x = a, e se
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = L
então,
lim
x→a
h(x) = L.
Exemplo 3.1 Sabendo que 1 − x
2
4
≤ f(x) ≤ 1 + x
2
2
, para qualquer x 6= 0. Determine
lim
x→0
f(x).
Solução:
Como
lim
x→0
(
1− x
2
4
)
= 1 e lim
x→0
(
1 +
x2
2
)
= 1
pelo Teorema do Confronto, temos que
lim
x→0
f(x) = 1.
Exemplo 3.2 Determinar lim
x→0
x2
∣∣∣sen 1x∣∣∣.
10
3 Teorema do Confronto
Solução:
Usando o Teorema do Confronto, como todos os valores da função seno estão entre
−1 e 1, temos
0 ≤
∣∣∣sen 1
x
∣∣∣ ≤ 1, ∀ x 6= 0.
Multiplicando a desigualdade por x2, temos
0 ≤ x2
∣∣∣sen 1
x
∣∣∣ ≤ x2, ∀ x 6= 0.
Como lim
x→0
0 = 0 e lim
x→0
x2 = 0, pelo Teorema do Confronto concluímos que
lim
x→0
x2
∣∣∣sen 1
x
∣∣∣ = 0.
Exemplo 3.3 Mostre que lim
x→0
|x|√
x4 + 4x2 + 7
= 0.
Solução:
Note que,
0 ≤ |x|√
x4 + 4x2 + 7
≤ |x|
como lim
x→0
0 = 0 e lim
x→0
|x| = 0. Portanto, pelo Teorema do Confronto, temos que
lim
x→0
|x|√
x4 + 4x2 + 7
= 0.
Proposição 3.1 Sejam f e g funções definidas para todo x em um intervalo aberto con-
tendo a. Suponha que lim
x→a
f(x) = 0 e existe K > 0 tal que |g(x)| ≤ K para todo x
satisfazendo 0 < |x− a| < δ para algum δ > 0. Então, lim
x→a
f(x).g(x) = 0.
Exercício 3.1 Calcule lim
x→0
x sen 1
x
.
Exercício 3.2 Mostre que se lim
x→a
|f(x)| = 0, então lim
x→a
f(x) = 0.
Exercício 3.3 Sabendo que −|x| ≤ sen x ≤ |x| para todo x, calcule lim
x→0
sen x.
Exercício 3.4 Sabendo que 0 ≤ 1− cosx ≤ |x|, para todo x, calcule lim
x→0
cosx.
11
4 Limites Laterais
4 Limites Laterais
Definição 4.1 Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a, c). Dizemos que
um número L é o limite à direita da função f quando x tende para a, e escrevemos
lim
x→a+
f(x) = L
se para todo � > 0, existe um δ > 0 tal que, se a < x < a+ δ então |f(x)− L| < �.
Definição 4.2 Seja f uma função definida em um intervalo aberto (d, a). Dizemos que
um número L é o limite à esquerda da função f , quando x tende para a, e escrevemos
lim
x→a−
f(x) = L
se para todo � > 0, existe um δ > 0 tal que, se a− δ < x < a então |f(x)− L| < �.
Observação 4.1 As propriedades dos limites também são válidas para os limites laterais.
Exemplo 4.1 Dada a função f(x) =
x
|x| . Determine limx→0+ f(x) e limx→0− f(x).
Solução: Primeiro note que
f(x) =
 1, se x ≥ 0−1, se x < 0
logo,
lim
x→0+
x
|x| = limx→0+ 1 = 1
e
lim
x→0−
x
|x| = limx→0−(−1) = −1.
Note que lim
x→0−
f(x) 6= lim
x→0+
f(x).
Exemplo 4.2 Dada a função f(x) = (1+
√
x− 3). Determinar, se possível, lim
x→3+
f(x) e
lim
x→3−
f(x).
12
4 Limites Laterais
Solução: A função dada só é definida para x ≥ 3. Assim, não existe lim
x→3−
f(x). Para
calcular lim
x→3+
f(x), podemos aplicar as propriedades dos limites. Temos,
lim
x→3+
f(x) = lim
x→3+
(1 +
√
x− 3)
= lim
x→3+
1 + lim
x→3+
(
√
x− 3)
= 1 +
√
lim
x→3+
(x− 3)
= 1 + 0
= 1.
Exemplo 4.3 Dada a função f(x) = |x|, determinar lim
x→0+
f(x) e lim
x→0−
f(x).
Solução: Se x ≥ 0, então f(x) = x. Logo
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
x = 0.
Se x < 0, então f(x) = −x. Logo
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
(−x) = 0.
O próximo teorema estabelece uma relação existente entre os limites laterais e o limite
de uma função.
Teorema 4.1 Se f é uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto pos-
sivelmente no ponto a, então lim
x→a
f(x) = L se, e somente se lim
x→a+
f(x) = L e lim
x→a−
f(x) =
L.
Exemplo 4.4 Analizando os exemplos anteriores, podemos concluir que:
a) Não existe lim
x→0
x
|x| .
b) Não existe lim
x→3
(1 +
√
x− 3).
c) lim
x→0
|x| = 0.
13
4 Limites Laterais
Exemplo 4.5 Seja f(x) =

x2 + 1, se x < 2
2, se x = 2
9− x2, se x > 2
. Determinar, se existirem, lim
x→2−
f(x),
lim
x→2+
f(x) e lim
x→2
f(x). Esboce o gráfico da função.
Solução: Se x < 2, então f(x) = x2 + 1. Portanto,
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
(x2 + 1) = 4 + 1 = 5.
Se x > 2, então f(x) = 9− x2. Portanto,
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
(9− x2) = 9− 4 = 5.
Como lim
x→2−
f(x) = lim
x→2+
f(x) = 5, concluímos que lim
x→2
f(x) = 5.
O gráfico de f é dado pela figura abaixo.
Exemplo 4.6 Seja f uma função definida por
f(x) =

x+ 5, se x < −3
√
9− x2, se − 3 ≤ x ≤ 3
3− x, se x > 3
Determine, se existirem, cada um dos seguintes limites: lim
x→−3−
f(x), lim
x→−3+
f(x), lim
x→−3
f(x),
lim
x→3−
f(x),lim
x→3+
f(x) e lim
x→3
f(x).
Solução: Temos que,
lim
x→−3−
f(x) = lim
x→−3−
(x+ 5) = 2.
14
5 Limites no Infinito
e
lim
x→−3+
f(x) = lim
x→−3+
√
9− x2 = 0.
Como lim
x→−3−
f(x) 6= lim
x→−3+
f(x), então lim
x→−3
f(x) não existe.
Agora temos,
lim
x→3−
f(x) = lim
x→3−
√
9− x2 = 0.
e
lim
x→3+
f(x) = lim
x→3+
(3− x) = 0.
Como lim
x→3−
f(x) = lim
x→3+
f(x), então lim
x→3
f(x) = 0.
5 Limites no Infinito
Nesta seção vamos considerar limites de funções, quando a variável independente cresce
ou diminui indefinidamente.
Definição 5.1 Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a,+∞). Denotamos
lim
x→+∞
f(x) = L
quando para qualquer � > 0, existe M > 0 tal que se x > M então |f(x)− L| < �.
Definição 5.2 Seja f uma função definida em um intervalo aberto (−∞, b). Denotamos
lim
x→−∞
f(x) = L
quando para qualquer � > 0, existe N < 0 tal que se x < N então |f(x)− L| < �.
Observação 5.1 As propriedades dos Limites também são válidas para limites no infi-
nito.
Teorema 5.1 Se n é um número inteiro positivo, então
(i) lim
x→+∞
1
xn
= 0.
(ii) lim
x→−∞
1
xn
= 0.
15
5 Limites no Infinito
Exemplo 5.1 Calcule lim
x→+∞
(
5 +
1
x
)
.
Solução: Temos que
lim
x→+∞
(
5 +
1
x
)
= lim
x→+∞
5 + lim
x→+∞
1
x
= 5 + 0 = 5
Vejamos agora como resolver indeterminações do tipo
±∞
±∞ .
Exemplo 5.2 Determine os seguintes limites:
a) lim
x→+∞
4x− 3
2x+ 5
Solução: Neste caso temos uma indeterminação do tipo
+∞
+∞ . Assim, vamos dividir
o numerador e o denominador por x, obtendo
lim
x→+∞
4x− 3
2x+ 5
= lim
x→+∞
4− 3
x
2 + 5
x
=
4− 0
2 + 0
= 2.
b) lim
x→+∞
5x2 + 8x− 3
3x2 + 2
Solução: Novamente temos uma indeterminação do tipo
+∞
+∞ . Assim, vamos
dividir o numerador e o denominador por x2, obtendo
lim
x→+∞
5x2 + 8x− 3
3x2 + 2
= lim
x→+∞
5 + 8
x
− 3
x2
3 + 2
x2
=
5 + 0− 0
3 + 0
=
5
3
.
c) lim
x→−∞
11x+ 2
2x3 − 1
Solução: Aqui temos uma indeterminação do tipo
−∞
−∞ . Vamos dividir o numerador
e o denominador por x3, obtendo
lim
x→−∞
11x+ 2
2x3 − 1 = limx→−∞
11
x2
+ 2
x3
2− 1
x3
=
0 + 0
2− 0 = 0.
16
6 Limites Infinitos
6 Limites Infinitos
Nesta seção, em vez de exigir que f(x) fique arbitrariamente próximo de um número
finito L para todo x suficientemente próximo de a, as definições de limites infinitos exigem
que f(x) esteja arbitrariamente longe da origem.
Definição 6.1 Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto
possivelmente no ponto a. Dizemos que
lim
x→a
f(x) = +∞,
se para qualquer M > 0, existe um δ > 0 tal que se 0 < |x− a| < δ então f(x) > M .
Definição 6.2 Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto
possivelmente no ponto a. Dizemos que
lim
x→a
f(x) = −∞,
se para qualquer N < 0, existe um δ > 0 tal que se 0 < |x− a| < δ então f(x) < N .
Observação 6.1 O símbolo +∞ (mais infinito) não representa um número real. É ape-
nas uma notação para denotar que f(x) cresce sem limite (tomando valores positivos
muito grandes) quando x se aproxima de um número real. O símbolo −∞ (menos infi-
nito) é usado de modo análogo para indicar que f(x) decresce sem limite (tomando valores
negativos muito grandes) quando x se aproxima de um número real.
Teorema 6.1 Se n é um número inteiro positivo qualquer, então
(i) lim
x→0+
1
xn
= +∞.
(ii) lim
x→0−
1
xn
=
 +∞, se n é par−∞, se n é ímpar .
Observação 6.2 As propriedades dos limites também são válidas para limites infinitos,
embora devamos tomar cuidado quando combinamos funções envolvendo esses limites.
Exemplo 6.1 Determinar lim
x→0
(x3 +
√
x+ 1
x2
).
Solução: Temos,
lim
x→0
(x3 +
√
x+ 1
x2
) = lim
x→0
x3 + lim
x→0
√
x+ lim
x→0
1
x2
= 0 + 0 +∞ = +∞.
17
7 Limites Infinitos no Infinito
Exemplo 6.2 Determinar lim
x→0+
|x|
x2
, lim
x→0−
|x|
x2
e lim
x→0
|x|
x2
.
Solução: Para x > 0, temos |x| = x. Assim,
lim
x→0+
|x|
x2
= lim
x→0+
x
x2
= lim
x→0+
1
x
= +∞.
Para x < 0, temos |x| = −x. Assim,
lim
x→0−
|x|
x2
= lim
x→0−
−x
x2
= lim
x→0−
−1
x
= +∞.
Como lim
x→0+
|x|
x2
= lim
x→0−
|x|
x2
= +∞, conclímos que lim
x→0
|x|
x2
= +∞.
Exemplo 6.3 Verifique que não existe lim
x→2
1
x− 2 .
Solução: Para x > 2, temos que
lim
x→2+
1
x− 2 = +∞.
Para x < 2, temos
lim
x→2−
1
x− 2 = −∞.
Exemplo 6.4 Determine os limites laterais da função f(x) =
x2 + 3x+ 1
x2 + x− 6 , no ponto
a = 2.
Solução: Temos
lim
x→2+
x2 + 3x+ 1
x2 + x− 6 = +∞
e
lim
x→2−
x2 + 3x+ 1
x2 + x− 6 = −∞.
7 Limites Infinitos no Infinito
Além dos limites vistos até agora, podemos ainda considerar os casos em que tanto x
quanto f(x) tendem para +∞ ou −∞, isto é, limites do tipo
lim
x→+∞
f(x) = +∞, lim
x→+∞
f(x) = −∞, lim
x→−∞
f(x) = +∞ e lim
x→−∞
f(x) = −∞.
Exemplo 7.1 Determine os seguintes limites.
18
8 Assíntotas Verticais e Horizontais
a) lim
x→−∞
2x2 − 3
7x+ 4
Solução: Vamos dividir o numerador e o denominador por x, obtendo
lim
x→−∞
2x2 − 3
7x+ 4
= lim
x→−∞
2x− 3
x
7 + 4
x
= −∞.
b) lim
x→−∞
−4x3 − 7x
2x2 − 3x− 10
Solução: Vamos dividir o numerador e o denominador por x2, obtendo
lim
x→−∞
−4x3 − 7x
2x2 − 3x− 10 = limx→−∞
−4x− 7
x
2− 3
x
− 10
x2
= +∞.
c) lim
x→+∞
(3x5 − 4x3 + 1)
Solução: Neste caso, temos uma indeterminação do tipo +∞−∞, para determinar
o limite utilizamos o seguinte artíficio
lim
x→+∞
(3x5 − 4x3 + 1) = lim
x→+∞
x5
(
3− 4
x2
+ 1
x5
)
= +∞.
8 Assíntotas Verticais e Horizontais
Em aplicações práticas, encontramos com muita frequência gráficos que se aproximam
de uma reta à medida que x cresce ou decresce. Estas retas são chamadas de assíntotas.
Vamos analisar as assíntotas horizontais e verticais.
Definição 8.1 A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico da função y = f(x) se
lim
x→+∞
f(x) = b ou lim
x→−∞
f(x) = b.
A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico da função y = f(x) se
lim
x→a+
f(x) = ±∞ ou lim
x→a−
f(x) = ±∞.
Exemplo 8.1 Analisando f(x) =
1
x
, podemos observar o seguinte
lim
x→+∞
1
x
= 0 e lim
x→−∞
1
x
= 0
19
8 Assíntotas Verticais e Horizontais
Assim, a reta y = 0 é a assíntota horizontal do gráfico de f .
Temos também que
lim
x→0+
1
x
= +∞ e lim
x→0−
1
x
= −∞
Assim, a reta x = 0 é a assíntota vertical do gráfico de f .
Note que o denominador é zero quando x = 0 e que a função não está definida aí.
Exemplo 8.2 Encontre as assíntotas do gráfico de f(x) =
x+ 3
x+ 2
.
Solução: Estamos interessados no comportamento da curva quando x→ ±∞ e quando
x→ −2, onde o denominador é zero.
Assim, a assíntota horizontal é a reta y = 1, pois lim
x→±∞
f(x) = 1 e a assíntota vertical
é dada pela reta x = −2, pois x+ 2 = 0 quando x = −2.
Exemplo 8.3 Encontre as assíntotas do gráfico de f(x) = − 8
x2 − 4 .
20
9 Limite Fundamental
Solução: Estamos interessados no comportamento do gráfico quando x→ ±∞ e quando
x→ ±2. Temos que lim
x→±∞
f(x) = 0, logo a reta y = 0 é a assíntota horizontal da função.
Temos ainda que
lim
x→2+
− 8
x2 − 4 = −∞, limx→2−−
8
x2 − 4 = +∞,
lim
x→−2+
− 8
x2 − 4 = +∞ e limx→−2−−
8
x2 − 4 = −∞
logo, a reta x = 2 e a reta x = −2 são assíntotas verticais. Note que as assíntotas verticais
são obtidas quando o denominador é zero, assim temos que x2 − 4 = 0 quando x = ±2.
9 Limite Fundamental
O seguinte limite é dito limite fundamental.
lim
x→0
senx
x
= 1.
Exemplo 9.1 Calcule osseguintes limites.
a) lim
x→0
sen 2x
x
.
Solução: Neste caso, utilizaremos inicialmente alguns artifícios de cálculo como
segue
lim
x→0
sen 2x
x
= lim
x→0
sen 2x
x
.
2
2
= 2 lim
x→0
sen 2x
2x
= 2.1 = 2.
21
10 Funções Contínuas
b) lim
x→0
sen 3x
sen 4x
.
Solução: Temos
lim
x→0
sen 3x
sen 4x
= lim
x→0
sen 3x
3x
.3x
sen 4x
4x
.4x
=
3
4
lim
x→0
sen 3x
3x
lim
x→0
sen 4x
4x
=
3
4
.
1
1
=
3
4
.
c) lim
x→0
tg x
x
.
Solução: Neste caso, temos
lim
x→0
tg x
x
= lim
x→0
sen x
cosx
x
= lim
x→0
sen x
x
.
1
cosx
= lim
x→0
sen x
x
. lim
x→0
1
cosx
= 1.1 = 1.
Exercício 9.1 Determinar lim
x→0
x sen x
sen (2x2)
.
Exercício 9.2 Calcule lim
x→0
1− cosx
x
.
10 Funções Contínuas
Quando definimos lim
x→a
f(x) analisamos o comportamento da função f para valores de x
próximos de a, mas diferentes de a. Em muitos exemplos vimos que lim
x→a
f(x) pode existir,
mesmo que f não seja definida no ponto a. Se f está definida em a e lim
x→a
f(x) existe,
pode ocorrer que este limite seja diferente de f(a). No entanto, quando lim
x→a
f(x) = f(a)
diremos que a função f é contínua em a.
Definição 10.1 Dizemos que uma função f é contínua no ponto a se as seguintes con-
dições forem satisfeitas:
(i) f está definida no ponto a;
(ii) lim
x→a
f(x) existe;
(iii) lim
x→a
f(x) = f(a).
Observação 10.1 Se (iii) é satisfeita, então (i) e (ii) também são verificadas.
22
10 Funções Contínuas
Observação 10.2 Se pelo menos uma das condições (i), (ii) ou (iii) não é satisfeita,
então f é dita descontínua em a.
Exemplo 10.1 Verifique se as seguintes funções são contínuas no ponto a = 1.
a) f(x) =
x2 − 1
x− 1 .
Solução: Verificando a condição (i):
A função f não está definida em x = 1. Logo, não satisfaz a condição (i) da
Definição 10.1. Portanto, f não é contínua.
b)
g(x) =

x2 − 1
x− 1 , se x 6= 1
1, se x = 1
.
Solução: Verificando a condição (i):
A função g está definida no ponto a = 1.
Verificando a condição (ii):
Temos que
lim
x→1
x2 − 1
x− 1 = limx→1
(x+ 1)(x− 1)
x− 1 = limx→1(x+ 1) = 2.
Logo, existe lim
x→1
g(x).
Verificando a condição (iii):
Temos que g(1) = 1. Logo,
lim
x→1
g(x) 6= g(1).
Assim, a função g não satisfaz a condição (iii) da Definição 10.1 e portanto não é
contínua.
Exemplo 10.2 Verifique se a função f dada é contínua no ponto a = 0.
f(x) =

x
|x| , se x 6= 0
0, se x = 0
.
Solução: Verificando a condição (i):
A função f está definida no ponto a = 0.
23
10 Funções Contínuas
Verificando a condição (ii):
Temos,
Se x > 0, então lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
1 = 1.
Se x < 0, então lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
(−1) = −1.
Logo, não existe lim
x→0
f(x) e portanto f não é contínua em a = 0.
Exemplo 10.3 Verifique que h(x) =
 x+ 3, se x ≥ −1−x+ 1, se x < −1 é contínua em todos
os pontos.
Solução: De fato, seja a ∈ R. Se a > −1, temos
lim
x→a
h(x) = lim
x→a
(x+ 3) = a+ 3 = h(a).
Se a < −1, temos
lim
x→a
h(x) = lim
x→a
(−x+ 1) = −a+ 1 = h(a).
Se a = −1, temos
lim
x→−1+
h(x) = lim
x→−1+
(x+ 3) = 2 = h(−1).
e
lim
x→−1−
h(x) = lim
x→−1−
(−x+ 1) = 2 = h(−1).
Portanto, a função é contínua para todo a ∈ R.
Exemplo 10.4 Seja f(x) =

1
x+ 2
, se x 6= −2
3, se x = −2
. A função f não é contínua em
x = −2, pois
lim
x→−2−
f(x) = lim
x→−2−
1
x+ 2
= −∞
e
lim
x→−2+
f(x) = lim
x→−2+
1
x+ 2
= +∞.
Logo, não existe lim
x→−2
f(x) e, portanto f não é contínua em x = 2.
24
10.1 Propriedades das Funções Contínuas
10.1 Propriedades das Funções Contínuas
Proposição 10.1 Se as funções f e g são contínuas em um ponto a, então
(i) f + g é contínua em a;
(ii) f − g é contínua em a;
(iii) f.g é contínua em a;
(iv)
f
g
é contínua em a, desde que g(a) 6= 0.
Teorema 10.1 (i) Uma função polinomial é contínua em todo número real.
(ii) Uma função racional é continua em todos os pontos do seu domínio.
Exemplo 10.5 Determine os pontos nos quais a função f(x) =
x3 + 1
x2 − 9 é contínua.
Solução: O domínio de f é o conjunto dos números reais, exceto aqueles para os quais
x2− 9 = 0, isto é, x = ±3. Assím, D(f) = R−{−3, 3}. Como f é uma função racional,
segue que f será contínua em todos os números reais, exceto 3 e −3.
Teorema 10.2 Se f é conínua em a e g é contínua em f(a), então a função composta
g ◦ f é contínua no ponto a.
Definição 10.2 Dizemos que f é contínua no intervalo fechado [a, b], quando f for con-
tínua no intervalo aberto (a, b) e vale as igualdades
lim
x→a+
f(x) = f(a) e lim
x→b−
f(x) = f(b).
Exercício 10.1 Verifique se a função f(x) =
√
4− x2 é contínua em [−2, 2].
Exercício 10.2 Determine o valor de k para que a função dada seja contínua no ponto
a = 2.
f(x) =
 kx− 2, se x < 22x3, se x ≥ 2
25
11 Teorema do Valor Intermediário
11 Teorema do Valor Intermediário
Teorema 11.1 Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e suponha que L
é um número real tal que f(a) < L < f(b), então existe pelo menos um c ∈ [a, b] tal que
f(c) = L.
Consequência do Teorema do Valor Intermediário: Se f é contínua em
[a, b] e se f(a) e f(b) tem sinais opostos, então existe pelo menos um c ∈ [a, b] tal que
f(c) = 0.
Exemplo 11.1 Mostre que a equação x3 − 4x + 8 = 0 admite pelo menos uma raiz real
no intervalo [−3, 0].
Solução: Temos que f em contínua em todo número real, em particular, f é contínua
em [−3, 0]. Além disso, temos que f(0) = 8 > 0 e f(−3) = −7 < 0. Portanto, pelo
teorema do valor intermediário existe pelo menos um c ∈ [−3, 0] tal que f(c) = 0, isto é,
a equação x3 − 4x+ 8 = 0 admite pelo menos uma raiz real no intervalo [−3, 0].
Exercício 11.1 Mostre que a equação x3 + x− 1 = 0 possui pelo menos uma solução no
intervalo [0, 1].
26
12 Lista 2 - Unidade I
12 Lista 2 - Unidade I
1. Use a definição formal de limite para provar que:
a) lim
x→2
(2x+ 4) = 8 b) lim
x→5
(−4x) = −20
c) lim
x→5
3 = 3 d) lim
x→6
(
3− 1
2
x
)
= 0
2. Usando as propriedades de limites, calcule.
a) lim
x→−2
(2x+ 5) b) lim
x→2
x+ 2
x2 + 5x+ 6
c) lim
h→0
3√
3h+ 1 + 1
d) lim
t→−5
t2 + 3t− 10
t+ 5
e) lim
x→−2
−2x− 4
x3 + 2x2
f) lim
y→1
y − 1√
y + 3− 2
g) lim
x→1
√
x− 1
x− 1 h) limx→0
√
x+ 2−√2
x
i) lim
x→2
x
√
x−√2
3x− 4
j) lim
x→pi
x3 cosx k) lim
x→0
cosx
x2 + 10
l) lim
x→1
(x2 + 3)2
m) lim
x→2
√
x3 + x2 − 1 n) lim
x→1
sen (x2 + 3x) o) lim
x→2
x2 − 4
x− 2
3. Em cada caso calcule o limite de f(x), quando x→ a.
a) f(x) =
√
x2 + 8− 3
x+ 1
, a = −1 b) f(x) = 1−
√
1 + x√
x− 1− x , a = 3
c) f(x) =
x4 − 1
x3 − 1 , a = 1 d) f(x) =
3−√x
9− x , a = 9
e) f(x) =
x2 + x
x
, a = 0 f) f(x) =
x2 + 8x− 20
x2 − x− 2 , a = 2
g) f(x) =
(3− x3)4 − 16
x3 − 1 , a = 1 h) f(x) =
3
√
x+ 2− 1
x+ 1
, a = −1
i) f(x) =
4x2 − 1
2x− 1 , a =
1
2
j) f(x) =
√
x−√3
x− 3 , a = 3
k) f(x) = 2senx− cosx+ cotgx, a = pi
2
l) f(x) = ex + 4x, a = 4
m) f(x) =
x2 − 5x+ 4
x− 1 , a = 1 n) f(x) =
x3 − 3x+ 2
x2 − 1 , a = 1
o) f(x) =
√
x+ 3−√3
x
, a = 0 p) f(x) =
x− 2√
2x− 4 , a = 2
q) f(x) =
x− 4√
x− 2 , a = 4 r) f(x) =
√
1 + 2x− 3√
x− 2 , a = 4
27
12 Lista 2 - Unidade I
4. Sabendo que lim
x→2
f(x)− 5
x− 2 = 3, calcule limx→2 f(x).
5. Seja f uma função e suponha que |f(x)| ≤ x2 para todo x ∈ D(f). Calcule, lim
x→0
f(x).
6. Seja f uma função definida em R tal que para x 6= 1,
−x2 + 3x ≤ f(x) ≤ x
2 − 1
x− 1 .
Calcule lim
x→1
f(x).
7. Considere a função g definida por
g(x) =
1, se x ≤ 0−1, se x > 0 .
Investigue a existência dos limites: lim
x→0
g(x) e lim
x→0
x2g(x).
8. Determine lim
x→a+
f(x), lim
x→a−
f(x) e lim
x→a
f(x), se existirem, e esboce o gráfico das
funções dadas.
(a) f(x) =

2, se x < 1
−1, se x = 1
−3, se x > 1
, a = 1
(b) f(x) =
 −2, se x < 02, se x ≥ 0 , a = 0
(c) f(x) =
 x+ 4, se x ≤ −44− x, se x > −4 , a = −4
(d) f(x) =
 x2, se x < 28− 2x, se x ≥ 2 , a = 2
(e) f(x) = |x− 5|, a = 5
(f) f(x) =

|x− 3|
x− 3 , se x 6= 3
0, se x = 3
28
12 Lista 2 - Unidade I
9. Dada f(x) =
 3x+ 2, se x < 45x+ k, se x ≥ 4 . Ache o valor de k para o qual limx→4 f(x)
existe.
10. Dada f(x) =

x2, se x ≤ −2
ax+ b, se − 2 < x < 2
2x+ 6, se x ≥ 2
. Ache os valores de a e b tais que
lim
x→−2
f(x) e lim
x→2
f(x) ambos existam.
11. Calcule lim
x→2+
√
x− 2 e verifique se existe lim
x→2−
√
x− 2.
12. Se f(x) =
1
(x+ 2)2
. Determine lim
x→−2
f(x) e lim
x→+∞
f(x).
13. Calcule os seguintes limites.
a) lim
x→+∞
(2x3 + 5x2 − 1) b) lim
x→+∞
(
2 + 1
x2
+ 3
x
)
c) lim
x→+∞
( t+ 1
t2 + 1
)
d) lim
t→+∞
t2 − 2t+ t
2t2 + 5t− 3
e) lim
x→+∞
2x5 − 3x3 + 2
−x2 + 7 f) limx→−∞
3x5 − x2 + 7
2− x2
g) lim
x→+∞
x2 + 3x+ 1
x
h) lim
x→+∞
x
√
x+ 3x− 10
x3
i) lim
t→+∞
t2 − 1
t− 4 j) limx→+∞
√
x2 + 1
x+ 1
k) lim
x→−∞
√
x2 + 1
x+ 1
l) lim
t→+∞
(
√
t2 + 1−√t2 − 1)
m) lim
x→+∞
x(
√
x2 − 1− x) n) lim
x→−∞
x3 − 2x+ 1
x2 − 1
o) lim
x→3+
x
x− 3 p) limx→3−
x
x− 3
q) lim
x→2+
x
x2 − 4 r) limx→2−
x
x2 − 4
s) lim
x→6+
x+ 6
x2 − 36 t) limx→3−
1
|x− 3|
u) lim
x→4+
x− 3
x2 − 2x+ 8 v) limt→+∞
√
18x4 + x
2x4 + 3x− 1
14. Determinar as assíntotas verticais e horizontais das seguintes funções.
29
12 Lista 2 - Unidade I
a) f(x) =
4
x− 4 b) f(x) =
−3
x+ 2
c) f(x) =
4
x2 − 3x+ 2 d) f(x) =
−1
(x− 3)(x+ 4)
e) f(x) =
1√
x+ 4
f) f(x) = − 2√
x− 3
g) f(x) =
2x2
x2 − 16 h) f(x) =
x√
x2 + x− 12
i) f(x) = e
1
x
j) f(x) = 3− 4
(x− 2)2
15. Usando os limites fundamentais, calcule.
a) lim
x→0
sen 7x
x
b) lim
x→0
sen 4x
3x
c) lim
x→0
sen 7x
4x
d) lim
x→0
tg 2x
x
e) lim
x→0
1− cosx
x2
f) lim
x→0
3
tg2x
x2
16. Verifique se as seguintes funções são contínuas nos pontos indicados.
a) f(x) =

senx
x
, se x 6= 0
0, se x = 0
, x = 0
b) f(x) = x− |x|, x = 0
c) f(x) =

x3 − 8
x2 − 4 , se x 6= 2
3, se x = 2
, x = 2
d) f(x) =
 x2sen 1x , se x 6= 00, se x = 0 , x = 0
e) f(x) =

1− x2, se x < 1
1− x, se x > 1
1, se x = 1
, x = 1
f) f(x) =

x2 − 4
x− 2 , se x 6= 2
0, se x = 2
, x = 2
g) f(x) =
 x2, se x ≥ −11− |x|, se x < −1 , x = −1
30
12 Lista 2 - Unidade I
h) f(x) =
x2 − 3x+ 7
x2 + 1
, x = 2
17. Determine k de modo que as funções abaixo sejam contínuas.
a) f(x) =
 x2 + kx+ 2, se x 6= 33, se x = 3
b) f(x) =
 e2x, se x 6= 0k3 − 7, se x = 0
c) f(x) =
 x+ 2k, se x ≤ −1k2, se x > −1
18. Determine, se existirem, os pontos onde as seguintes funções não são contínuas.
a) f(x) =
x
(x− 3)(x+ 7)
b) f(x) =
√
(3− x)(6− x)
c) f(x) =
x3 + 3x− 1
x2 − 6x+ 10
19. Seja f uma função real contínua, definida em torno do ponto a = 1, tal que f(x) =
x2 − 3x+ 2
x− 1 , para x 6= 1. Quanto vale f(1)? Justifique.
20. Construa o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções.
a) f(x) =
 2− x, se x > 1x2, se x ≤ 1
b) f(x) =

x− 2
|x− 2| , se x 6= 2
1, se x = 2
c) f(x) =

x2 − 4
x+ 2
, se x 6= −2
1, se x = −2
21. Sejam a ∈ R, k uma constante e f : R → R uma função definida no ponto a. Se
lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = k, prove que f é contínua no ponto a.
22. Prove que a equação x5 + x+ 1 = 0 tem pelo menos uma raiz no intervalo [−1, 0].
31
13 Respostas e Sugestões
13 Respostas e Sugestões
1.
a) δ = �
2
b) δ = �
4
c) qualquer δ d) δ = 2�
2.
a) 1 b) 1
5
c)
3
2
d) −7 e) −1
2
f) 4 g) 1
2
h)
1
2
√
2
i)
√
2
2
j) −pi3
k)
1
10
l) 16 m)
√
11 n) sen 4 o) 4
3.
a) −1
3
b) − 1√
2−3 c)
4
3
d)
1
6
e) 1 f) 4 g) −32 (Dica: faça u = 3− x3) h) 1
3
(Dica: faça u = 3
√
x+ 2)
i) 2 j) 1
2
√
3
k) 2 l) e4 − 16
m) −3 n) 0 o) 1
2
√
3
p) 0
q) 4 r) 4
3
4. 5
5. 0
6. 2
7. Não existe lim
x→0
g(x) e lim
x→0
x2g(x) = 0.
8.
a) lim
x→1+
f(x) = 3, lim
x→1−
f(x) = 2 e não existe lim
x→1
f(x)
b) lim
x→0+
f(x) = 2, lim
x→0−
f(x) = −2 e não existe lim
x→0
f(x)
c) lim
x→4+
f(x) = 8, lim
x→4−
f(x) = 0 e não existe lim
x→4
f(x)
d) lim
x→2+
f(x) = 4, lim
x→2−
f(x) = 4 e lim
x→2
f(x) = 4
e) lim
x→5+
f(x) = 0, lim
x→5−
f(x) = 0 e lim
x→5
f(x) = 0
f) lim
x→3+
f(x) = 1, lim
x→3−
f(x) = −1 e não existe lim
x→3
f(x)
32
13 Respostas e Sugestões
9. −6
10. a = 3
2
e b = 7
11. Quando x→ 2+ o limite existe e vale 0. Quando x→ 2− o limite não existe.
12. Quando x→ −2, f(x)→ +∞ e quando x→ +∞, f(x)→ 0.
13.
a) +∞ b) 2 c) 0 d) 1
2
e) −∞
f) +∞ g) +∞ h) 0 i) +∞ j) 1
k) −1 l) 0 m) −1
2
n) −∞ o) +∞
p) −∞ q) +∞ r) −∞ s) +∞ t) +∞
u)
1
16
v) 3
14.
a) y = 0, x = 4 b) y = 0, x = −2
c) y = 0, x = 1, x = 2 d) y = 0, x = 3, x = −4
e) y = 0, x = −4 f) y = 0, x = 3
g) y = 2, x = −4, x = 4 h) y = −1, y = 1, x = 3, x = −4
i) y = 1, x = 0 j) y = 3, x = 2
15.
a) 7 b) 4
3
c)
7
4
d) 2 e) 1
2
f) 3
16.
a) f não é contínua em x = 0. b) f é contínua em x = 0.
c) f é contínua em x = 2. d) f é contínua em x = 0.
e) f não é contínua em x = 1. f) f não é contínua em x = 2.
g) f não é contínua em x = −1. h) f é contínua em x = 2.
17.
a) k = −8
3
b) k = 2 c) k = 1
18.
a) x = 3, x = −7 b) 3 < x < 6 c) não existe
19. f(1) = −1 (justifique)
33
13 Respostas e Sugestões
20.
a) f é contínua em todos os pontos.
b) f não é contínua em x = 2.
c) f não é contínua em x = −2.
21. Use as propriedades dos limites.
22. Use o Teorema do Valor Intermediário.
34

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