LISTA3 TAXASREL.TVM.OTIMIZAÇAO

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3º Trabalho de Cálculo 
Data de entrega: 20/01/2016 
Resolva as questões em folha sulfite, em ordem e entregue o trabalho com capa! 
 
Este trabalho contempla a segunda parte da matéria de Derivadas, ou seja, taxas de variações, máximos 
e mínimos, problemas de otimização. 
 
Parte 1: Taxas relacionadas: 
1) Ar está sendo bombeado para dentro de um balão à uma taxa de 4,5 m³/min. Determine quão rápido varia o 
raio do balão quando o raio do balão for 0,6 m. Explique seus resultados. 
 
2) Um avião está voando em uma trajetória de voo que passa a uma distância 
10h 
km sobre uma estação de 
radar, como mostra a figura. Se a distância 
s
 diminui a uma taxa de 644 km/h, quando 
16s 
km, qual a 
velocidade do avião nesse momento. 
 
 
3) No motor ilustrado na figura, uma haste de ligação (connecting rod) com 18 cm está presa a um virabrequim 
(Cranckshaft) de 7,6 cm. O virabrequim gira no sentido anti-horário, a uma taxa constante de 200 rotações por 
minuto. Encontre a velocidade do pistão (piston) em cm/min quando 
3

 
. 
 
4) Em uma piscina de 12 metros de comprimento, 6 metros de largura, 1 metro de profundidade na parte rasa, e 
3 metros de profundidade na parte funda (veja a figura), água está sendo bombeada a uma taxa de 0,25 m³/min, 
e no instante mostrado na figura a altura da água na parte mais funda da piscina já atinge 1 metro. 
a) Quanto em porcentagem a piscina já possui de água nesse instante em relação ao volume total. 
b) A que taxa a altura da água na parte mais funda da piscina sobe nesse instante, ou seja, quando a altura da água 
é de 1 metro. 
c) A que taxa a altura da água na parte mais funda da piscina sobe quando a altura da água for de 2 metros. 
d) A que taxa a altura da água na parte mais funda da piscina sobe quando a altura da água for de 2,9 metros. 
 
 
Parte 2: Teorema do Valor Médio, Máximos e Mínimos de Funções, Esboços de Gráficos. 
 
1) Enuncie a definição de máximo e mínimo local, o teorema do valor extremo, o teorema de Fermat, a definição 
de ponto crítico, o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio. 
 
2) Seja dada a função 
1 2( ) xf x xe 
 e o intervalo 
[0,1]
, faça: 
a) Calcule quais são os valores extremos de 𝑓 no intervalo dado. 
b) Mostre que essa função satisfaz as condições do T.V.M e aplique-o sobre a função. Sugestão: Para poder 
encontrar o valor de c que satisfaz o T.V.M utilize um software que resolva equações ou utilize o GeoGebra para 
encontrar o ponto onde duas funções são iguais. 
 
3) a) Mostre que a função 
5 3( ) 4 3 3 2f x x x x   
 possui uma única raiz no intervalo (0,1). 
b) Qual é essa raiz? 
 
4) Abaixo é dado o gráfico de uma função 𝑓. 
a) Qual o domínio dessa função? 
b) Em quais pontos 𝑓 é descontínua? 
c) Em quais pontos 𝑓 não é derivável? 
d) Em quais intervalos 𝑓 é crescente? Em quais intervalos 𝑓 é decrescente? 
e) Quais são os números críticos de 𝑓? 
f) Quais são os pontos de máximo e de mínimo local dessa função? 
g) Quais são os pontos de inflexão dessa função? Em quais intervalos 𝑓 é côncava para baixo e para cima? 
h) Quais são as assíntotas dessa função 
Sugestão: Para dar os pontos pedidos utilize as linhas guia da grade, onde o espaçamento é 0.5, e aproxime os 
valores. Ex: A função parece ter um máximo local quando x=0,3 e seu valor máximo parece ser 1,4. 
 
 
5) Quando um objeto é removido de um forno e colocado num ambiente com uma temperatura constante de 32ºC, 
a temperatura de seu núcleo é 815ºC. Cinco horas depois a temperatura de seu núcleo é 199ºC. Explicar porque 
deve existir um tempo no intervalo de cinco horas em que a temperatura diminui a uma taxa aproximada de 123ºC 
por hora. 
 
6) Utilizando o T.V.M prove que 
sen( ) sen( )a b a b  
 para quaisquer valores de 𝑎 e 𝑏. 
Sugestão: Tome a função
( ) sen( )f x x
 em um intervalo
[ , ]a b
. 
 
7) Utilizando o roteiro para o esboço de curvas faça o esboço das seguintes curvas: 
a) 
2 2( ) ( 2) 4f x x  
 b) 
21( ) xf x e 
 c) 
2( ) ln
4
x
f x x
 
  
 
 d) 
2( ) arctg( 1)f x x 
 
 
 
 
Parte 3: Problemas de Otimização 
 
1) Um fabricante deseja produzir uma caixa aberta com base quadrada e uma área de superfície igual a 5292 cm². 
Quais as dimensões da caixa a fazem ter o maior volume possível? Qual é esse volume? 
 
2) Dois números somados resultam em 16. Quais são esses números de modo a obter o maior produto possível entre 
eles? Qual é esse produto? 
 
3) Quais são os pontos da parábola 
24y x 
 que estão mais próximos do ponto 
(0,2)
. 
 
4) Uma perfumaria querendo melhorar suas vendas decide armazenar seus perfumes em um recipiente de vidro com 
forma muito próxima a de um cilindro reto com raio da base igual a 
r
 e altura igual a 
h
. Para deixar tudo mais 
chamativo, ela irá colocar (inscrever) esse recipiente cilíndrico em uma embalagem em formato de cone reto, com 
altura 
H
 e raio da base 
R
, de modo que o perfume tenha um volume máximo. 
a) Qual o raio e a altura do vidro do perfume? 
b) Qual o volume de perfume que um cliente irá comprar nas condições dadas? 
c) Qual a razão (em porcentagem) do volume de perfume em relação ao volume da embalagem cônica? 
d) Qual a porcentagem de volume vazio na embalagem? 
 
5) Duas fábricas se localizam nos pontos cartesianos (-8,0) e (8,0), onde cada unidade no plano representa 1 km. A 
única fonte de energia para essas fábricas é uma usina que está localizada no ponto (0,14). Para fornecer energia às 
fábricas a usina decide passar um cabeamento em linha reta dela até o ponto (0, y) no plano e depois ligar esse ponto 
até as fábricas com um cabeamento também em linha reta. Determine o valor de y para que a usina use a menor 
quantidade possível de cabos para fornecer energia às fábricas? Qual será essa quantidade (em km) mínima de cabos? 
 
6) Um homem está em um bote a 2 km do ponto mais próximo de uma costa. Ele deseja ir para um ponto 𝑄, localizado 
3 km abaixo sobre a costa e 1 km ao sul por terra, veja figura. Ele pode remar a uma velocidade de 2 km/h e andar a 
uma velocidade de 4 km/h. 
a) Determine em qual ponto ele deve atracar seu bote sobre a costa de modo a chegar em Q no menor tempo possível? 
b) Se ele estava remando em linha reta na direção sul, qual a mudança de direção ele deverá realizar para ir ao ponto 
na costa achado na letra a). 
 
 
7) Um componente mecânico de uma máquina possui um formato de cruz e deverá ficar acoplado em outro 
componente circular de raio 𝑟 = 2 𝑐𝑚 de modo que a área da superfície da cruz é a maior possível, veja figura. 
 
a) Determine o valor de 𝑥 em que será fabricado o componente em cruz. 
b) Determine a área desse componente. 
c) Determine o valor do ângulo 𝜃 para o componente em cruz.