Função do 2º grau

Prévia do material em texto

APOSTILA-FUNÇÃO DO 2º GRAU-ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 
 1 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
1. DEFINIÇÃO 
Chama-se função de 2.º grau ou quadrática , toda função definida, de f: , por f 
(x) = ax2 + bx + c com a, b, c e a 0. 
Exemplos: 
a) f(x) = 3x2 – 5x + 6 
b) g(x) = x2 – 5x 
c) h(x) = 3x2 + 6 
2. GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2.° GRAU 
O gráfico de uma função do 2.° grau é uma curva aberta chamada parábola. A 
concavidade da parábola depende do coeficiente a. Assim: 
 
3. RAÍZES OU ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Raízes de f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x que satisfazem a equação de 2.º grau 
ax2 + bx + c = 0. As raízes de f(x) = ax2 + bx + c podem ser calculadas pela conhecida 
fórmula de Báskara: 
 
O número de raízes reais da função do 2.º grau é determinado pelo discriminante . 
Há três casos a considerar: 
1.º) > 0 a função possui duas raízes reais e distintas, o gráfico intercepta x em 
dois pontos distintos: 
 
 
APOSTILA-FUNÇÃO DO 2º GRAU-ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 
 2 
2.º) = 0 a função possui duas raízes reais e iguais. Nesse caso, também dizemos 
que a função possui uma raiz dupla, o gráfico tangencia o eixo x: 
 
 
3.º) < 0 a função não possui raízes reais, o gráfico não intercepta o eixo x: 
 
4. VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA 
É o ponto de maior ou menor valor que a função y = ax2 + bx + c pode atingir e 
coincide com a intersecção do eixo de simetria com o gráfico: 
 
Sendo xv e yv as coordenadas do vértice, temos: 
 
Observação: eixo de simetria (R) é uma reta que divide a parábola em duas partes 
simétricas. 
5. VALOR MÍNIMO OU MÁXIMO 
A ordenada do vértice pode ser o valor mínimo ou máximo da função quadrática, 
dependendo de sua concavidade. Com isso temos: 
APOSTILA-FUNÇÃO DO 2º GRAU-ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 
 3 
a) Se a < 0, 
4a
 - y v
∆
= é valor máximo. 
 
0bs: O conjunto imagem é dado por: Im = }
4a
 - y /{ ∆≤ℜ∈y 
b) Se a > 0, 
4a
 - y v
∆
= é valor mínimo. 
 
0bs: O conjunto imagem é dado por: Im = }
4a
 - y / y { ∆≥ℜ∈ 
6. ESTUDO DO SINAL 
O estudo do sinal da função do 2.º grau é feito determinando-se os seus zeros (caso 
existam) e analisando o esboço do gráfico. Lembre-se de que o valor de está 
relacionado com as raízes e o valor de a determina a concavidade da parábola que a 
representa. 
1º caso: ∆ > 0 
 





 ≥ℜ∈=





 ≤ℜ∈=
2a
b
 - /x edecrescent
2a
b
 -/xx crescente





 ≤ℜ∈=





 ≥ℜ∈=
2a
b
 - / x x decrescete
2a
b
 - / x x crescente
 
APOSTILA-FUNÇÃO DO 2º GRAU-ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 
 4 
2º caso: ∆ = 0 
 
3º caso: ∆ < 0 
 
EXERCÍCICOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 
1) Dada a função f(x) = x2-4x+3.Determine: 
a) A suas raízes; resp: 1 e 3 
b) As coordenadas do vértice da parábola; resp: V(2;-1) 
c) O gráfico 
d) Se a função admite valor máximo ou mínimo e, calcule esse valor; resp: min=-1 
e) O conjunto imagem; resp: Im= {y∈ℜ/ y≥ -1} 
f) Para que valores de x é crescente a função; resp: { x∈ℜ/ x ≥ 2} 
g) Para que valores de x é decrescente a função; resp: { x∈ℜ/ ≤ 2} 
 
2) Dada a função f(x) = -x2+4x-4.Determine: 
a) A suas raízes; resp: 2 
b) As coordenadas do vértice da parábola; resp: V(2;0) 
APOSTILA-FUNÇÃO DO 2º GRAU-ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 
 5 
c) O gráfico 
d) Se a função admite valor máximo ou mínimo e, calcule esse valor; resp: max=0 
e) O conjunto imagem; resp: Im= {y∈ℜ/ y≤0} 
f) Para que valores de x é decrescente a função; resp: { x∈ℜ/ x ≥ 2} 
g) Para que valores de x é crescente a função; resp: { x∈ℜ/ ≤ 2} 
 
3) Determine o valor de k de modo que a função f(x)= -x2+12x+k, tenha 2 raizes reais e 
iguais. Resp: -36 
 
4) Determine m de modo que o valor mínimo da função f(x) = x2-2x+m , admita –4 como 
valor mínimo. Resp: -3 
 
5) O lucro de uma empresa é dado por L(x)= -30x2+360x-600, em que x é o número 
unidades 
 vendidas. Nestas condições, calcule : 
 
a) a quantidade de unidades produzidas para que o lucro seja máximo; resp: 6 
b)a valor máximo do lucro. resp: 480 
 
6) Em um certo pomar em que existem 30 laranjeiras produzindo, cada uma, 600 
laranjas por ano, foram plantadas n laranjeiras. Depois de certo tempo constatou-se que 
devido à competição por nutrientes do solo, cada laranjeira (tanto nova como velha) 
estava produ-zindo 10 laranjas a menos, por ano, por cada laranjeira plantada no pomar. 
Se P(n) é a produção anual do pomar.Determine: 
 
a) a expressão algébrica P(n) resp: P(n) = -10n2+300n+18000 
b) quantas novas laranjeiras deveriam ter sido plantadas para que o pomar tenha produção 
máxima; resp: 15 
c) o valor dessa produção. resp: 20250 
 
7) O diretores de um centro esportivo desejam cercar uma quadra de basquete retangular e 
outros aparatos esportivos que estão a sua volta com tela de alambrado. Tendo recebido 
200m de tela. Determine: 
 
 
 
8) 
 
a) as dimensões do terreno de modo que a área seja 
a maior possível; resp: 50mx50m 
b) a área máxima. resp: 2500 m2 
A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma 
parábola. Supondo que a sua altura h, em metros, t 
segundos após o chute, seja dada por h(t)=-t2+6t, 
determine: 
a) Em que instante a bola atinge a altura máxima? 
 Resp: 3s 
 b) Qual a altura máxima atingida pela bola ? 
 Resp: 9m 
APOSTILA-FUNÇÃO DO 2º GRAU-ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 
 6 
 
9) 
 
Um projétil é lançado do alto de um morro e cai numa praia, conforme mostra a figura 
acima. Sabendo-se que sua trajetória é descrita por h = –d2 + 200d + 404, onde h é a sua 
altitude (em m) e d é o seu alcance horizontal (em m), a altura do lançamento e a 
altitude máxima alcançada são, respectivamente: resp: a 
( ) A - superior a 400m e superior a 10km 
( ) B - superior a 400m e igual a 10km 
( ) C - superior a 400m e inferior a 10km 
( ) D - inferior a 400m e superior a 10km 
( ) E - inferior a 400m e inferior a 10km 
 
10) Estude o sinal das funções: 
 
a) f(x) = x2 - 6x + 5 
 
 Resp: y > 0 para x < 1 ou x >5; y = 0 para x = 1 ou x = 5; y < 0 para 1< x < 5 
 
b) f(x) = -x2 + 2x + 8 
 
Resp: y < 0 para x < -2 ou x > 4; y = 0 para x = -2 ou x = 4; y >0 para 2< x < 4 
 
c) f(x) = 2x2 - 8x + 8 
Resp: y < 0 ∃ x; y=0 para x=2; y>0 para x≠2 
 
 
Prof. Carlinhos