matematica financeira 01

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01
Elizabete Alves de Freitas
C U R S O T É C N I C O E M O P E R A Ç Õ E S C O M E R C I A I S
Razão, proporção, números proporcionais
e divisão proporcional
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Coordenadora da Produção dos Materias
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Coordenador de Edição
Ary Sergio Braga Olinisky
Coordenadora de Revisão
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Adaptação para o Módulo Matemático
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EQUIPE SEDIS | UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN
Projeto Gráfi co
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Governo Federal
Ministério da Educação
Você ve
rá
por aqu
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Objetivos
1
Matemática fi nanceira A01
... em nossa primeira aula, os conceitos de razão, proporção, números proporcionais , 
divisão proporcional e regra de sociedade, através de uma apresentação do conteúdo 
recheada de exemplos práticos. 
Durante toda a aula, você encontrará atividades que reforçam imediatamente cada 
conteúdo e, ao fi nal da aula, você encontrará uma lista de exercícios com todo o 
conteúdo estudado nesta aula.
Além dos assuntos já citados, em nossa disciplina, você também verá, nas próximas 
4 (quatro) aulas, alguns conceitos como operações sobre mercadorias, conversão 
monetária, operação cambial, capitalização simples e capitalização composta.
Seja bem-vindo e bons estudos.
  Conhecer razão, sabendo identificar seus elementos 
e calcular uma razão entre dois números ou entre 
duas grandezas.
  Conhecer proporção, seus elementos e suas propriedades, 
utilizando adequadamente essas propriedades para estimar 
um valor desconhecido de uma proporção.
  Classifi car uma série de números em diretamente proporcional 
ou inversamente proporcional a outra série de números 
e utilizar adequadamente as propriedades da divisão 
proporcional na resolução de problemas que envolvem regra 
de sociedade. 
2
Matemática fi nanceira A01
Para começo
de conversa
Imagine a seguinte situação:
José e Jorge são dois sócios. Eles investiram os capitais de R$ 3.000,00 e 
R$ 5.000,00, respectivamente, num empreendimento. No dia do balanço 
anual, após 10 meses de sociedade, ao repartirem o lucro, Jorge obteve 
R$ 600,00 a mais que o primeiro. De quanto foi o lucro total 
do empreendimento?
Para poder responder a esse tipo de pergunta, é preciso entender alguns conceitos que 
serão os assuntos de nossa aula.
3
Matemática fi nanceira A01
Conhecendo razão, 
proporção, números 
proporcionais e 
divisão proporcional
Vimos, no texto anterior, que ao dividirem os lucros, no balanço geral, Jorge teve um 
lucro de R$ 600,00 a mais que o de José. Por que isso aconteceu?
É simples! Nessa sociedade, cada sócio entrou com quantias diferentes. Lembra que 
um investiu R$ 3.000,00 e o outro, R$ 5.000,00?
Razão 
Quando comparamos as duas quantias, podemos escrever uma razão entre elas. Assim, 
a razão entre as quantias investidas nesse negócio, ou seja, a razão entre 3.000,00 e 
R$ 5.000,00 é: R$ 3.000, 00
R$ 5.000, 00
=
3
5
.
Lemos essa razão assim: três para cinco. Ela também pode ser escrita no formato 3:5.
A palavra razão vem da palavra ratio, que em latim signifi ca divisão. Escrever uma razão 
entre dois números é escrever o quociente entre eles.
De uma forma geral, podemos dizer que
A razão do número a para o número b, em que b é diferente de zero, é o 
quociente de a por b. 
A razão entre a e b, escrita através de notação matemática, é a
b
ou a : b, onde b �= 0.
Os números a e b são os termos da razão, em que a recebe o nome de antecedente e 
b recebe o nome de consequente.
Exemplo 1
Exemplo 3
Exemplo 2
4
Matemática fi nanceira A01
Na razão 1:7, o antecedente é 1 e o consequente é 7.
A razão entre 5 e 2
1
3
 é 
5
2
1
3
=
5
7
3
= 5 · 3
7
=
5
1
· 3
7
=
15
7
ou 15 : 7. A leitura 
dessa razão é quinze para sete.
A razão de 12 para 4 é 
12
4
=
12÷ 4
4÷ 4 =
3
1
= 3. A leitura dessa razão é três 
para um (ou apenas três).
Podemos estabelecer uma razão entre medidas de duas grandezas. A razão entre duas 
medidas, dadas em certa ordem, é razão entre a primeira medida e a segunda medida 
(sendo esta última diferente de zero). Se as medidas que formam a razão são de 
grandezas de mesma espécie devemos apresentá-las em uma mesma unidade. Se em 
uma razão temos duas medidas de comprimento, por exemplo, devemos apresentá-las 
em uma mesma unidade. Nesse caso, a razão é um número que não apresenta unidade 
de medida. É o caso de uma escala de um mapa, de uma planta de um imóvel, entre 
outros exemplos.
Quando o antecedente e o consequente de uma mesma proporção são múltiplos de 
um mesmo número, podemos dividi-los por esse número e encontrar uma razão mais 
simples igual à razão dada. A seguir, temos alguns exemplos de razões que podem ser 
simplifi cadas.
Exemplo 6
Exemplo 7
Exemplo 4
Exemplo 5
5
Matemática fi nanceira A01
A razão entre 20cm e 3m é 20 cm
3m
=
20 cm
300 cm
=
20÷ 20
300÷ 20 =
1
15
 ou seja, é 1 
para 15.
A razão entre 15 minutos e 1 hora é, 
15min
1h
=
15min
60min
=
15
60
=
15÷ 3
60÷ 3 =
5÷ 5
20÷ 5 =
1
4
, ou seja, é 1 para 4.
Se as grandezas que formam uma razão não são de uma mesma espécie, a unidade 
dessa razão vai depender das unidades das grandezas do antecedente e do consequente. 
Que tal ver mais alguns exemplos?
O deslocamento diário de 140 quilômetros de casa para a fábrica onde trabalha 
é percorrido por um operário em 2 horas. A razão entre a distância percorrida 
e o tempo gasto em percorrê-la é 
140 km
2 h
=
140
2
km/h = 70 km/h. 
Um torno de madeira, em 5 minutos, produz 3000 rotações. A razão 
entre o número de rotações e o tempo gasto para produzi-las é 
3000 rotaco˜es
5min
= 600rotações/min.
A velocidade média desse torno, nesse período, é de 600 rotações/min.
6
Matemática fi nanceira A01
Podemos dizer que a velocidade média de seu meio de transporte nesse 
deslocamento é de 70 km/h.
Proporção
Em uma empresa, os dados sobre quais funcionários têm curso completo de informática, 
são os seguintes:
Curso de informática completo Total de funcionários
Filial 6 8
Matriz 9 12
A razão entre os funcionários que apresentam curso completo de informática e o número 
total de funcionários, em cada unidade da empresa, é:
Filial: 6
8
=
6÷ 2
8÷ 2 =
3
4
 Matriz: 9
12
=
9÷ 3
12÷ 3 =
3
4
Podemos observar que as duas razões são iguais, ou seja, 6
8
=
9
12
. Essa igualdade 
também pode ser escrita como 6 : 8 :: 9 : 12. Assim, dados os números 6, 8, 9 e 12, 
nesta ordem, podemos afi rmar que a razão entre os dois primeiros é igual à razão entre 
os dois últimos. 
A igualdade entre duas razões recebe um nome especial. Dizemos que, nessa mesma 
ordem, os números 6, 8, 9 e 12 formam uma proporção.
De uma forma geral, dados quatro números reais e diferentes de zero (a, b, 
c e d), em certa ordem, se a razão entre os dois primeiros for igual à razão 
entre os dois últimos, ou seja, se a
b
=
c
d
 , dizemos que os números a, b, c 
e d, nesta ordem, formam uma proporção. 
Uma proporção pode ser escrita na forma a
b
=
c
dou a : b :: c : d. Em qualquer um 
dos formatos, sua leitura é a está para b assim como c está para d. No exemplo 7, se 
escrevemos 6
8
=
9
12
 ou 6 : 8 :: 9 : 12, a leitura é sempre a mesma: seis está para oito 
assim como nove está para doze.
Exemplo 8
Exemplo 9
7
Matemática fi nanceira A01
A leitura da proporção 2
3
=
4
6
 é: 2 está para 3 assim como 4 está para 6.
Termos de uma proporção 
Se a, b, c e d ∈ �∗ e a
b
=
c
d
, dizemos que a, b, c e d são os termos da proporção. Assim:
  a e c são os antecedentes e b e d são os consequentes das razões;
  a e d são os extremos da proporção;
  b e c são os meios da proporção.
Em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Aplicando a propriedade fundamental, podemos verifi car se duas razões formam uma 
proporção ou não. É o que faremos nos exemplos a seguir.
Na proporção 2
3
=
4
6
, os números 2, 3, 4 e 6 são os termos da proporção. 
Assim:
  2 e 4 são os antecedentes e 3 e 6 são os consequentes das razões;
  3 e 4 são os meios da proporção; 
  2 e 6 são os extremos da proporção.
Propriedade fundamental das proporções
Para verifi car essa propriedade, devemos realizar algumas operações. 
Na proporção a
b
=
c
d
, podemos multiplicar os dois lados da igualdade pelo produto dos 
conseqüentes de suas razões, ou seja, multiplicar os dois lados da proporção por bd. 
Ou seja, a
b
· bd = c
d
· bd, que após a simplifi cação é a ·d = b ·c.
Diante desse resultado, podemos afi rmar o seguinte:
Exemplo 10
Exemplo 11
8
Matemática fi nanceira A01
A expressão 2
7
=
18
63
 é uma proporção?
O produto dos extremos é: 2 · 63 = 126.
O produto dos meios é: 7 · 18 = 126.
Podemos observar que 2 · 63 = 7 · 18 , logo a expressão 2
7
=
18
63
 é uma 
proporção.
Verifi que se os números 11, 15, 22 e 30, não obrigatoriamente nessa ordem, 
formam uma proporção.
Fazendo o produto entre o menor e o maior desses números, temos:
11 ⋅30 = 330
Fazendo o produto entre os outros dois números, temos: 15 ⋅22 = 330
Assim 11·30 = 15 ·22, e a proporção 11
15
=
15
30
 é uma das proporções que 
podem ser formadas por esses números.
Recíproca da propriedade fundamental das proporções
Sejam a, b, c e d, números reais e diferentes de zero, tais que o produto de dois deles 
seja igual ao produto dos outros dois, isto é: 
a ·d = b ·c.
Dividindo cada membro da igualdade pelo produto bd, temos que:
ad
bd
=
bc
bd
Após a simplifi cação, temos:
a
b
=
c
d
Exemplo 12
1Praticando...
9
Matemática fi nanceira A01
Assim, transformamos a igualdade entre dois produtos em uma proporção, como você 
também verá no exemplo a seguir.
Escreva a igualdade 3 ·35 = 7·15 em forma de proporção.
Dividindo ambos os membros da igualdade 3 ·35 = 7·15 pelo produto 
35 ·15, temos 3 · 35
35 · 15 =
7 · 15
35 · 15
.
Ao simplifi carmos essa expressão, obtemos a proporção 3
15
=
7
35
.
1. Escreva a razão mais simples entre 
a) 120 mm e 4 dm. b) 1,2g e 4 cm3. d) 4.000.000 habitantes e 1.000 km2.
2. Indique o antecedente e o consequente em cada uma das razões 
a seguir:
a) 3 : 20 b) 5
1
3
:
12
5
 c) 
18
25
3. Indique quais números são os extremos e quais são os meios em cada 
proporção a seguir:
a) 10
27
=
30
81
 b) 1
8
=
15
120
4. Verifi que, utilizando a propriedade fundamental das proporções, se a 
expressão 2
13
=
10
65
 é uma proporção.
Exemplo 13
Exemplo 14
10
Matemática fi nanceira A01
Cálculo de um termo desconhecido em 
uma proporção 
Em uma proporção, é sempre possível determinar o valor de um dos termos, sendo 
os outros três conhecidos. Basta aplicar a propriedade fundamental das proporções. 
Observe o exemplo a seguir:
Quando aplicamos a propriedade fundamental na proporção 3
4
=
60
x
, temos: 
3x = 4 · 60⇒ 3x = 240⇒ x = 240 : 3⇒ x = 80.
Transformações de uma proporção 
Podemos escrever uma mesma proporção de várias maneiras, apenas usando os 
mesmos termos em uma ordem diferente, ou seja, encontrando proporções equivalentes 
à proporção dada mudando apenas a ordem dos termos.
A igualdade entre as razões, na proporção 3
5
=
12
20
, se mantém quando
  alternamos os extremos: 20
5
=
12
3
⇒ 20 · 3 = 5 · 12 = 60;
  alternamos os meios: 3
12
=
5
20
⇒ 3 · 20 = 12 · 5 = 60;
  invertemos os termos: 5
3
=
20
12
⇒ 5 · 12 = 3 · 20;
  transpomos as razões: 12
20
=
3
5
⇒ 12 · 5 = 20 · 3 = 60. 
Proporções múltiplas 
Observe as razões 6
14
 e 15
35
. Após a simplifi cação, ambas são iguais a 3
7
. 
Logo, podemos escrever 6
14
=
15
35
=
3
7
, que é uma proporção múltipla.
Exemplo 15
11
Matemática fi nanceira A01
Chamamos de proporção múltipla a toda proporção que envolve uma igualdade entre 
três razões ou mais. Uma proporção múltipla também pode ser chamada de série de 
razões iguais. 
De forma geral:
a
b
=
c
d
= . . . =
m
n
 (em que a, b, c,..., n ∈ �∗) é uma proporção múltipla.
Propriedade fundamental das proporções múltiplas 
Sendo a proporção a
b
=
c
d
= . . . =
m
n
 e considerando que cada uma dessas razões é 
igual a um mesmo número k, esse valor k é chamado de coefi ciente de proporcionalidade 
dessa proporção.
Assim, temos:
a
b
= k,
c
d
= k, . . . ,
m
n
= k ⇒ a = bk, c = dk, . . . , m = nk
Somando essas igualdades, membro a membro, temos:
a + c + . . . + m = bk + dk + . . . + nk
a + c + . . . + m = k · (b + d + . . . + n)
Ou seja:
a + c + . . . + m
b + d + . . . + n
= k
Assim:
Em uma proporção múltipla, a soma dos antecedentes está para a soma 
dos consequentes assim como qualquer antecedente está para seu 
respectivo consequente. 
Veja o exemplo a seguir:
Considere a seguinte proporção múltipla: 1
5
=
3
15
=
5
25
=
6
30
.
12
Matemática fi nanceira A01
1
5
=
3
15
=
5
25
=
6
30
⇒ 1 + 3 + 5 + 6
5 + 15 + 25 + 30
=
15
75
=
15÷ 15
75÷ 15 =
1
5
.
Observe que a razão entre a soma dos antecedentes e a soma dos 
consequentes é 
1
5
, que é o coefi ciente de proporcionalidade de todas as 
outras razões, confi rmando assim a propriedade das proporções múltiplas.
Outras propriedades das proporções 
Considerando a proporção a
b
=
c
d
, podemos observar as seguintes propriedades:
I) Razão entre a soma dos antecedentes e a soma dos consequentes de uma razão.
A soma dos antecedentes de uma proporção está para a soma dos seus conseqüentes, 
assim como cada antecedente está para o seu respectivo conseqüente. Ou seja, a + c
b + d
=
a
c
 
ou a + c
b + d
=
c
d
.
II) Razão entre a diferença dos antecedentes e a diferença dos consequentes de uma razão.
A diferença entre os antecedentes está para a diferença de seus consequentes, 
assim como cada antecedente está para seu respectivo consequente. Ou seja, 
a− c
b− d =
a
b
 ou a− c
b− d =
c
d
III) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma razão e seu respectivo 
antecedente.
A soma (ou diferença) dos termos da primeira razão está para seu antecedente, assim 
como a soma (ou diferença) dos termos da segunda razão está para seu respectivo 
antecedente. Assim, a + b
a
=
c + d
c
 ou a− b
a
=
c− d
c
.
IV) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma razão e o seu respectivo 
consequente.
A soma (ou diferença) entre os termos da primeira razão está para seu conseqüente, 
assim como a soma (ou diferença) entre os termos da segunda razão está para seu 
respectivo consequente. Assim, a + b
b
=
c + d
d
 ou a− b
b
=
c− d
d
.
Veja a utilização dessas propriedades na resoluçãodos exemplos a seguir:
Exemplo 16
Exemplo 17
13
Matemática fi nanceira A01
Determine dois números, sabendo que a sua soma é 54 e que a razão entre 
eles é 1:2.
Como são valores desconhecidos, podemos associar ao número menor a 
letra x e ao número maior, a letra y.
Através das informações do problema, podemos escrever: x + y = 54 e 
x
y
=
1
2
Aplicando a propriedade III na proporção x
y
=
1
2
, temos: x + y
x
=
1 + 2
1 
Como x + y = 54, temos 54
x
=
3
1
.
Aplicando a propriedade fundamental das proporções e resolvendo a 
equação resultante, temos:
3 · x = 54 · 1⇒ 3x = 54⇒ x = 54÷ 3⇒ x = 18 
Para encontrar o valor de y basta substituir o valor de x em qualquer das 
equações. Substituindo x = 18 na equação x + y = 54, temos:
18 + y = 54⇒ y = 54− 18⇒ y = 36 
Resposta: Os números procurados são 18 e 36.
Determine dois números sabendo que a diferença entre eles é igual a 12 e 
que o maior está para o menor assim como seis está para cinco.
Chamando o número maior de m e o número menor de n, temos que as 
informações do problema podem ser escritas como: m – n = 12 e 
 
m
n
=
6
5
.
Aplicando a propriedade IV na proporção m
n
=
6
5
 temos: m− n
m
=
6− 5
6
 
Substituindo o valor de m – n e resolvendo 6 – 5, temos: 12
m
=
1
6
 
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: m ·1 = 12·6. Ou 
seja, m = 72.
2Praticando...
14
Matemática fi nanceira A01
Para calcular o valor de n, basta substituir o valor de m na equação 
m – n = 12.
Assim: 72− n = 12⇒ −n = 12− 72⇒ −n = −60⇒ n = 60. 
Resposta: Os números procurados são 72 e 60.
1. Calcule o valor de x na proporção x
5
=
x− 3
2
.
2. Reescreva de 4 maneiras diferentes a proporção 2
15
=
8
60
.
3. Determine os valores de x, y e z, sabendo que x + y + z = 80 e 
x
2
=
y
4
=
z
14
.
4. Se x – y = 18 e x
y
=
25
19
, calcule os valores de x e y. 
Números proporcionais
Quando a variação de uma grandeza provoca uma variação em outra grandeza, dizemos 
que essas grandezas se relacionam e, de acordo com a relação entre essas grandezas, 
elas podem ser classifi cadas em grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. 
Os valores numéricos associados a essas grandezas podem ser classifi cados como 
números diretamente ou inversamente proporcionais.
Números diretamente proporcionais 
Segundo a NR 24, norma do Ministério do Trabalho e Emprego que regula as condições 
sanitárias e de conforto nos locais de trabalho, cada empresa deve providenciar, por 
trabalhador, a quantidade de 60 litros de água para o consumo nas instalações sanitárias.
Exemplo 18
15
Matemática fi nanceira A01
Se duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão entre dois valores 
de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra.
As seqüências de números (reais e diferentes de zero) que representam essas grandezas 
são ditas diretamente proporcionais.
As sequências de números (5, 6, 7) e (25, 30, 35) são diretamente 
proporcionais? 
Escrevendo as razões entre os números correspondentes, temos: 5
25
, 6
30
 
e 7
35
.
Todas iguais a 1
5
, que é o coefi ciente de proporcionalidade.
Podemos afi rmar que as seqüências acima são diretamente proporcionais. 
Note que enquanto uma grandeza aumenta a outra também aumenta e, em cada unidade 
da empresa, a razão entre a quantidade de água mínima necessária (litros) e o número 
de funcionários é sempre igual a 60. Veja:
720
12
=
1080
18
=
1200
20
=
1800
30
=
3000
50
= 60.
Dizemos, então, que as seqüências de números (720, 1080, 1200, 1800, 3000) e (12, 18, 
20, 30, 50) são diretamente proporcionais e que o coefi ciente de proporcionalidade é 60.
Chamando dois valores quaisquer da primeira grandeza de a′ e a′′os valores 
correspondentes na segunda grandeza de b′e b′′, podemos apresentar a proporção: 
a′
b′
=
a′′
b′′
 ou, alternando os extremos, obtemos: b
′′
b′
=
a′′
a′
Ou seja:
Em uma empresa, que obedece a essas normas, foi construída a seguinte tabela:
Filial Filial A Filial B Filial C Filial D Matriz
Número de funcionários 12 18 20 30 50
Quantidade de água (litros) 720 1080 1200 1800 3000
Exemplo 19
16
Matemática fi nanceira A01
As razões formadas pelos elementos correspondentes de duas sequências 
diretamente proporcionais são todas iguais a um mesmo número e esse 
número é chamado de coefi ciente de proporcionalidade.
Números inversamente proporcionais 
Em um serviço de entregas, um veículo de uma transportadora percorre certa distância 
em 6 horas, a uma velocidade média de 40 km/h.
Se sua velocidade média aumentasse para 80 km/h, o tempo que se levaria para 
percorrer a mesma distância seria reduzido para 3 horas.
Ou seja:
Velocidade média (km/h) 40 80 aumenta
Tempo de percurso (h) 6 3 diminui
Aumentando em duas vezes a velocidade média, o tempo gasto para fazer o mesmo 
percurso diminui, sendo reduzido à metade.
Enquanto uma grandeza aumenta, a outra diminui, ou seja, as grandezas variam em 
sentido contrário. As grandezas velocidade e tempo são grandezas inversamente 
proporcionais.
Qual é o coefi ciente de proporcionalidade entre as sequências diretamente 
proporcionais (5, 8, 12) e (40, 64, 96)?
Como 5
40
=
8
64
=
12
96
=
1
8
, temos que o coefi ciente de proporcionalidade é 1
8
.
Exemplo 20
Exemplo 21
Exemplo 22
17
Matemática fi nanceira A01
As sequências (40, 80) e (6, 3) são inversamente proporcionais. Nesse 
caso, a primeira sequência é diretamente proporcional aos inversos dos 
elementos correspondentes na segunda sequência. Ou seja, as sequências 
(40, 80) e ( 1
6
,
1
3
)
) são diretamente proporcionais.
Assim: 40
1
6
=
80
1
3
 
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 40 · 1
3
= 80 · 1
6
A proporção formada (já simplifi cada) é 40
3
=
80
6
.
Qual o coefi ciente de proporcionalidade entre as sequências de números 
inversamente proporcionais (1, 2, 5) e (20, 10, 4)?
Como as seqüências são inversamente proporcionais, temos que:
1
1
20
=
2
1
10
=
5
1
4
⇒ 1 · 20
1
= 2 · 10
1
= 5 · 4
1
= 20 Logo, o coeficiente de 
proporcionalidade é 20.
Sabendo que as sequências (m, –4, 1) e (2, n, 4) são inversamente 
proporcionais, determine os valores de m e n.
Considerando as seqüências inversamente proporcionais, temos: 
m
1
2
=
−4
1
n
=
1
1
4
.
A última razão dessa proporção múltipla é 
1
1
4
= 1 · 4
1
= 4, que é também o 
coefi ciente de proporcionalidade.
Exemplo 23
18
Matemática fi nanceira A01
Igualando cada razão ao coefi ciente de proporcionalidade, temos:
m
1
2
= 4 ⇒ m · 2
1
= 4 ⇒ 2m = 4⇒ m = 2
−4
1
n
= 4⇒ −4 · n
1
= 4⇒ −4n = 4, que multiplicado por (–1), é igual a
4n = −4 ⇒ n = −1
Resposta: Os valores procurados são m = 2 e n = –1.
Calcule o valor de a, b, x e y, sabendo que a sequência (12, 10, 20) é 
diretamente proporcional a série (a, b, 5) e inversamente proporcional a 
(x, 2, y).
Pelas informações acima, temos que: 12
a
=
10
b
=
20
5
 e 12
1
x
=
10
1
2
=
20
1
y
Números ao mesmo tempo diretamente proporcionais a
uns e inversamente proporcionais a outros números 
Considere X uma grandeza proporcional à grandeza A e, ao mesmo tempo, inversamente 
proporcional à grandeza C. Se x, a e c são valores correspondentes dessas grandezas, 
existe uma constante k, diferente de zero, que é o coefi ciente de proporcionalidade, tal 
que: 
x
a · 1
c
= k ⇒ x = ka · 1
c
 ou
 
x = k · a
c
Então, sendo x
1
, a
1
, c
1
 e x
2
, a
2
, c
2
 valores correspondentes das grandezas X, A e C, 
temos:x1 = k ·
a1
c1
 e x2 = k ·
a2
c2
A razão entre esses valores é x1
x2
=
k · a1
c1
k · a2
c2
⇒ x1
x2
=
a1
c1
a2
c2
 ou x1
x2
=
a1
a2
· c2
c1
3Praticando...
(I)
(II)
19
Matemática fi nanceira A01
Desenvolvendo a primeira dessas proporções, temos: 12
a
=
10
b
=
20
5
=
4
1
= 4
Assim: 
12
a
= 4 ⇒ 4a = 12 ⇒ a = 3 e 10
b
= 4 ⇒ 4b = 10 ⇒ b = 10
4
⇒ b = 5
2
Desenvolvendo a segunda proporção 
12
1
x
=
10
1
2
=
20
1
y
, temos: 
12
1
x
=
10
1
2
=
20
1
y
⇒ 12x
1
=
20
1
=
20y
1
Igualando duas a duas as razões dessa última proporção, obtemos:
(I) 12x
1
=
20
1
⇒ 12x = 20 ⇒ x = 20
12
⇒ x = 5
3
(II) 20
1
=
20y
1
⇒ 20y = 20 ⇒ y = 20
20
⇒ y = 1
Resposta: Os valores procurados são a = 3, b = 5
2
, x =
5
3
e
 
y = 1
1. Indique se são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais 
as sequências de números:
a) (3, 5, 9) e (
1
15
,
1
9
,
1
5
) b) (40, 80, 16) e (2, 1, 5)
2. Determine o valor de m, n, p e r, sabendo que a série de números 
(9, 15, 27) é diretamente proporcional à série (m, n, 9) e inversamente 
proporcional à série (3, p, r).
Exemplo 24
20
Matemática fi nanceira A01
Divisão proporcional e regra de sociedade 
Agora, vamos pensar um pouco sobre a situação que encontramos no início desta aula?
José e Jorge são dois sócios. Eles investiram os capitais de R$ 3.000,00 
e R$ 5.000,00, respectivamente, num empreendimento. No dia do balanço 
anual, após 10 meses de sociedade, ao repartirem o lucro, Jorge obteve 
R$ 600,00 a mais que o primeiro. De quanto foi o lucro total dessa sociedade 
nesse período?”.
Investimento (R$) Lucro (R$)
José 3.000 x
Jorge 5.000 x + 600
A razão entre as quantias investidas deve ser igual à razão entre os lucros, 
ou seja, 3.000
5.000
=
x
x + 600
, ou após a simplifi cação da primeira razão, temos 
3
5
=
x
x + 600
, onde o produto dos meios é igual a 5·x e o produto dos 
extremos: 3 · (x + 600) = 3x + 1.800.
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
5 · x = 3 · (x + 600) ⇒ 5x = 3x + 1.800 ⇒ 5x− 3x = 1.800 ⇒ 2x = 1.800
x = 1.800÷ 2 ⇒ x = 900
 
Para descobrir o valor que cada um dos sócios recebeu, substituímos o 
valor de x por 900 e encontramos que o lucro de José foi de R$ 900,00 e o 
lucro de Jorge, R$ 1.500,00.
Essa situação se refere a uma divisão de um número (lucro) em partes diretamente 
proporcionais a vários outros (ato de criação da sociedade).
Divisão em partes diretamente proporcionais 
Dividir um número em partes diretamente proporcionais a vários outros é decompor 
esse número em partes proporcionais a esses números. 
Exemplo 25
Exemplo 26
21
Matemática fi nanceira A01
Vejamos mais um exemplo:
Para a realização de um serviço de pintura, foram contratados dois funcionários. 
Sabendo que um pintor trabalhou 8 horas e outro trabalhou apenas 6 horas, e 
que, pelo serviço, foram pagos R$ 280,00, calcule o valor que cada um recebeu. 
Remuneração do primeiro pintor: x
Remuneração do segundo pintor: y
Soma das partes: x +y = 280
Quando dividimos R$ 280,00 em partes proporcionais ao tempo de trabalho de 
cada pintor, temos: x
8
=
y
6
, que pode ser transformada na proporção: x
y
=
8
6
.
Podemos dizer que: x + y
x
=
8 + 6
8
⇒ 280
x
=
14
8
 e x + y
y
=
8 + 6
6
⇒ 280
y
=
14
6
 .
Pela propriedade fundamental das proporções, temos:
14 · x = 280 · 8 ⇒ 14x = 2.240 ⇒ x = 2.240÷ 14 ⇒ x = 160
14 · y = 280 · 6 ⇒ 14y = 1.680 ⇒ y = 1.680÷ 14 ⇒ y = 120
Resposta: Um pintor recebeu R$ 160,00 e o outro recebeu R$ 120,00.
Um número também pode ser dividido em partes inversamente proporcionais a 
vários outros.
Divisão em partes inversamente proporcionais 
Quando um número é dividido em partes inversamente proporcionais, dizemos que 
esse número é diretamente proporcional aos inversos dessas partes, como você pode 
observar no exemplo a seguir:
Divida o número 540 em partes inversamente proporcionais 1
4
, 1
6
 e 1
8
.
Podemos nomear as partes de x, y e z, e afi rmar que: x
4
=
y
6
=
z
8
=
x + y + z
4 + 6 + 8
.
Exemplo 27
22
Matemática fi nanceira A01
Divisão proporcional composta
Um número pode ser dividido ao mesmo tempo em partes diretamente proporcionais a 
alguns números e em partes inversamente proporcionais a outros.
y
6
=
540
18
⇒ 18 · y = 3.240 ⇒ 18y = 3.240 ⇒ y = 3.240÷ 18 ⇒ y = 180
z
8
=
540
18
⇒ 18 · z = 4.320 ⇒ 18z = 4.320 ⇒ z = 4.320÷ 18 ⇒ z = 240
x
4
=
540
18
⇒ 18 · x = 2.160 ⇒ 18x = 2.160 ⇒ x = 2.160÷ 18 ⇒ x = 120
A soma x + y + z = 540 e 4 + 6 + 8 = 18. Assim:
Resposta: As partes de 540 que são inversamente proporcionais a 1
4
,
 
1
6 
e 
1
8 
são120, 180 e 240.
Divida o número 392 em partes diretamente proporcionais a 4, 3 e 2 e, ao 
mesmo tempo, em partes inversamente proporcionais a 1
7
, 
1
5 
e 
1
3
.
Nesse caso, as partes de 392 (que chamaremos de m, n e p), são diretamente 
proporcionais aos produtos 4 · 11
7
,
 
3 · 11
5
, 2 · 11
3
, ou seja, diretamente 
proporcionais a 28, 15 e 6. Assim: 
m
28
=
n
15
=
p
6
=
m + n + p
49
=
392
49
= 8.
Logo: 
m
28
= 8 ⇒ m = 28 · 8 ⇒ m = 224
n
15
= 8 ⇒ n = 15 · 8 ⇒ n = 120
p
6
= 8 ⇒ p = 6 · 8 ⇒ p = 48
Resposta: Os valores procurados são m = 224, n = 120 e p = 48.
4Praticando...
23
Matemática fi nanceira A01
1. Três amigas compraram, em sociedade, um terreno de R$ 10.000,00. 
Ana pagou R$ 5.000,00; Paula, R$ 3.000,00, e Renata, R$ 2.000,00. Algum 
tempo depois, elas venderam o terreno por R$ 30.000,00. Quanto recebeu 
cada uma das amigas pela venda do terreno?
2. Três irmãos, de 8, 12 e 28 anos, receberam uma herança para ser dividida 
entre eles em partes diretamente proporcionais às suas idades.
3. Uma empresa, em um determinado mês, contratou três funcionários 
provisórios que foram remunerados com uma verba de R$ 5.200,00, 
dividida em partes inversamente proporcionais ao número de faltas de 
cada um. Nesse período, o primeiro funcionário faltou 2 dias; o segundo, 
3 dias e o terceiro, 4 dias. Ao fi nal do mês, quanto recebeu cada um 
desses funcionários?
4. Divida 3.500 em partes diretamente proporcionais a 15
2
, 6, e 4 e, ao 
mesmo tempo, inversamente proporcionais a 3
2
, 2 e 2.
Uma aplicação da divisão proporcional:
a regra de sociedade 
Regra de sociedade é uma forma de aplicação de divisão proporcional utilizada para a 
divisão de lucro ou prejuízo entre componentes de uma sociedade.
Essa divisão tem como base o capital investido e o período de tempo em que esses 
capitais foram investidos na sociedade.
São quatro os casos de regra de sociedade. Vejamos as características de cada 
um deles:
1º. Caso: Capitais iguais e períodos de tempos iguais
Nesse caso, basta dividir igualmente entre os sócios o lucro (ou prejuízo) do período.
5Praticando...
24
Matemática fi nanceira A01
2º. Caso: Capitais iguais e períodos de tempo diferentes
Como todos os sócios entraram na sociedade com a mesma quantia 
em dinheiro, basta dividir o lucro (ou prejuízo) em partes diretamente 
proporcionais ao tempo de sociedade de cada um.
3º. Caso: Capitais diferentes e períodos de tempo iguais
Como todos os sócios têm o mesmo tempo de sociedade, o lucro (ou 
prejuízo) é dividido em partes diretamente proporcionais ao capital investido 
por cada um dos sócios.
4º. Caso: Capitais diferentes e períodos de tempo diferentes
Nesse caso, dividimos o lucro (ou prejuízo) em partes diretamente 
proporcionais ao produto de cada capital investido pelo respectivo tempo 
de investimento.
1. Três sóciosconstituíram sociedade e no dia em que iniciaram esse 
negócio a soma do capital investido foi de R$ 30.000,00. No dia em que 
apuraram os ganhos dessa sociedade, coube ao primeiro sócio a metade 
do que o segundo sócio recebeu, e ao terceiro sócio, o triplo do que 
recebeu o primeiro. Qual foi o capital inicial de cada um desses sócios?
2. Pedro e Maria montaram uma sorveteria, entrando cada um, na mesma 
época, com R$ 2.500,00. No dia do balanço anual, foi apurado um lucro 
de R$ 6.000,00. Quanto deve receber cada um dos sócios?
3. Duas amigas constituíram sociedade com os capitais de R$ 2.000,00 e 
R$ 3.000,00. Na divisão dos lucros, a segunda recebeu R$ 7.500,00 a 
mais que a primeira. De quanto foi o lucro total dessa sociedade?
Agora, se você já resolveu todas as atividades anteriores e não tem mais 
dúvida, que tal resolver mais alguns exercícios?
Ex
er
cí
ci
os
25
Matemática fi nanceira A01
1. Estabeleça uma correspondência entre os números que se encontram 
em cada item da coluna à esquerda e a razão entre esses números, em 
cada item da coluna à direita.
(a) 12 e 36 ( ) 12:9
(b) 60 e 15 ( ) 11 para 4
(c) 3 e 2,25 ( ) 5:4
(d) 1,05 e 3,5 ( ) 4 para 1
(e) 5
1
2 
e 2 ( )
1
4
(f) 4 e
 
3
1
5
( )
3
10
2. Verifi que se a razão 10
25
 é igual à razão 2
10
.
3. Calcule a razão entre as seguintes grandezas:
a) 15 m e 12 cm
b) 20 dam e 3 km
c) 1g e 5 kg
d) 2 km e 0,5 m3 
4. Calcule o valor de x na proporção x
5
=
2− x
3
.
5. Escreva a proporção cujas razões são iguais a 5 para 7 e cujos 
consequentes sejam 3 e 16.
6. Calcule x e y, sabendo que x + y = 300 e x
y
=
9
11
.
7. Complete a série B, no quadro abaixo, sabendo que as séries A e B 
são diretamente proporcionais e o coefi ciente de proporcionalidade é 1
4
.
A B
4
6
12
8. Em uma determinada sociedade, quatro sócios investiram R$ 4.200,00, 
R$ 3.800,00, R$ 9.500,00 e R$7.500,00. Ao primeiro sócio, no rateio 
do lucro, coube o valor de R$ 13.000,00. Qual foi o lucro recebido por 
cada um dos sócios?
26
Matemática fi nanceira A01
Nesta aula, vimos os conceitos de razões e proporções, bem como os 
seus elementos e propriedades. Também vimos os conceitos de números 
proporcionais e de divisão proporcional e uma aplicação de divisão 
proporcional: a regra de sociedade. 
1. Escreva o conceito de razão.
2. Dê um exemplo de razão e indique o antecedente e o consequente.
3. Construa uma proporção que tenha coefi ciente de proporcionalidade 0,5.
4. Como você classifi ca as grandezas número de dias gastos e o número 
de operários empregados para a construção de uma casa: diretamente 
proporcionais ou inversamente proporcionais? Por quê?
5. Dê um exemplo de duas séries de números diretamente proporcionais 
e um exemplo de duas séries de números inversamente proporcionais.
6. Marque V (se verdadeira) ou F (se falsa) cada uma das seguintes 
afi rmativas:
a) ( ) Uma fração é diretamente proporcional a seu numerador.
b) ( ) Uma fração é diretamente proporcional a seu denominador.
c) ( ) A série (4, 16 e 32) é diretamente proporcional a série (12, 48 e 64).
7. Uma sociedade foi formada por 3 amigos. Encontre o valor investido por 
cada um dos sócios, sabendo que no dia do rateio dos ganhos, o lucro 
total foi de R$ 50.000,00.
Atenção!
Se você sentiu difi culdade na resolução de alguma atividade ou exercício, releia este 
fascículo e procure refazer seus cálculos. 
27
Matemática fi nanceira A01
Para consulta
Razão: Razão entre dois números a e b é o quociente a
b
 ou a : b, onde b �= 0. Chamamos 
a de antecedente e b de consequente da razão.
Proporção: Se a, b, c e d ∈ �∗ dizemos que a
b
=
c
d
 é uma proporção. 
Leitura: a está para b assim como c está para d. 
Termos da proporção: extremos (a e d) e meios (b e c). 
Propriedade fundamental: a, b, c e d ∈ �∗ e a
b
=
c
d
⇒ a
b
· bd = c
d
· bd ⇒ a · d = b · c .
Proporções múltiplas: a
b
=
c
d
= . . . =
m
n 
(onde a, b, c,..., n ∈ �∗ ).
Propriedade fundamental das proporções múltiplas: 
a
b
=
c
d
= . . . =
m
n
⇒ a + c + . . . + m
b + d + . . . + n
= k
Outras propriedades das proporções:
I) a + c
b + d
=
a
c 
ou a + c
b + d
=
c
d
II) a− c
b− d =
a
b 
ou
 
a− c
b− d =
c
d
III) a + b
a
=
c + d
c 
ou
 
a− b
a
=
c− d
c
IV) a + b
b
=
c + d
d 
ou
 
a− b
b
=
c− d
d
Regra de sociedade
1º. Caso - Capitais iguais e períodos de tempos iguais: dividir igualmente entre os sócios 
o lucro (ou prejuízo) do período.
2º. Caso - Capitais iguais e períodos de tempo diferentes: dividir o lucro (ou prejuízo) 
em partes diretamente proporcionais ao tempo de sociedade de cada um.
3º. Caso - Capitais diferentes e períodos de tempo iguais: dividir o lucro (ou prejuízo) 
em partes diretamente proporcionais ao capital investido por cada sócio.
4º. Caso - Capitais diferentes e períodos de tempo diferentes: dividir o lucro (ou 
prejuízo) em partes diretamente proporcionais aos produtos (capital investido)x(tempo 
de investimento) de cada sócio.
Anotações
28
Matemática fi nanceira A01
Referências
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e fi nanceira fácil. 11. ed. São Paulo: 
Saraiva, 1996. 
MERCHEDE, Alberto. Matemática fi nanceira para concursos: mais de 1.500 aplicações. 
São Paulo: Atlas, 2003.