FILTROS PassaFaixa

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14 
 
 
(a) 
 
 
 
(b) 
b) FILTRO PASSA – FAIXA 
 
b1) CARACTERÍSTICAS 
 
Os filtros denominados passa-faixa são circuitos que permitem a passagem de sinais de 
tensão e corrente com freqüências situadas numa faixa intermediária, atenuando os sinais 
com freqüências abaixo ou acima dessa faixa. Essa faixa intermediária é delimitada por 
uma freqüência de corte inferior (ωci) e uma freqüência de corte superior (ωcs). Para a faixa 
de freqüência situada entre as freqüências de corte superior e inferior, denominada de 
banda passante (BW – Bandwidth), o ganho de tensão do filtro é praticamente unitário, 
portanto, o módulo do sinal de saída é praticamente igual ao sinal de entrada e, para as 
freqüências que estão abaixo de ω ci ou acima de ωcs
 
, o ganho do sinal é muito baixo ou 
praticamente nulo. A FIG. 14 abaixo mostra a curva de resposta em freqüência do ganho 
para um filtro passa-faixa ideal, bem como a sua simbologia usual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 14 – (a) Curva de resposta em freqüência de um filtro passa-faixa ideal. 
(b) Simbologia usual. 
 
Para estabelecer a característica de funcionamento de um filtro passa-faixa, têm-se, 
basicamente, duas formas: 
• através da utilização conjunta dos elementos RLC, interligados em série ou 
formando um circuito misto, estando LC em paralelo (circuitos ressonantes); 
 
• através da junção de dois filtros, sendo um passa-alta e o outro passa-baixa, ligados 
em série (em cascata); 
 
A FIG. 15 mostra um circuito representativo para a segunda forma. Nesse caso, os 
componentes de cada filtro são escolhidos de modo que a freqüência de corte do filtro 
passa-alta seja menor do que a freqüência de corte do filtro passa-baixa. 
 
 
 
15 
 
 
 
 
A FIG. 16 exemplifica esse tipo de circuito, mostrando também a curva da tensão de 
saída em função da freqüência. Para o exemplo da FIG. 16 as freqüências de corte são 
dadas por: 
 
altapassafiltro
CR
fci −=
11 ..2
1
π 
 
baixapassafiltro
CR
fcs −=
22 ..2
1
π 
 
Esse tipo de filtro tem o inconveniente de não permitir que a tensão de saída seja igual à 
tensão de entrada, uma vez que entre os dois estágios existe invariavelmente uma 
atenuação no sinal de entrada (efeito de carga). Entretanto, a proximidade da igualdade 
entre os dois valores pode atingida ajustando-se, adequadamente, os valores dos 
componentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 15 – Característica do filtro passa-faixa em cascata. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 16 – (a) Exemplo de filtro em cascata (b) Curva característica. 
 
 
(a) 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
b2) FILTRO PASSA-FAIXA SÉRIE 
 
Esses filtros são constituídos a partir da composição dos elementos RLC, e está baseado 
na ressonância que ocorre entre o indutor e o capacitor, quando submetidos a um sinal 
alternado. Para o circuito mostrado na FIG. 17 temos que: 
 
• quando o sinal de entrada possui uma freqüências muito baixas o indutor se 
comporta como um curto-circuito e o indutor se comporta como um circuito aberto, 
assim, a tensão de entrada apresenta-se sobre o capacitor, logo, a tensão sobre o 
resistor é nula; 
• quando o sinal de entrada possui freqüências muito altas o capacitor se comporta 
como um curto-circuito e o indutor como um circuito aberto, logo, a tensão sobre o 
resistor também é nula; 
• para freqüências intermediárias as reatâncias do indutor e do capacitor formarão 
uma reatância resultante que permitirá a circulação de corrente pelo circuito, logo, 
pelo resistor circulará uma corrente e, conseqüentemente, sobre ele existirá uma 
tensão Vo; 
• na freqüência de ressonância, as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam, ou 
seja, é como se no lugar de ambos houvesse um curto-circuito, logo, a tensão de 
entrada estará toda sobre o resistor, ou seja, Ve = Vo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 17 – Exemplo de filtro passivo passa-faixa série. 
 
 
b3) FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
 
Para o circuito mostrado na FIG. 17 a função de transferência é dada por: 
 
•••
•
•
++
==
CLe
s
XXR
R
V
VH )(ω
 (22) 
 
Resolvendo a equação (22) para se determinar os valores do ganho (módulo) e do 
defasamento, encontra-se: 
 
 
 
17 
2211
1)(





 −
+
==
CR
CLV
V
H
e
s
ω
ω
ω
 (23) 
 
e 
 





 −
= −
CR
CLtg
ω
ω
θ
2
1 1
 (24) 
 
Assim como nos filtros passa alta (ou baixa), nos filtros passa-faixa, a freqüência de corte é 
um ponto muito importante a ser conhecido. Sabe-se que nesse ponto o ganho de tensão é: 
2
1
=vAG (25) 
 
Igualando as equações (23) e (25) e resolvendo encontra-se: 
 
CRCL ωω ±=− 21 (26) 
 
A equação (26) fornece duas equações, sendo uma com igualdade positiva e outra com 
igualdade negativa. Por ser uma equação do segundo grau, quando se resolve a equação 
(26) chega-se a duas outras expressões que fornecem, cada uma delas, dois valores de 
freqüência de corte, inferior e superior, cada uma, ou seja: 
 
( )
CL
CLRCCR
CI 2
42 +±−
=ω (27) 
 
 
( )
CL
CLCRCR
CS 2
42 +±+
=ω (28) 
 
 
b4) FREQÜÊNCIA CENTRAL 
 
A freqüência central de um filtro passa-faixa é definida como sendo o valor da 
freqüência em que ocorre a ressonância do circuito, ou seja, a freqüência na qual os 
valores das reatâncias indutiva e capacitiva tornam-se iguais e, portanto, se anulam. Assim, 
as reatâncias comportam-se como se fosse um curto-circuito, logo, a tensão de entrada é 
igual à tensão de saída, portanto, o valor do ganho de tensão é unitário, ou seja: 
 
1=
R
vAG ω (29) 
 
 
18 
Igualando (23) com (29) e resolvendo para Rω tem-se que: 
 
CLR
1
=ω (30) 
 
A expressão (30), que determina o valor da freqüência central, é exatamente igual ao valor 
da expressão que determina o valor da freqüência de ressonância para um circuito RLC-
série, como não poderia deixar de ser. 
 
 
b5) CURVAS CARACTERÍSTICAS DO FILTRO PASSA-FAIXA 
 
Com as expressões, do ganho de tensão e do defasamento, pode-se traçar as curvas de 
resposta em freqüência, para ambos, relativas ao filtro. A FIG. 18 mostra as respectivas 
curvas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 18 – Curvas de resposta em freqüência do filtro. 
 
(a) Ganho de tensão (b) Defasamento 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Para o gráfico do defasamento, mostrado na FIG. 18, tem-se que: 
 
( )



==
=⇒=⇒∞→
⇒→
− º900
1
00
0
1tg
AVX VSC
θ
ω 
 
( )



−=∞−=
=⇒=⇒∞→
⇒∞→
− º90
00
1tg
AVX VSL
θ
ω 
 
( )



=∞=
=⇒=
⇒→
− º0
1
1tg
AVeVs V
R
θ
ωω 
 
 
O gráfico da FIG. 18(a) também pode ser representado através do ganho em dB e, 
conseqüentemente, através do diagrama de Bode. Nessa situação, ambos são 
representados como mostrados na FIG. 19 (a) e (b), respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
FIG. 19 – Curva de resposta em freqüência do filtro passa-faixa RLC-série. 
(a) Ganho em dB (b) Diagrama de Bode. 
 
 
20 
 
b6) FILTRO PASSA-FAIXA PARALELO 
 
A FIG. 20 abaixo mostra um filtro passa-faixa paralelo com comportamento real. As curvas 
características do ganho de tensão e do defasamento são semelhantes às do filtro passa-
faixa série, mostradas nas FIG 18 e FIG. 19. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 20 – Circuito característico de um filtro passa-faixa paralelo. 
 
• Para sinais de entrada com baixas freqüências ou altas freqüências, a saídase 
torna um curto-circuito logo, a tensão de saída Vs será nula; 
• Para freqüências intermediárias a reatância equivalente de L e C será alta, logo a 
maior parcela da tensão de entrada estará sobre eles assim, a saída Vo conterá as 
freqüências do sinal de entrada. 
 
A função de transferência do circuito é dada por: 
 
 








+
+
+
==
••
••
••
••
•
•
•
CL
CL
CL
CL
e
s
XX
XXR
XX
XX
V
VH
.
.
)(ω
 (31) 
 
 
 
Resolvendo a equação (31) para se determinar as expressões do ganho de tensão e do 
defasamento da tensão de saída, em relação à tensão de entrada, chega-se em: 
 
22
1
1)(





 −
+
==
L
RLCRV
V
H
e
s
ω
ω
ω
 (32) 
 
e 
 
 
21 
 





 −
= −
L
RLCRtg
ω
ω
θ
2
1
 (33) 
 
Igualando a equação (32) com a equação (25) relativa à freqüência de corte e resolvendo 
para a freqüência angular encontram-se as expressões relativas às freqüências de corte, 
superior e inferior, que são dadas por: 
 
 
CL
CL
R
L
R
L
CI 2
4
2
+




±−
=ω (34) 
 
 
 
CL
CL
R
L
R
L
CS 2
4
2
+




±+
=ω (35) 
 
Para a determinação do valor da freqüência de corte (ωc
 
) o procedimento é idêntico ao 
feito para o filtro RLC-série. Assim, chega-se à expressão (36), que é igual à expressão que 
determina a freqüência de ressonância de um circuito RLC-paralelo (considerando-se que o 
indutor é ideal, ou seja, sua resistência interna é desprezível). Assim, tem-se que: 
CLR
1
=ω (36) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
c) FILTRO REJEITA – FAIXA (ou BANDA DE ATENUAÇÃO) 
 
Os filtros denominados de rejeita-faixa têm um princípio de funcionamento contrário aos 
filtros passa-faixa. Eles permitem a passagem de sinais de corrente e de tensão, para 
freqüências abaixo da freqüência de corte inferior (ωci) e acima da freqüência de corte 
superior (ωcs
 
), impedindo a passagem de freqüências que estejam dentro da banda de 
passagem (BW). A FIG. 21 e a FIG. 22 mostram, respectivamente, a curva de resposta em 
freqüência ideal e a simbologia utilizada para representar esse tipo de filtro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 21 – Curva de resposta em freqüência ideal de um filtro rejeita-faixa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 22 – Simbologia do filtro rejeita-faixa. 
 
 
Da mesma forma que os filtros passa-alta e passa-baixa, que possuem circuitos idênticos, 
(invertendo-se somente a posição onde se toma o sinal de saída) os filtros passa-faixa e 
rejeita-faixa também possuem. Assim, na FIG. 17, se a tensão de saída for tomada sobre os 
elementos LC, o circuito se comporta como um filtro rejeita-faixa e, na FIG. 20, basta tomar 
o sinal de saída sobre o resistor. 
O princípio de funcionamento, quanto às faixas de freqüências, é o mesmo que nos filtros 
passa-faixa. 
 
 
c1) GANHO DE TENSÃO E DEFASAMENTO 
 
c11) FILTRO REJEITA-FAIXA SÉRIE 
 
Para o circuito da FIG. 23, a função de transferência é dada por: 
 
 
 
 
23 
••
••
•
•
•
++





 +
==
CL
CL
e
s
XXR
XX
V
VH )(ω
 (37) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 23 – Circuito representativo de um filtro rejeita-faixa série. 
 
 
Resolvendo (37), para se determinar os valores do ganho (módulo) e do defasamento 
(argumento) chega-se a: 
 
2
21
1
1)(






−
+
==
CL
CRV
VH
e
s
ω
ω
ω
 (38) 
 
e 






−
= −
CL
CRtg 2
1
1 ω
ω
θ (39) 
 
Igualando a equação (38) com a equação (25), relativa à freqüência de corte, e resolvendo 
a igualdade chega-se às equações que determinam os valores das freqüências de corte 
superior (ωcs) e de corte inferior (ωci
 
), dadas por: 
 
( )
CL
CLRCRC
CI 2
42 +±−
=ω (40) 
 
( )
CL
CLCRRC
CS 2
42 +±+
=ω (41) 
 
 
 
24 
 
Tal qual o filtro passa-faixa, a freqüência central do filtro rejeita-faixa ocorre na 
freqüência de ressonância, porém, nesse caso, o ganho é nulo. Assim, para se determinar 
o valor da freqüência de ressonância para o filtro rejeita-faixa é necessário igualar o ganho a 
zero, portanto: 
 
0
1
1
1
2
2
=






−
+
CL
CR
ω
ω (42) 
 
Resolvendo a equação (42) chega-se em (42), como não poderia deixar de ser, uma vez 
que essa é a expressão da freqüência de ressonância para o circuito RLC-série. 
 
CLR
1
=ω (43) 
 
 
 
c12) FILTRO REJEITA-FAIXA PARALELO 
 
Para o filtro rejeita-faixa paralelo, mostrado na FIG. 24, a equação de transferência é dada 
por (43). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 24 – Circuito representativo de um filtro rejeita-faixa RLC-paralelo. 
 
 
 








+
⋅
+
==
••
•••
•
•
CL
CLe
s
XX
XXR
R
V
VH )(ω
 (44) 
 
 
 
 
25 
 
Resolvendo (44) para se determinar o valor do módulo e do defasamento chega-se em: 
 
2
21
1)(






−
+
==
RLCR
LV
V
H
e
s
ω
ω
ω
 (45) 
 
e 
 






−
= −
RLCR
Ltg 2
1
ω
ω
θ (46) 
 
 
Igualando (45) com a equação (25), para se determinar os valores das freqüências de 
corte, superior e inferior, chega-se às equações (34) e (35), que são as mesmas equações 
das freqüências de corte, do filtro passa-faixa paralelo. 
Para a determinação da freqüência de corte, procede-se da mesma forma que no filtro 
passa-faixa, chegando-se à mesma expressão, (35), conhecida. 
 
 
c2) CURVAS CARACTERÍSTICAS DO FILTRO REJEITA-FAIXA 
 
A partir das expressões do ganho e do defasamento pode-se traçar as curvas de resposta 
em freqüência para ambos, que são semelhantes, para os filtros rejeita-faixa, em série e em 
paralelo. Assim, a partir das expressões (38) e (39) pode-se plotar os gráficos 
correspondentes, mostrados na FIG. 25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Curva do ganho de tensão de um filtro rejeita-faixa. 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Curva do defasamento de um filtro rejeita-faixa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) Curva do ganho de um filtro rejeita-faixa, em dB. 
 
 
 
 
 
 
(d) Curva de Bode do filtro rejeita-faixa. 
 
FIG. 25 – Curvas características de um filtro rejeita-faixa. 
 
 
 
 
 
 
 
27 
Para o gráfico do defasamento, mostrado na FIG. 25 (a), tem-se que: 
 
( )



==
=⇒=⇒∞→
⇒→
− º01
0
1
0
1tg
AVVX VeSC
θ
ω 
 







=





∞
∞
=
=⇒=⇒→
⇒∞→
− º0
10
2
1tg
AVVX VeSL
θ
ω
 
 







±=





±
=
=⇒=
⇒→
− º90
0
00
1 CRtg
AVs
R
V
R
ω
θ
ωω