Exercícios de Álgebra - Prof Lazzarin (L1T1 MTM1073)

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UFSM - TELECOMUNICAÇÕES - LAZZARIN
L1T1 - Matrizes
1. Se A = (aij)3�4 B = (bij)3�4 são tais que aij = 3i� 4j e bij =
�
i:j se i � j
i� 1 se i > j :Encontre:
(a) A;
(b) BT = (dij) onde dij = bji (BT é chamada de matriz transposta de B);
(c) a fórmula geral para obter cada cij através dos índices i e j onde (cij) = A:BT ;
(d) C = A:BT ;
(e) D = A2 � 3B;
(f) Y = (yij) onde 6Y � 2A = 9B;
(g) X = (xij)3�3 onde CX = I3.
2. Uma rede de comunicação tem cinco locais com transmissores de potências distintas. Estabelecemos que aij = 1 na matriz
abaixo, signi…ca que a estação i pode transmitir diretamente a estação j e aij = 0 signi…ca que a transmissão da estação i
não alcança a estação j. Observe que a diagonal principal é nula, signi…cando que uma estação não transmite diretamente a
si mesma.
A =
e1 e2 e3 e4 e5266664
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
377775
e1
e2
e3
e4
e5
(a) Construa um diagrama para representar as transmissões entre as estações, compatível com os dados da matriz A (disponha
cada ei a uma certa distância uma da outra e ligue ei a ej conforme tenha transmissão ou não).
(b) Calcule A2.
(c) Interprete o signi…cado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1, de modo a justi…car a a…rmação: " a matriz A2 rep-
resenta o número de caminhos disponíveis para se ir de uma estação a outra, com uma única transmissão intermediária".
(d) Qual o signi…cado das matrizes A+A2; A3 e A+A2 +A3?
(e) Calcule detA, mostrando que A�1 não existe. Qual interpretação podemos dar para justi…ca a não existência de A�1.
Uma ideia: Por exemplo, em A+A2 o elemento c24 = 3, signi…ca que existe um caminho de e2 à e4 sem transmissão intermediária
(e2 ! e4) e mais dois caminhos com uma transmissão intermediária (e2 ! e3 ! e4) e (e2 ! e1 ! e4). Portanto, A+A2 signi…ca
os caminhos disponíveis para cada estação transmitir a outra com nenhuma ou uma única transmissão intermediária.
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