aula2 - Mecânica Celeste

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Segunda Aula
Reinaldo R. de Carvalho (rrdecarvalho2008@gmail.com)
Introdução à Astrofísica
pdf das aulas estará em http://cosmobook.com.br/?page_id=440
Capítulo 2!
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Mecânica Celeste!
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- Órbitas elípticas !
- Mecânica Newtoniana!
- As Leis de Kepler!
- O Teorema do Virial!
Tycho Brahe
Contribuiu decisivamente para a melhoria das medidas em astronomia 
(precisão de minutos de arco). Observou a supernova de 1572 mostrando que 
existiam fenômenos ocorrendo no céu e que portanto este não era imutável. 
Não encontrou nenhuma evidência de movimento da Terra pela espaço e 
concluiu que a teoria de Copérnico era falsa.
Argumentou que se um objeto está 
próximo a Terra, então observando este 
objeto ao longo da noite deveríamos vê-
lo mover-se contra o fundo de estrelas. 
Ao não observar tal variação concluiu 
que estes objetos estavam muito 
distantes (supernova 1572).
Como funciona um sextante ?
As Leis de Kepler
Primeira Lei: A órbita de um planeta em torno 
do Sol é uma elipse com o Sol em um dos focos.
Segunda Lei: Uma linha ligando um planeta e 
o Sol varre áreas iguais em intervalos de 
tempo iguais.
Terceira Lei: O quadrado do período sideral de um planeta é diretamente 
proporcional ao cubo do semi-eixo maior da órbita.	
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P2 = a3
— Na medida que o planeta se aproxima 
do Sol, perde energia potencial.	
— Mas energia deve ser conservada	
— Assim deve ganhar energia cinética e 
o planeta aumenta sua velocidade na 
medida que se aproxima do Sol. 
P é o período sideral em anos	
a é o semi-eixo maior em UA
O significado das Leis de Kepler
1- As leis de Kepler são fundamentais na História da astronomia. Tornou 
possível calcular o movimento dos planetas com maior precisão do que 
qualquer modelo geocêntrico e ajudou a justificar o modelo heliocêntrico de 
Copérnico.	
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2- As leis de Kepler passam pelo teste da “Navalha de Occam”, dada a 
simplicidade de formulação em relação aos esquemas de Ptolomeu e mesmo 
Copérnico (ambos usam complicados modelos de epicíclos).	
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3- Mas o significado das leis de Kepler vai além da compreensão das órbitas 
planetárias. Estas mesmas leis explicam o movimento de satélites artificiais 
orbitando a Terra, duas estrelas girando uma em torno da outra num par 
binário, e até mesmo duas galáxias orbitando uma em torno da outra.	
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4- Embora seja impressionante o legado das leis de Kepler, ele não provou que 
os planetas giram em torno do Sol, nem explicou por que os planetas movem-
se em acordo com suas 3 leis. Estes avanços foram feitos por Galileo e Newton.
A Geometria do Movimento Elíptico
Uma elipse é definida pelo lugar 
geométrico dos pontos que satisfazem a 
relação 	
 r + r´ = 2a	
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a - semi-eixo maior	
b - semi-eixo menor	
e - excentricidade: distância entre os dois 
focos dividida por 2a
O ponto da elipse mais próximo do foco principal é denominado periélio; o ponto 
oposto é denominado afélio (considerando-se o Sol no coco principal).
Quando r = r´ então b2 = a2 (1-e2)
Escrevendo em coordenadas polares temos pelo Teorema de Pitágoras:	
! r´2 = r2sin2θ + (2ae + rcosθ)2
que se reduz a	
r´2 = r2sin2θ + 4ae(ae + rcosθ)
Usando o fato que r + r´ = 2a, temos:
Exemplo: Usando a equação acima, é possível determinar a variação em distância 
de um planeta ao foco principal de sua órbita. O semi-eixo maior da órbita de 
Marte é 1.5237 UA (2.2794 x 1011 m) e a excentricidade da órbita do planeta é 
0.0934. Quando θ = 0o o planeta está no periélio e a uma distância de 
Quando θ = 180 o planeta está no afélio, o ponto onde Marte está mais afastado do 
Sol, a distância é dada por
A variação em distância entre o afélio e 
periélio é de aproximadamente 19%.
Seções Cônicas
A elipse é na verdade uma classe de curvas conhecidas como seções cônicas. 
Uma cônica é o conjunto de pontos que satisfaz a equação
onde A ou B ou C ≠ 0
Parábola Hipérbole
onde p é a distância de maior 
proximidade na parábola
onde a é a distância de maior 
proximidade na parábola
O Universo Galileano
— Enquanto Kepler desenvolvia suas três leis do 
movimento planetário, Galileo estudava o movimento 
dos objetos na superfície da Terra.	
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— Galileo foi o primeiro a formular o conceito de 
inércia.	
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— Galileo percebeu que os objetos na superfície da 
Terra caem com a mesma aceleração, independente do 
seu peso. 
Galileo é considerado o pai da astronomia 
observacional moderna. Foi o primeiro a utilizar um 
telescópio para observar o céu e fez importantes 
observações que corroboraram as idéias de Copérnico.	
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Galileo foi o primeiro a observar a “Milk Way” e a 
propor que esta era formada de um número enorme de 
estrelas “não-resolvidas” pela observação visual.
Mecânica Newtoniana
A mecânica clássica é descrita pelas 3 leis de Newton do movimento, 
além da lei da gravitação universal. Fora do reino das dimensões 
atômicas, velocidades próximas à da luz, ou forças gravitacionais 
extremas, a física Newtoniana tem se mostrado satisfatória em 
explicar observações e experimentos.
— Primeira lei (Lei da Inércia): um objeto em repouso permanecerá em repouso e um 
objeto em movimento permanecerá em movimento em linha reta com velocidade 
constante a menos que sobre ele atue uma força externa.	
A primeira lei pode ser reescrita como “o momentum de um objeto permanece constante a 
menos que o mesmo experimente uma força externa” (p = mv)	
!
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— Segunda lei: a soma de todas as forças que atuam sobre um objeto é proporcional à sua 
massa e à aceleração resultante. 	
!
!
— Terceira lei : a toda ação corresponde uma reação de mesmo módulo e sentido oposto.	
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 F12 = -F21
A Lei de Newton da Gravitação Universal
Usando suas 3 leis do movimento mais a terceira lei de Kepler, Newton foi 
capaz de encontrar a expressão que descreve a força que mantém os planetas 
em órbita. Considere o movimento circular de um corpo de massa m em torno 
de um objeto de massa muito maior M.	
A terceira lei de Kepler pode ser escrita como P2 = kr3, onde k é uma constante 
de proporcionalidade. O período da órbita pode ser escrito em função da 
circunferência da órbita e da velocidade, constante, P = 2πr/v. Assim, temos
Notamos que o primeiro termo, mv2/r é a força centrípeta para o movimento 
circular. Assim, temos que a força gravitacional que mantém o objeto de massa 
m orbitando em torno do de massa M será:
A terceira lei de Newton diz que a força exercida sobre M por m deve ser de 
mesma magnitude que a força exercida sobre m por M, logo temos que 
(a) Para fazer com que a bolinha presa a corda circule em alta velocidade sobre um 
pequeno círculo, devemos fazer uma força substancial sobre a corda. (b) Se vc usa 
uma corda de maior comprimento e faz a bolinha mover-se a uma velocidade muito 
menor, uma força menor é requerida. Similarmente, um planeta que gira numa órbita 
próxima ao Sol move-se mais rapidamente e requer uma força gravitacional 
substancial do Sol, enquanto um planeta numa órbita distante do Sol gira a baixa 
velocidade e requer uma força gravitacional menor para manter-se em órbita.
A aceleração gravitacional
A famosa história de Newton e a maçã pode não ser verdadeira. Contudo, ele 
demonstrou que, junto com a aceleração da maçã que cai, a gravidade é 
responsável pelo movimento da Lua em torno da Terra.
Consideremos que a órbita da Lua é circular. A aceleração centrípeta será 
então:
Neste caso r é a distância do centro da Terra ao centro da Lua, 3.84401 x 1010 
m e v é a velocidade orbital da Lua, dada por
onde P = 27.3 dias = 2.36 x 106 seg é o período sideral da Lua. Assim v = 1.02 
km s-1 o que nos dá um valor da aceleração centrípeta de
A aceleração da Lua causada pela força gravitacional da Terra pode ser 
calculada comoÓrbitas
Se soltamos um objeto de uma certa altura acima da superfície da Terra, este 
cai em linha reta em direção ao solo (A). Se o objeto é arremessado com uma 
certa velocidade horizontal ele seguirá uma trajetória curva até chegar ao 
chão (B,C). Se o arremesso tem a velocidade “certa”, o objeto entra em órbita 
circular (E) - a trajetória curva mas não se aproxima mais da superfície da 
Terra. Se o objeto é arremessado com uma velocidade um pouco menor (D) ou 
um pouco maior (F) do que a velocidade relativa a órbita circular a órbita será 
uma elipse.
A origem das forças de maré: (a) imagine 
3 bolas idênticas colocadas a uma certa 
distância de um planeta e livres. (b) a bola 
mais próxima do planeta “sente” maior 
atração gravitacional do que a mais distante. 
Após um pequeno intervalo de tempo depois 
que as bolas são soltas a bola vermelha é a que 
mais se aproxima do planeta, depois a azul e 
depois a amarela. Da perspectiva da bola azul, 
no centro, parece que a bola amarela se 
afastou para mais longe do planeta e que a 
bola vermelha foi mais atraída pelo planeta. 
Estas forças relativas são chamadas forças de 
maré.
Forças de maré sobre a Terra: A Lua exerce 
uma atração gravitacional diferente sobre 
diferentes localizações sobre a Terra. (b) em 
qualquer ponto a forca de maré é igual a força 
gravitacional da Lua naquele ponto menos a força 
gravitacional da Lua no centro da Terra. Estas 
forcas de maré tendem a deformar a Terra em 
uma forma não-esférica.
Exercício 1 : 
Considerando as forças de maré como ilustrado na figura. Mostre que a força 
de maré F ∝ 1/r3
r
R
Trabalho e Energia
Em astrofísica, como em várias áreas da física, é frequentemente útil compreender a 
energética de um problema específico, para determinar se esses processos são 
importantes em certos sistemas. Alguns modelos podem ser rejeitados imediatamente se 
são incapazes de produzir a quantidade de energia observada. Por exemplo, na evolução 
de uma atmosfera planetária, a possibilidade de uma particular componente da 
atmosfera escapar do sistema deve ser considerada. Tal consideração é baseada no 
cálculo da velocidade de escape das partículas do gás.	
!
A quantidade de energia (trabalho) necessária para alçar um objeto de massa m a uma 
altura h contra uma força gravitacional é igual a variação na energia potencial do 
sistema. 
Se a força gravitacional sobre m é devido a uma massa M localizada na origem, então F é 
direcionada para M, então F . dr = - F dr e a variação na energia potencial escreve-se 
como:
avaliando a integral temos
Uma vez que somente variações relativas na energia potencial possuem 
significado físico, definimos o infinito como uma posição arbitrária onde 
a mesma é zero. Fazendo então que rf se aproxime de infinito temos:
Podemos também determinar a força pela derivação da energia 
potencial gravitacional, da seguinte forma:
Para modificar a velocidade v de um corpo de massa m, devemos 
realizar trabalho sobre ele, e este pode ser expresso da seguinte forma:
como a energia cinética do objeto. Assim, o trabalho realizado sobre a partícula resulta numa variação da energia 
cinética da partícula. Este resultado é simplesmente uma manifestação do princípio da conservação de energia.!!
Consideremos uma partícula de massa m e velocidade inicial v a uma distância r do centro de um corpo de massa 
M, como a Terra por exemplo. Quão rápido deve um corpo mover-se para cima para “escapar” do campo 
gravitacional (velocidade de escape).
Identificamos então a quantidade K
Assumimos que, no caso crítico, a velocidade final da partícula será zero numa posição infinitamente distante do 
corpo de massa M, desta forma tanto a energia potencial como a energia cinética serão nulas, ou seja a energia total 
da partícula deve ser zero em todos os tempos. Logo
Note que a massa do objeto que escapa não aparece na expressão final da velocidade de escape. Na superfície da 
Terra vesc = 11.2 km s-1.
Obtendo as Leis de Kepler
Para o sistema de duas partículas de massas m1 e m2 
localizadas nas posições r1ʹ e r2ʹ definimos o vetor R 
como:	
!
Se M é a soma de todas as massas do sistema e se 
assumimos que todas as forças atuando sobre as 
partículas individuais do sistema são devidas às outras 
partículas contidas no sistema, então pela terceira lei de 
Newton temos que a força total deve ser zero. Logo
Se escolhemos o centro de massa como o centro de 
referência então
Definimos a massa reduzida como:
assim a energia total do sistema pode ser escrita como:
podendo ainda ser re-escrita como:
Lembremos que
onde v = |v| e v = dr/dt
A energia total do sistema é igual a energia cinética da massa reduzida mais a energia 
potencial da massa reduzida que move-se em torno da massa M, que é assumida estar 
localizada na origem. A distância entre μ e M é igual a separação entre m1 e m2 .
Podemos escrever o momento angular total como:
onde p = μ v. O momento angular orbital total é igual ao momento angular da 
massa reduzida.
O problema de dois corpos pode ser tratado como 
equivalente ao movimento de um corpo com a massa 
reduzida μ movendo-se em torno da massa M a uma 
distância r.
Derivação da Segunda Lei de Kepler
Para derivar a segunda Lei de Kepler, que relaciona a área de uma seção de uma elipse com um 
intervalo de tempo, consideremos um elemento infinitesimal em coordenadas polares
integrando do foco principal a uma distância específica da elipse, a área varrida por 
uma variação infinitesimal em θ é:
Assim, a variação temporal da área varrida pode ser escrita como:
Desta forma a velocidade orbital, v, pode ser expressa em duas componentes como 
mostrado na figura ao lado e abaixo.
Substituindo vθ na equação 2.31, obtemos
Uma vez que r e vθ são perpendiculares
Assim obtemos a segunda Lei de Kepler
Esta derivação vem diretamente do resultado obtido anteriormente da 
segunda Lei de Kepler lembrando que b2 = a2 (1-e2) e que a área da elipse é 
dada por A = πab.	
!
Integrando a equação anterior que descreve a área varrida num intervalo de 
tempo, sobre todo um período temos:
Derivação da Terceira Lei de Kepler
Substituindo a equação da área e elevando ao quadrado ambos os termos 
temos:
Lembrando que 
Obtemos a Terceira Lei de Kepler
Exemplo 1
O período orbital de Io, uma das luas de Júpiter, é de 1.77 dias, o que corresponde 
a 1.53 x 105 segundos e o semi-eixo maior de sua órbita é de 4.22 x 108 m. 
Assumindo que a massa de Io é desprezível em comparação com a massa de 
Júpiter, determine a massa do planeta usando a terceira lei de Kepler.	
G = 6.67 x 10-11 N m2 kg-2 .
Exemplo 2
Supondo que o Sol interaja somente com Júpiter calcule o momento angular 
orbital total do sistema Sol-Júpiter. O semi-eixo maior da órbita de Júpiter é a = 
5.2 UA, sua excentricidade orbital e = 0.048 e seu período orbital T = 11.86 anos.	
G = 6.67 x 10-11 N m2 kg-2 .
Da equação 2.29, que nada mais é do que a expressão para a primeira lei de 
Kepler e usando a equação 2.3
M⨀ = 1.989 x 1030 kg, MJ = 1.899 x 1027 kg, M = M⨀ + MJ = 1.991 x 1030 kg	
μ = MJ M⨀ / (MJ + M⨀) = 1.897 x 1027 kg	
e = 0.048 e a = 5.2 UA = 7.786 x 1011 m Substituindo temos:
Exercício 3
Estime a massa da nossa Galáxia sabendo que o Sol orbita o centro do sistema 
com um período de 250 milhões de anos. A distância média do Sol ao centro da 
Galáxia é cerca de 30000 anos-luz. Expressar a massa em unidades de massa 
do Sol.	
(G = 6.67 x 10-11 m3 kg-1 s-2, lembrar que 1 ano-luz é a distância que a luz 
percorre durante 1 ano, c = 300000 km/s)
A Lua de Marte, Fobos, possui um período de 460 minutos e um raio orbital 
médio de 9400 km. Qual é a massa de Marte ? expressar em unidades de 
massa da Terra. (M⊕ = 5.972 x 1024 kg)
Exercício 4
Exercício 5
O asteróide Ícaro, descoberto em1949, recebeu este nome por causa de sua 
órbita elíptica de grande excentricidade que o traz próximo ao Sol no periélio. 
Ícaro tem uma excentricidade de 0.83 e um período de 1.1 ano. (a) Determine o 
semi-eixo maior da órbita de Ícaro. (b) Determine as distâncias do periélio e do 
afélio da órbita de Ícaro.
Exercício 2
A partir dos dados do exemplo 2, determine a contribuição do Sol para para o 
momento angular orbital total do sistema Sol-Júpiter. Assuma por 
simplicidade que a excentricidade do Sol e = 0. Sugestão: primeiro encontre a 
distância do centro do Sol ao centro de massa do sistema.
O Teorema do Virial
Para provar o teorema do virial, consideremos a seguinte quantidade:
onde pi e ri são os vetores momentum linear e posição para cada partícula i em 
algum sistema de referência inercial. A derivada com relação ao tempo de Q é
o lado esquerdo da equação pode ser expandido como
onde
é o momento de inércia do conjunto de partículas. Substituindo novamente na 
equação 2.38
o segundo termo do lado esquerdo da equação é
duas vezes o negativo da energia cinética do sistema. Usando a segunda Lei de 
Newton, a equação 2.39 torna-se
Se Fij representa a força de interação entre duas partículas do sistema, então 
considerando todas as possíveis forças atuando sobre a partícula i
Re-escrevendo os vetores posição da partícula i como ri = (ri+rj)/2 + (ri-rj)/2
Da terceira Lei de Newton, Fij = - Fji temos que o primeiro termo do lado direito da 
equação é nulo, por simetria. Assim, o termo do virial de Clausius é dado por
Assumimos que a única contribuição para a força é o resultado da interação 
gravitacional entre as partículas, logo Fij é
onde rij = |rj - ri| é a separação entre as partículas i e j. O vetor unitário escreve-se 
como
Substituindo a força gravitacional em 2.41 temos:
a quantidade
é a energia potencial Uij entre as partículas i e j. Notemos também que
também representa o mesmo termo de energia potencial e é incluído duplamente na soma, 
assim o lado direito da equação 2.42 inclui o potencial de interação entre cada par duas 
vezes. Considerando o fator de 1/2, a equação 2.42 torna-se
Finalmente, substituindo na equação 2.40 e determinando a média com relação ao tempo 
temos
A média de d2I/dt2 sobre um dado intervalo de tempo é:
Se o sistema é periódico, como no caso de movimento orbital, então:
e a média sobre um período será zero. Mesmo se o sistema sendo considerado não é 
estritamente periódico, a média ainda assim se aproximará de zero quando avaliada sobre 
um período suficientemente longo (τ ⇾ ∞), assumindo que dI/dt é limitado. Isto descreve, 
por exemplo, um sistema que tenha alcançado uma configuração de equilibro. Em todo 
caso ⟨d2I/dt2⟩ = 0. Logo
Este resultado é conhecido como o Teorema do Virial. Pode também ser expresso em 
termos da energia total do sistema usando a relação ⟨E⟩ = ⟨K⟩ + ⟨U⟩. Assim
Gravitação Universal