parte 2- medidas descritivas

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Medidas de Tendência Central 
 
Média Aritmética Simples 
 
n
x
x
n
i
i∑
=
=
1
 
 
xi é o valor observado da variável de interesse para o indivíduo i, 
n é o tamanho da amostra. 
 
Exemplo: 
 
Número de filhos 
 k xk – No. de filhos frequência - fk 
0| 0000 1 0 4/20 
0| 11111 2 1 5/20 
0| 2222222 3 2 7/20 
0| 333 4 3 3/20 
0| 5 4 0/20 
0| 1 6 5 1/20 
 
 
 
65,1
20
)53332222222111110000(
=
+++++++++++++++++++
=x
 
 
 
k
K
k
k fxxxxxx ∑
=
=++++=
1
)
20
15()
20
33()
20
72()
20
51()
20
40( 
 
K é o número de classes da tabela de frequência. 
 
 
 
 
 
Diagrama de Ramo e Folhas para Salário 
 
 
 4|00 56 
 5|25 73 
 6|26 66 86 
 7|39 44 59 
 8|12 46 74 95 
 9|13 35 77 88 
10|53 76 
11|06 59 
12|00 79 
13|23 60 85 
14|69 71 
15|99 
16|22 61 
17|26 
18|75 
19|40 
20| 
21| 
22| 
23|30 
 
 
12,11=x
 
 
 
Tabela: Frequências absolutas e relativas dos empregados da empresa 
segundo o salário 
 
Salário Ponto Médio 
sk 
Proporção 
fk 
 04|----08 
 08|----12 
 12|----16 
 16|----20 
20|----24 
6 
10 
 14 
 18 
 22 
0,2778 
0,3333 
0,2222 
0,1389 
0,0278 
 
22,11)0278,022()1389,018()2222,014()3333,010()2778,06(
1
=++++
=≈∑
=
xxxxx
fsx k
K
k
k
 
 
 
 
 
 
Mediana – valor que divide o conjunto de dados ao meio 
 
Pelo menos 50% dos valores são menores ou iguais a mediana 
Pelo menos 50% dos valores são maiores ou iguais a mediana 
 
Como calcular a mediana? 
 
Número de filhos 
 
0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 5 
 
n = 20 
 
20 x 0,50 =10 
 
pelo menos 10 observações menores ou iguais a mediana 
pelo menos 10 observações maiores ou iguais a mediana 
 
0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 5 
 
 
Mediana =(2+2)/2 = 2 
 
 
Caso de n ímpar 
 
Considere agora que temos 21 observações 
 
21 x 0,50 = 10,5 
 
pelo menos 10,5 (11) observações menores ou iguais a mediana 
pelo menos 10,5 (11) observações maiores ou iguais a mediana 
 
 
0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 5 5 
 
 
 
Mediana = 2 
 
 
 
 
 
 
Mediana para tabelas de frequência 
 
Tabela: Frequências absolutas e relativas dos empregados da empresa 
segundo o salário 
Salário Ponto Médio 
sk 
Proporção 
fk 
Proporção 
Acumulada 
Fk 
 04|----08 
 08|----12 
 12|----16 
 16|----20 
20|----24 
6 
10 
 14 
 18 
 22 
0,2778 
0,3333 
0,2222 
0,1389 
0,0278 
0,2778 
0,6111 
0,8333 
0,9722 
1,0000 
 
 
F = 0,50 
Classe da Mediana – 2ª classe da tabela de frequências 
 
Aproximar mediana pelo ponto médio 10≈Md 
 
Outra maneira mais apropriada 
 
 0,33 
 0,28 
 0,22 
 0,14 
 
 0,03 
 
 4 8 12 16 20 24 Salários 
 
 Mediana 
 
 
 4 ----- 0,33 (33% dos dados no intervalo 8 |-- 12, de tamanho 4) 
 Med – 8 ----- 0,22 (22% dos dados no intervalo 8|-- med., de tamanho med. –8) 
 
Logo (med – 8) x 0,33 = 4 x 0,22 Med = 8 + 4 x (0,22/0,33) = 10,67 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,22 
 
Moda – valor que ocorre com maior frequência 
 
Número de filhos 
 
0| 0000 
0| 11111 
0| 2222222 Moda = 2 
0| 333 
0| 
0| 1 
 
Exemplo : Salários 
 
Classe Modal: 8|-----12 
 
10≈Moda
 ponto médio da classe de maior frequência 
 
 
 
 
 
 
Distribuição Unimodal Distribuição Bimodal 
 
 
Observações: 
 
A média aritmética simples é mais sensível a ocorrência de valores extremos 
que a mediana. 
 
Exemplo: Considere os salários (em reais) de 10 pessoas 
 
200 200 250 260 285 300 320 330 350 3000 
 
5,549=x
 Mediana = 292,5 
 
Excluindo a observação 3000 da amostra 
 
22,277=x
 Mediana = 285 
 
Mediana é uma medida mais resistente (robusta) à ocorrência de valores 
extremos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distribuição Simétrica Distribuições Assimétricas 
Média = Moda = Mediana Média > Mediana Média < Mediana 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medidas de Variação 
 
 
Desvio Padrão Amostral 
 
Mede a variação das observações em torno da média 
 
1
)(
1
2
−
−
=
∑
=
n
xx
s
n
i
i
 
 
Exemplo: Idade de 10 alunos 
 
Indivíduo x - Idade (anos) )( xx −
 
2)( xx −
 
1 18 (18 –19,6) = -1,6 2,56 
2 20 (20 –19,6) = 0,4 0,16 
3 21 (21 –19,6) = 1,4 1,96 
4 17 (17 –19,6) = -2,6 6,76 
5 23 (23 –19,6) = 3,4 11,56 
6 21 (21 –19,6) = 1,4 1,96 
7 20 (20 –19,6) = 0,4 0,16 
8 19 (19 –19,6) = -0,6 0,36 
9 18 (18 –19,6) = -1,6 2,56 
10 19 (19 –19,6) = -0,6 0,36 
SOMA 0 28,4 
 
6,19=x
 
 
78,116,3
110
4,28
==
−
=s
 anos 
 
 
s2 = 3,16 anos2
 
Chamamos S2 de variância amostral. 
 
Outras medidas de variação 
 
• Amplitude total = máximo – mínimo (no exemplo AT = 6) 
• Desvio Médio: 1
||
1
−
−
=
∑
=
n
xx
DM
n
i
i
(no exemplo DM = 1,56) 
Para interpretar o desvio padrão 
 
• Quanto maior o desvio padrão, maior é a variação das observações em 
torno da média 
 
• Para qualquer conjunto de dados temos pelo menos 75% dos dados 
dentro do intervalo (Média – 2 DP, Média + 2 DP) e pelo menos 89% dos 
dados dentro do Intervalo (Média – 3 DP, Média + 3 DP). 
 
• Para distribuições simétricas em forma de sino (distribuições normais) 
O intervalo (Média – 1 DP, Média + 1 DP) contém 68,3% dos dados 
O intervalo (Média – 2 DP, Média + 2 DP) contém 695,4% dos dados 
O intervalo (Média – 3 DP, Média + 3 DP) contém 99,7% dos dados 
 
 
Como medir a distância de um indivíduo em relação à média? 
 
Considere as notas de dois alunos na disciplina de Estatística, ambos com 
nota 25, mas oriundos de turmas diferentes 
 
Turma Média Desvio Padrão 
A 20 5 
B 20 3 
 
 
 
 
 
 Za = (25-20)/5 = 1 
 
 20 25 
 
 
 
 
 
 
 Zb = (25-20)/3 = 1,67 
 20 25 
Escore Padronizado 
s
xxZ )( −=
 
 
 
A média de Z é Zero e o desvio padrão é 1. 
Coeficiente de Variação 
 
Comparar salários de dois grupos de pessoas 
 
Grupo Média Desvio Padrão Coeficiente de variação 
A 200 40 0,20 (20%) 
B 2000 40 0,02 (02%) 
 
Qual grupo é mais homogêneo? 
 
x
sCV =
 
 
Comparar variáveis medidas em unidades de medidas diferentes quanto à 
variação 
 
Exemplo: Peso e altura de um grupo de pessoas 
 
Variável Média Desvio Padrão CV 
Altura (cm) 170 cm 6,67 cm 0,039 
Peso (kg) 63 kg 5,00 kg 0,079 
 
Este grupo de pessoas é mais homogêneo quantoa altura. 
 
 
Quantis 
 
Médias e desvios padrão descrevem bem distribuições simétricas. Eles não 
dão nenhuma informação sobre a assimetria da distribuição. 
 
O que é um quantil? 
 
A mediana é o quantil de ordem 50. 
 
Podemos definir quantis para outras ordens. 
 
q(p) – quantil de ordem p 
 
pelo menos 100p% dos valores são menores ou iguais a q(p) 
pelo menos 100(1-p)% dos valores são maiores ou iguais a q(p) 
 
q(0,25), q(0,50), q(0,75) – quartis 
q(0,10), q(0,20), q(0,30),...., q(0,90) – decis 
q(0,01), q(0,02),........., q(0,99) - percentis 
 
Exemplo 
 
Diagrama de Ramo e Folhas para Salário 
 
 4|00 56 
 5|25 73 
 6|26 66 86 
 7|39 44 59 
 8|12 46 74 95 
 9|13 35 77 88 
10|53 76 
11|06 59 
12|00 79 
13|23 60 85 
14|69 71 
15|99 
16|22 61 
17|26 
18|75 
19|40 
20| 
21| 
22| 
23|30 
 
q(0,75) = ? 
 
36 x 0,75 = 27 
36 x 0,25 = 09 
 
pelo menos 27 observações menores ou iguais a q(0,75) 
pelo menos 09 observações maiores ou iguais a q(0,75) 
 
q(0,75) = (13,85+14,69)/2 = 14,27 
 
q(0,20) = ? 
 
36 x 0,20 = 7,2 
36 x 0,80 = 28,8 
 
pelo menos 7,2 observações menores ou iguais a q(0,20) 8 
pelo menos 28,8 observações maiores ou iguais a q(0,20) 29 
 
q(0,20) = 7,39 
 
 
Distância Interquartílica – DI = q(0,75) – q(0,25) 
 
Exemplo: 
q(0,75) = 14,27 
q(0,25) = 7,51 
DI = 6,76 
No intervalo 7,51 – 14,27 há 50% dos dados. 
 
Boxplot 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como construir? 
 
 q(0,25) Mediana q(0,75) 
 
menor valor > LI maior valor < LS 
 
ponto * * 
discrepante 
 
LI = q(0,25) – 1,5 DI LS = q(0,75) + 1,5 DI 
 
 
 
2422201816141210864
7
6
5
4
3
2
1
0
Salario
Fr
eq
ue
nc
y
Histogram of Salario
25155
Salario
Boxplot of Salario
Exemplo 
 
 
 
Diagrama de Ramo e Folhas para Salário 
 
 4|00 56 q(0,50) = 10,20 
 5|25 73 
 6|26 66 86 q(0,25) = 7,51 
 7|39 44 59 
 8|12 46 74 95 q(0,75) = 14,27 
 9|13 35 77 88 
10|53 76 DI = 6,76 
11|06 59 
12|00 79 LI = 7,51–1,5x6,76 = 2,63 
13|23 60 85 
14|69 71 LS = 14,27+1,5X6,76 =24,41 
15|99 
16|22 61 Menor valor > LI = 4,00 
17|26 
18|75 Maior valor < LS = 23,3 
19|40 
20| 
21| 
22| 
23|30 
 
 
 
 
 
 4,00 7,51 10,20 14,27 23,30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere os salários (em SM) de 30 homens e 30 mulheres 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25.022.520.017.515.012.510.07.55.02.50.0
40
30
20
10
0
SalarioF
Pe
rc
en
t
Histograma de salários - sexo feminino
454035302520151050
30
20
10
0
SalárioM
Pe
rc
en
t
Histograma de salários - sexo masculino
MF
40
30
20
10
0
SEXO
Sa
lár
io
Outro exemplo: 
 
 
SalarioM 
 0.14 0.16 0.91 0.94 0.95 0.97 1.37 
 1.91 1.95 2.57 2.89 3.68 3.79 4.64 
 4.66 4.86 6.12 6.33 8.43 9.04 11.68 
11.77 12.11 14.34 14.78 14.84 16.31 17.76 
18.97 43.53 
 
q(0,25) = 1,91 q(0,50) = 4,76 q(0,75) = 12,11 
 
DI = 10,2 
 
LI = 1,91 – 1,5 X 10,2 = - 13,39 LS = 12,11 + 1,5 x 10,2 = 27,41 
 
Menor valor > LI = 0,14 
Maior valor < LS = 18,97 
 
 0,14 1,91 4,76 12,11 18,97 43,53 
 
 
 
 
 
 * 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Boxplot: informação sobre posição, variação, assimetria, dados 
dicrepantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformações 
 
Vários procedimentos estatísticos assumem que os dados originam-se de 
uma distribuição simétrica. Quando a distribuição dos dados é muito 
assimétrica pode-se transformar os dados de modo a obter uma distribuição 
mais simétrica. Um grupo de transformações frequentemente usado é 
 
 xp se p>0 
Y = ln(x) se p = 0 
 1 / xp se p <0 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3020100
20
10
0
X
Pe
rc
en
t
Histogrma de X
43210-1-2-3
20
10
0
ln(X)
Pe
rc
en
t
Histograma de Y = ln(x)
6543210
20
10
0
X^0,5
Pe
rc
en
t
Histograma de Y = X^ 0,5
2.51.50.5
15
10
5
0
X^0,25
Pe
rc
en
t
Histograma de Y = X^ 0,25