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Probabilidade Fenômeno aleatório – situação ou acontecimento cujos resultados não podem ser previstos com certeza Exemplos: Notas na prova de Estatística Sortear um aluno na sala e medir sua altura Resultado de um teste diagnóstico Lançamento de um dado Espaço Amostral – conjunto de todos os resultados possíveis de um fenômeno aleatório Notação: E E = {X: nota, 0 ≤ x ≤ 25} E = {X: altura, x > 0} E = {+, - } E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento: subconjuntos do espaço amostral A = {Nota < 20} B = {Altura < 1,7 m} C = {Teste Positivo} D = {Sair número par} Alguns Eventos Especiais Sejam A e B dois eventos quaisquer no espaço amostral Evento União – A ∪ B - ocorrência de A somente, B somente ou de A e B Evento Interseção - A ∩ B – ocorrência simultânea de A e B Dois eventos A e B são chamados disjuntos ou mutuamente excludentes se A ∩ B = φ (φ - conjunto vazio) Evento Complementar - dois eventos A e B são complementares se A ∪ B = E e A ∩ B = φ Notação: A - complementar de A Probabilidade – Uma função P(.) é chamada de probabilidade se satisfaz as seguintes condições: 1) 0 ≤ P(A) ≤ 1, para todo A ⊂ E 2) P(E) = 1 3) U n j n j jj APAP 1 1 )()( = = ∑= se os eventos jA são disjuntos Como atribuir probabilidades aos eventos? 1) Baseando-se nas características teóricas de realização de fenômeno Exemplo: lançamento de um dado Assuma que cada uma das faces do dado tem a mesma probabilidade de ocorrer – P(1) = P(2) = .....= P(6) = 6 1 2) Como freqüências relativas O fenômeno aleatório de interesse é repetido várias vezes e a freqüência do evento de interesse é observada. Para um grande número de realizações de fenômeno, a freqüência relativa do evento de interesse converge para a sua probabilidade de ocorrência. Exemplos: 1) Qual a probabilidade de observar um número par no lançamento de um dado não viciado? Espaço amostral finito e eventos simples são equiprováveis possíveis resultados de Número A evento ao favoráveis resultados de Número)A(P = A = {número par} P(A) = 3/6 =1/2 A = {número ímpar} P( A ) = 1/2 P( A ) = 1 – P(A) Lançamento simultâneo de dois dados A = {Soma é 6} P(A) = ? A = { (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} P(A) = 5/36 A = {número menor ou igual a 2 no primeiro dado} B = {número ímpar no segundo dado} P(A ∩ B) = ? P(A∪B) = ? 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 P(A ∩ B) = 6/36 = 1/6 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 12/36 + 18/36 – 6/36 = 24/36 = 2/3 Exemplo: Uma amostra de 200 pessoas é escolhida ao acaso de uma população e classificada quanto à escolaridade do pai e da mãe Escolaridade do pai Escolaridade da mãe 1º grau 2º grau Superior Total 1º grau 60 5 5 70 2º grau 10 50 10 70 Superior 5 10 45 60 Total 75 65 60 200 Regra da adição P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) Se A e B são disjuntos, então P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso desta população a) ter pai com 1º grau? b) ter mãe com 2º grau? c) ter pai com 1º grau e mãe com 2º grau? d) ter pai com 1º grau ou mãe com 2º Grau? Probabilidade Condicional Dados dois eventos A e B, a probabilidade de ocorrência de A dado que B ocorreu é chamada de probabilidade condicional de A dado B, representada por P(A | B), é dada por 0)B(P),A(P)B|A(P 0)B(P,)B(P )BA(P)B|A(P == > ∩ = se se )()|()( BPBAPBAP =∩ Regra da Multiplicação Eventos Independentes Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um deles não diz nada sobre a ocorrência do outro P(A|B) = P(A) (ou P(B|A) = P(B)) Então se A e B são independentes )()( )()|( AP BP BAPBAP == I )()()( BPAPBAP =∩ Exemplo: Uma sala de aula tem 30 alunos, 20 homens e 10 mulheres. Dois alunos são escolhidos ao acaso. Qual a probabilidade do primeiro ser mulher e o segundo ser homem 1) se as retiradas são realizadas com reposição. 2) se as retiradas são realizadas sem reposição. Partição do Espaço Amostral Os eventos A1, A2, ...., Ak formam uma partição do espaço amostral se eles são mutuamente exclusivos e se sua união é igual ao espaço amostral. Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1, A2, ..., Ak formam uma partição do espaço amostral E e que suas probabilidades sejam conhecidas. Suponha ainda que, para um evento B se conheçam as probabilidades P(B|Aj), para todo j = 1,..., k. Então, para qualquer i kj APABP APABP BAP k i ii ii i ,....,1, )()|( )()|()|( 1 == ∑ =
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