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parte 3 - Probabilidade

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Probabilidade 
 
 
Fenômeno aleatório – situação ou acontecimento cujos 
resultados não podem ser previstos com certeza 
 
Exemplos: Notas na prova de Estatística 
 Sortear um aluno na sala e medir sua altura 
 Resultado de um teste diagnóstico 
 Lançamento de um dado 
 
Espaço Amostral – conjunto de todos os resultados possíveis de 
um fenômeno aleatório 
 
Notação: E 
 
E = {X: nota, 0 ≤ x ≤ 25} 
E = {X: altura, x > 0} 
E = {+, - } 
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
 
Evento: subconjuntos do espaço amostral 
 
A = {Nota < 20} B = {Altura < 1,7 m} 
C = {Teste Positivo} D = {Sair número par} 
 
Alguns Eventos Especiais 
 
Sejam A e B dois eventos quaisquer no espaço amostral 
 
Evento União – A ∪ B - ocorrência de A somente, B somente 
ou de A e B 
 
Evento Interseção - A ∩ B – ocorrência simultânea de A e B 
 
Dois eventos A e B são chamados disjuntos ou mutuamente 
excludentes se A ∩ B = φ (φ - conjunto vazio) 
 
Evento Complementar - dois eventos A e B são 
complementares se 
A ∪ B = E e A ∩ B = φ 
Notação: A - complementar de A 
Probabilidade – Uma função P(.) é chamada de probabilidade 
se satisfaz as seguintes condições: 
 
1) 0 ≤ P(A) ≤ 1, para todo A ⊂ E 
2) P(E) = 1 
3) U
n
j
n
j
jj APAP
1 1
)()(
= =
∑=
 se os eventos jA são disjuntos 
 
Como atribuir probabilidades aos eventos? 
 
1) Baseando-se nas características teóricas de realização de 
fenômeno 
 
Exemplo: lançamento de um dado 
Assuma que cada uma das faces do dado tem a mesma 
probabilidade de ocorrer – P(1) = P(2) = .....= P(6) = 
6
1
 
 
 
 
 
2) Como freqüências relativas 
 
O fenômeno aleatório de interesse é repetido várias vezes e a 
freqüência do evento de interesse é observada. Para um grande 
número de realizações de fenômeno, a freqüência relativa do 
evento de interesse converge para a sua probabilidade de 
ocorrência. 
 
Exemplos: 
1) Qual a probabilidade de observar um número par no 
lançamento de um dado não viciado? 
 
Espaço amostral finito e eventos simples são equiprováveis 
 
possíveis resultados de Número
A evento ao favoráveis resultados de Número)A(P =
 
 
A = {número par} P(A) = 3/6 =1/2 
A
 = {número ímpar} P( A ) = 1/2 
 
 
P( A ) = 1 – P(A) 
Lançamento simultâneo de dois dados 
 
A = {Soma é 6} P(A) = ? 
 
A = { (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} 
 
P(A) = 5/36 
 
A = {número menor ou igual a 2 no primeiro dado} 
B = {número ímpar no segundo dado} 
P(A ∩ B) = ? P(A∪B) = ? 
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 
6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 
 
P(A ∩ B) = 6/36 = 1/6 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 12/36 + 18/36 – 6/36 = 
24/36 = 2/3 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Uma amostra de 200 pessoas é escolhida ao acaso de uma 
população e classificada quanto à escolaridade do pai e da 
mãe 
Escolaridade do pai Escolaridade 
da mãe 1º grau 2º grau Superior Total 
1º grau 60 5 5 70 
2º grau 10 50 10 70 
Superior 5 10 45 60 
Total 75 65 60 200 
 
 
 
 
Regra da adição 
 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
 
Se A e B são disjuntos, então 
 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 
Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso desta 
população 
a) ter pai com 1º grau? 
b) ter mãe com 2º grau? 
c) ter pai com 1º grau e mãe com 2º grau? 
d) ter pai com 1º grau ou mãe com 2º Grau? 
 
 
Probabilidade Condicional 
 
Dados dois eventos A e B, a probabilidade de ocorrência de A 
dado que B ocorreu é chamada de probabilidade condicional de 
A dado B, representada por P(A | B), é dada por 
 
0)B(P),A(P)B|A(P
0)B(P,)B(P
)BA(P)B|A(P
==
>
∩
=
 se 
 se 
 
 
 
)()|()( BPBAPBAP =∩
 
 
Regra da Multiplicação 
Eventos Independentes 
 
Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um 
deles não diz nada sobre a ocorrência do outro 
 
P(A|B) = P(A) 
 (ou P(B|A) = P(B)) 
 
Então se A e B são independentes 
 
)()(
)()|( AP
BP
BAPBAP == I
 
)()()( BPAPBAP =∩
 
 
Exemplo: Uma sala de aula tem 30 alunos, 20 homens e 10 
mulheres. Dois alunos são escolhidos ao acaso. Qual a 
probabilidade do primeiro ser mulher e o segundo ser homem 
 
1) se as retiradas são realizadas com reposição. 
2) se as retiradas são realizadas sem reposição. 
 
 
Partição do Espaço Amostral 
 
Os eventos A1, A2, ...., Ak formam uma partição do espaço 
amostral se eles são mutuamente exclusivos e se sua união é 
igual ao espaço amostral. 
 
 
Teorema de Bayes 
 
Suponha que os eventos A1, A2, ..., Ak formam uma partição do 
espaço amostral E e que suas probabilidades sejam conhecidas. 
Suponha ainda que, para um evento B se conheçam as 
probabilidades P(B|Aj), para todo j = 1,..., k. Então, para 
qualquer i 
 
kj
APABP
APABP
BAP k
i
ii
ii
i ,....,1,
)()|(
)()|()|(
1
==
∑
=

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