parte 4- teroema de bayes e teste diagnostico

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Teorema de Bayes 
 
Três tipos diferentes de bactérias são responsáveis pelos casos de 
infecção hospitalar observados em determinado hospital. A 
distribuição dos casos segundo o tipo de bactéria é: 
 
Bactéria A Bactéria B Bactéria C 
0,20 0,30 0,50 
 
Suponha também que as probabilidades da infecção hospitalar 
resultar em morte variam com o tipo de bactéria e são dadas por: 
 
P(M| A) = 0,03 P(M|B) = 0,05 P(M|C) = 0,01 
 
Dado que um indivíduo morreu de infecção hospitalar, qual a 
probabilidade de sua morte ter sido causada pela bactéria A? 
 
P(A| M) = ? 
 
 
 
A, B e C são uma partição do espaço amostral 
 
φφφ =∩=∩=∩=∪∪ CB BA CA ECBA
 
 
A 
C 
B 
 
 
 
 
)()()()(
)()()(
MCPMBPMAPMP
MCMBMAM
∩+∩+∩=
∩∪∩∪∩=
 
 
 
)MC(P)MB(P)MA(P
)MA(P
)M(P
)MA(P)M|A(P
∩+∩+∩
∩
=
∩
=
 
 
 
 P(A) = 0,20 P(B) = 0,30 P(C) = 0,50 
 
P(M| A) = 0,03 P(M|B) = 0,05 P(M|C) = 0,01 
 
Conhecidas 
 
)()|()( )(
)()|(
)()|()( )(
)()|(
)()|()( )(
)()|(
CPCMPMCP
CP
MCPCMP
BPBMPMBP
BP
MBPBMP
APAMPMAP
AP
MAPAMP
=→
∩
=
=→
∩
=
=→
∩
=
I
I
I
 
 
A 
C 
B M 
 
)()|()()|()()|(
)()|(
)()()(
)()|(
CPCMPBPBMPAPAMP
APAMP
MCPMBPMAP
MAPMAP
++
=
∩+∩+∩
∩
=
 
 
 
 
19,0
026,0
005,0
)01,0 x 50,0()05,0 x 30,0()03,0 x 20,0(
)01,0 x 50,0()M|C(P
58,0
026,0
015,0
)01,0 x 50,0()05,0 x 30,0()03,0 x 20,0(
)05,0 x 30,0()M|B(P
23,0
026,0
006,0
)01,0 x 50,0()05,0 x 30,0()03,0 x 20,0(
)03,0 x 20,0()M|A(P
==
++
=
==
++
=
==
++
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicação do Teorema de BAYES 
 
Considere um teste diagnóstico para uma doença qualquer, 
com dois resultados possíveis: negativo e positivo. 
 
Como medimos a qualidade do teste? 
 
Utilize o teste em dois grupos de pessoas: 
 
 grupo de doentes 
 grupo de não doentes 
 
Para classificar os indivíduos como doentes ou não doentes 
utiliza-se outro método diagnóstico denominado padrão 
ouro. 
 
Qual o resultado esperado quando o teste é aplicado aos 
doentes? 
 
Qual o resultado esperado quando o teste é aplicado aos não 
doentes? 
 
 
 
 
Medidas de qualidade de um teste 
 
Sensibilidade s = P(positivo| doente) 
 
Especificidade e = P(negativo| não doente) 
 
Exemplo: Teste ergométrico para diagnóstico de doença 
coronariana. 
Teste Doença 
Coronariana Positivo (+) Negativo (-) 
Total 
Presente (D) 815 207 1023 
Ausente (D ) 115 327 442 
Total 930 535 1465 
 
740,0
442
327)D|(Pe 797,0
1023
815)D|(Ps ==−===+= 
 
Considere 2 pacientes, ambos com resultados positivos 
 
1) paciente jovem, sem sintomas de doença coronariana 
 
2) paciente de 40 anos, fumante, com história familiar de 
doença coronariana, com dores no peito 
 
Você acredita igualmente nestes resultados? 
 
Valores de Predição 
 
 
Valor de predição positivo VPP = P(D| +) 
 
Valor de predição positivo VPN = P(D | -) 
 
Como calcular estas probabilidades? 
 
Para o exemplo: 
 
8763,0
930
815
 ) |P(D ==+ 6112,0
535
327
-) |D P( == 
 
Na tabela temos: 1023 doentes e 442 não doentes 
 
A prevalência da doença é 6983,0
1465
1023
= .(estimativa de 
P(D) ) 
 
 
Se este mesmo teste é aplicado numa população de 
pacientes onde P(D) = 0,50, o que acontece com os valores 
de VPP e VPN? 
 
 
 
 
 
Considerando prevalência = 0,50 
Especificade e sensibilidade não dependem da prevalência 
 
Teste Doença 
Coronariana Positivo (+) Negativo (-) 
Total 
Presente (D) 815 207 1023 
Ausente (D) 1023 x 0,26 
= 266 
1023 x 0,74 = 
757 
1023 
Total 1081 964 2046 
 
7540,0
1081
815
 ) |P(D ==+ 7852,0
964
757
-) |D P( == 
 
 
P(D) ) |P(D + )D(P ) |DP( − 
0,69 0,8763 0,31 0,6112 
0,50 0,7540 0,50 0,7852 
 
 
P(D) e )D(P - medem a certeza sobre o diagnóstico antes da 
realização do teste – probabilidades pré-teste 
 
 
VPP e VPN – medem a certeza do diagnóstico após a 
realização do teste - probabilidades pós-teste 
 
 
Utilizando o Teorema de Bayes para calcular VPP e VPN 
 
 
Dados: p = P(D), s = P(+|D), e e = P(-|D) 
 
 
)e1)(p1(sp
sp
)D(P)D|(P)D(P)D|(P
)D(P)D|(P
)(P
)D(P)|D(P
−−+
=
+++
+
=
+
+∩
=+
 
 
p)s1()p1(e
)p1(e
)D(P)D|(P)D(P)D|(P
)D(P)D|(P
)(P
)D(P)|D(P
−+−
−
=
−+−
−
=
−
−∩
=− 
 
 
Exemplo: p = 0,10 s = 0,797 e = 0,74 
 
 
 
9794,0)797,01(x10,074,0x)10,01(
74,0x)10,01()|D(P
2540,0)74,01(x)10,01(797,0x10,0
797,0x10,0)|D(P
=
−+−
−
=−
=
−−+
=+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teste Elisa para detecção do HIV 
 
Em 1985, o laboratório ABBOTT relatou em testes preliminares 
sensibilidade de 95% e especificidade de 99,8% 
 
Prevalência VPP (%) VPN (%) PFP (%) PFN (%) 
1/100.000 0,47 100,00 99,53 0,00 
1/10.000 4,54 100,00 95,46 0,00 
1/1.000 32,21 99,99 67,79 0,01 
1/500 48,77 99,99 51,23 0,01 
1/200 70,47 99,99 29,53 0,01 
1/100 82,75 99,99 17,25 0,01 
1/50 90,65 99,89 9,35 0,11 
1/20 96,15 99,74 3,85 0,26 
1/10 98,14 99,45 1,86 0,55 
 
 
 
Como a sensibilidade a especificidade afetam VPP e VPN? 
 
P = 0,01 P = 0,40 P = 0,90 
s e VPP VPN VPP VPN VPP VPN 
0,99 0,99 0,5000 0,9999 0,9851 0,9933 0,9989 0,9167 
0,99 0,90 0,0909 0,9999 0,8684 0,9926 0,9889 0,9091 
0,99 0,80 0,0476 0,9999 0,7674 0,9917 0,9780 0,8989 
0,90 0,99 0,4762 0,9990 0,9836 0,9369 0,9988 0,5238 
0,90 0,90 0,0833 0,9989 0,8571 0,9310 0,9878 0,5000 
0,90 0,80 0,0435 0,9987 0,7500 0,9231 0,9759 0,4706 
0,80 0,99 0,4469 0,9980 0,9816 0,8813 0,9986 0,3548 
0,80 0,90 0,0748 0,9978 0,8421 0,8710 0,9863 0,3333 
0,80 0,80 0,0388 0,9975 0,7273 0,8571 0,9730 0,3077 
Combinação de dois testes diagnósticos 
 
Teste originais: A e B 
Em paralelo: T+ = A+ ∪ B+ 
Em série: T+ = A+ ∩ B + 
 
Teste A Teste B Teste em paralelo Teste em Série 
- - - - 
- + + - 
+ - + - 
+ + + + 
 
Suposição; resultados dos testes são independentes. 
s(Paralelo) = sA+ sB - sA x sB s(série) = sA x sB 
e(Paralelo) = eA x eB e(série) = eA+ eB - eA x eB 
 
Exemplo: Câncer Pancreático 
Teste Sensibilidade Especificidade 
Ultrassom 0,80 0,60 
Tomografia 0,90 0,90 
Paralelo 0,98 0,54 
Série 0,72 0,96 
 
Necessidade de combinação de testes: 
• Triagem (série) 
• Diagnóstico Individual (série ou paralelo)