4 LIMITES (INFINITO E POLINOMIAL)

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CALCULO DIFERNCIAL E INTEGRAL – PROF MOISES LOPES DA SILVA 
 
LIMITES INFINITOS e LIMITE DA FUNÇÃO POLINOMIAL QUANDO 
x  
 
 
 Aqui neste estudo, vamos ampliar o conceito de limite, introduzindo um novo elemento 
em nossa teoria: o infinito, cujo símbolo é 

 . Este símbolo não representa número, e 
portanto com ele não podemos efetuar operações como as realizadas com os números reais. 
 Serão apresentadas aqui, através de exemplos, algumas convenções para a utilização 
do símbolo 

 . 
A - LIMITES INFINITOS 
1 – Seja a função 
2
1
( )f x
x

 , cujo gráfico é mostrado. Vê-se, que o 
lim ( ) 0
x
f x


, ou seja 
quando x tende a mais ou menos infinito, significa intuitivamente que se x cresce e / ou 
decresce sem limite, então f(x) assume valores cada vez mais próximos de zero. 
 Para esta mesma função vê-se que 
0
lim ( )
x
f x


. 
 
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 2 
2 – Seja a função 1
( )f x
x

 , cujo gráfico é mostrado. Vê-se, que o 
lim ( ) 0
x
f x


, ou seja 
quando x tende a mais ou menos infinito, significa intuitivamente que se x cresce e / ou 
decresce sem limite, então f(x) assume valores cada vez mais próximos de zero. 
 Para esta , função vê-se que 
0 0
lim ( ) lim ( )
x x
f x e f x
  
  
. 
 Então diremos que não existe o limite de f(x) quando x tende a zero, pois os limites 
laterais são diferentes. 
 
 
3 – Seja a função 
2( )f x x
 , cujo gráfico é a parábola mostrada. Para esta função, vê-se que 
lim ( ) lim ( ) . lim ( )
x x x
f x e f x Logo f x
  
     
. 
 Para esta mesma função vê-se que 
0
lim ( ) 0
x
f x


 
 
 
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 3 
B - LIMITE DA FUNÇÃO POLINOMIAL QUANDO 
x  
- 
 
Seja a função polinomial : 
 
. 
 
Então : 
 
 
OU SEJA, O LIMITE DA FUNÇÃO POLINOMIAL, QUANDO 
x  
, É O LIMITE 
DO SEU TERMO DE MAIOR GRAU. 
 
Exemplos: 
a) 
4 3 4lim 2 lim
x x
x x x x
 
     
 
 
b) 
3 2 3lim 2 4 10 lim 2
x x
x x x x
 
       
 
 
c) 4 3 4 2
2 2
2 2 2
lim lim lim 2
1x x x
x x x x
x
x x x  
  
   
 
 
 
d) 2 2
2 2
3 1
lim lim
2 1 2 2x x
x x x
x x x 
 
 
 
 
 
e) 2 2
3 2 3
1 1
lim lim lim 0
1x x x
x x
x x x x  

  
 
 
 
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 4 
EXERCICIOS 
I – Calcular os limites abaixo: 
 
2
3 2
4
3 2
2
3
3 2
3
2
2
2
3
1 lim (2 3)
2 lim (3 4 2 1)
2 1
3 lim
4
2 5
4 lim
7 1
4 2 5
5 lim
8 2
4 6 3
6 lim
5
2 5
7 lim
4 1
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x







  
   
 

 
 

 
 

 
 


 


 
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8) Sabendo-se que a função f(x) = -1/x² , é representada pelo gráfico abaixo, deduza: 
a) lim f(x) b) lim f(x 
 x0 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) 1) Sabendo-se que a função f(x) = 1/x , é representada pelo gráfico abaixo, calcule: 
a) lim f(x) b) lim f(x 
 x0 x 
 
 
10) Sabendo-se que a função f(x) = 1/x
2
 , é representada pelo gráfico abaixo, calcule: 
a) lim f(x) b) lim f(x 
 x0 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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