9 DERIVADAS

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – Prof Moises Lopes da Silva 
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO y = f(x) num ponto x = x0 
1. Introdução ao Conceito de Derivada 
 1.1- os principais conceitos sobre derivadas estão relacionados com 
a noção de reta tangente à uma curva no plano. 
1.2 Reta Tangente em um ponto P de uma circunferência ou de uma 
curva qualquer: 
 É uma reta única que toca a circunferência ou a curva em 
exatamente um único ponto P, e é perpendicular ao raio de curvatura 
OP, como vemos nas figuras abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
2 . A DERIVADA DO PONTO DE VISTA GEOMÉTRICO. 
 
Seja o gráfico abaixo, representativo de uma de uma função 
y = f(x), definida num intervalo de números reais. 
 
Ve-se que a razão incremental da função y = f(x), quando x varia de 
x0 para x0 +  x0 , é dada por : 
 
 
 
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Define-se como DERIVADA DA FUNÇÃO y = f(x) no ponto x = x0, 
como sendo o limite da razão incremental acima, quando  x0 tende a 
zero, e é representadapor f ' (x0) , ou seja: 
 
Observações: 
1)A derivada de uma função y = f(x), pode também ser representada 
pelos símbolos y, ; dy / dx ou f '(x) 
2)Se fizermos x0 = h , poderemos escrever a definição de derivada, como: 
 
 3)Pela análise da figura, conclui-se que quando x0  0 , o ponto Q , 
tende a coincidir com o ponto P da mesma figura., definindo a reta 
tangente “r” , que forma um ângulo  com o eixo horizontal (eixo das 
abcissas), concluindo-se assim, que a derivada da função y = f(x) no 
ponto x = x0 , é numericamente igual a tangente do ângulo  que a reta “r”, 
faz com o eixo horizontal , ou seja f '(x0) = tgsta tangente do ângulo, 
denomina-se inclinação da reta tangente à curva dada pela função 
y = f(x), no ponto de abcissa x0. 
 
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 Exemplos: 
 1) Seja a parábola dada pela função f(x)=x². O coeficiente angular da reta 
tangente a esta curva no ponto de abcissa x = 1 , é dado por: 
2
h 0 h 0
f (1 h) f (1) (1 h) 1
m lim lim 2
h h 
   
   
 ou seja o valor da inclinação da reta tangente à curva dada pela 
função y = x² no ponto de abcissa x0 = 1, vale 2. 
2) A derivada da função f(x)=x³ no ponto x=1, é dada por: 
 
 
ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO 
A rigor, para o cálculo da derivada de uma função, teremos que calcular o 
limite da razão incremental dada anteriormente, mais por aspectos de 
praticidade, torna-se necessário, o conhecimento das fórmulas de derivadas 
de algumas das principais funções elementares, as quais foram colocadas 
na tabela seguinte, além das derivadas da soma, produto e quociente de 
duas funções , lembrando que a derivada de uma função y = f(x) pode ser 
indicada pelos símbolos y ' , f ' (x) ou dy/dx 
 
 
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FORMULÁRIO BÁSICO 
 FUNÇÃO DERIVADA 
y = k , k = constante y ' = 0 
y = k.x y ' = k 
y = xn y ' = n.x n - 1 
y = u ± v y ' = u' ± v' 
y = u.v y' = u'.v + u.v' 
y = u / v , v  0 y' = (u'.v - u.v') / v2 
y = e u y ' = u'.e u 
y = a x , 1  a > 0 y ' = a x . ln a 
y = u k y ' = u'.k.u k-1 
y = sen(x) y ' = cos(x) 
y = cos(x) y ' = - sen(x) 
y = tg(x) y ' = sec2 (x) 
 Onde u = u(x) e v = v(x) são funções deriváveis no ponto x. 
 
 obs: outra fórmula importante 
,
,
1
,k
k
k
Se y u
k
uy
u

  
 
 
 
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