matrizes

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ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Matrizes 1
Matrizes
Introdução
Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m � n ("m vezes n" ou
"m por n") a uma aplicação
A : f1; 2; :::;mg � f1; 2; :::; ng ! R:
(i; j) ! A (i; j)
Para simpli…car, em vez de A (i; j) ; escreve-se habitualmente ai;j:
Uma matriz A pode ser representada numa das formas:
� A =
266666664
a1;1 a1;2 a1;3 � � � a1;n
a2;1 a2;2 a2;3 � � � a2;n
a3;1 a3;2 a3;3 � � � a3;n
...
...
...
. . .
...
am;1 am;2 am;3 � � � am;n
377777775
.
� A = [ai;j]i=1;:::;m
j=1;:::;n
ou A = [ai;j]m�n
Atendendo à representação em forma de quadro, quando uma matriz é do tipo m � n;
considera-se que a matriz temm linhas e n colunas e, sem = n; a matriz diz-se quadrada,
dizendo–se nesse caso que a matriz é de ordem n.
Os elementos ai;j dizem-se as entradas da matriz, concretamente o elemento ai;j está
posicionado na linha de índice i e na coluna de índice j e é a entrada (i; j) da matriz A: Os
elementos com o mesmo índice de linha e coluna, isto é, os elementos ai;i; dizem-se entradas
principais da matriz. Duas matrizes A e B são iguais se forem do mesmo tipo e as entradas
correspondentes forem iguais.
Exemplos de matrizes:
1. A =
"
�2 1 0 5 1
3
1 0 �1 �1 2
#
- matriz de tipo 2� 5:
2. A = [ai;j]4�4 em que ai;j =
(
1 se i+ j é par
0 se i+ j é ímpar
é a matriz quadrada de ordem 4, que
pode ser representada por A =
266664
1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 1
377775
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Matrizes particulares
� Se a matriz é do tipo 1� n diz-se uma matriz linha.
� Se a matriz é do tipo n� 1 diz-se uma matriz coluna.
(Às vezes chamam-se vectores às matrizes linha ou às matrizes coluna)
� Se A = [ai;j]i=1;:::;n
j=1;:::;n
é uma matriz quadrada, então:
� a diagonal principal de A é constituída pelas suas entradas principais (elementos
com índice de linha igual ao índice de coluna).
� a matriz diz-se triangular superior se ai;j = 0; sempre que i > j;
� a matriz diz-se triangular inferior se ai;j = 0; sempre que i < j;
� a matriz diz-se diagonal se é triangular superior e inferior, ou seja se ai;j = 0;
sempre que i 6= j;
� Matriz nula de tipo m� n é a matriz Om�n = [oij]i=1;:::;m
j=1;:::;n
; em que oij = 0, ou seja,
Om�n =
266664
0 0 � � � 0
0 0 � � � 0
...
...
. . .
...
0 0 � � � 0
377775
m�n
.
� Matriz identidade de ordem n é a matriz In = [ai;j]i=1;:::;n
j=1;:::;n
em que ai;j =
(
1 se i = j
0 se i 6= j ;
ou seja, In =
266664
1 0 � � � 0
0 1 � � � 0
...
...
. . .
...
0 0 � � � 1
377775
n�n
:
� A simétrica da matriz A = [ai;j]i=1;:::;m
j=1;:::;n
é a matriz �A = [bi;j]i=1;:::;m
j=1;:::;n
; onde bi;j = �ai;j.
� Se k é um número real, então a matriz
266664
k 0 � � � 0
0 k � � � 0
...
...
. . .
...
0 0 � � � k
377775
n�n
diz-se uma matriz es-
calar. Uma matriz escalar é uma matriz diagonal em que todas as entradas principais
são iguais.
Nota: A matriz nula de ordem n e a matriz identidade de ordem n são casos partic-
ulares de matrizes escalares, com k = 0; no caso da matriz nula, e k = 1 ,no caso da
matriz identidade.
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Exemplos:
1. Matriz linha:
h
�3 0 0 �2 8
5
i
2. Matriz coluna:
266664
2
�1
0
3
377775
3. Matriz triangular superior:
264 0 �2 40 3 0
0 0 5
375 :
4. Matriz triangular inferior:
264 0 0 0�2 3 0
4 0 5
375 :
5. Matriz diagonal:
264 5 0 00 0 0
0 0 �2
375 :
6. Matriz escalar:
264 3 0 00 3 0
0 0 3
375 :
Operações com matrizes
Transposição
Se A = [ai;j]m�n é uma matriz de tipo m � n; a sua transposta é a matriz AT = [bi;j]n�m
de tipo n�m tal que bi;j = aj;i:
Uma matriz quadrada diz-se simétrica se AT = A.
Exemplos:
1. Se A =
"
�2 1 0
3 7 2
#
, então AT =
264 �2 31 7
0 2
375 :
2. A matriz A =
264 �2 1 01 7 2
0 2 �13
375 é simétrica pois A = AT :
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Soma
Se A = [ai;j]m�n e B = [bi;j]m�n são matrizes de tipo m� n, de…ne-se a matriz:
A+B = [ci;j]m�n do mesmo tipo, onde ci;j = ai;j + bi;j:
Exemplo:
Se A =
"
�2 1 0
3 7 2
#
e B =
"
�2 �1 5
�3 2 �1
#
então A+B =
"
�4 0 5
0 9 1
#
:
Produto por um escalar
Se A = [ai;j]m�n é uma matriz de tipo m� n e � é um número real, de…ne-se a matriz:
�:A = [ci;j]m�n do mesmo tipo, onde ci;j = �ai;j:
Exemplo:
Se A =
"
�2 1 0
3 7 2
#
então �2A = �2
"
�2 1 0
3 7 2
#
=
"
4 �2 0
�6 �14 �4
#
Produto
Se A = [ai;j]m�q é uma matriz de tipo m � q e B = [bi;j]q�n é uma matriz de tipo q � n,
de…ne-se a matriz:
A�B = [ci;j]m�n de tipo m� n, onde ci;j =
qX
k=1
ai;kbk;j = ai;1b1;j + ai;2b2;j + � � � ai;qbq;j:
Exemplos:
1. Se A =
"
�2 1 0
3 7 2
#
e B =
264 2 �1 3 64 3 0 �6
2 1 �1 �2
375 então A�B = " 0 5 �6 �18
38 20 7 �28
#
:
2. Se A =
"
1 2
3 4
#
e B =
"
�2 3
1 5
#
; então A�B =
"
0 13
�2 29
#
e B � A =
"
7 8
16 22
#
:
Observações:
1. Só é possível multiplicar matrizes se o número de colunas da primeira matriz for igual
ao número de linhas da segunda.
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2. No produto de matrizes omite-se habitualmente o sinal �; designando-se o produto da
matriz A pela matriz B por AB:
3. Seja C = AB: O elemento ci;j obtém-se fazendo o "produto interno" da linha i de A
pela coluna j de B:
(i) Multiplicando a matriz A pela coluna j de B obtém-se a coluna j da matriz C:
(ii) Multiplicando a linha i da matriz A pela matriz B obtém-se a linha i da matriz
C:
4. O produto de matrizes não goza da propriedade comutativa. Dadas duas quaisquer
matrizes A e B, pode não ser possível efectuar ambos os produtos AB e BA: Quando
as duas matrizes são quadradas, da mesma ordem, é possível efectuar AB e BA; mas
também não se veri…ca a comutatividade (a não ser em alguns casos particulares),
como se pode veri…car com o exemplo 2 acima.
Propriedades
Soma, produto por um escalar e transposição
Se A; B e C são matrizes de tipo m�n, O é a matriz nula do mesmo tipo e �; � são números
reais, veri…cam-se:
1. A+B = B + A (comutatividade)
2. (A+B) + C = A+ (B + C) (associatividade)
3. A+O = A (elemento neutro)
4. A+ (�A) = O (existência de simétricos)
5. � (A+B) = �A+ �B
6. (�+ �)A = �A+ �A
7. � (�A) = (��)A
8. 1A = A
9. �O = O
10.
�
AT
�T
= A
11. (A+B)T = AT +BT
12. (�A)T = �AT
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Produto
Se A; B e C são matrizes, O é a matriz nula e � é um número real então, sempre que os
produtos sejam possíveis, veri…cam-se:
1. (AB)C = A (BC) :
2. Se A é do tipo m� n, então AOn�n = Om�n = Om�mA:
3. Se A é do tipo m� n, então AIn = A = ImA:
4. (A+B)C = AC +BC e A (B + C) = AB + AC:
5. � (AB) = (�A)B = A (�B) :
6. (AB)T = BTAT :
7. Se A e B são matrizes diagonais, AB é uma matriz diagonal.
8. Se A e B são matrizes triangulares superiores, AB é uma matriz triangular superior.
9. Se A e B são matrizes triangulares inferiores, AB é uma matriz triangular inferior.
Inversa de uma matriz
Seja A uma matriz de ordem n. Se existe uma matriz X tal que AX = XA = In; diz-se que
a matriz A é invertível; A matriz X diz-se a inversa de A e denota-se X = A�1.
Se a matriz A é invertível, a sua inversa é única.
Exemplos:
1. A matriz A =
"
1 2
�1 2
#
é invertível e a sua inversa é A�1 =
"
1
2
�1
2
1
4
1
4
#
:
2. A matriz A =
"
1 2
1 2
#
não é invertível. Vejamos porquê:
Considerando uma matriz arbitrária X =
"
a b
c d
#; veri…ca-se que a equação
"
1 2
1 2
#"
a b
c d
#
=
"
1 0
0 1
#
,
"
a+ 2c b+ 2d
a+ 2c b+ 2d
#
=
"
1 0
0 1
#
,
8>>>><>>>>:
a+ 2c = 1
b+ 2d = 0
a+ 2c = 0
b+ 2d = 1
leva a um sistema impossível.
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Propriedades
Se A e B são matrizes invertíveis de ordem n, veri…cam-se:
(i) A�1 é invertível e (A�1)�1 = A.
(ii) AB é invertível e (AB)�1 = B�1A�1.
(iii) AT é invertível e
�
AT
��1
= (A�1)T :
(iv) Se A é invertível e � 6= 0 é um número real, então �A é invertível e (�A)�1 = ��1A�1.
(v) Se A é diagonal, A�1 é também diagonal.
(vi) Se A é triangular, A�1 é também triangular.
Matriz em forma de escada
Seja A = [ai;j]m�n uma matriz real de tipo m� n:
A matriz A está em forma de escada (ou em escada de linhas) se, para cada linha
i 2 f1; 2; :::;mg ; se veri…ca:
Caso 1 A linha i é nula
Então, para todo o r > i; a linha r é nula.
Caso 2 A linha i não é nula
Se ai;s é o primeiro elemento não nulo da linha i (denominado o pivot); então para
todo o l > i e para todo o c � s; al;c = 0.
A matriz A = [ai;j]m�n está na forma condensada (ou em escada de linhas reduzida) se
está em forma de escada e, para cada linha i 2 f1; 2; :::;mg se veri…cam:
1. O pivot é igual a 1;
2. Se ai;s é o pivot, então para todo o l < i; al;s = 0.
Exemplos:
1. A matriz
264 2 �2 0 19 0 �30 0 �4 �3 0 6
0 0 0 0 1 �2
375 está em forma de escada.
2. A matriz
264 1 �1 0
19
2
0 �3
2
0 0 1 3
4
0 �3
2
0 0 0 0 1 �2
375 está em forma condensada.
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Operações elementares sobre as linhas de uma matriz
Tipos de operações elementares
Tipo I Trocar duas linhas;
Tipo II Multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
Tipo III Somar a uma linha outra multiplicada por um escalar.
Observação: Podem-se de…nir operações elementares análogas sobre as colunas.
Exemplos:
1. Tipo I:
266664
2 2 4
0 0 0
2 5 7
0 1 1
377775�����!L2 $ L4
266664
2 2 4
0 1 1
2 5 7
0 0 0
377775 :
2. Tipo II:
266664
2 2 4
0 1 1
2 5 7
0 0 0
377775
��!
1
2
L1
266664
1 1 2
0 1 1
2 5 7
0 0 0
377775 :
3. Tipo III:
266664
1 1 2
0 1 1
2 5 7
0 0 0
377775������������!L3 �2L1 + L3
266664
1 1 2
0 1 1
0 3 3
0 0 0
377775������������!L3 �3L2 + L3
266664
1 1 2
0 1 1
0 0 0
0 0 0
377775
Teorema: Toda a matriz pode ser transformada, através de operações elementares, numa
matriz em forma de escada.
Teorema: Toda a matriz pode ser transformada, através de operações elementares, numa
matriz condensada.
Observação: A partir de uma matriz podem-se obter muitas matrizes em forma de escada,
mas só uma matriz condensada, isto é, a forma condensada de uma matriz é única
Característica da matriz
A característica de uma matriz A é o número de linhas não nulas de uma qualquer
matriz em forma de escada que possa ser obtida de A através de operações elementares. É
costume representar a característica de uma matriz A por carA:
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Exemplos:
1. car
266664
2 2 4
0 1 1
2 5 7
0 0 0
377775 = 2, pois por meio de operações elementares (ver exemplo anterior)
obtém-se 266664
1 1 2
0 1 1
0 0 0
0 0 0
377775 ;
que está em forma de escada e tem duas linhas não nulas.
2. 8m;n 2 N; carOm�n = 0: (Só a matriz nula, de qualquer tipo, tem característica 0)
Método de eliminação de Gauss
Este método permite obter uma forma de escada ou a forma condensada de qualquer ma-
triz. É de especial importância para a resolução de sistemas de equações lineares, que será
estudada no capítulo seguinte
Seja A = [ai;j] uma matriz de tipo m� n.
1a FASE - Eliminação descendente
Esta fase permite obter uma matriz em forma de escada a partir da matriz inicial.
1. Efectuam-se as trocas de linhas necessárias (operação elementar de tipo I) de modo a que
as primeiras k linhas da matriz sejam não nulas e as últimas m� k linhas sejam nulas.
Exemplo:
26666664
0 0 0 1 �2 2
0 �2 �2 �3 1 �1
0 3 3 1 1 �2
0 0 0 0 0 0
0 5 5 4 0 �1
37777775
�����!
L4 $ L5
26666664
0 0 0 1 �2 2
0 �2 �2 �3 1 �1
0 3 3 1 1 �2
0 5 5 4 0 �1
0 0 0 0 0 0
37777775.
2. Faz-se a primeira escolha de pivot. Para isso escolhe-se um elemento da primeira coluna
não nula. Se esse elemento estiver na primeira linha, passa-se ao passo três. Se não
estiver na primeira linha, efectua-se uma troca de linhas de modo a que passe a estar
na primeira linha.
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Exemplo:26666664
0 0 0 1 �2 2
0 �2 �2 �3 1 �1
0 3 3 1 1 �2
0 5 5 4 0 �1
0 0 0 0 0 0
37777775
�����!
L1 $ L2
26666664
0 �2 �2 �3 1 �1
0 0 0 1 �2 2
0 3 3 1 1 �2
0 5 5 4 0 �1
0 0 0 0 0 0
37777775
3. Utilizando o pivot escolhido anulam-se todos os outros elementos da coluna respectiva,
efectuando operações elementares de tipo III.
Exemplo:
26666664
0 �2 �2 �3 1 �1
0 0 0 1 �2 2
0 3 3 1 1 �2
0 5 5 4 0 �1
0 0 0 0 0 0
37777775
������������!
L3 3
2
L1 + L3
L4 5
2
L1 + L4
26666666664
0 �2 �2 �3 1 �1
0 0 0 1 �2 2
0 0 0 �7
2
5
2
�7
2
0 0 0 �7
2
5
2
�7
2
0 0 0 0 0 0
37777777775
4. Se necessário repete-se o passo 1 e, seguidamente, faz-se nova escolha de pivot, procu-
rando, abaixo da linha 1 a primeira coluna não nula e nesta escolhendo um elemento
não nulo. Escolhido o pivot, repete-se o passo 3.
Exemplo:26666666664
0 �2 �2 �3 1 �1
0 0 0 1 �2 2
0 0 0 �7
2
5
2
�7
2
0 0 0 �7
2
5
2
�7
2
0 0 0 0 0 0
37777777775
������������!
L3 7
2
L2 + L3
L4 7
2
L1 + L4
26666666664
0 �2 �2 �3 1 �1
0 0 0 1 �2 2
0 0 0 0 �9
2
7
2
0 0 0 0 �9
2
7
2
0 0 0 0 0 0
37777777775
5. Repetem-se os passos anteriores, escolhendo sucessivos pivots, até a matriz estar em forma
de escada.
Exemplo:266666666664
0 �2 �2 �3 1 �1
0 0 0 1 �2 2
0 0 0 0 �9
2
7
2
0 0 0 0 �9
2
7
2
0 0 0 0 0 0
377777777775
������������!
L4 �L3 + L4
266666664
0 �2 �2 �3 1 �1
0 0 0 1 �2 2
0 0 0 0 �9
2
7
2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
377777775
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6. Quando a matriz está em forma de escada termina a eliminação descendente.
2a FASE - Normalização dos pivots
7. Na matriz em forma de escada obtida anteriormente, para cada pivot diferente de 1,
multiplica-se a linha correspondente pelo inverso do pivot, isto é, sendo ai;s 6= 1 um
pivot situado na linha i, efectua-se: Li 1
ai;s
Li:
(Com vista a obter uma forma condensada da matriz, esta fase do processo pode ser efectuada
entre a fase descendente e a fase ascendente ou ao longo da eliminação ascendente, consoante
for mais conveniente.)
Exemplo:
2666666664
0 �2 �2 �3 1 �1
0 0 0 1 �2 2
0 0 0 0 �9
2
7
2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
3777777775
���������!
L1 �1
2
L1
L3 �2
9
L3
2666666664
0 1 1
3
2
�1
2
1
2
0 0 0 1 �2 2
0 0 0 0 1 �7
9
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
3777777775
3a FASE - Eliminação ascendente
Estando a matriz em forma de escada, esta fase do método permite obter uma
matriz em forma condensada.
8. Usando o último pivot anulam-se todos os elementos não nulos na coluna onde esse pivot
esteja situado, efectuando operações elementares de tipo III..
Exemplo:
1.
2666666664
0 1 1
3
2
�1
2
1
2
0 0 0 1 �2 2
0 0 0 0 1 �7
9
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
3777777775
������������!
L2 2L3 + L2
L1 1
2
L3 + L1
266666666664
0 1 1
3
2
0
1
9
0 0 0 1 0
4
9
0 0 0 0 1 �7
9
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
377777777775
9. O processo repete-secom os pivots seguintes (de baixo para cima), até a matriz estar em
forma condensada.
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Exemplo:
266666666664
0 1 1
3
2
0
1
9
0 0 0 1 0
4
9
0 0 0 0 1 �7
9
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
377777777775
��������������!
L1 �3
2
L2 + L1
2666666666664
0 1 1 0 0 �5
9
0 0 0 1 0
4
9
0 0 0 0 1 �7
9
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3777777777775
10. No …nal da eliminação ascendente a matriz obtida encontra-se em forma
condensada.