Trabalho, Energia de Deformação e Teoremas de Energia

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Prof: Ramon Saleno Yure Rubim Costa Silva 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
Prof: Ramon Saleno 
 
 
Aula 01: 
 
Trabalho 
 Energia de Deformação 
 Teoremas de Energia 
 
Estabilidade 1 
1. Trabalho de uma Força Constante 
𝑊𝑊𝑊𝑊 = 𝑊𝑊 ∗ δ 
 
𝑊𝑊𝑊𝑊 = 𝑊𝑊 ∗ δ ∗ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶θ 
 
Se θ = 0° , 𝑊𝑊𝑊𝑊 = 𝑊𝑊 ∗ δ 
Se θ = 90° , 𝑊𝑊𝑊𝑊 = 0 
2. Trabalho de uma Força Elástica 
Onde K = Coeficiente elástico. 
E para barras, K é o modulo de Elasticidade de 
Young. 
-Gráfico: 
𝑊𝑊 = 𝐾𝐾 ∗ δ 
𝑊𝑊𝑊𝑊 = � 𝑊𝑊 𝑑𝑑δ = � 𝐾𝐾δ 𝑑𝑑δ = 12𝐾𝐾δ2 = 12𝑊𝑊 ∗ δδ0δ0 
𝑊𝑊 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 12𝑊𝑊 ∗ δ 
3. Trabalho das Forças Externas e Energia de Deformação (U) 
Corpo elástico que se equilibrou com o sistema 
de forças F. 
O trabalho realizado pelo corpo ao se deformar é convertido em energia 
potencial acumulada no corpo deformado. O corpo usa essa energia para 
voltar a sua configuração inicial quando as ações externas saírem. Esta 
energia é conhecida por energia de deformação. 
𝑊𝑊𝑒𝑒𝑒𝑒𝐴𝐴 = 𝑈𝑈 = 1 
2
𝑊𝑊𝐹 δ1 + 1
2
F2 δ2 + 1
2
𝑊𝑊𝐹 𝛿𝛿3+... 1
2
𝑊𝑊𝑛𝑛 𝛿𝛿𝑛𝑛 
4. Trabalho das Forças Internas e Energia de Deformação 
- Considere um corpo elástico equilibrado e seccionado: 
a)Deformação devido ao Momento fletor M 
M = Momento Fletor => Deformação de giro nas secções dӨ 
𝑑𝑑2𝑦𝑦
𝑑𝑑𝑒𝑒𝑑
= 𝑀𝑀
𝐸𝐸𝐸𝐸
 ⇒ d dydxdx = MEI ⇒ 
 
𝑑𝑑θ = 𝑀𝑀
𝐸𝐸𝐸𝐸
𝑑𝑑𝑒𝑒 
Para barras curvas:𝑑𝑑θ = 𝑀𝑀
𝐸𝐸𝐸𝐸
𝑑𝑑𝐶𝐶 
b) Deformação devido ao esforço normal N 
N = Esforço Normal => Deformação de Alongamento ou Encurtamento 
𝑑𝑑δ = ε 𝑑𝑑𝑒𝑒 ; ε = 𝑢𝑢
𝐸𝐸
 
 
𝑑𝑑δ = 𝑁𝑁
𝐴𝐴𝐸𝐸
𝑑𝑑𝑒𝑒 
c) Deformação devido ao Cortante Q 
G = Módulo de Elasticidade Transversal; 
υ = Coeficiente de Poisson 
𝑑𝑑γ = ε 𝑑𝑑𝑒𝑒 
 
𝑑𝑑γ = τ
𝐺𝐺
∗ 𝑑𝑑𝑒𝑒 ; 𝐺𝐺 = 𝐸𝐸2 + 1 + υ 
𝑑𝑑γ = 𝐾𝐾𝐾𝐾
𝐴𝐴𝐺𝐺
 𝑑𝑑𝑒𝑒 
Q = Esforço Cortante => Deformação por distorção 
d) Deformação devido ao Torsor T 
G = Módulo de Elasticidade Transversal; 
𝐸𝐸𝐴𝐴 = Momento de inércia a Torção 
 
𝑑𝑑ϕ = 𝑇𝑇
𝐺𝐺𝐸𝐸𝐴𝐴
∗ 𝑑𝑑𝑒𝑒 
T = Momento Torsor=> Deformação por torção 
Simplificações: 
1- Para pórticos e vigas, usar só a parcela do Momento Fletor. 
2- Para treliças planas, usar só a parcela da normal 
3- Para grelas e vigas balção, computar a parcela do Momento Fletor e 
Torsor. 
𝐿𝐿𝐶𝐶𝐿𝐿𝐶𝐶, 
𝑊𝑊𝑊𝑊𝑛𝑛𝐴𝐴 = 𝑈𝑈 = 12� 𝑀𝑀𝑑𝑑θ + 12� 𝑁𝑁𝑑𝑑δ + 12𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠 � 𝐾𝐾𝑑𝑑γ + 12� 𝑇𝑇𝑑𝑑φ𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠 
𝑊𝑊𝑊𝑊𝑛𝑛𝐴𝐴 = 𝑈𝑈 = 12� 𝑀𝑀2𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑒𝑒 + 12𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠 � 𝑁𝑁2𝐴𝐴𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑒𝑒 + 1𝑘𝑘2 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝐾𝐾2𝐴𝐴𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑒𝑒 + 12� 𝑇𝑇2𝐺𝐺𝐺𝐺𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑒𝑒 
Exemplo: Calcular a Energia U para a estrutura abaixo: 
M=-Px 
𝑈𝑈 = 12� 𝑝𝑝𝑑𝑒𝑒2𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑒𝑒 = 12 ∗ 𝑝𝑝2𝐸𝐸𝐸𝐸 ∗ 𝑒𝑒3𝐹 = 𝑝𝑝2𝐺𝐺36𝐸𝐸𝐸𝐸𝑙𝑙0 
5. Teorema de Betti 
Considere um sistema estrutural equilibrado sobre 2 sistemas de força: 
1) 
2) 
δ21 ⇒ 𝐷𝐷𝑒𝑒𝐷𝐷𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶 𝑒𝑒𝐷𝐷 2 devido ao sistema 1 
𝐷𝐷𝑒𝑒𝐷𝐷 𝑒𝑒𝐷𝐷 1 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑑𝑑𝑊𝑊𝑑𝑑𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑊𝑊𝐶𝐶𝐴𝐴𝑒𝑒𝐷𝐷𝐷𝐷 2 ↓ 
δ12 
 𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊 𝑒𝑒𝐷𝐷 δ21 
⇒ 12𝑊𝑊𝐹δ21 = 12�𝑀𝑀12𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑𝐶𝐶 + 12�𝐾𝐾𝐾𝐾12𝐺𝐺𝑆𝑆 𝑑𝑑𝐶𝐶 + 12�𝑁𝑁12𝐸𝐸𝑆𝑆 𝑑𝑑𝐶𝐶 
𝑊𝑊𝑊𝑊𝐹 𝑒𝑒𝐷𝐷 δ12 
⇒ 12𝑊𝑊𝐹δ12 = 12�𝑀𝑀𝑊𝑑𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑𝐶𝐶 + 12�𝐾𝐾𝐾𝐾22𝐺𝐺𝑆𝑆 + 12�𝑁𝑁𝑊𝑑𝐸𝐸𝑆𝑆 𝑑𝑑𝐶𝐶 
 12𝑊𝑊𝑊δ21 = 12𝑊𝑊1δ12 
 Wext12=Wext21 
 
 “Numa estrutura em equilíbrio sob a ação de dois sistemas de forças F1 e 
F2, têm se que o trabalho realizado pelo sistema 2 referido a ação só do 
sistema 1 é igual ao trabalho realizado pelo sistema 1 devido a ação só 
do sistema “2”. 
6. Teorema de Maxwell 
Se o sistema F1=F2=1, então: δ21 = δ12 
Se os sistemas F1 e F2 forem unitários simultaneamente a deformação 
que o sistema 2 provoca em direção do sistema 1 é qual a deformação 
que o sistema 1 provoca na direção do sistema 2. 
EX.: 1) 
+ 
= 
δ12 = δ21 
Numa estrutura em equilíbrio sob a ação de um sistema de forças em 
equilíbrio, qualquer derivada parcial da energia de deformação em relação 
a uma das cargas é igual ao deslocamento do ponto de aplicação dessa 
carga. 
7. Teorema de Castigliano 
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝐹𝐹1
= δ1 
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝐹𝐹2
= δ2 
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝑊𝑊𝑛𝑛
= δ𝑛𝑛 
 
Sabemos que: 
𝑊𝑊𝐹 = 𝐾𝐾δ1 
𝑊𝑊𝑊 = 𝐾𝐾δ2 
𝑊𝑊𝑛𝑛 = 𝐾𝐾δ𝑛𝑛 
𝑈𝑈 = 12𝑊𝑊𝐹δ1 + 12𝑊𝑊𝑊δ2 + 12𝑊𝑊𝑊δ𝐹 + ⋯+ 12𝑊𝑊𝑛𝑛δ𝑛𝑛 
 
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝑊𝑊𝐹
= 12𝜕𝜕𝑊𝑊𝐹δ𝜕𝜕𝑊𝑊𝐹 = 12 𝑊𝑊𝐹 𝜕𝜕δ𝜕𝜕𝑊𝑊𝐹 + δ 𝜕𝜕𝑊𝑊𝐹𝜕𝜕𝐷𝐷𝐹 = 12 𝑊𝑊𝐹 ∗ 𝜕𝜕 1𝑘𝑘
𝜕𝜕𝑊𝑊𝐹
𝑊𝑊𝐹 + δ1 
 
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝑊𝑊𝐹
= 12 𝑊𝑊𝐹𝑘𝑘 + δ1 = 12 δ1 + δ1 ⇒ 𝜕𝜕U𝜕𝜕𝑊𝑊𝐹 = δ1 
- Calcule a flecha em A e em B e a rotação em A, Rotação da 
tangente e a elástica em A e B. 
a) Calculo da flecha em A. 
 M=-Px 
𝑈𝑈 = 12�𝑀𝑀2𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑙𝑙
0
 
𝑈𝑈 = 12�𝑃𝑃2𝑋𝑋2𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑙𝑙
0
 
 
𝑈𝑈 = 𝑃𝑃22𝐸𝐸𝐸𝐸 ∗ 𝑋𝑋3𝐹 = 𝑃𝑃2𝐺𝐺36𝐸𝐸𝐸𝐸 
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝑃𝑃
= 𝑊𝑃𝑃𝐺𝐺3
6𝐸𝐸𝐸𝐸
= 𝑃𝑃𝐺𝐺3
𝐹𝐸𝐸𝐸𝐸
= δ𝐴𝐴 
b) Cálculo de θA 
θ𝐴𝐴 = 𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝑊𝑊
 M=-Px-F 
𝑈𝑈 = 12�𝑀𝑀2𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑒𝑒 ⇒ 𝑈𝑈 = 1𝑊𝐸𝐸𝐸𝐸 � −𝑃𝑃𝑒𝑒 − 𝑊𝑊 𝑑𝑑𝑑𝑒𝑒 
𝑈𝑈 = 12𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑝𝑝2𝐺𝐺3𝐹 + 𝑃𝑃𝑊𝑊𝐿𝐿𝑑 + 𝑊𝑊2𝐺𝐺 
 
θ𝐴𝐴 = 𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝑊𝑊
= 1
𝑊𝐸𝐸𝐸𝐸
𝑃𝑃𝐺𝐺2 + 𝑊𝑊𝑊𝐺𝐺 ⇒ θ𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝐺𝐺2
𝑊𝐸𝐸𝐸𝐸
 
8. Teorema de Menabrea 
𝑅𝑅𝐵𝐵 
𝐻𝐻𝐴𝐴 
B 
𝐸𝐸𝐺𝐺𝐸𝐶𝐶𝐴𝐴𝑊𝑊𝐸𝐸𝐷𝐷 
𝑅𝑅𝐴𝐴 
 
 
Considere uma estrutura em equilibro sob a ação de um sistema de forças. 
 
 
Sabendo que a energia de deformação da estrutura “U” é dada por: 
. 
 
 
 
𝑈𝑈 = 12� 𝑀𝑀𝑑𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑𝐶𝐶 + 𝑙𝑙 12� 𝑁𝑁𝑑𝐸𝐸𝐴𝐴𝑑𝑑𝐶𝐶 + 1𝜒𝜒2 � 𝐾𝐾𝑑𝐺𝐺𝐴𝐴𝑑𝑑𝐶𝐶 + 12� 𝑇𝑇𝑑𝐺𝐺𝐺𝐺 𝑑𝑑𝐶𝐶 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 
 
 
E que por Castigliano, uma deformação “δ” é dada por: 
𝛿𝛿 = 𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝑊𝑊
 
 
 
 
Logo: 
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝑅𝑅𝐴𝐴
= 𝛿𝛿𝐴𝐴𝑉𝑉 = 0 
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝐻𝐻𝐴𝐴
= 𝛿𝛿𝐴𝐴𝐻𝐻 = 0 
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝑅𝑅𝑅𝑅
= 𝛿𝛿𝑅𝑅𝑉𝑉 = 0 
“A derivada parcial da Energia “U” em 
relação a uma reação vincular é nula” 
Exemplos 
 
 
Calcule as reações vinculares na estrutura abaixo: 
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝑅𝑅𝐴𝐴
= 1
𝐸𝐸𝐺𝐺
� 𝑀𝑀
𝜕𝜕𝑀𝑀
𝜕𝜕𝑅𝑅𝐴𝐴
𝑑𝑑𝑒𝑒 = 0𝑙𝑙
0
 
𝑈𝑈 = 12� 𝑀𝑀𝑑𝐸𝐸𝐸𝐸 𝜕𝜕𝑒𝑒𝑙𝑙0 
𝑑𝑑(𝑢𝑢𝑛𝑛)
𝑑𝑑𝑒𝑒
= 𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑛𝑛−1 𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑒𝑒
 
Exemplos 
 
 
M= 𝑅𝑅𝐷𝐷𝑒𝑒 − 𝑞𝑞𝑥𝑥2
2
(0 ≤ 𝑒𝑒 ≤ 𝐿𝐿) 
𝜕𝜕𝑀𝑀
𝜕𝜕𝑅𝑅𝐴𝐴
= 𝑒𝑒 
� 𝑀𝑀
𝜕𝜕𝑀𝑀
𝜕𝜕𝑅𝑅𝐴𝐴
 𝑑𝑑𝑒𝑒 = 0𝑙𝑙
0
 
� 𝑅𝑅𝐴𝐴 𝑒𝑒 − 𝑞𝑞𝑒𝑒𝑑2 𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒 = 0𝑙𝑙0 
8𝑅𝑅𝐴𝐴 − 𝐹𝑞𝑞𝐺𝐺 = 0 8𝑅𝑅𝐴𝐴 = 𝐹𝑞𝑞𝐺𝐺 
𝑅𝑅𝐴𝐴 = 𝐹𝑞𝑞𝐺𝐺8 = 0,𝐹75 𝑞𝑞𝐺𝐺 
𝑅𝑅𝐴𝐴 𝑒𝑒𝑥
𝐹
−
𝑞𝑞𝑒𝑒48 �𝑙𝑙
0
 
𝑅𝑅𝐴𝐴 𝐺𝐺𝑥
𝐹
−
𝑞𝑞𝐺𝐺48 = 0 
𝑅𝑅𝐴𝐴 𝐺𝐺𝑥
𝐹
= 𝑞𝑞𝐺𝐺48 
𝑅𝑅𝑅𝑅 = 0,6𝑊5𝑞𝑞𝐺𝐺 
A 
𝑋𝑋𝐵𝐵 = 𝑅𝑅𝐷𝐷. 𝐺𝐺 − 𝑞𝑞𝐺𝐺𝑑2 
Exemplos 
 
 
𝑋𝑋𝐵𝐵 = 𝐹𝑞𝑞𝐺𝐺𝑑8 − 𝑞𝑞𝐺𝐺𝑑2 
𝑋𝑋𝐵𝐵 = −𝑞𝑞𝐺𝐺28 (𝐴𝐴𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶 𝑒𝑒𝐷𝐷 𝐸𝐸𝑊𝑊𝐷𝐷𝐷𝐷) 
𝑞𝑞𝐺𝐺𝑑8 
Exemplos 
 
 Calcule as reações vinculares e o diagrama de momentos 
a) 
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝑅𝑅𝐵𝐵
= 0 � 𝑀𝑀 𝜕𝜕𝑀𝑀𝜕𝜕𝑅𝑅𝐵𝐵 𝑑𝑑𝑒𝑒 = 0𝑙𝑙0 
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝑋𝑋𝐵𝐵
= 0 � 𝑀𝑀 𝜕𝜕𝑀𝑀
𝜕𝜕𝑋𝑋𝐵𝐵
𝑑𝑑𝑒𝑒 = 0𝑙𝑙
0
 
𝑀𝑀 = 𝑅𝑅𝐵𝐵𝑒𝑒 − 𝑋𝑋𝐵𝐵 − 𝑞𝑞𝑒𝑒𝑑2 
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