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UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I – 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS – 2010 
TURMA: 2º M 
Prof. Msc.: GILVAN CORREARD 
 
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1) Quais são as unidades básicas do sistema internacional? 
 
R.: As unidades básicas são: metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). 
 
2) Como é obtida a unidade de força no sistema internacional? Como é denominada esta unidade? 
 
R.: a) A unidade força é obtida pela força que imprime a aceleração de 1 [m/s²] à massa de 1 [kg]. 
A partir da Equação F = m.a (segunda Lei de Newton), escreve-se: 
1 [N] = 1 [kg] X 1 [m/s²]. 
 
b) A unidade da força é denominada Newton (N) 
 
3) O que é peso? Quais suas características? Quais as unidades utilizadas? 
 
R.: a) O peso de um corpo é na realidade a soma dos pesos de todas as suas moléculas. O peso de um 
corpo também é uma força. Além disso, o peso (P), é definido como sendo a causa da aceleração da 
gravidade (g = 9,80665 m/s²) sobre uma determinada massa (P = m . g), tem sempre a direção 
vertical e o sentido para baixo. 
 
 b) Da Equação P = m.g (terceira Lei de Newton ou Lei da Gravitação) segue-se que o peso de um 
corpo de massa 1 [kg] é = (1 kg) X {9,80665 [m/s²]} = 9,80665 [N], 
onde g = 9,80665 [m/s²] é a aceleração da gravidade. 
 
c) O peso também é expresso em Newton (N). 
 
4) O que é peso especifico? Quais as unidades utilizadas? 
 
R.: a) Na prática, entretanto, não existe interesse em se conhecer o peso de uma molécula, pois é quase 
impossível se determinar quantas moléculas existem no corpo. Um valor mais acessível é o peso 
específico [γ], definido como o peso por unidade de volume (γ = P/V). 
 
b) As unidades usuais do peso especifico são: 
[N/m3] , [N/cm3] , [N/mm3] 
 
5) O que é pressão? Quais as unidades utilizadas? 
 
R.: a) A pressão é definida como a pressão exercida por uma força de 1 Newton uniformemente 
distribuída sobre uma superfície plana de 1 metro quadrado de área, perpendicular à direção da 
força. 
 
b) A pressão é medida no SI em Pascal [Pa] que também é Pa = [N/m²] 
As unidades derivadas são: 
 
 
 
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6) O que é tensão? O que a diferencia de pressão? 
 
R.: a) A carga F, que age em um corpo no espaço, origina neste, uma tensão que é determinada através 
da relação entre a intensidade da carga aplicada, e a área da secção transversal do corpo. 
 
 b) Quando se estuda uma estrutura, as forças atuam distribuídas em uma certa área, assim criou-se 
o conceito de pressão que é a força por unidade de área (p = F/A), ver figura 01. 
Um conceito semelhante é o de tensão, que é a força (como reação interna do material) por unidade 
de área da seção transversal (σ = F/A), ver figura 02. 
 
 
figura 01 
 
 
figura 02 
 
7) O que é carga uniformemente distribuída? Quais as unidades utilizadas? 
 
R.: a) Muitas vezes defronta-se com problemas onde uma das dimensões da área, onde se distribui a 
força, é muito pequena em relação a outra. Nestes casos em vez de se usar o conceito de pressão, é 
melhor, na prática, a utilização do conceito de carga uniformemente distribuída que é a força por 
unidade de comprimento (p = F/L). A figura 03 é um exemplo de carga uniformemente distribuída. 
 
 
 
figura 03 
 
b) As unidades usuais para carga uniformemente distribuída são: [N/m], [N/cm], [N/mm]. 
 
 
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8) O que é carga concentrada? Quais as unidades utilizadas? 
 
R.: a) Outra ocorrência comum, na prática, aparece quando a área, onde se distribui a força, tem as 
duas dimensões muito pequenas, em relação às demais dimensões do problema, neste caso 
costuma-se utilizar a força como carga concentrada em apenas um ponto. A figura 04 é um exemplo 
deste tipo de carregamento. 
 
 
figura 04 
 
b) As unidades usuais para carga concentrada são as mesmas utilizadas para forças, isto é: [N], 
[kN], [kgf]. 
 
9) O que é resultante de um sistema de forças? 
 
R.: Um sólido submetido a um sistema de forças, não em equilíbrio, sofre uma aceleração em uma 
determinada direção e sentido. Uma força que cause uma aceleração de mesma magnitude direção e 
sentido que este sistema de forças é conhecida como resultante das forças deste sistema, e, é a soma 
vetorial das forças deste sistema. 
 
10) Como se obtém a componente de uma força em determinada direção? 
 
R.: Algumas vezes, em estruturas, é conhecida a resultante das forças, porém o problema é mais facilmente 
resolvido ao se conhecer um sistema de forças de direções ortogonais conhecidas e de mesma resultante. 
Neste caso pode-se decompor a força nas direções ortogonais desejadas, bastando para isto multiplicar esta 
força pelo coseno do ângulo que ela forma com cada uma destas direções, obtendo as componentes desta 
força nas direções consideradas. 
 
Decomposição da força F em Fx e Fy 
Note que na figura acima que: 
 
Note ainda, que a força F é a soma vetorial de Fx e Fy. 
 
soma vetorial de Fx e Fy resultando em F. 
 
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11) Obter um carregamento equivalente, ao representado na figura 06, de tal forma a obter cargas axiais e 
normais ao eixo da estrutura. 
 
 
figura 06 
 
R.: Passos do exercício: 
 
a) Encontrar a componente horizontal da força: 
 
Fx = F * cos α = 5000 * cos (20º) = 4698,5 [N]. 
Adota-se o sentido positivo da força em x para a direita. ( )→= +∑ 0xF 
Assim a resultante em x é Fx = -4698,5 [N]. 
Portanto a força horizontal necessária para equilibrar Fx = Fn = 4698,5 [N]. 
 
b) Encontrar a componente vertical da força: 
 
Fy = F * sen α = 5000 * sen (20º) = 1710,1 [N] 
Adota-se o sentido positivo da força em y para cima. ( )↑+=∑ 0yF 
Assim a resultante em y é Fy = -1710,1 [N]. 
 
c) Encontrar as reações em a e b: 
 
 
 
 
Ra Rb 
 
Ra = Fy*3,00/5,00 = 1710,1*3,00/5,00 = 1026,06 [N] 
 
Rb = Fy*2,00/5,00 = 1710,1*3,00/5,00 = 684,04 [N] 
 
 
 
 
 
 
 
Fy
 
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12) Decompor o carregamento da estrutura representada na figura 07, em duas forças, uma axial e outra 
normal ao eixo da estrutura 
 
 
 
figura 07 
 
R.: Passos do exercício: 
a) Montar o diagrama de corpo livre das forças decompostas 
 
 
 
b) Encontrar o comprimento L e encontrar os ângulos β e α (em radianos) 
 
L² = 4,00² + 3,00² = 5,00 [m] 
80,0
00,5
00,4cos ==β 
60,0
00,5
00,3cos ==α 
c) Encontrar a força Fa e Fn 
Fa = F * cos α = 2000 * 0,60 = 1200 [N] 
Fn = F * cos β = 2000 * 0,80 = 1600 [N] 
 
d) Montar o diagrama de corpo livre 
 
 
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13) O que se entende por apoio? Quais os principais tipos de apoio? 
 
a) Uma estrutura, uma vez idealizada, deve permanecer em equilíbrio, o que se consegue através 
de dispositivos que têm por objetivo servir como anteparo, impedindo o deslocamento da mesma 
em determinados pontos e em certas direções. Tais dispositivos físicos, recebem o nome de 
apoios e serão classificados de acordo com o número de deslocamentosimpedidos (vínculos) à 
estrutura. 
Toda restrição imposta pelo apoio à movimentação da estrutura recebe o nome de vínculo, assim 
como toda permissão oferecida pelo apoio à movimentação da estrutura recebe o nome de grau 
de liberdade. 
 
b) Nas estruturas planas, podemos classificá-los em 3 tipos: 
• Apoio móvel 
• Apoio fixo 
• Engaste (fixo ou móvel) 
 
14) Descreva o apoio móvel. 
 
Apoio livre móvel ou apoio de 1º gênero, que impede um deslocamento de translação (em geral vertical), 
permitindo o outro deslocamento de translação, assim como o de rotação. 
 
15). Descreva o apoio fixo. 
 
Apoio livre fixo ou apoio de 2º gênero, ou rótula, ou articulação: este impede que as duas componentes de 
translação, permitindo a rotação. 
 
16) Descreva o engastamento móvel. 
 
O engastamento móvel possui somente um grau de liberdade, ou seja, a translação paralela à superfície de 
apoio. Sua reação é definida por um momento, dito momento de engastamento, que impede a rotação, e 
uma reação perpendicular à superfície de apoio passando pelo eixo médio dos rolos, que impede a 
translação na direção deste eixo. 
 
17) Descreva o engastamento fixo. 
 
O engastamento fixo é um tipo de apoio, que não possui grau de liberdade. Sua reação é definida através de 
três parâmetros: reação perpendicular, reação paralela ao eixo longitudinal da peça e momento de 
engastamento. As reações impedem as translações e o momento impede a rotação. 
 
18) Represente, esquematicamente, com suas reações de apoio: o apoio móvel, o apoio fixo, o 
engastamento móvel e o engastamento fixo. 
 
O apoio móvel pode ser representado de forma esquemática conforme a figura abaixo: 
 
 
 
 
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O apoio fixo pode ser representado de forma esquemática conforme a figura abaixo: 
 
 
 
O engastamento móvel pode ser representado de forma esquemática conforme a figura abaixo: 
 
 
 
O engastamento fixo pode ser representado de forma esquemática conforme a figura abaixo: 
 
 
 
19) O que se entende por condição de apoio estável? Represente, esquematicamente,algumas estruturas 
com condição de apoio estável. 
 
A condição de apoio estável é qualquer combinação de apoios que forneça três ou mais reações de apoio. A 
condição de apoio estável é uma das condições para que uma estrutura seja segura. 
 
 
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Abaixo apresentamos alguns exemplos de condição de apoio estável: 
 
 
 
20) O que são estruturas (externamente) hipostáticas? Represente, esquematicamente,alguns exemplos. 
 
Estruturas hipostáticas são as estruturas nas quais a combinação de apoios é instável, portanto possuem em 
geral menos de três reações. Por terem combinação de apoio instável não devem ser utilizadas. 
 
Exemplos de estruturas hipostáticas: 
 
 
 
21) O que são estruturas (externamente) isostáticas? Represente, esquematicamente,alguns exemplos. 
 
Estruturas isostáticas ou estruturas estaticamente determinadas são as estruturas cuja combinação de 
apoios é estável, entretanto possuem apenas três reações, as quais podem ser obtidas através das três 
equações de equilíbrio. 
 
Exemplos de estruturas isostáticas: 
 
 
 
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22) O que são estruturas (externamente) hiperestáticas? Represente, esquematicamente, alguns exemplos. 
 
Estruturas hiperestáticas ou estruturas estaticamente indeterminadas são estruturas que possuem uma 
combinação de apoios estável, porém com mais de três reações e portanto as três equações de equilíbrio 
não são suficientes para obtê-las. Assim necessitam de equações suplementares oriundas da 
compatibilidade de deslocamentos, para obter suas reações. 
Exemplos de estruturas hiperestáticas: 
 
 
 
 
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23) Calcular as reações de apoio, para as estruturas isostáticas, esquematizadas a seguir: 
 
 
O primeiro passo é substituir os apoios por suas reações, conforme a figura abaixo: 
 
 
O segundo passo, necessário neste exemplo, é concentrar a carga uniformemente distribuída no centro do 
trecho carregado. 
 
 
O terceiro passo é aplicar as equações de equilíbrio, conforme segue: ( )
( )
][27200
000,5
)50,150,100,1(2000000,210000)50,100,1(2000000,16000000
460000200002000060000
][000
NV
V
VHM
VVVVF
NHHF
B
B
AAO
BABAy
AAx
=⇒
=⋅+
+++⋅−⋅−+⋅−⋅−⋅−⋅∴

=
=+⇒=−−−+∴↑+=
=⇒=−∴→=
∑ +
∑
∑ +
Ainda no terceiro passo resolve-se o sistema de equações resultantes, obtendo-se as reações de apoio. 
 
Finalmente, no quarto passo, apresenta-se a solução em desenho, conforme abaixo: 
 
 
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Este problema, além de dispensar o segundo passo, tem como novidade o engastamento fixo que possui um 
momento de engastamento como reação de apoio. Para este problema tem-se a substituição do apoio por 
suas reações: 
 
 
 ( )
( )
].[9000
000,33000000
][000
][3000030000
mNM
MVHM
NVVF
NHHF
A
AAAA
AAy
AAx
=⇒
=⋅+−⋅+⋅−∴

=
=⇒=∴↑+=
−=⇒=−−∴→=
∑ +
∑
∑ +
 
 
Resultando: 
 
HA = −3000 [N] (sentido contrário ao adotado) 
 
VA = 0 [N] 
 
MA = 9000 [N.m] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3000 [N]
3,00 [m]
MA = 9000 [N.m]
HA = 3000 [N]
 
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24) Conforme a combinação de apoio, fornecer o tipo das estruturas representadas nas figuras a seguir: 
 
 
R. Estrutura Isostática => número de equações de equilíbrio da estática (3) = número de reações (3) 
 
 
R. Estrutura Hiperestática => número de equações de equilíbrio da estática (3) < número de reações (mais 3) 
 
 
 
R. Estrutura Isostática => número de equações de equilíbrio da estática (3) = número de reações (3) 
 
 
 
R. Estrutura Hipostática => número de equações de equilíbrio da estática (3) > número de reações (menos 3) 
 
 
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25) No esquema abaixo desejamos calcular o alongamento elástico do cabo de aço que está sob tração. O 
comprimento do cabo é de L = 2 [m], o material do cabo tem módulo de elasticidade 2,1x105 [N/mm²] e o 
diâmetro desse mesmo cabo é de d = 20 [mm]. 
 
 
R.: Passos do exercício: 
 
a) Identificar a força externa, as características geométricas e mecânicas do cabo de aço: 
 
F = 10000 [N] 
d = 20 [mm] 
A = π*d²/4 = π*20²/4 = 314,16 [mm²] 
L = 2,0 [m] = 2000 [mm] 
E = 2,1 x 105 [N/mm²] 
 
b) Aplicar a fórmula de alongamento 
 
Sabemos que a elongação é uma porcentagem do comprimento total pelo comprimento deformado. 
Portanto: 
 
L
L∆=ε e 
A
F=σ 
 
Sabemos que a tensão é diretamente proporcional a deformação. Portanto: 
 
ε⋅=σ ESubstituindo as fórmulas, teremos: 
 
EA
LF
L
E
A
F
L
L
⋅
⋅=∆⇒∆⋅= 
 
Portanto: 
 
=⋅⋅
⋅=∆ 510216,314
200010000
L 0,318 [mm] 
 
26) Calcule a tensão que acontece nos tirantes dos seguintes esquemas: 
 
26.1) Tirante com seção circular. 
 
R.: Passos do exercício: 
 
a) Identificar as características geométricas do tirante: 
d = 20 [mm] 
A = π*d²/4 = π*20²/4 = 314,16 [mm²] 
 
b) Aplicar a fórmula de tensão 
 
==σ⇒=σ
16,314
20000
A
F 63,66 [N/mm²] = 63,66 [MPa] 
 
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26.2) Tirante com seção quadrada. 
 
R.: Passos do exercício: 
 
a) Identificar as características geométricas do tirante: 
lado = 20 [mm] 
A = lado*lado = 20*20 = 400 [mm²] 
 
b) Aplicar a fórmula de tensão 
 
==σ⇒=σ
400
15000
A
F 37,5 [N/mm²] = 37,5 [MPa] 
 
26.3) Tirante de seção retangular. 
 
R.: Passos do exercício: 
 
a) Identificar as características geométricas do tirante: 
lado1 = 10 [mm] 
lado2 = 20 [mm] 
A = lado1*lado2 = 10*20 = 200 [mm²] 
 
b) Aplicar a fórmula de tensão 
 
==σ⇒=σ
200
30000
A
F 150 [N/mm²] = 150 [MPa] 
 
27) Calcule a tensão que acontece na barra abaixo indicada: 
 
 
R.: Passos do exercício: 
 
a) Identificar as características geométricas do tirante: 
 
d = 30 [mm] 
A = π*d²/4 = π*30²/4 = 706,86 [mm²] 
 
b) Aplicar a fórmula de tensão 
 
==σ⇒=σ
86,706
40000
A
F 56,59 [N/mm²] = 56,59 [MPa] 
 
 
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28) Calcular a força capaz de romper um tirante de seção quadrada, como na figura abaixo, sabendo-se que 
a sua tensão de ruptura à tração é de 600 [N/mm²], e que o lado da seção transversal vale 15 [mm]. 
 
 
 
R.: Passos do exercício: 
 
a) Identificar as características geométricas do tirante: 
 
lado = 15 [mm] 
A = lado*lado = 15*15 = 225 [mm²] 
 
b) Aplicar a fórmula de tensão, igualando à mesma à tensão de ruptura à tração da barra 
 
=⋅=⋅σ=⇒=σ=σ⇒=σ 225600AF
A
F
A
F
RR 135000 [N] 
 
29) Calcular a tensão sobre a peça 1, no esquema abaixo, sabendo que o diâmetro das duas barras é d=12 
[mm]. 
 
 
 
R.: Passos do exercício: 
 
a) Identificar as características geométricas de uma barra: 
 
d = 12 [mm] 
A = π*d²/4 = π*12²/4 = 113,10 [mm²], portanto, a área de duas barras equivale a: At = 226,2 [mm²]. 
 
b) Aplicar a fórmula de tensão 
 
=⋅=σ⇒⋅=σ 2,2262
20000
2 A
F 88,42 [N/mm²] = 88,42 [MPa] 
 
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30) Calcular o diâmetro de uma peça que trabalhe sob tração. O material dessa peça deve ter tensão de 
escoamento à tração de 600 [N/mm²]. A peça deve sustentar uma carga de 60000 [N] e utilizaremos 
coeficiente de segurança 2. 
 
R.: Passos do exercício: 
 
a) Identificar a força externa e as características mecânicas da barra: 
 
F = 60000 [N] 
σE = 600 [N/mm²] 
 
b) Calcular a tensão admissível do material da barra: 
 
==σ=σ
2
600
.
 E
scadm
300 [N/mm²] 
 
c) Aplicar a fórmula de tensão, e igualar à mesma à tensão admissível da barra 
 
4
2d
F
A
F
A
F
admadmadm ⋅π=σ⇒=σ⇒=σ=σ 
 
d) Encontrar o diâmetro mínimo da barra 
 
=⋅π
⋅=σ⋅π
⋅=
300
4600004
adm
Fd 15,96 [mm] 
 
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31) Calcular a força F que o conjunto abaixo pode sustentar para que trabalhe com segurança. O material 
das peças 1 e 2 é aço, com tensão limite de escoamento de 600 [N/mm²] e seu diâmetro é d = 35 [mm]. A 
peça 3 é feita de aço, com limite elástico de 800 [N/mm²] e sua seção é quadrada com 40 [mm] de lado. 
Devemos obter coeficiente de segurança 1,5. 
 
 
 
 
 
 
 
R.: Passos do exercício: 
 
a) Identificar as características geométricas das peças montadas: 
 
peças 1 e 2 
d = 35 [mm] 
A1 = π*d²/4 = π*35²/4 = 962,11 [mm²], portanto, a área de duas barras equivale a: At = 1924,22 [mm²]. 
 
peça 3 
lado = 40 [mm] 
A2 = lado*lado = 40*40 = 1600 [mm²] 
 
b) Calcular as tensões admissíveis dos materiais das peças: 
 
peças 1 e 2 
==σ=σ
5.1
600
.
 E
1 scadm
400 [N/mm²] 
 
peça 3 
==σ=σ
5.1
800
.
 E
2 scadm
533,33 [N/mm²] 
 
c) Aplicar a fórmula de tensão, igualando à mesma à tensão admissível das peças 
 
peças 1 e 2 
 
=⋅⋅=⋅⋅σ=⇒⋅=σ=σ 11,962240022 1111
1
11 AFA
F
admadm 769690,2 [N] 
peça 3 
=⋅=⋅σ=⇒=σ=σ 160033,533222
2
2
22 AFA
F
admadm 853333,3 [N] 
 
Portanto, a menor força atuante sobre as peças é: F1 = 769690,2 [N] 
3 2
1