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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO – UNIFESP –CAMPUS DIADEMA Química Quântica 4º Termo – 2º Sem/2009 Avaliação 1 15.10.2009 Prof. Fabricio R. Sensato Nome:________________________________________________Matricula:_________Termo:_________ • Avaliação individual, sem consulta; • É permitido o uso de calculadora (mas não é permitido o uso de calculadoras contidas em celulares ou palmtops); • O empréstimo de qualquer material não é permitido; • Todos os dados necessários para a resolução da prova figuram na folha de questões; • Certamente não há qualquer armadilha na formulação das questões • Não desate o maço que lhe foi entregue; • Empregue o número correto de algarismos significativos; • Resolução e respostas podem ser dadas a lápis ou caneta; • Apresente pormenorizadamente cálculos, passagens e justifique qualque consideração assumida; • Apresente explicitamente todas as unidades ao longo do desenvolvimento dos cálculos. Dados h = 6,626 × 10-34 J s ħ= h/2 c = 2,988 ×108 ms-1 1J = 1kgm2s-2 1m=1012 pm me: 9,110 ×10-31 kg λ=c/ν Função de onda para uma partícula de confinada em uma caixa unidimensional de comprimento l: ψ = ��� ��� � � Energias permitidas: E = (n2h2)/(8ml2) Elemento de volume em coordenadas esféricas polares: dτ = r2senθdrdθdφ Soluções conhecidas: � ��� ��� � = �! ��� � ����� � = �� − ��� ���(2� ) 1) (2,0 pontos) Conceitue o que se segue. Se necessário, faça uso adicional de equações ou expressões matemáticas. Se aplidável, forneça exemplos. 1.a) (0,2 pontos) O que é uma equação de autovalor? Dê um exemplo. 1.b) (0,2 pontos) Que principais critérios uma função de onda deve obedecer para ser considerada aceitável? 1.c) (0,2 pontos) Qual é a interpretação de Born para a função de onda? 1.d) (0,2 pontos) Por que a função de onda deve estar normalizada para o cálculo das probabilidades de localização de partículas? 1.e) (0,2 pontos) O que são as denominadas “condições de contorno”? 1.f) (0,2 pontos) O que é o princípio da incerteza de Heisenberg? 1.g) (0,2 pontos) O que são observáveis complementares? Dê um exemplo de duas observáveis que sejam complementares e duas que não o sejam. 1.h) (0,2 pontos) O que é o princípio da correspondência? 1.i) (0,2 pontos) O que são funções de onda degeneradas? 1.j) (0,2 pontos) O que é tunelamento? As respostas para as questões teóricas podem ser encontradas em qualquer livro texto de química quântica dentre os quais aqueles que fazem parte da bibliografia básica do curso, a saber, P.W. Atkins (Capítulo 8 e 9) e David Ball (Capítulo 10) 2) (2,0 pontos) Quando o β-caroteno é oxidado nos seres vivos, ele se quebra pela metade e forma duas moléculas de retinal (vitamina A), que é um precursor do pigmento na retina responsável pela visão. O sistema retinal consiste em 11 átomos de carbono e um átomo de oxigênio. No estado fundamental do retinal, cada nível até n = 6 é ocupado por dois elétrons. Supondo uma distância média internuclear de 140 pm, calcule (a) a separação de energia entre o estado fundamental e o primeiro estado excitado, em que um eletrón ocupa o estado com n = 7; (b) a frequência e o correspondente comprimento de onda da radiação necessária para produzir uma transição entre esses dois estados. (c) Escolha dentre as palavras entre parênteses (abaixo) as necessárias para gerar uma regra para a predição dos deslocamentos de frequência nos espectros de absorção de polienos lineares. (d) Explique suas escolhas. “O espectro de absorção de um polieno linear se desloca para uma (maior/menor) frequência quando o número de átomos conjugados (aumenta/diminui)” Resolução a) ∆ = ! − " A molécula é constituída por 12 átomos (11 de carbono e 1 de oxigênio) e, portanto, a “caixa molecular” pode ser considerada como formada por 11 ligações, cujas distâncias médias internucleares (entre núcleos atômicos) é 140 pm. Assim, o comprimento da molécula é dado por 11 × 140 pm, ou seja, 1,54 × 103 pm ! = 7�ℎ�8&'(� ⇒ ! = 7 �(6,626 × 10�.� J s)�8 × 9,109 × 10�.�kg × (1,54 × 10. pm)� 91kg m�s��1J : 910�� pm1 m : 910�� pm1 m : ! = 1,24 × 10��; < " = 6�ℎ�8&'(� ⇒ " = 6 �(6,626 × 10�.� J s)�8 × 9,109 × 10�.�kg × (1,54 × 10. pm)� 91kg m�s��1J : 910�� pm1 m : 910�� pm1 m : " = 9,15 × 10��= < ∆ = ! − " = ∆ = 1,24 × 10��; J − 9,15 × 10��= J = 3,25 × 10��= J Resolução b) ∆ = ℎ? ⇒ ? = ∆ ℎ ⇒ ? = 3,25 × 10��=J6,626 × 10�.� J s = 4,90 × 10�� s�� @ = A? ⇒ @ = 2,988 × 10; ms��4,90× 10�� s�� ⇒ @ = 6,10 × 10�! m Resolução c) menor/aumenta ou maior/diminui Resolução d) A diferença em energia, ∆E, entre os estados En+1 e En (no exercício proposto n seria igual a 6) é, genericamente calculada como: ∆ = �B� − � = (� + 1)�ℎ�8&D� − ��ℎ�8&D� = (2� + 1) ℎ�8&D� Isto significa que ∆E, a diferença entre En+1 e En, é inversalmente proporcional a L2. Assim, se L aumenta (o que equivale dizer que o número de átomos conjugados aumenta), ∆E diminui. Como ∆E = hν, a frequência necessária para produzir a mesma transição também diminui. O inverso é verdadeiro para o caso em que o número de átomos conjugados diminui. 3) (2,0 pontos) A equação de Schrödinger para o cálculo da energia rotacional bidimensional (uma partícula percorrendo um círculo de raio r) é dada pela seguinte equação de autovalor: − ħ�2F G�Gφ� ψ = ψ I é o momento de inércia (I = mr2) e é uma constante. Ainda, φ é a coordenada angular da rotação. Uma possível solução para ψ nesta equação é: ψ = Aeimφ (“A” e “m” são constantes) a) Mostre que a função ψ = Aeimφ é uma autofunção do operador hamiltoniano supracitado e encontre o correspondente autovalor. b) Encontre o valor de A normalizando a função (dτ=dφ; e todo o espaço de φ é de 0 (zero) a 2pi). Resolução a) − ħ�2F G�Gφ� (H�IJ∅) = (H�IJ∅) − ħ�2F H�IJ∅ × L& × L& = (H�IJ∅) ħ�2F &�(H�IJ∅) = (H�IJ∅) ħ�&�2F = Resolução b) M N∗N �P = 1� � M H��IJ∅ H�IJ∅ �P = 1� � H� M ��IJ∅ �IJ∅ �P = 1� � H� M �P = 1� � H� × [P]�� = 1 H = 1√2 4) (2,0 pontos) A função de onda, ψ, para o elétron em seu estado de energia mais baixa no íon He+ é proporcional a e-2r/ao (a0 é uma constante e r é a distância entre o elétron e o núcleo). (a) Normalize a referida função de onda; (b) calcule o valor médio da distância do elétron ao núcleo. Resolução a) Limites da integração: r varia de 0 a ∞; θ varia de 0 a pi; e φ varia de 0 a 2pi M M M N∗�pi � � � � N T� sen W�T�W�P = 1 M M M XY���Z/ \]∗�pi � � � � Y���Z/ \ T� sen W�T�W�P = 1 Y� M M M ���Z \^ T�sen W�T�W�P�pi � � � � = 1 Y� _M T����Z \^� � M sen W�W � M �P� � ` = 1 Y� _M T����Z \^� � M sen W�W � M �P� � ` = 1 Y� _ 2!X4 a�^ ]. × [(−)cos]� × [P]�� ` = 1 Y = d 8ea�.f �� N = d 8ea�.f �� ���Z/ \ Resolução b) gTh = M M M N∗�pi � � T̂� � N T� sen W�T�W�P gTh = M M M jd 8ea�.f �� ���Z/ \k ∗�pi � � T� � d 8ea�.f �� ���Z/ \ T� sen W�T�W�P gTh = d 8ea�.f M M M T.���Z/ \ �pi � � � � sen W�T�W�P gTh = d 8ea�.f _M T.���Z \^ � � M sen W�W � M �P� � ` gTh = d 8ea�.f _ 3!X4 a�^ ]� × [(−)cos]� × [P]�� ` gTh = 34 a� 5) (2,0 pontos) Empregando a função de onda de uma partícula confinada na caixa de comprimento l = 10nm, calcule a probabilidade de a partícula estar entre (a) x = 4,95 nm e 5,05 nm; (b) x = 1,95 nm e 2,05 nm; (c) 9,90 nm e 10,00 nm; (d) na metade direita da caixa; e (e) no terço central da caixa. Faça os cálculos para n = 1 e n = 2. Organize seus resultados convenientemente em uma tabela e discuta as principais diferenças encontradas (entre os resultados de um mesmo “n” e entre os resultados dos distintos “n”s). Resoluçãol = M N∗N �m l = M jn2( ��� �e( k ∗ n2( ��� �e( � l = 2( M o��� �e( p o��� �e( p � l = 2( M ���� �e( � Solução conhecida: � ����� � = �� − ��� ���(2� ). Identificando � = � � tem-se: l = 2( q 2 − 14 (�e ���(2 �e( )r sL l = 210 nm q 2 − 14 10 nm�e ���(2 �e10 nm )r � � As probabilidades calculadas para os correspondentes pares x1 e x2, são sumariadas na Tabela abaixo x1 /nm X2 /nm P(n = 1) P(n = 2) a 4,95 5,05 0,020 6,6 × 10-6 b 1,95 2,05 6,9 × 10-3 1,8 × 10-2 c 9,90 10,00 6,6 × 10-6 2,6 × 10-5 d 0 5,0 0,50 0,50 e 10/3 20/3 0,61 0,20 Em particular, quando se compara os casos a, b e c, verifica-se que todos se referem ao mesmo intervalo de espaço, ∆x = 0,1 nm. Entretando, cado intervalo está posicionado em distintas regiões do espaço e, portanto, a amplitude da função de onda (e também a densidade de probabilidade) é distinta em cada caso. A variação de ψ2 em função de x para n =1 e n = 2 é mostrada na figura abaixo Uma análise da Figura para n = 1, revela que o máximo da densidade de probabilidade, ψ2, ocorre na metade da caixa e, portanto, para um mesmo ∆x = 0,1 nm, a probabilidade de encontrar a partícula entre 4,95 e 5,05 nm (caso a) deve ser maior que em qualquer outra região. Pelos mesmos argumentos, verifica-se que a probabilidade de encontrar a partícula na região compreendida entre 1,95 e 2,05 nm deve ser maior que a de encontrar a partícula na região intervalada entre 9,90 e 10,0 nm. Ainda para n = 1, verifica-se por simples inspeção que a área sob a curva (ψ2) no intervalo 0<x<5 é menor que a área no intervalo (10/3<x<20/3). Isto é consistente com o fato da probabilidade para o caso d ser menor que no caso e. Para n = 2, verifica-se que o intervalo 4,95-5,50 inclui o nó da função de onda, onde a probabilidade de encontrar o elétron é zero. A vinhança deste ponto (dentro do intervalo ∆x = 0,1 nm) é responsável pela baixíssima probabilidade de encontrar a partícula naquela região (P = 6,6 × 10-6, caso a ; n= 2). Verifica-se também que o máximo da densidade de probabilidade ocorre em 2,5 e em 7,5 nm. Examinando a Figura para n = 2 observa-se que a probabilidade de encontrar a partícula entre 1,95 e 2,05 é maior que a de encontrá-la entre 9,90 e 10,0 nm, corroborando os resultados encontrados para os casos b e c. Ainda para n = 2, observa-se que a área sob a curva ψ2(x) no intervalo 0<x<5 é bem maior que aquela correspondente à região compreendida entre 10/3 e 20/3 nm e, assim, a probabilidade calculada em d é maior que aquela para o caso e. 6) (1,0 ponto: bônus) Um elétron é confinado em uma caixa de dimensões 2Å × 3Å × 5Å (em x, y e z, respectivamente). Escreva as funções de onda, ψn, para os cincos estados de menor energia. Apresente-as em ordem crescente de energia. Justifique. Resolução A função de onda de uma partícula em uma caixa tridimensional é dada como o produto das funções em x, y e z: N( , t, u) = � ; �v ��� �w � × ��� �x y� × ��� �z {v A energia total da partícula é dada por: = |};J o�w} } + �x}�} + �z}v}p, e para o problema em tela = |};J o�w}�} + �x}.} + �z}~}p As cinco funções de onda de menor energia são aquelas cujos números quânticos nx, ny e nz conduzem aos menores valores de E. Assim, por inspeção da expressão acima e considerando possíveis combinações com os menores valores para nx, ny e nz, obtém-se o seguinte ordenamento crescente de E e as correspondentes funções de onda (a×b×c = 30): N�,�,� = � ;.� ��� � �� × ��� � y. × ��� � {~ = |};J (0,40) N�,�,� = � ;.� ��� � �� × ��� � y. × ��� � {~ = |};J (0,52) N�,�,. = � ;.� ��� � �� × ��� � y. × ��� . {~ = |};J (0,72) N�,�,� = � ;.� ��� � �� × ��� � y. × ��� � {~ = |};J (0,73) N�,�,� = � ;.� ��� � �� × ��� � y. × ��� � {~ = |};J (0,85)
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