3ª lista de Calculo 1 Prof. Edson Sampaio

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Ca´lculo I
Lic. em Qu´ımica / Engenharia Ambiental
Edson Sampaio
Lista de Exerc´ıcios
Definic¸a˜o 1. Dizemos que uma func¸a˜o f : [a, b] → R e´ uma func¸a˜o Lipschitz, se existe uma
constante K > 0 tal que |f(x)− f(y)| ≤ K|x− y|, para todo x, y ∈ [a, b].
1. Seja f : [a, b]→ R e´ cont´ınua em [a, b] e deriva´vel em (a, b).
a) Se existe K > 0 tal que |f ′(x)| ≤ K para todo x ∈ (a, b), enta˜o f e´ uma func¸a˜o
Lipschitz.
b) Se f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), enta˜o f e´ uma func¸a˜o crescente.
c) Se f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b), enta˜o f e´ uma func¸a˜o na˜o-decrescente.
d) Se f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), enta˜o f e´ uma func¸a˜o decrescente.
e) Se f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ (a, b), enta˜o f e´ uma func¸a˜o na˜o-crescente.
f) Se f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b), enta˜o f e´ uma func¸a˜o constante.
2. Nos ı´tens a seguir, mostre que a func¸a˜o dada na˜o satisfaz a conclua˜o do teorema de Rolle
no intervalo indicado. Explicite que hipo´tese do teorema na˜o e´ satisfeita.
a) f(x) = 1− |x| em [−1, 1];
b) f(x) = 1− (2− x) 23 em [1, 3];
c) f(x) = x4 + x2 em [0, 1].
3. Dada a func¸a˜o f(x) = x3 − 9x2 + 15x − 5, ache os extremos relativos de f pelo teste da
derivada primeira, determine os valores de x nos quais os extremos relativos (ma´ximos ou
mı´nimos locais) ocorrem; determine os intervalos nos quais f e´ crescente ou decrescente.
4. Suponha que f ′(x) = k em um intervalo [a, b], com k real. Prove que f e´ uma func¸a˜o afim.
5. Se f ′(x) = 3senx e f(0) = 2, determine a func¸a˜o f .
6. Use o teorema de Rolle para provar que a equac¸a˜o 4x5 + 3x3 + 3x− 2 = 0 tem exatamente
uma raiz real no intervalo (0, 1). Sugesta˜o: Mostre primeiro que existe um nu´mero em
(0, 1) que e´ raiz da equac¸a˜o em (0, 1) e mostre que isto leva a uma contradic¸a˜o.
7. Suponha que 3 ≤ f ′(x) ≤ 5 para todo x. Mostre que 18 ≤ f(8)− f(2) ≤ 30.
8. Prove que equac¸a˜o x5 + 7x− 2 = 0 tem exatamente uma raiz real.
9. Mostre que equac¸a˜o x3 + x− 1 = 0 tem exatamente uma raiz real.
10. Mostre que
√
x < 1 + x2 , se x > 0.
11. Mostre que
√
1 + x < 1 + x2 , se x > 0.
12. Seja f uma funcc¸a˜o cont´ınua em [0, 1] e deriva´vel em (0, 1) com f(0) = f(1) = 0. Prove
que existe um ponto c ∈ (0, 1) tal que f ′(c) = f(c).
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13. Sejam f(x) = 4x5 − x+ 2, a = 0 e b = 1. Portanto, existe c ∈ (0, 1) tal que f(1)− f(0) =
f ′(c)(1− 0). Explicite o valor de c.
14. Suponha que f(0) = −2 e f ′(x) ≤ 8 para todo x ∈ (0, 1), com f cont´ınua em [0, 1]. O
qua˜o grande pode ser f(1) ?
15. Mostre que se f : [a, b] → R e´ uma func¸a˜o na˜o-crescente e na˜o-decrescente, enta˜o f e´
constante.
16. Mostre que f(x) = x3 e´ uma func¸a˜o crescente.
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