Cálculo básico 1

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UNIVERSIDADE GAMA FILHO
Pro´-Reitoria de Cieˆncias Exatas e Tecnologia
CA´LCULO BA´SICO
Notas de Aula
Simone Dutra Ramos
Resumo
Estas notas de aula teˆm por finalidade apresentar de forma clara e dida´tica todo
o conteu´do inerente a` disciplina Ca´lculo Ba´sico. Todo este material foi elaborado
tendo como refereˆncia bibliogra´fica alguns dos principais livros cla´ssicos de 1o e 2o
graus encontrados na literatura. Finalmente, conve´m ressaltar que a maioria dos
exerc´ıcios propostos aqui foi retirada dos principais concursos pu´blicos.
Conteu´do
1 Conjuntos nume´ricos 7
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 A reta nume´rica (ou real) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Valor absoluto (ou mo´dulo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Conceitos Ba´sicos de Geometria 17
2.1 A´reas de superf´ıcies planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Retaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3 Paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.4 Triaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.5 Losango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.6 Trape´zio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.7 C´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.8 Coroa Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.10 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Volume de So´lidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3
4 Ca´lculo Ba´sico
2.2.1 Paralelep´ıpedo retaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2 Cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.3 Cilindro circular reto (ou de revoluc¸a˜o) . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.4 Cone circular reto (ou de revoluc¸a˜o) . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.5 Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.7 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Expresso˜es alge´bricas 31
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Func¸a˜o polinomial (ou ”polinoˆmio”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.2 Valor nume´rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.3 Operac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Fatorac¸a˜o de expresso˜es polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.1 Exerc´ıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Simplificac¸a˜o de expresso˜es racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5 Divisa˜o de polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.1 Me´todo da chave (algoritmo da divisa˜o) . . . . . . . . . . . . 45
3.5.2 Dispositivo pra´tico de Briot-Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Func¸o˜es Reais de uma varia´vel real 51
Simone D. Ramos 5
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Func¸a˜o Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Func¸a˜o Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 Func¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5 Func¸a˜o do 1o grau (ou Afim) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6 Func¸a˜o do 2o grau (ou Quadra´tica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.6.2 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5 Func¸a˜o Exponencial 75
5.1 Func¸a˜o Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6 Func¸o˜es Trigonome´tricas 87
6.1 C´ırculo Trigonome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2 Relac¸o˜es Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3 Relac¸o˜es Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.4 Sinais nos Quadrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.5 Gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7 Limite 99
7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.3 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.4 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6 Ca´lculo Ba´sico
8 Continuidade 113
8.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.3 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Cap´ıtulo 1
Conjuntos nume´ricos
1.1 Introduc¸a˜o
Os principais conjuntos nume´ricos sa˜o: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais,
Reais e Complexos.
Nu´meros Naturais: IN = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}
Nu´meros Naturais Positivos ou na˜o-nulos: IN∗ = {1, 2, 3, 4, . . .}
Nu´meros Inteiros: ZZ = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Nu´meros Inteiros na˜o-nulos: ZZ∗ = {. . . ,−3,−2,−1, 1, 2, 3, . . .}
Nu´meros Inteiros na˜o-negativos: ZZ+ = {0, 1, 2, 3, . . .}
Nu´meros Inteiros na˜o-positivos: ZZ− = {. . . ,−3,−2,−1, 0}
Nu´meros Inteiros positivos: ZZ∗+ = {1, 2, 3, . . .}
Nu´meros Inteiros negativos: ZZ∗− = {. . . ,−3,−2,−1}
Nu´meros Racionais (Q): todos os nu´meros que podem ser escritos como uma
frac¸a˜o, ou seja, que podem ser representados na forma
p
q
com p ∈ ZZ e q ∈ ZZ∗.
Nu´meros Irracionais (I): sa˜o aqueles que na˜o sa˜o racionais.
Nu´meros Reais (IR): IR = Q ∪ I
Nu´meros Complexos (IC): sa˜o aqueles escritos na forma a + bi, onde a, b ∈ IR e
7
8 Ca´lculo Ba´sico
o nu´mero i e´ definido por i :=
√−1.
Exemplo(s) 1.1.1 :
√
2 + 3i e´ um nu´mero complexo.
Observac¸a˜o 1.1.1 : IN ⊂ ZZ ⊂ Q ⊂ IR ⊂ IC e I ⊂ IR.
Diagrama de Venn
C
R
I
Q
Z
N
Exec´ıcio(s) 1.1.1 : Classifique cada uma das afirmativas a seguir em Verdadeira
(V) ou Falsa (F).
1) 3 e´ natural ( );
2) 0 e´ natural ( );
3) -4 e´ natural ( );
4) -4 e´ inteiro ( );
5) 7 e´ inteiro ( );
6) 8/4 e´ inteiro ( );
7) 1/3 e´ inteiro ( );
8) 1/3 e´ racional ( );
Simone D. Ramos 9
9) 8/4 e´ racional ( );
10) -5 e´ racional ( );
11) 0,37 e´ racional ( );
12) 0,555... e´ racional ( );
13) 0,212121...e´ racional ( );
14) 1,2333... e´ racional ( );
15)
√
2 = 1, 4142135 . . . e´ racional ( );
16) pi = 3, 1415926 . . . e´ irracional ( );
17) e = 2, 7182818 . . . e´ irracional ( );
18) 3√
7 e´ irracional ( );
19) 3
√
8 e´ irracional ( );
20) 3
√
7 e´ real ( );
21) 6 e´ real ( );
22) -8 e´ real ( );
23) 2/5 e´ real ( );
24) 1,37 e´ real ( );
25) 0,321321... e´ real ( );
26)
√−4 e´ real ( );
27) Todo natural e´ inteiro ( );
10 Ca´lculo Ba´sico
28) Todo inteiro e´ racional ( );
29) 0, 333333333 . . . e´ racional ( );
30) Todo racional e´ inteiro ( );
31) Todo racional e´ real ( );
32) Todo irracional e´ real ( );
33) Existe um inteiro que e´ irracional ( );
34) Existe um natural que na˜o e´ real ( );
35) Existe um real que na˜o e´ racional ( );
36) A unia˜o dos racionais com os irracionais e´ o conjunto dos reais( ).
1.2 A reta nume´rica (ou real)
Observe a reta nume´rica: Sobre essa reta, podemos representar nu´meros reais.
0 1, 4 2−3 −1, 9 −0, 2
B E C D A
F
Por exemplo:
• o ponto A representa o nu´mero +2;
• o ponto B representa o nu´mero −3;
• o ponto C representa o nu´mero −0, 2;
Simone D. Ramos 11
• o ponto D representa o nu´mero +1, 4;
• o ponto E representa o nu´mero −1, 9;
• o ponto F representa o nu´mero √2 ' 1, 4142 . . .(devemos usar aproximac¸o˜es).
Observac¸a˜o 1.2.1 : Em uma reta nume´rica:
• a todo nu´mero real corresponde um e so´ um ponto da reta;
• a todo ponto da reta podemos associar um e so´ um nu´mero real.
1.3 Intervalos
Sejam a, b ∈ IR, a < b. Podemos definir os seguintes tipos de intervalos:
1. (a, b) =]a, b[= {x ∈ IR/a < x < b} (intervalo aberto);
a b
2. [a, b] = {x ∈ IR/a ≤ x ≤ b} (intervalo fechado)
a b
3. [a, b) = {x ∈ IR/a ≤ x < b} (na˜o e´ aberto e na˜o e´ fechado);
a b
12 Ca´lculo Ba´sico
4. (a, b] = {x ∈ IR/a < x ≤ b} (na˜o e´ aberto e na˜o e´ fechado);
a b
5. (−∞, a) = {x ∈ IR/x < a} (intervalo aberto);
a
6. (−∞, a] = {x ∈ IR/x ≤ a} (intervalo fechado);
a
7. (a,+∞) = {x ∈ IR/x > a} (intervalo aberto);
a
8. [a,+∞) = {x ∈ IR/x ≥ a} (intervalo fechado);
a
9. (−∞,+∞) = IR (intervalo fechado e aberto)
Simone D. Ramos 13
Nas definic¸o˜es acima, os nu´meros a e b sa˜o denominados extremos dos respectivos
intervalos.
Exec´ıcio(s) 1.3.1 : Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F), cada uma das afir-
mativas a seguir:
a) 3 ∈ IN ; b) − 4 ∈ IN ; c) − 4 ∈ Z;
d)
8
4
∈ Z; e) 13 ∈ Z; f) 13 ∈ Q;
g) − 5 ∈ Q; h) 0, 37 ∈ Q; i) 1, 2333 . . . ∈ Q;
j) pi = 3, 1415926 . . . ∈ I; k) e = 2, 7182818 . . . ∈ I; l) 6 ∈ R;
m) 1, 37 ∈ R; n)√−4 ∈ R.
Exec´ıcio(s) 1.3.2 : Descreva os seguintes intervalos na forma {x/p(x)}:
a) (1, 2); b) (1, 2]; c) [1, 2]; d) [1, 2); e) (1,+∞);
f) [−2,+∞); g) (−∞, 1]; h) (−∞, 0); i) (−∞,+∞).
Exec´ıcio(s) 1.3.3 : Se A = [1,+∞[ e B = [0, 5[, obtenha:
(a)A
⋂
B; (b)A
⋃
B; (c)A−B.
1.4 Valor absoluto (ou mo´dulo)
Definic¸a˜o 1.4.1 : Seja x ∈ IR. O mo´dulo ou valor absoluto de x, representado por
|x|, e´ definido do seguinte modo:
|x| =
 x, se x ≥ 0−x, se x < 0
Observac¸a˜o 1.4.1 : O mo´dulo de um nu´mero real e´ representado geometricamente
como a distaˆncia desse ”nu´mero”a` origem na reta nume´rica.
14 Ca´lculo Ba´sico
0 x
a) x > 0
|x| = x
0x
|x| = −x
b) x < 0
Observac¸a˜o 1.4.2 : Se x ∈ IR, enta˜o
√
x2 = |x|.
De fato, se x > 0,
√
x2 = x = |x| e se x < 0,
√
x2 = −x = |x|.
Exec´ıcio(s) 1.4.1 : Resolva, com aux´ılio da interpretac¸a˜o geome´trica de mo´dulo,
as equac¸o˜es e inequac¸o˜es a seguir:
a) |x| < 2; h) |3x− 5| > −1;
b) |x| ≥ 1; i) |3x− 1| < 2;
c) |x| = 1; j) |5x+ 7| = −1;
d) |x| > 5; k) |x2 − 5x+ 5| = 1;
e) |x| < 1 l) |2x− 1| ≤ 3;
f) |x| ≥ 3; m) |3x− 1| = 2x+ 1;
g) 1 ≤ |x| ≤ 3; n) |x− 3| < 0; o) |2x− 1| = |4x+ 3|
Respostas:
1.1.1: Falsas (3), (7), (15), (19), (26), (30), (33) e (34).
1.3.1: Falsas: (b), (e) e (n).
1.3.2:

(a){x ∈ IR \ 1 < x < 2} (f){x ∈ IR \ x ≥ −2}
(b){x ∈ IR \ 1 < x ≤ 2} (g){x ∈ IR \ x ≤ 1}
(c){x ∈ IR \ 1 ≤ x ≤ 2} (h){x ∈ IR\ < 0}
(d){x ∈ IR \ 1 ≤ x < 2} (i)IR ou {x \ x ∈ IR}
(e){x ∈ IR \ 1 < x < 2}
Simone D. Ramos 15
1.4.1:

a) S = {x ∈ IR/− 2 < x < 2} = (−2, 2); h) S = IR;
b) S = (−∞,−1]⋃[1,+∞); i) S = (−1
3
, 1);
c) S = {−1, 1} j) S = ∅ = {};
d) S = (−∞,−5)⋃(5,+∞); k) S = {1, 2, 3, 4};
e) S = (−1, 1); l) S = [−1, 2];
f) S = (−∞,−3]⋃[3,+∞); m) S = {0, 2};
g) S = [−3,−1]⋃[1, 3]; n) S = ∅ = {}.
o) S = {−2,−1
3
}
16 Ca´lculo Ba´sico
Cap´ıtulo 2
Conceitos Ba´sicos de Geometria
2.1 A´reas de superf´ıcies planas
2.1.1 Retaˆngulo
Na figura abaixo, considere as medidas da base e da altura do retaˆngulo denotadas
por b e h respectivamente.
b
h A (a´rea)= b · h
2.1.2 Quadrado
Seja l a medida do lado do quadrado na figura abaixo.
17
18 Ca´lculo Ba´sico
l
l A (a´rea)= l2
2.1.3 Paralelogramo
Na figura abaixo, sejam b e h as medidas da base e da altura do paralelogramo
respectivamente.
b
h A (a´rea)= b · h
2.1.4 Triaˆngulo
Considere b e h as respectivas medidas da base e da altura do triaˆngulo abaixo.
b
A (a´rea)=
b · h
2h
Simone D. Ramos 19
Observac¸a˜o 2.1.1 Triaˆngulo equila´tero
Como h =
l
√
3
2
, temos:
l
A (a´rea)=
l
2
√
3
4hl l
l
2
2.1.5 Losango
Sejam D e d as respectivas medidas das diagonais maior e menor do losango abaixo.
Como a a´rea do losango e´ quatro vezes a a´rea do triaˆngulo retaˆngulo de catetos
D
2
e
d
2
, temos:
D
A (a´rea)=
D · d
2d
d/2
D/2
2.1.6 Trape´zio
Considere, no trape´zio abaixo, as bases maior e menor denotadas por B e b respec-
tivamente e a altura por h.
20 Ca´lculo Ba´sico
B
h
b
Como a a´rea do trape´zio e´ igual a` soma das a´reas de dois triaˆngulos, um de base B
e altura h, e outro de base b e altura h, temos:
A(a´rea) =
(B + b)h
2
2.1.7 C´ırculo
Considere abaixo a circunfereˆncia γ de centro O e raio R.
O
R
γ
A(a´rea) = pi ·R2
2.1.8 Coroa Circular
Dadas duas circunfereˆncias conceˆntricas de raios r e R, com r < R, chama-se coroa
circular ao conjunto dos pontos pertencentes ao c´ırculo de raio R e na˜o-internos ao
c´ırculo de raio r. R e r denotam as medidas dos raios externo e interno da coroa
circular respectivamente.
Simone D. Ramos 21
O
A(a´rea) = pi · (R2 − r2)
R
r
2.1.9 Exerc´ıcios
1. Calcule a a´rea de um retaˆngulo cujas dimenso˜es sa˜o 3m e 4m.
2. Calcule as dimenso˜es de um retaˆngulo, sabendo que a a´rea e´ igual a 48m2 e a
base e´ igual ao triplo da altura.
3. Calcule a a´rea do retaˆngulo abaixo:
5 13
4. Um terreno retangular tem 8, 4m por 5m e esta´ sendo gramado. Sabendo que
um quilo de semente de grama e´ suficiente para gramar 3m2 de terreno, quantos
quilos de semente de grama sa˜o necessa´rios para gramar o terreno todo?
5. Qual e´ a a´rea de um quadrado que tem 2
√
3m de lado?
6. Determine a a´rea de um quadrado, cuja a diagonal mede 6
√
2m.
7. A a´rea de um quadrado mede 96 cm2. Quanto mede o seu lado?
8. Na figura abaixo ABCD e´ um quadrado cujo lado mede 4 cm. Calcule a a´rea
assinalada.
22 Ca´lculo Ba´sico
A B
CD
9. Determine o raio de um c´ırculo, cuja a a´rea mede 25pim2.
10. Num triaˆngulo retaˆngulo, a hipotenusa mede 15 cm e um dos catetos mede
12 cm. Calcule a a´rea desse triaˆngulo retaˆngulo.
11. Calcule a a´rea de um triaˆngulo equila´tero de lado 12 cm.
12. Qual e´ a a´rea de um trape´zio, cujas bases medem 12m e 4m e cuja altura mede
7m?
13. No trape´zio da figura, a a´rea e´ 26m2. Calcule a medida da base DC.
A B
D C
4 cm
5 cm
14. Calcule a a´rea do trape´zio da figura abaixo:
5 m
2 m
6 m
Simone D. Ramos 23
15. Calcule a a´rea do losango abaixo:
A
B
C
D
10 m
16 m
16. Calcule a a´rea representada abaixo:
4 m
1 m
1,5 m 3 m
17. Calcule a a´rea assinaladaabaixo:
3 cm
3 cm
18. Calcular a a´rea de um triaˆngulo equila´tero cujo per´ımetro e´ 18 cm.
24 Ca´lculo Ba´sico
19. Calcular a a´rea de um c´ırculo cujo comprimento de sua circunfereˆncia e´ de
20pi cm.
20. A a´rea de um trape´zio e´ 600 cm2 e a base maior mede 30 cm. Calcular a medida
da base menor, sabendo que a altura mede 24 cm.
21. Calcular a a´rea da figura sombreada no gra´fico abaixo:
1
2
3 4
4
0
22. As dimenso˜es de um terreno retangular esta˜o na raza˜o 5/8. Qual o valor da
menor dimensa˜o, sabendo-se que a a´rea do terreno e´ de 1000m2?
23. Calcule a a´rea do quadrado MNPQ abaixo:
A BM
CD P
Q
N
7 cm 1 cm
7 cm
7 cm
7 cm
1 cm
1 cm
1 cm
24. Calcule a a´rea assinalada abaixo, sendo ABCD um quadrado de 2 cm de lado.
Simone D. Ramos 25
A B
CD P
Q N
M
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
25. Calcule a a´rea de uma coroa circular delimitada por circunfereˆncias de raios 6
cm e 10 cm.
2.1.10 Respostas
1) 12m2 6) 36m2 11) 36
√
3 cm2 16) 9m2 21) 4, 5u.m.a.
2) 4me 12m 7) 4
√
6 cm 12) 56m2 17) 9(1− pi4 ) cm2 22) 25me 40m
3) 60m2 8) (16− 4pi) cm2 13) 8 cm 18) 9√3 cm2 23) 50 cm2
4) 14 kg 9) 5 cm 14) 12m2 19) 100pi cm2 24) (4− pi) cm2
5) 12m2 10) 54 cm2 15) 96m2 20) 20 cm 25) 64pi cm2
26 Ca´lculo Ba´sico
2.2 Volume de So´lidos
2.2.1 Paralelep´ıpedo retaˆngulo
Na figura abaixo,sejam a,b e c as dimenso˜es do paralelep´ıpedo retaˆngulo (isto e´, as
medidas das arestas).
a
b
c V (volume) = a · b · c
2.2.2 Cubo
Considere a medida da aresta do cubo ilustrado abaixo denotada por a.
a
a
a
V (volume) = a3
Simone D. Ramos 27
2.2.3 Cilindro circular reto (ou de revoluc¸a˜o)
Na figura abaixo, sejam r e h as medidas do raio da base e da altura respectivamente.
r
h
O
V (volume) = pi · r2 · h
2.2.4 Cone circular reto (ou de revoluc¸a˜o)
Considere o cone circular reto ilustrado abaixo de raio r e altura h.
h
r
O
V (volume) =
1
3
pir
2
· h
2.2.5 Esfera
Na esfera ilustrada abaixo, seja R a medida do raio.
28 Ca´lculo Ba´sico
R
R
V (volume) =
4
3
· pi ·R
3
O
2.2.6 Exerc´ıcios
1. Determine o volume de um paralelep´ıpedo retaˆngulo de dimenso˜es 4 cm, 5 cm
e 8 cm.
2. Determine o volume de um cubo de aresta 2 cm.
3. Determine o volume de um cubo, sabendo-se que a a´rea de uma das faces e´ 16
m2.
4. Determine a aresta de um cubo, cujo volume mede 8 cm3.
5. Determine o volume de um cilindro circular reto cujo raio da base mede 3 cm
e a altura 5 cm.
6. Determine o volume de um cone circular reto sabendo-se que o raio da base e´
de 4 cm e altura e´ de 6 cm.
7. Determine a altura de um cilindro circular reto sabendo-se que o raio da base
e´ o dobro da altura e o seu volume e´ igual a 32pim3.
8. Determine o volume de uma esfera de raio igual a 3 cm.
9. Determine o raio de uma esfera, cujo volume e´ igual a 20pim3.
Simone D. Ramos 29
2.2.7 Respostas
1) 160 cm3 4) 2 cm 7) 2m
2) 8 cm3 5) 45pi cm3 8) 36pi cm3
3) 64m3 6) 32pi cm3 9) 3
√
15m
30 Ca´lculo Ba´sico
Cap´ıtulo 3
Expresso˜es alge´bricas
3.1 Introduc¸a˜o
As expresso˜es matema´ticas que apresentam nu´meros e letras sa˜o chamadas expresso˜es
literais ou alge´bricas.
Exemplo(s) 3.1.1 :
a) 2x+ 7;
b) a− 5b+ 3z;
c) 8x2 +
7
a
− 6b2y3;
d) 5x3 − 7x2 + 5x
3
− ab
2
.
Observe que, no u´ltimo exemplo acima, os termos alge´bricos sa˜o:
• 5x3 com coeficiente (parte nume´rica) 5 e parte literal x3;
• −7x2 com coeficiente -7 e parte literal x2;
• 5x
3
com coeficiente
5
3
e parte literal x;
• −ab
2
com coeficiente −1
2
e parte literal ab.
31
32 Ca´lculo Ba´sico
3.2 Func¸a˜o polinomial (ou ”polinoˆmio”)
3.2.1 Definic¸a˜o
Uma func¸a˜o polinomial e´ uma func¸a˜o do tipo
P : IR → IR
x 7→ P (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0,
onde a0, a1, · · · , an ∈ IR com an 6= 0 (coeficientes) e n ∈ IN (grau do polinoˆmio).
3.2.2 Valor nume´rico
O valor nume´rico de um polinoˆmio P (x) para x = a e´ o nu´mero real P (a). Quando
P (a) = 0, dizemos que a e´ uma ra´ız de P (x).
Exemplo(s) 3.2.1
(a) P (x) = 2x3 − x2 + 3x+ 1⇒
 a3 = 2, a2 = −1, a1 = 3, a0 = 1 e n = 3P (0) = 1 e P (−1) = −2− 1− 3 + 1 = −5
(b) P (x) = 3x− 2⇒
 a1 = 3, a0 = −2 e n = 1P (5) = 15− 2 = 13 e P (2/3) = 0.
(c) P (x) = −5 + 10x5 + 5x10 ⇒

a10 = 5, a9 = a8 = a7 = a6 = 0, a5 = 10,
a4 = a3 = a2 = a1 = 0, a0 = −5 e n = 10.
P (0) = −5, P (1) = −5 + 10 + 5 = 10 e
P (−1) = −5− 10 + 5 = −10.
Simone D. Ramos 33
3.2.3 Operac¸o˜es
• Adic¸a˜o (subtrac¸a˜o) e multiplicac¸a˜o
Exemplo(s) 3.2.2 : f(x) = −2x4 + 3x2 + x − 1, g(x) = 3x2 + x − 3 e h(x) =
2x3 − 3x2 − x+ 3. Vamos calcular:
(i) f(x) + g(x)
(ii) h(x)− g(x)
(iii) g(x) · f(x)
(i) f(x) + g(x) = −2x4 + 3x2 + x− 1 + 3x2 + x− 3
= −2x4 + 3x2 + 3x2 + x+ x− 1− 3
= −2x4 + 6x2 + 2x− 4
(ii)h(x)− g(x) = 2x3 − 3x2 − x+ 3− (3x2 + x− 3)
= 2x3 − 3x2 − x+ 3− 3x2 − x+ 3
= 2x3 − 3x2 − 3x2 − x− x+ 3 + 3
= 2x3 − 6x2 − 2x+ 6
(iii) g(x) · f(x) = (3x2 + x− 3) · (−2x4 + 3x2 + x− 1)
= −6x6 + 9x4 + 3x3 − 3x2 − 2x5 + 3x3 + x2 − x+ 6x4 − 9x2 − 3x+ 3
= −6x6 − 2x5 + 9x4 + 6x4 + 3x3 + 3x3 − 3x2 + x2 − 9x2 − x− 3x+ 3
= −6x6 − 2x5 + 15x4 + 6x3 − 11x2 − 4x+ 3
3.2.4 Exerc´ıcios
1. Dados os polinoˆmios
A(x) = 2x3 − x+ 2
B(x) = x2 + x+ 1 e
C(x) = 3x− 1
34 Ca´lculo Ba´sico
Calcule:
a)A(x) +B(x); e)A(x) ·B(x);
b)A(x) + C(x)−B(x); f) [A(x) +B(x)] · C(x);
c)A(x) · C(x); g) [A(x)− 2x ·B(x)] · [B(x) + C(x)].
d)B(x) · C(x);
2. Sendo P (x) = x3 + 2x− 1, calcule [P (x)]2.
3. Se A(x) = x2 − 3x, determine:
a)A(x+ 1); b)A(2− x); c) [A(x− 1)]2.
4. Qual e´ o grau dos polinoˆmios seguintes?
(a) f(x) = 5x3 + 2x
(b) g(x) = 9x2 + 2− 3x5
(c) h(x) = 10x+ 5
(d) i(x) = 52
(e) j(x) = 4x+ 10x15
5. Dado o polinoˆmio f(x) = 2x3+2x2−2x+2, calcule o seu valor nume´rico para:
(a)x = 0; (b) x = −1; (c)x = 2; (d) x = 1/2.
6. Determine o valor de k de modo que os polinoˆmios abaixo tenham uma raiz
igual a 1.
(a) f(x) = (k + 2)x2 + 5k; (b)h(x) = (2k + 1)− kx+ (7 + k)x2.
7. Determine o valor de k de modo que 0 seja raiz do polinoˆmio
f(x) = 2k − x3 + x+ kx2.
Simone D. Ramos 35
8. Determine um polinoˆmio cujas ra´ızes sa˜o 2, -1 e 3.
9. Dados os polinoˆmios f(x) = x2 + 1, g(x) = 2x+ 3 e h(x) = −x2 + x, calcule:
(a) f(x) + g(x) + h(x)
(b) f(x)− g(x)
(c) h(x)− f(x)
(d) f(x)− g(x) + h(x)
10. Efetue os seguintes produtos:
(a) (−x3 + 2x2 + 1) · (2x+ 3)
(b) (4x2 + 3x+ 5) · (−x− 4)
(c) (x3 + 7x) · (−x2 − 2x)
Respostas:
1. a) 2x3 + x2 + 3;
b) 2x3 − x2 + x;
c) 6x4 − 2x3 − 3x2 + 7x− 2;
d) 3x3 + 2x2 + 2x− 1;
e) 2x5 + 2x4 + x3 + x2 + x+ 2;
f) 6x4 + x3 − x2 + 9x− 3;
g) −2x4 − 11x3 − 10x2 + 8x.
2. x6 + 4x4 − 2x3 + 4x2 − 4x+ 1.
3. a) x2 − x− 2;
b) x2 − x− 2;
36 Ca´lculo Ba´sico
c) x4 − 10x3 + 33x2 − 40x+ 16.
4. (a) 3; (b) 5; (c) 1; (d) 0; (e) 15
5. (a) 2; (b) 4; (c) 22; (d) 7/4
6. (a) − 1/3 (b) − 4
7. k = 0
8. f(x) = x3 − 4x2 + x− 6
9. (a) 3x+ 4; (b) x2 − 2x− 2; (c) − 2x2 + x− 1; (d) − x− 2
10. (a) −2x4 + x3 + 6x2 + 2x+ 3
(b) −4x3 − 19x2 − 17x− 20
(c) −x5 − 2x4 − 7x3 − 14x2
3.3 Fatorac¸a˜o de expresso˜es polinomiais
Existem produtos de polinoˆmios que aparecem frequ¨entemente nos ca´lculos com
expresso˜es alge´bricas. Tais produtos podem ser obtidos a partir de certas regras e
sa˜o chamados produtos nota´veis:
(i) Quadrado da soma de dois termos: (x+ a)2 = x2 + 2ax+ a2
(ii) Quadrado da diferenc¸a de dois termos: (x− a)2 = x2 − 2ax+ a2
(iii) Produto da soma de dois termos pela sua diferenc¸a:
(x+ a)(x− a) = x2 − a2
(iv) Cubo da soma de dois termos: (x+ a)3 = x3 + 3x2a+ 3xa2 + a3
(v) Cubo da diferenc¸a: (x− a)3 = x3 − 3x2a+ 3xa2 − a3
Simone D. Ramos37
3.3.1 Exerc´ıcio
Demonstre os produtos nota´veis dados acima.
Observac¸a˜o 3.3.1 : Devemos notar que, em geral,
(x± a)2 6= x2 ± a2
(x± a)3 6= x3 ± a3 = (x± a)(x2 ∓ ax+ a2).
A seguir, definiremos, para expresso˜es alge´bricas, o conceito de fatorac¸a˜o ana´logo
ao conceito conhecido para nu´meros.
Definic¸a˜o 3.3.1 : Fatorar uma expressa˜o alge´brica e´ escreveˆ-la como um produto
de expresso˜es.
Principais casos de fatorac¸a˜o:
Caso 1: Fator comum (em evideˆncia)
• 3x+ 3y = 3(x+ y)
• 9a2x− 12a2 = 3a2(3x− 4)
 parte nume´rica:M.D.C.(9, 12) = 3parte literal: a2
Caso 2: Agrupamento
•
ax+ ay︸ ︷︷ ︸ +bx+ by︸ ︷︷ ︸ = a(x+ y) + b(x+ y) = (x+ y)(a+ b)
1o grupo 2o grupo
↖↗
fator comum
•
2x2 − 4ax︸ ︷︷ ︸ −3xy + 6ay︸ ︷︷ ︸ = 2x(x− 2a)− 3y(x− 2a) = (x− 2a)(2x− 3y)
fator comum:2x fator comum:-3y
Caso 3: Trinoˆmio quadrado perfeito
• x2 + 2ax+ a2 = (x+ a)2
38 Ca´lculo Ba´sico
• x2 − 2ax+ a2 = (x− a)2
Caso 4: Diferenc¸a de dois quadrados
• x2 − a2 = (x+ a)(x− a)
Caso 5: Soma ou diferenc¸a de dois cubos
• x3 ± a3 = (x± a)(x2 ∓ ax+ a2)
Caso 6: Trinoˆmio do 2o grau do tipo x2 + (m+ n)x+mn
• x2 + (m+ n)x+mn = (x+m)(x+ n)
Caso 7: Casos de fatorac¸a˜o simultaˆneos.
• 5x4 − 45x2 = 5x2(x2 − 9) = 5x2(x+ 3)(x− 3)
• 4x4 − 16x3y + 16x2y2 = 4x2(x2 − 4xy + 4y2) = 4x2(x− 2y)2
3.3.2 Exerc´ıcios
Fatore cada uma das expresso˜es abaixo:
a) 9xy + 12ab;
b) 7x3y − 21x3z;
c) 20a2b+ 5ab;
d) px+ py;
e) 3x(a+ b)− 5y(a+ b);
f) am+ na+ bm+ bn;
g) 10ax+ 5ay + 6bx+ 3by;
Simone D. Ramos 39
h) x4 + x3b+ ax+ ab;
i) x2 − 2bx2 − 5a+ 10ab;
j) x2 − 3ax− 3ax+ 9a2;
k) 9a2 − 6a+ 1;
l) 25x2 − 10x+ 1;
m) 4a4 + 4a2x+ x2;
n) a2x4 − 2ab2x2y + b4y2;
o) x2 + 6xy + 9y2;
p) x2 + 9x+ 14;
q) y2 + 4y + 3;
r) m2 − 8m+ 7;
s) y2 + 3y − 28;
t) x2 + (a+ b)x+ ab;
u) 9a2 − 16;
v) 27x3 − 8;
x) 125 + x3;
z) x3 + 1.
40 Ca´lculo Ba´sico
Respostas:
a) 3(3xy + 4ab); h) (x3 + a)(x+ b);
b) 7x3(y − 3z); i) (1− 2b)(x2 − 5a);
c) 5ab(4a+ 1); j) (x− 3a)2;
d) p(x+ y); k) (3a− 1)2;
e) (a+ b)(3x− 5y); l) (5x− 1)2;
f) (m+ n)(a+ b); m) (2a2 + x)2;
g) (2x+ y)(5a+ 3b); n) (ax2 − b2y)2;
o) (x+ 3y)2; t) (x+ a)(x+ b);
p) (x+ 7)(x+ 2); u) (3a− 4)(3a+ 4);
q) (y + 3)(y + 1); v) (3x− 2)(9x2 + 6x+ 4);
r) (m− 7)(m− 1); x) (5 + x)(25− 5x+ x2);
s) (y + 7)(y − 4); z) (x+ 1)(x2 − x+ 1).
3.4 Simplificac¸a˜o de expresso˜es racionais
Frac¸o˜es alge´bricas ou expresso˜es racionais sa˜o expresso˜es alge´bricas que teˆm a forma
de uma frac¸a˜o, em que o numerador e o denominador sa˜o polinoˆmios, sendo que o
denominador na˜o e´ um termo independente de varia´veis.
Exemplo(s) 3.4.1 :
a)
1
2x
b)
x+ 1
x− 3 c)
x2 − y2
x+ y
Note que, a frac¸a˜o
x2 − y2
x+ y
pode ser simplificada do seguinte modo:
x2 − y2
x+ y
=
(x− y)(x+ y)�
(x+ y)�
= x− y.
De modo geral:
Simone D. Ramos 41
Para simplificar frac¸o˜es alge´bricas:
• decompomos o numerador e o denominador em fatores;
• cancelamos os fatores comuns.
Observac¸a˜o 3.4.1 : Uma frac¸a˜o alge´brica so´ tem sentido se o denominador na˜o
for nulo. Enta˜o, os fatores desse denominador tambe´m na˜o sa˜o nulos e podem ser
cancelados quando a frac¸a˜o for simplifica´vel.
3.4.1 Exerc´ıcios
1. Simplifique as seguintes frac¸o˜es alge´bricas:
a)
ax+ a− x− 1
x2 − 1 ; h)
x3 + 3x2 − 10x
x3 − x2 − 2x ;
b)
15x2 − 15y2
6x2 + 12xy + 6y2
; i)
mx+m− x− 1
m2 − 1 ;
c)
5a2 + 10ab
15ab
; j)
x2 − 4xy + 4y2
x2 − 4y2 ;
d)
7x2y3 − 21x3y5
7x2y3
; k)
(
x2
m2
− m
2
x2
)
:
( x
m
+
m
x
)
;
e)
a2 − 2a+ 1
a2 − 1 ; l)
x− 4
9− y2
x2 − 16
3− y
;
f)
4x2 − 8xy
x2 − 4xy + 4y2 ; m)
m+ n
x+ 1
m2 − n2
2x+ 2
;
g)
(a+ b)2 − (a2 − b2)
3ax3 + 3bx3
; n) 1− 1
1 +
1
x
.
42 Ca´lculo Ba´sico
2. Efetue e simplifique:
a)
x2 − 16
x2 + 2x+ 1
· x+ 1
x2 − 5x+ 4;
b)
x3 − 1
x2 + 1
x2 − 1
x4 + 2x2 + 1
;
c)
x− 5
x2 + 5x
· x
2
25− 5x ;
d)
x4 − a4
x− a ·
x+ a
x2 + a2
;
e)
x6 − y6
x4−xy3
y4+x3y
;
Simone D. Ramos 43
Respostas:
1.
a)
a− 1
x− 1; h)
x+ 5
x+ 1
;
b)
5(x− y)
2(x+ y)
; i)
x+ 1
m+ 1
;
c)
a+ 2b
3b
; j)
x− 2y
x+ 2y
;
d) 1− 3xy2; k) x
2 −m2
mx
;
e)
a− 1
a+ 1
; l)
1
(3 + y)(x+ 4)
;
f)
4x
x− 2y ; m)
2
m− n ;
g)
2b
3x3
; n)
1
x+ 1
.
2.
a)
x+ 4
(x+ 1)(x− 1); d) (x+ a)
2;
b)
(x2 + x+ 1)(x2 + 1)
x+ 1
; e)
y(x3 + y3)2
x
.
c) − x
5(x+ 5)
;
3.5 Divisa˜o de polinoˆmios
11 4
23
Obs. :
(11 = 4× 2 + 3)
44 Ca´lculo Ba´sico
D(x) d(x)( 6= 0)
R(x) Q(x)
dividendo
divisor
resto
quociente
Observac¸a˜o 3.5.1 :
(i) grau de D(x) ≥ grau de d(x)
(ii) grau de R(x) < grau de d(x)
(iii) D(x) = d(x) ·Q(x) +R(x)
(iv) grau D(x) = grau de d(x) + grau de Q(x)
(v) D(x) e´ divis´ıvel por d(x) se, e somente se, R(x) = 0 ∀x ∈ IR (R ≡ 0)
Simone D. Ramos 45
3.5.1 Me´todo da chave (algoritmo da divisa˜o)
Exemplo(s) 3.5.1 :
(i) x3 + 2x2 − x− 3 x2 − 2x− 3
x + 4−x
3 + 2x2 + 3x
4x2 + 2x− 3
−4x2 + 8x+ 12
10x+ 9
Q(x) = x+ 4
R(x) = 10x+ 9
Assim,
(ii) x4 − 3x2 + 5 x2 − 2x+ 1
x2 + 2x−x
4 + 2x3 − x2
2x3 − 4x2 + 5
−2x3 + 4x2 − 2x
−2x+ 5
Assim,
Q(x) = x2 + 2x
R(x) = −2x+ 5
Observac¸a˜o 3.5.2 : Ale´m do me´todo acima, existe o Me´todo de Descartes (ou
me´todo dos coeficientes a determinar) que se baseia na ana´lise dos graus dos po-
linoˆmios e utiliza a resoluc¸a˜o de sistemas lineares.
Teorema 3.5.1 (Teorema do resto):
d(x) = x− a⇒ R(x) = D(a)
Em geral, d(x) = ax− b⇒ R(x) = D(b/a).
Exemplo(s) 3.5.2 : Calcule o resto da divisa˜o de P (x) = x2 − 3x+ 1 por:
(a) x− 1⇒ R = P (1) = 1− 3 + 1 = −1
46 Ca´lculo Ba´sico
(b) x+ 1⇒ R = P (−1) = 1 + 3 + 1 = 5
(c) 2x− 1⇒ R = P (1/2) = 1
4/1
− 3
2/2
+
1
1/4
=
1− 6 + 4
4
= −1
4
Teorema 3.5.2 (Teorema de D´Alembert): D(x) tem um fator x−a se, e somente
se, D(a) = 0 (ou seja, a divisa˜o de D(x) por x − a e´ exata se, e somente se,
D(a) = 0).
Exemplo(s) 3.5.3 : Podemos fatorar D(x) = 3x2 + 7x − 20 dividindo pelo fator
x+ 4, ja´ que D(−4) = 0. Assim,
3x2 + 7x− 20 x+ 4
3x− 5−3x
2
− 12x
−5x− 20
5x+ 20
0
Logo, D(x) = 3x2 + 7x− 20 = (x+ 4)(3x− 5)
3.5.2 Dispositivo pra´tico de Briot-Ruffini
E´ um esquema que simplifica os ca´lculos usados no me´todo de Descartes para a
obtenc¸a˜o do quociente Q(x) e o resto R da divisa˜o de D(x) por x− a.
Exemplo(s) 3.5.4 : Dividir D(x) = 2x4 − 3x3 + x− 4 por d(x) = x+ 2.
2 −3 0 1 −4 −2
2 −7 14 −27 50
coef. de D(x)
resto
raiz de d(x)
coef. de Q(x)
Simone D. Ramos 47
De fato,
2× (−2)− 3 = −7 (2o coef.)
−7× (−2) + 0 = 14 (3o coef.)
14× (−2) + 1 = −27 (4o coef.)
−27× (−2)− 4 = 50 (resto.)
logo, Q(x) = 2x3 − 7x2 + 14x− 27 e R = 50.
Em geral: se D(x) = anx
n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 e d(x) = x− a, temos:
a1 a0 a
bn−1 bn−2 · · · b0 R
resto
coef. de Q(x)
an an−1 · · ·
onde
bn−1 = an
bn−2 = a · bn−1 + an−1
· · · · · ·
b0 = a · b1 + a1
R = a · b0 + a0
3.5.3 Exerc´ıcios
1. Efetue a divisa˜o dos seguintes polinoˆmios pelo me´todo da chave:
(a) x3 − 5x2 − 4x+ 2 e x− 3
(b) x5 − 3x2 + 6x− 1 e x2 + x+ 1
(c) x10 + x5 + 1 e x2 + x+ 1
2. Efetue a divisa˜o dos seguintes polinoˆmios pelo dispositivo de Briot-Ruffini:
(a) 3x2 − 7x+ 3 e x− 2
48 Ca´lculo Ba´sico
(b) 9x2 − 33x+ 37 e −x+ 7
(c) 2x2 + 13x− 27 e x+ 6
3. Determine, sem efetuar a divisa˜o, o resto da divisa˜o de:
(a) x6 − x4 + x2 − 1 por x− 1/2
(b) x8 + 1 por 2x− 4
(c) x2 + x+ 1 por x+ 1
4. Determine k ∈ lR, de modo que:
(a) x3 + 5x2 + kx+ 1 seja divis´ıvel por x− 1
(b) 2x3 + kx2 − (2k + 1)x− 13k + 3 seja divis´ıvel por x+ 4
(c)x142 + k seja divis´ıvel por x+ 1
5. Dividindo-se um polinoˆmio P (x) por x−3, resulta um resto de -7 e um quociente
de x− 4. Qual e´ P (x)?
6. Calcule a, de modo que dividindo-se f(x) = 4x3 + ax2 − 3x + 4 por x− 2 seja
obtido resto 4.
7. Dividindo o polinoˆmio P (x) = x3 + x2 + x+ 1 pelo polinoˆmio Q(x), obtemos o
quociente S(x) = 1 + x e o resto R(x) = x+ 1. O polinoˆmio Q(x) satisfaz a:
(a) Q(2) = 0
(b) Q(3) = 0
(c) Q(0) 6= 0
(d) Q(1) 6= 0
(e) n.d.a.
Simone D. Ramos 49
8. O polinoˆmio x3 + px + q e´ divis´ıvel por x2 + 2x + 5. Os valores de p e q sa˜o
respectivamente:
(a) 2 e 5
(b) 5 e 2
(c) 1 e 5
(d) 1 e -10
(e) 3 e 6
9. Um polinoˆmio f, dividido por x − 1 e x + 3, da´ restos -2 e 1, respectivamente.
O resto da divisa˜o de f por (x− 1)(x+ 3) e´:
(a)
−3
4
x− 5
4
(b)
−3
4
x+
5
4
(c)
3
4
x− 5
4
(d)
3
2
x+
5
2
(e)
3
2
x− 5
2
Respostas:
1. (a) Q(x) = x2 − 2x− 10 e R(x) = −28
(b) Q(x) = x3 − x2 − 2 e R(x) = 8x+ 1
(c) Q(x) = x8 − x7 + x5 − x4 + x3 − x+ 1 e R(x) = 0
2. (a) Q(x) = 3x− 1 e R = 1
(b) Q(x) = −9x− 30 e R = 247
(c) Q(x) = 2x+ 1 e R(x) = −33
50 Ca´lculo Ba´sico
3. (a)
−51
64
; (b) 257; (c) 1
4. (a) k = −7; (b) k = 11; (c) k = −1
5. P (x) = x2 − 7x+ 5
6. a =
−13
2
7. (d); 8. (d); 9. (a)
Cap´ıtulo 4
Func¸o˜es Reais de uma varia´vel real
4.1 Introduc¸a˜o
Definic¸a˜o 4.1.1 : Sejam A e B conjuntos. Seja f uma relac¸a˜o de A em B. Supo-
nhamos que:
(i) Dom f(domı´nio de f)= A;
(ii) Im f(imagem de f)⊂ B;
(iii) Cada elemento x ∈ A esta´ associado a um u´nico elemento y ∈ B.
Dizemos, enta˜o que f e´ uma func¸a˜o de A em B e B e´ chamado o contradomı´nio da
f.
Notac¸a˜o: f : A −→ B
x 7−→ y = f(x)
Ale´m disso, o gra´fico da func¸a˜o f e´ definido por:
Graf f := {(x, y) ∈ A×B/y = f(x)}.
Definic¸a˜o 4.1.2 : Se A ⊂ IR e B ⊂ IR, enta˜o f e´ dita uma func¸a˜o real de uma
varia´vel real.
51
52 Ca´lculo Ba´sico
Exec´ıcio(s) 4.1.1 :
1. Determine o domı´nio e a imagem das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = x2 f) y =
√
x
b) f(x) =
1
x2
g)F (x) =
x
x2
c)h(x) =
√
4− x2 h)M(x) = x
2 + 2x+ 1
x+ 1
d) k(x) =
1
x
i)T (x) =
1
x+ 1
e) y =
√
x− 1 j)G(x) = x− 1
x2 − 1
2. Esboce o gra´fico e encontre o domı´nio e a imagem das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) =

2; x ≤ −1
−2; −1 < x < 1
3; x ≥ 1
b) f(x) =
 x+ 5; x 6= 21; x = 2
3. Dado o conjunto A = {1, 2, 5, 7, 8}, determine:
(a) o conjunto A2 = A× A e sua representac¸a˜o gra´fica.
(b) o subconjunto W = {(x, y) ∈ A2/x < y}.
(c) o subconjunto Z = {(x, y) ∈ A2/y = 2x+ 3}.
(d) o subconjunto T = {(x, y) ∈ A2/x− y = 4}.
4. Dada a func¸a˜o f(x) = 7x− 3, com D = lR, obtenha:
(a) f(2); (d) f(−1); (g) f
(
−1
3
)
;
(b) f(6); (e) f(
√
2); (h) f(a+ b).
(c) f(0); (f) f
(
1
2
)
;
5. Dada a func¸a˜o f(x) = 2x− 3, obtenha:
Simone D. Ramos 53
(a) f(3); (c) o valor de x tal que f(x) = 49;
(b) f(−4); (d) o valor de x tal que f(x) = −10.
6. Dada a func¸a˜o f(x) = mx+ 3, determine m sabendo-se que f(1) = 6.
7. Fac¸a o gra´fico da func¸a˜o f(x) = 2x + 1, com domı´nio D = {0, 1, 2, 3, 4}. Qual
o conjunto imagem?
8. Fac¸a o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x2, sendo D = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3}. Qual o
conjunto imagem?
9. Qual o gra´fico da func¸a˜o f(x) = 3, sendo D = lR?
10. Esboce o gra´fico da func¸a˜o f, de domı´nio D = lR, dada por:
f(x) =
 1, se x ≥ 0−1, se x < 0
54 Ca´lculo Ba´sico
Respostas:
1.
a)Domf = IR e Imf = IR+; f)Domy = [0,+∞) e Imy = [0,+∞);
b)Domf = IR∗ e Imf = IR∗+; g)DomF = IR
∗ e ImF = IR∗;
c)Domh = [−2, 2] e Imh = [0, 2] h)DomM = IR− {−1} e ImM = IR∗
d)Domk = IR∗ e Imk = IR∗; i)DomT = IR− {−1} e ImT = IR∗;
e)Domy = [1,+∞]eImy = [0,+∞); j)DomG = IR− {−1,+1} e ImG = IR− {0, 1/2}.
2.
a)Domf = IR e Imf = {−2, 2, 3}; b)Domf = IR e Imf = IR− {7}.
3. (a)
{(1, 1), (1, 2), (1, 5), (1, 7), (1, 8),
(2, 1), (2, 2), (2, 5), (2, 7), (2, 8),
(5, 1), (5, 2), (5, 5), (5, 7), (5, 8),
(7, 1), (7, 2), (7, 5), (7, 7), (7, 8),
(8, 1), (8, 2), (8, 5), (8, 7), (8, 8)}
(b) {(1, 2), (1, 5), (1, 7), (1, 8), (2, 5), (2, 7), (2, 8), (5, 7), (5, 8), (7, 8)}
(c) {(1, 5), (2, 7)}; (d) {(5, 1)}.
4.
(a) 11; (b) 39; (c) − 3; (d) − 10;
(e) 7
√
2− 3; (f) 1/2; (g) − 16/3; h) 7(a+ b)− 3.
5. (a) 3; (b) − 11; (c) 26; (d) − 7/2.
6. m = 3
Simone D. Ramos 55
7.
x
y
1234
9
7
5
3
1
O
Figura 4.1: Im(f) = {1, 3, 5, 7, 9}
8.
-3 -2 -1 1230
1
4
9
x
y
Figura 4.2: Im(f) = {0, 1, 4, 9}
56 Ca´lculo Ba´sico
9.
x
y
O
3
10.
y
x
1
−1
0
Observac¸a˜o 4.1.1 : Sabemos que um dos requisitos que uma relac¸a˜o deve satis-
fazer para ser uma func¸a˜o e´ que a cada elemento x, pertencente ao domı´nio, deve
corresponder um u´nico y, pertencente a imagem. Esta propriedade, interpretada
num gra´fico, significa que qualquer reta vertical intercepta o gra´fico de uma func¸a˜o
no ma´ximo em um ponto. Observe os gra´ficos abaixo:
Simone D. Ramos 57
y
x
f
0
f e´ gra´f ico de funca˜o
a) y
x
f
b)
fna˜o e´ gra´f ico de funca˜o
0
x′
y1
y2
y
x0 0
f
c)
f e´ gra´f ico de funca˜o
Definic¸a˜o 4.1.3 : Duas func¸o˜es f e g sa˜o iguais se, e somente se, as seguintes
condic¸o˜es sa˜o satisfeitas:
(i) Domf = Domg;
(ii) Imf = Im g;
(iii) Contradomf = Contradomg;
(iv) ∀x ∈ Domf, f(x) = g(x).
Exemplo(s) 4.1.1 : Note que, dentre as func¸o˜es do exerc´ıcio 3.1.1, a igualdade e´
va´lida apenas para as func¸o˜es k e F.
Exec´ıcio(s) 4.1.2 1. Sendo f(x) = (x− 3)3, calcule:
a) f(2); b) f(0); c) f(−2); d) − f(−1); e) f(2x+ 1).
2. Dado f(x+ 1) =
x+ 1
x− 1 , determine o valor de f(3).
3. Considere a func¸a˜o f : lR −→ lR tal que
f(x) =
 1, se x e´ racional−1, se x e´ irracional
Determine: f(1/2), f(pi), f(2, 1313 . . .) e f(
√
2).
58 Ca´lculo Ba´sico
4. Considere a func¸a˜o f : lR −→ lR definida por
f(x) =

3x− 1, se x > 3
x2 − 2, se − 2 ≤ x ≤ 3
2x+ 3, se x < −2
Determine:
i) f(2); ii) f(0); iii) f(−1); iv) f(−3).
5. Qual dos seguintes gra´ficos define uma func¸a˜o:
6. Uma func¸a˜o f associa a cada nu´mero natural n a raiz quadrada positiva do
menor quadrado perfeito maior que n. Calcule f(10) + f(15) + f(25).
RESPOSTAS:
1) a) − 1; b) − 27; c) − 75; d) 64; e) (2x− 2)3.
2) 3; 3) f(1/2) = 1, f(pi) = −1; f(2, 1313 . . .) = 1; f(√2) = −1.
4) i) 5; ii)− 2; iii) − 1; iv) − 3. 5) d; 6) 14
Simone D. Ramos 59
4.2 Func¸a˜o Polinomial
Definic¸a˜o 4.2.1 : Seja n ∈ IN. Uma func¸a˜o real polinomial de grau n e´ uma
func¸a˜o f : IR→ IR definida por
f(x) = anx
n + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0,
onde ai ∈ IR, ∀i = 0, . . . , n e an 6= 0.
Exemplo(s) 4.2.1 : f(x) = 4x5 − x2 + 1 e´ uma func¸a˜o polinomial de grau 5.
Nas pro´ximas sec¸o˜es, estudaremos alguns tipos especiais de func¸o˜es polinomiais.
4.3 Func¸a˜o Constante
Definic¸a˜o 4.3.1 : Seja c ∈ IR. Chamamos de func¸a˜o constante a` func¸a˜o dada por
f : IR → IR
x 7→ f(x) = c
Observac¸a˜o 4.3.1 :
(i) Imf = {c};
(ii) O gra´fico de f e´ uma reta horizontal de ordenada c.
Veja o gra´fico abaixo para a seguinte func¸a˜o:
f : IR → IR
x 7→ f(x) = 3
60 Ca´lculo Ba´sico
y
x
3
0
4.4 Func¸a˜o Linear
Definic¸a˜o 4.4.1 : Seja a ∈ IR. Chamamos de func¸a˜o linear a` func¸a˜o dada por
f : IR → IR
x 7→ f(x) = ax
Observac¸a˜o 4.4.1 : Se a 6= 0, temos:
(i) Imf = IR;
(ii) O gra´fico de f e´ uma reta que passa pela origem (0, 0) do plano cartesiano. Veja,
por exemplo, o gra´fico abaixo:
y = 2xy
x
(iii) A func¸a˜o linear f(x) = x e´ chamada func¸a˜o identidade e conte´m as bissetrizes
do 1o e do 3o quadrantes. Veja figura abaixo:Simone D. Ramos 61
y = x
y
x
4.5 Func¸a˜o do 1o grau (ou Afim)
Definic¸a˜o 4.5.1 : Sejam a, b ∈ IR, com a 6= 0. Chamamos de func¸a˜o afim ou do
1o grau a` func¸a˜o dada por:
f : IR → IR
x 7→ f(x) = ax+ b
Observac¸a˜o 4.5.1 :
(i) As func¸o˜es lineares f(x) = ax sa˜o casos particulares de func¸o˜es afins f(x) =
ax+ b, em que b = 0;
(ii) Imf = IR;
(iii) O gra´fico de f e´ uma reta no plano cartesiano, inclinada em relac¸a˜o aos eixos;
(iv) O nu´mero b e´ denominado coeficiente linear da reta e determina a ordenada
em que esta reta intercepta o eixo y (pois b = f(0));
(v) O nu´mero a e´ denominado coeficiente angular ou inclinac¸a˜o da reta(especifica
a sua direc¸a˜o). Ale´m disso, se
62 Ca´lculo Ba´sico
• a > 0, enta˜o f(x) = ax + b e´ crescente, isto e´, x2 > x1 ⇒ f(x2) > f(x1)
(isto significa que a` medida que ”aumentam”os valores de x, ”aumentam”os
valores correspondentes y = f(x));
• a < 0, enta˜o f(x) = ax+ b e´ decrescente, isto e´, x2 > x1 ⇒ f(x2) < f(x1)
(isto significa que a` medida que ”aumentam”os valores de x, ”diminuem”os
valores correspondentes y = f(x));
x1 x2 x
y
f(x1)
f(x2)
(a > 0)
0 0 x1 x2
f(x1)
f(x2)
y
x
(a < 0)
(vi) O estudo da variac¸a˜o de sinal da func¸a˜o f(x) = ax + b pode ser dividido em
dois casos:
10 caso: a > 0. Enta˜o, temos:
• x = − b
a
⇒ f(x) = 0;
• x > − b
a
⇒ f(x) > 0;
• x < − b
a
⇒ f(x) < 0.
20 caso: a < 0. Enta˜o, temos:
• x = − b
a
⇒ f(x) = 0;
Simone D. Ramos 63
• x > − b
a
⇒ f(x) < 0;
• x < − b
a
⇒ f(x) > 0.
Exemplo(s) 4.5.1 :
y = −2x+ 2
y = x+ 1
y
x
2
1-1
1
4.5.1 Exerc´ıcios
1. Determine a func¸a˜o afim f tal que: f(3) = 0 e f(0) = −1.
2. Classifique as func¸o˜es abaixo em crescentes ou decrescentes.
(a) f(x) = x− 3;
(b) f(x) = −x
2
+ 1;
(c) f(x) =
2x+ 1
3
− 3x+ 5
4
.
64 Ca´lculo Ba´sico
3. Os gra´ficos abaixo representam func¸o˜es f(x) = ax + b. Determine, em cada
item, os sinais de a e b.
4. Determinar os zeros das seguintes func¸o˜es:
(i) f(x) = 2x− 1
(ii) f(x) = 5x+ 10;
5. Estudar o sinal das func¸o˜es abaixo:
(i) f(x) = −x+ 3;
(ii) f(x) = 5x+ 10;
(iii) f(x) = (x+ 3)2 − (x− 2)2.
Respostas:
1. f(x) = 13x− 1
2. a) crescente; b) decrescente; c) decrescente.
Simone D. Ramos 65
3. (i) a > 0 e b < 0;
(ii) a = 0 e b > 0;
(iii) a < 0 e b = 0;
(iv) a > 0 e b > 0.
4. (i) x = 1/2;
(ii) x = −2;
5.
(i) f(x) > 0 se x < 3, f(x) < 0 se x > 3, f(x) = 0 se x = 3;
(ii) f(x) > 0 se x > −2, f(x) < 0 se x < −2, f(x) = 0 se x = −2;
(iii) f(x) > 0 se x > −1/2, f(x) < 0 se x < −1/2, f(x) = 0 se x = −1/2.
Exec´ıcio(s) 4.5.1 Nos exer´ıcios 1 a` 5, encontrar a equac¸a˜o da reta que satisfac¸a
as condic¸o˜es dadas.
1. Passa pelo ponto (−3,−4) e e´ paralela ao eixo dos x;
2. Passa pelo ponto (1,−7) e e´ paralela ao eixo dos y;
3. Passa pelos pontos (1, 3) e (2,−2);
4. Passa por (−2,−5) e tem inclinac¸a˜o √3;
5. Passa pela origem e divide ao meio o aˆngulo entre os eixos no segundo e no
quarto quadrantes;
6. Dada a reta r com equac¸a˜o 2x−5y = 10 e o ponto P (5, 1), encontrar a equac¸a˜o
da reta que passe por P e:
a) seja paralela a` reta r;
b) seja perpendicular a` reta r.
66 Ca´lculo Ba´sico
7. Determine o domı´nio e a imagem e esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) =

2, x ≤ −1
−2, −1 < x < 1
3, x ≥ 1
b) f(x) =
 x+ 5, x 6= 21, x = 2
c) f(x) =
x2 − 9
x− 3 .
Respostas:
1) y = −4; 2)x = 1; 3) y + 5x − 8 = 0; 4) y − √3(x + 2) + 5 = 0;
5)x+ y = 0; 6) a) 5y − 2x+ 5 = 0 b) 2y + 5x = 27
7) a)Domf = lR e Imf = {−2, 2, 3}; b)Domf = lR e Imf = lR− {7};
c)Domf = lR− {3} e Imf = lR− {6}.
4.6 Func¸a˜o do 2o grau (ou Quadra´tica)
Definic¸a˜o 4.6.1 : Sejam a, b e c ∈ IR, com a 6= 0. Chamamos de func¸a˜o quadra´tica
ou do 20 grau a` func¸a˜o dada por:
f : IR → IR
x 7→ ax2 + bx+ c
Definic¸a˜o 4.6.2 : Os valores de x reais para os quais f(x) = ax2 + bx + c = 0,
chamam-se zeros ou ra´ızes da func¸a˜o.Estes valores sao as abscissas dos pontos onde
o gra´fico intercepta o eixo x.
Observac¸a˜o 4.6.1 :
Simone D. Ramos 67
(i) O gra´fico de f e´ uma curva no plano cartesiano denominado para´bola. Ale´m
disso, se
• a > 0, enta˜o a concavidade da para´bola e´ voltada para cima;
• a < 0, enta˜o a concavidade da para´bola e´ voltada para baixo.
a > 0
a <0
(ii) Para determinar os zeros da func¸a˜o quadra´tica f(x) = ax2 + bx + c, deve-se
resolver a equac¸a˜o do 20 grau:
ax2 + bx+ c = 0.
Como sabemos, as ra´ızes dessa equac¸a˜o sa˜o calculadas pela fo´rmula:
x =
−b±√4
2a
, onde 4 = b2 − 4ac
denomina-se discriminante da equac¸a˜o. Note que, a existeˆncia e o nu´mero de
ra´ızes da func¸a˜o quadra´tica dependem do sinal de 4. Assim, podemos dividir o
estudo do sinal da func¸a˜o quadra´tica em treˆs casos:
10 caso: 4 > 0
Nesse caso, a func¸a˜o apresenta dois zeros reais distintos
x1 =
−b+√4
2a
e x2 =
−b−√4
2a
.
20 caso: 4 = 0
Nesse caso, a func¸a˜o apresenta um zero real duplo: x1 = x2 =
−b
2a
.
68 Ca´lculo Ba´sico
a > 0
a < 0
x1
x1
x2
x2
a > 0
x1 = x2
a < 0
x1 = x2
30 caso: 4 < 0
Nesse caso, a func¸a˜o na˜o apresenta zeros reais.
a > 0
a < 0
Simone D. Ramos 69
(iii) A figura abaixo mostra uma para´bola, gra´fico de f(x) = ax2 + bx+ c, com treˆs
elementos importantes assinalados: O nu´mero c determina a ordenada em que
c
V
esta para´bola intercepta o eixo y (pois c = f(0)). O ponto V e´ chamado ve´rtice
da para´bola. A reta r, perpendicular ao eixo x e passando pelo ve´rtice, e´ o eixo
de simetria da para´bola. O ve´rtice V e´ dado por V (xv, yv) com
• xv = − b
2a
;
• yv = −4
4a
(ja´ que yv = f(xv) = a(xv)
2 + bxv + c).
(iv) A imagem de f e´ obtida com aux´ılio do ve´rtice da para´bola, como se segue:
10 caso: a > 0(concavidade e´ voltada para cima)
Nesse caso, a func¸a˜o apresenta um mı´nimo, igual a` ordenada do ve´rtice da
para´bola. (veja a figura abaixo).
c
V
xv
yv
70 Ca´lculo Ba´sico
Assim:
• xv = − b
2a
e´ chamado ponto de mı´nimo de f;
• yv = −4
4a
e´ chamado valor mı´nimo de f;
• Imf = {y ∈ IR/y ≥ −4
4a
} = [−4
4a
,+∞)
20 caso: a < 0(concavidade e´ voltada para baixo)
Nesse caso, a func¸a˜o apresenta um ma´ximo, igual a` ordenada do ve´rtice da
para´bola.
V
xv
yv
Assim:
• xv = − b
2a
e´ chamado ponto de ma´ximo de f;
• yv = −4
4a
e´ chamado valor ma´ximo de f;
• Imf = {y ∈ IR/y ≤ −4
4a
} = (−∞,−4
4a
]
4.6.1 Exerc´ıcios
1. Determinar os zeros reais das seguintes func¸o˜es quadra´ticas:
(a) f(x) = x2 − 4;
(b) f(x) = −2x2 + 3x;
(c) f(x) = x2 − 2x− 8;
Simone D. Ramos 71
(d) f(x) = x2 + 1.
2. Resolver as inequac¸o˜es abaixo:
a)x2 − 9x+ 14 ≤ 0; b) − x2 + x− 2 > 0; c) 4x2 − 4x+ 1 > 0.
3. Calcular m para que a func¸a˜o f(x) = x2 + 6x + m seja maior que zero para
todo x ∈ IR.
4. Para que valores de m a func¸a˜o f(x) = 3x2 + 2x + m tem dois zeros reais
distintos.
5. Para que valores de m a func¸a˜o f(x) = (m+8)x2− 6x+m possui um zero real
duplo?
6. Determinar as imagens das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) = x2 + 2x− 1; b) f(x) = −2x2 + 6x− 5.
7. Diga se cada uma das func¸o˜es quadra´ticas abaixo admite ma´ximo ou mı´nimo.
Indique, em cada caso, o ponto de ma´ximo ou de mı´nimo e o valor ma´ximo ou
mı´nimo.
i) f(x) = 3x2 + 6x− 11; ii) f(x) = 4− 2x2.
8. Calcular m de modo que o valor ma´ximo de f(x) = −x2 + 4x+m seja 3.
9. Sabendo que a soma de dois nu´meros x e y e´ 10, calcule os valores de x e y de
modo que a soma x2 + y2 seja mı´nima.
Respostas:
1. a) 2 e − 2; b) 0 e 3/2; c) 4 e − 2; d)Na˜o ha zeros reais.
72 Ca´lculo Ba´sico
2. a)S = [2, 7]; b)S = ∅; c)S = IR− {1/2}.
3.m > 9
4. m < 1/3
5. m = 1 ou m = −9
6. a) Imf = [−2,+∞); b) Imf = (−∞,−1/2]
7. i) admite mı´nimo; ponto de mı´nimo e´ -1 e valor mı´nimo e´ -14;
ii) admite ma´ximo; ponto de ma´ximo e´ 0 e o valor ma´ximo e´ 4.
8. m = −1
9. x = y = 5
4.6.2 Exerc´ıcios Complementares
1. Estudar o sinal das func¸o˜es abaixo:
(a) f(x) = (x+ 3)(2x− 1)
(b) f(x) =
−x+ 1
x− 2
2. Resolva as seguintes inequac¸o˜es:
(a) (x− 2)(x+ 1)(x− 4) < 0
(b)
x− 1
x2 − 3x+ 2 ≥ 0
(c)
x2 − x− 2
x2 − 1 ≤ 0
3. Resolver a inequac¸a˜o (1− x)(1 + x) ≥ 0.
Simone D. Ramos 73
4. Determinar o domı´nio da func¸a˜o definida por
(a) f(x) =
√
(2x− 1)(x+ 3) (b) f(x) =
√
1− 2x
2x− 3
5. Resolva as inequac¸o˜es:
(i)
x+ 3
−3x+ 2 ≤ 0 (ii)
x− 5
2x− 4 ≥ 1
Respostas:
1. (a) f(x) > 0 se x < −3 ou x > 1/2; f(x) < 0 se − 3 < x < 1/2;
f(x) = 0 se x = −3 ou x = 1/2.
(b) f(x) > 0 se 1 < x < 2; f(x) < 0 se x < 1 ou x > 2;
f(x) = 0 se x = 1; f(x) na˜o esta´ definida para x = 2, isto e´, @f(2).
2. (a) S = {x ∈ IR/x < −1 ou 2 < x < 4} (b) S = {x ∈ IR/x > 2}
(c) S = {x ∈ IR/1 < x ≤ 2}
3. S = {x ∈ IR/− 1 ≤ x ≤ 1} = [−1, 1].
4. (a) Domf = {x ∈ IR/x ≤ −3 ∨ x ≥ 1/2} = (−∞,−3] ∪ [1/2,+∞)
(b) Domf = {x ∈ IR/1/2 ≤ x < 3/2} = [1/2, 3/2)
5.
(i)S = {x ∈ IR/x ≤ −3 ∨ x > 2/3} = (−∞,−3] ∪ (2/3,+∞)
(ii)S = {x ∈ IR/− 1 < x < 2} = (−1, 2)
74 Ca´lculo Ba´sico
Cap´ıtulo 5
Func¸a˜o Exponencial
Seja a ∈ IR∗+ − {1}. A func¸a˜o exponencial de base a e´ definida por:
f : IR → IR
x 7→ ax
Observac¸a˜o 5.0.2 :
1o) Dom f: IR
2o) Im f: IR∗+ = (0,+∞)
3o) Gra´fico:
(i) a > 1. Exemplo (i): f(x) = 2x
x y
0 1
1 2
2 4
−1 1/2
−2 1/4
................. .......
..
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
......
...........
.........
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
...........................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................
......................................................
........................................
................................
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......................
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............
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..........
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..........
...........
.........
.........
.........
.........
.........
.......
........
........
..........
.........
.........
........
........
........
........
.
•
y = 2x
y
x
75
76 Ca´lculo Ba´sico
• o gra´fico conte´m o ponto (0, 1)
• x cresce ⇒ y cresce (func¸a˜o crescente)
• base a = 2 > 1
(ii) 0 < a < 1. Exemplo (ii): f(x) =
(
1
2
)x
x y
0 1
1 1/2
2 1/4
−1 2
−2 4
................. .......
..
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
......
...........
.........
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
••
y = (12)
x
• o gra´fico conte´m o ponto (0, 1)
• x cresce ⇒ y decresce (func¸a˜o decrescente)
• base a = 1/2 < 1
Observac¸a˜o 5.0.3 : Em particular, o gra´fico de f(x) = ex e´:
Simone D. Ramos 77
................. .......
..
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
......
...........
.........
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................
....................................................................
........................................
..............................
......................
..................
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............
............
..........
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.........
.........
.......
........
.........
.........
..........
........
........
........
........
.......
.........
.........
.......
........
.......
........
.......
.......
•
y = ex
Exec´ıcio(s) 5.0.1 : Classifique as func¸o˜es abaixo em crescentes ou decrescentes.
(a) y = 3x
(b) y =
(
1
3
)−x
(c) y =
(√
3
)x
(d) y =
(
3
5
)x
(e) y =
(
4
3
)−x
Respostas: Crescentes: (a), (b) e (c)
Exec´ıcio(s) 5.0.2 : Determine x:
(a) 3x = 9
(b) 25x−1 = 625
(c) 81−x = 243
(d) 32x − 10 · 3x + 9 = 0
Respostas: (a) S = {2}; (b) S = {3}; (c) S = {−54}; (d) S = {0, 2}.
78 Ca´lculo Ba´sico
5.1 Func¸a˜o Logar´ıtmica
Seja a ∈ IR∗+ − {1}. O logaritmo de um nu´mero N ∈ IR∗+ na base a e´ definido como
sendo o nu´mero x tal que ax = N.
Notac¸a˜o: logaN = x⇔ ax = N.
Observac¸a˜o 5.1.1 : Condic¸o˜es de existeˆncia:
• a 6= 1, a > 0
• N > 0
Observac¸a˜o 5.1.2 :
(i) N > 0, assim nu´meros negativos e zero na˜o possuem logaritmo;
(ii) Domf : IR∗+ e Imf : IR;
(iii) loga 1 = 0 pois a
0 = 1∀a ∈ IR∗+ − {1};
(iv) loga a = 1 pois a
1 = a;
(v) loga a
m = m pois am = am;
(vi) aloga b = b pois se loga b = n⇔ an = b, isto e´, aloga b = b;
(vii) loga b = loga c⇒ b = c pois aloga c
(vi)
= b⇒ b = c.
As bases mais usadas sa˜o:
• 10 (logaritmos decimais). Notac¸a˜o: log10 b ou log b;
• e (logaritmos neperianos ou naturais). Notac¸a˜o: ln b ou loge b.
Propriedades:
Simone D. Ramos 79
(a) loga(b · c) = loga b+ loga c;
(b) loga(
b
c) = loga b− loga c;
(c) loga b
n = n loga b (em particular: loga
n
√
b = loga b
1/n = 1n loga b).
(d) logaN =
logbN
logb a
.
Gra´fico: y = loga x
(i) a > 1. Exemplo (i): y = log2 x
x y
1/8 −3
1/4 −2
1/2 −1
1 0
2 1
.................. .......
..
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
.......
...........
.........
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
...........
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
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............
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............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
.........
...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................
....................................................
......................................
..............................
..........................
......................
....................
................
................
..............
............
............
..........
..........
..........
..........
..........
............
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..........
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.........
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.......
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.........
.........
........
........
........
........
........
.....
.........................
............................
..............................
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..................................
....................................
.......................
....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
•
•
y = 2x
y = log2 x
y = x
• o gra´fico conte´m o ponto (1,0).
• x cresce ⇒ y cresce (func¸a˜o decrescente)
• 0 < x < 1⇒ loga x < 0
• x > 1⇒ loga x > 0
80 Ca´lculo Ba´sico
(ii) 0 < a < 1. Exemplo (ii): y = log1/2 x
x y
4 −2
2 −1
1 0
1/2 1
1/4 2
.................. .......
..
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
.......
...........
.........
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...........
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
.........
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...........
............
............
............
............
............
............
............
............
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............
............
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............
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............
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............
............
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............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
.......
•
•
y = (1/2)x
y = log1/2 x
y = x
• o gra´fico conte´m o ponto (1,0).
• x cresce ⇒ y decresce (func¸a˜o decrescente).
• 0 < x < 1⇒ loga x > 0.
• x > 1⇒ loga x < 0.
Observac¸a˜o 5.1.3 : Em particular, o gra´fico de f(x) = loge x = ln x e´:
.................. .......
..
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
.......
...........
.........
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
........
.......
.......
.......
........
.......
.......
........
.......
........
........
......
........
........
........
.......
.......
........
.........
........
........
.........
.........
.........
...........
............
..........
..........
............
............
..............
................
..................
....................
......................
........................
............................
..............................
..................................
......................................
..........................................
................................................
.........................................
•
y = ln x
Exec´ıcio(s) 5.1.1 : Determine x:
Simone D. Ramos 81
(a) log3 81 = x
(b) log25 625 = x
(c) log3/2 2/3 = x
(d) logx 3 =
3
4
(e) logx 4 = 4
(f) log1/8 x = −43
Respostas:
(a) S = {4}; (b) S = {2}; (c) S = {−1}; (d) S = {3 3√3}; (e) S = {√2};
(f) S = {16}.
Exec´ıcio(s) 5.1.2 : Se log 2 = a e log 3 = b, calcule:
(a) log 12
(b) log 5
(c) log 932
(d) log2 10
(e) log9 20
Respostas: (a) b+ 2a; (b) 1− a; (c) 2b− 5a; (d) 1a ; (e) 1+a2b .
Exemplo(s) 5.1.1 ( Equac¸a˜o logar´ıtmica):
2 log x = 2 + log(x− 9)
Soluc¸a˜o: Restric¸o˜es: x > 0 e x− 9 > 0⇒ x ∈ (9,+∞)
82 Ca´lculo Ba´sico
2 log x = 2 + log(x− 9) ⇔ logx2 − log(x− 9) = 2 ⇔ log x2x−9 = 2
⇔ log x2x−9 = log 102 ⇔ x
2
x−9 = 10
2 ⇔ x2x−9 = 100
⇔ x2 − 100x+ 900 = 0 ⇔ x = 90 ou x = 10. Assim,
S = {10, 90}
Exec´ıcio(s) 5.1.3 :
1. Resolver:
(a) (12)
3x = 512−1 (e) 22x − 34.2x + 64 = 0
(b) 3x
2−x√3 = 1 (f) 2
48
x = 8
(c) 32x − 3x2−x+2 = 0 (g) (3x)x−1 = 9
(d) 3.9x + 7.3x − 10 = 0 (h) 9x+34 = 3x
2. Calcular:
(a) log2128
(b) log1
2
7
√
16
(c) log5 3
√
5625
3. Resolver as equac¸o˜es:
(a) log40, 25 = x
(b) logx256 = 4
(c) 10log9 = 8x+ 5
(d) log5(log2x) = 1
(e) eln(x
2−3) = 2x
Simone D. Ramos 83
4. Calcular
log3
2
5
+ log3
7
4
+ log3
20
7
− log32
5. Resolver as equac¸o˜es:
(a) log2(x− 3) + log2(x− 2) = 1
(b) log9(2x+ 1)− log9(x− 1) = 12
(c) 2logx− log(x2) = 1
6. (PUC - SP) O logaritmo decimal de x, sabendo que x = a
3b2
c e´:
(a) 3logb+ 2loga− logc
(b) 3loga− 2logb+ logc
(c) 3loga+ 2logb+ logc
(d) 3loga− 2logb− logc
(e) 3loga+ 2logb− logc
7. (Cesgranrio - 80) Se (x, y) e´ soluc¸a˜o do sistema f(x) =
 2x + 3y = 112x − 3y = 5 ,
enta˜o x+ y e´:
a)11; b)3; c)6; d)4; e)5.
8. Calcule os logaritmos abaixo:(a) log2 8; (d) log7 1; (g) log2 2
−3; (j) log25
1
5 ;
(b) log7 49; (e) log3 3; (h) log3
1
9 ; (k) log2(16× 4);
(c) log3 81; (f) log10 10
4; (i) log 1
5
25; (l) log5 5
6.
9. Admitindo log 2 = 0, 3 e log 3 = 0, 48, calcule os seguintes logaritmos:
84 Ca´lculo Ba´sico
(a) log 6; (c) log 12; (e) log 20; (g) log 5 (i) log 0, 2
(b) log 8; (d) log 24; (f) log 300; (h) log 50; (j) log 0, 03
10. Admitindo log 2 = 0, 3 e log 3 = 0, 48, resolva as seguintes equac¸o˜es exponenci-
ais:
(a) 3x = 2; (c) 2x = 9;
(b) 4x = 3; (d) 6x = 8.
Respostas:
1.
a) x = 3; b) x = 0 ou x =
√
3 c) x = 2 ou x = 1; d)x = 0 e)x = 1 ou x = 5;
f)x = 16; g)x = 2 ou x = −1; h) x = 1 ou x = 0.
2.
a) 7; b) − 47 ; c) 3.
3.
a) x = −1; b) x = 4; c)x = 1/2; d)x = 32; e)x = 3
4. 0
5.
a)x = 4; b)x = 4; c)x = 5.
6. (e)
7. (d)
8.
a) 3 d) 0 g) − 3 j) − 1/2
b) 2 e) 1 h) − 2 k) 6
c) 4 f) 4 i) − 2 l) 6
Simone D. Ramos 85
9.
a) 0, 78 c) 1, 08 e) 1, 3 g) 0, 7 i) − 0, 7
b) 0, 9 d) 1, 38 f) 2, 48 h) 1, 7 j) − 1, 52
10.
a) 0, 625 c) 3, 2
b) 0, 8 d) 1, 15
86 Ca´lculo Ba´sico
Cap´ıtulo 6
Func¸o˜es Trigonome´tricas
6.1 C´ırculo Trigonome´trico
Um c´ırculo trigonome´trico e´ um c´ırculo orientado de raio unita´rio e centro na origem
de um sistema cartesiano, veja figura abaixo:
O
α
Fcotg
tg
sen
cos
R = 1
A
DB
E
+
−
C
G
y
x
87
88 Ca´lculo Ba´sico
Definic¸o˜es 6.1.1
(a) seno D̂A ou senα := OC
(b) cosseno D̂A ou cosα := OB
(c) tangente D̂A ou tg α := DE
(d) secante D̂A ou secα := OE
(e) cotangente D̂A ou cotg α := FG
(f) cossecante D̂A ou cossec α := OG
6.2 Relac¸o˜es Fundamentais
1a) sen2α+ cos2 α = 1 2a) secα =
1
cosα
3a) tg α =
senα
cosα
4a) cossec α =
1
senα
5a) cotg α =
cosα
senα
Demonstrac¸o˜es:
(1a) : No triaˆngulo OAB que e´ retaˆngulo, temos (pelo Teorema de Pita´goras):
(AB)2 + (OB)2 = (OA)2. Mas AB = OC. Da´ı,
sen2α + cos2 α = 1.
(2a) e (3a) : Como o triaˆngulo ODE e´ semelhante ao triaˆngulo OBA, temos:
O B D
A
E
OD
OB
=
ED
AB
=
OE
OA
⇒ 1
cosα
=
tg α
senα
=
secα
1
Simone D. Ramos 89
• 1
cosα
=
secα
1
⇒ secα = 1
cosα
• 1
cosα
=
tg α
senα
⇒ tgα = senα
cosα
(4a) e (5a) : Como o triaˆngulo OFG e´ semelhante ao triaˆngulo OCA, temos:
O
C
F
A
G
FG
CA
=
OF
OC
=
OG
OA
⇒ cotg α
cosα
=
1
senα
=
cossec α
1
• 1
senα
=
cossec α
1
⇒ cossec α = 1
senα
• cotg α
cosα
=
1
senα
⇒ cotg α = cosα
senα
6.3 Relac¸o˜es Derivadas
1a) cotg α =
1
tg α
2a) tg2α+ 1 = sec2 α
3a) cotg2α+ 1 = cossec2α
4a) cos2 α =
1
1 + tg2α
5a) sen2α =
tg2α
1 + tg2α
Demonstrac¸o˜es: Seguem imediatamente das relac¸o˜es fundamentais.
90 Ca´lculo Ba´sico
6.4 Sinais nos Quadrantes
1oQ 2oQ 3oQ 4oQ
seno + + − −
cosseno + − − +
tangente + − + −
cotangente + − + −
secante + − − +
cossecante + + − −
6.5 Gra´ficos
a) Func¸a˜o Seno:
f : IR → IR
x 7→ y = f(x) = sen x
(i) Domf = IR;
(ii) Imf = [−1, 1];
(iii) Gra´fico:
Simone D. Ramos 91
(iv) Observe que ∀x ∈ IR,
sen x = sen(x+ 2pi) = sen(x+ 4pi) = sen(x+ 6pi) = . . . = sen(x+ 2kpi), k ∈ Z.
Dizemos que a func¸a˜o sen x e´ uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2pi rad;
(v) sen x e´ uma func¸a˜o ı´mpar, ou seja, sen(−x) = −sen(x).
b) Func¸a˜o Cosseno:
f : IR → IR
x 7→ y = f(x) = cosx
(i) Domf = IR;
(ii) Imf = [−1, 1];
(iii) Gra´fico:
(iv) Observe que ∀x ∈ IR,
cosx = cos(x+ 2pi) = cos(x+ 4pi) = cos(x+ 6pi) = . . . = cos(x+ 2kpi), k ∈ Z.
Dizemos que a func¸a˜o cosx e´ uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2pi rad;
(v) cosx e´ uma func¸a˜o par, ou seja, cos(−x) = cosx.
92 Ca´lculo Ba´sico
c) Func¸a˜o Tangente:
f : A → IR
x 7→ y = f(x) = tg x
(i) Domf = A = {x ∈ IR \ x 6= pi2 + kpi, k ∈ Z};
(ii) Imf = IR;
(iii) Gra´fico:
(iv) Observe que ∀x ∈ A,
tg x = tg(x+ pi) = tg(x+ 2pi) = tg(x+ 3pi) = . . . = tg(x+ kpi), k ∈ Z.
Dizemos que a func¸a˜o tg x e´ uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo pi rad;
(v) tg x e´ uma func¸a˜o ı´mpar, ou seja, tg(−x) = −tg(x).
d) Func¸a˜o Cotangente:
f : A → IR
x 7→ y = f(x) = cotg x
(i) Domf = A = {x ∈ IR \ x 6= kpi, k ∈ Z};
(ii) Imf = IR;
Simone D. Ramos 93
(iii) Gra´fico:
(iv) Observe que ∀x ∈ A,
cotg x = cotg(x+ pi) = cotg(x+ 2pi) = cotg(x+ 3pi) = . . . = cotg(x+ kpi), k ∈ Z.
Dizemos que a func¸a˜o cotg x e´ uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo pi rad;
(v) cotg x e´ uma func¸a˜o ı´mpar, ou seja, cotg(−x) = −cotg(x).
e) Func¸a˜o Secante:
f : A → IR
x 7→ y = f(x) = secx
(i) Domf = A = {x ∈ IR \ x 6= pi2 + kpi, k ∈ Z};
(ii) Imf = IR−]− 1, 1[;
(iii) Gra´fico:
94 Ca´lculo Ba´sico
(iv) Observe que ∀x ∈ A,
sec x = sec(x+ 2pi) = sec(x+ 4pi) = sec(x+ 6pi) = . . . = sec(x+ 2kpi), k ∈ Z.
Dizemos que a func¸a˜o sec x e´ uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2pi rad;
(v) secx e´ uma func¸a˜o par, ou seja, sec(−x) = sec x.
f) Func¸a˜o Cossecante:
f : A → IR
x 7→ y = f(x) = cossec x
(i) Domf = A = {x ∈ IR \ x 6= kpi, k ∈ Z};
(ii) Imf = IR−]− 1, 1[;
(iii) Gra´fico:
Simone D. Ramos 95
(iv) Observe que ∀x ∈ A,
cossec x = cossec(x + 2pi) = cossec(x + 4pi) = cossec(x + 6pi) = . . . = cossec(x +
2kpi), k ∈ Z.
Dizemos que a func¸a˜o cossec x e´ uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2pi rad;
(v) cossec x e´ uma func¸a˜o ı´mpar, ou seja, cossec(−x) = −cossec(x).
6.6 Exerc´ıcios
1. Dado senα = −
√
3
2
, determinar cosα e tg α;
2. Dado cosα = −
√
3
2
, determinar senα e tg α;
3. Dada tg α = −1, determinar senα, e cosα.
4. Dada tg α = −√3 e sendo α um arco do 2o quadrante, determinar senα e
cosα.
5. Dada secα = 2, determinar senα, cosα e tg α.
96 Ca´lculo Ba´sico
6. Dado senα = −
√
3
2
,
3pi
2
< α < 2pi, determinar os valores das outras func¸o˜es
trigonome´tricas.
7. Dado cosα = −
√
2
2
, pi < α <
3pi
2
, determinar os valores das outras func¸o˜es
trigonome´tricas.
8. Dada sec x = −√2, determinar os valores das outras func¸o˜es trigonome´tricas.
9. Sendo 3tg a− 5cotg a = 0 e a um arco do 3o quadrante, determinar tg a, sen a
e cos a.
10. Determinar os valores de x sabendo-se que 0 ≤ a < 2pi e que:
(a)
 tg a = 2x+ 3cotg a = x+ 1 (b)
 tg a =
x+ 1
2
sec a =
√
x+ 2
.
11. Simplificar a expressa˜o:
y =
tg2x+ tg x+ 1
tg x
− sec x · cossec x
12. Determinar o valor de cada uma das seguintes expresso˜es, para os valores in-
dicados em cada caso:
(a) A =
sen x · tg x
sec x− cossec x, para x ∈ 1
o quadrante e cosx =
1
2
(b) B =
cossec x+ cosx
1− 2sen x · cosx, para x ∈ 2
o quadrante e sen x =
1
2
(c) C =
(sen4x− cos4 x) · cotg x
2− 2 cos2 x , para x ∈ 3
o quadrante e tg x = 1
13. Deˆ o valor, se existir:
(a) cos 3pi2 ; (b) sen pi; (c) cossec
pi
2 ; (d) cossec(−pi2 );
(e) sec(−pi); (f) tg pi2 ; (g) cotg(−3pi2 ); (h) sec 0
14. Se sen x = 513 e cosx =
12
13 , qual e´ o valor de y = sen(−x) + cos(−x)?
Simone D. Ramos 97
15. Deˆ o valor ma´ximo e o mı´nimo que y pode ter em cada caso:
(a) y = 4 + 9 sen x; (b) y = 7− cosx
16. Se a = sen x, b = cos x e a · b = 1225 . Calcule (a+ b)2.
17. Calcular o valor da expressa˜o y =
sec2x− sec x · cossec x
1− cotg x para sen x = −
√
15
4 e
x um arco do 4o quadrante.
18. Calcular sen2x e cos2 x sabendo-se que tg x =
√
2 + 1.
19. Calcular o valor de y = sen4x − 2sen2x + 1 sendo dado cosx = −
√
2
2 e x∈3o
quadrante.
20. Sendo cosx =
√
2
2 e x ∈ 1o quadrante, calcular (cosx+ sen x)3.
Respostas:
1. cosα = ±12 ; tg α = ±
√
3
2. senα = ±12 ; tg α = ±
√
3
3
3. senα = ±
√
2
2 ; cosα = ±
√
2
2
4. cosα = −12 ; senα =
√
3
2
5. cosα = 12 ; senα = ±
√
3
2 ; tgα = ±
√
3
6. cosα = 12 ; tg α = −
√
3; cotg α = −
√
3
3 ; secα = 2; cossec α = −2
√
3
3
7. senα = −
√
2
2 ; tg α = 1; cotg α = 1; secα = −
√
2; cossec α = −√2
8. cosx = −
√
2
2 ; sen x = ±
√
2
2 ; tg x = ±1; cossec x = ±
√
2
9. cos a = −
√
3
8 ; sen a = −
√
5
8 ; tg a =
√
5
3
10. (a)x = −2 e x = −12 (b)x = −1 e x = 3
98 Ca´lculo Ba´sico
11. y = 1
12. (a) 9+3
√
3
8 ; (b) 11− 6
√
3; (c) 0
13. (a) 0 (b) 0 (c) 1 (d) − 1 (e) − 1
(f)na˜o existe (g) 0 (h) 1
14. 7/13
15. (a)Ma´x. : y = 13 e Mi´n. : y = −5 (b)Ma´x. : y = 8 e Mi´n. : y = 6.
16. 49/25
17. 16
18.
2 +
√
2
4
e
2−√2
4
19. 9/4
20. 2
√
2
Cap´ıtulo 7
Limite
7.1 Introduc¸a˜o
Considere a func¸a˜o real y = f(x) cujo gra´fico e´ a curva ilustrada na figura abaixo
(fig.1.1). Sejam P e Q dois pontos sobre a curva tais que P e´ fixo e Q esta´
”pro´ximo”de P. A reta tangente do gra´fico de f em P e´ entendida como a posic¸a˜o
Figura 7.1: reta tangente em P
limite da secante quando Q desliza ao longo da curva em direc¸a˜o a` P. Assim, en-
contrar a equac¸a˜o da reta tangente a` curva acima no ponto P e´ encontrar o limite
da equac¸a˜o que define a reta secante. Precisamos enta˜o da noc¸a˜o de limite.
99
100 Ca´lculo Ba´sico
Exemplo(s) 7.1.1 : Seja f a func¸a˜o real dada por:
f(x) =
(2x+ 3)(x− 1)
(x− 1) ; x 6= 1.
Questa˜o: O que acontece com os valores de f quando x se aproxima de 1 com
valores menores que 1 e maiores que 1?
(i) x −→ 1, x < 1
x 0 0,5 0,9 0,99 0,9999
f(x) 3 4 4,8 4,98 4,9998
(ii) x −→ 1, x > 1
x 2 1,5 1,1 1,01 1,0001
f(x) 7 6 5,2 5,02 5,0002
Observac¸a˜o 7.1.1 : Quando x difere de 1 por ±0, 01 enta˜o f difere de 5 por ±0, 02
e quando x difere de 1 por ±0, 0001 enta˜o f difere de 5 por ±0, 0002. Da´ı, podemos
afirmar que pode-se tornar f(x) ta˜o pro´ximo de 5 quanto se queira, tornando-se x
suficientemente pro´ximo de 1. Denotamos tal afirmac¸a˜o escrevendo:
lim
x→1
f(x) = 5
7.2 Limite
Definic¸a˜o 7.2.1 : Seja f uma func¸a˜o real definida em um intervalo aberto I con-
tendo a, exceto possivelmente no pro´prio a. O limite de f(x) quando x se
aproxima de a e´ L se pudermos tornar f(x) ta˜o pro´ximo de L quanto se queira,
tornando-se x suficientemente pro´ximo de a.
Notac¸a˜o:
lim
x→a f(x) = L (ou f(x)→ L quando x→ a)
Simone D. Ramos 101
Limites ba´sicos:
lim
x→ax = a e limx→a c = c, c = cte.
Teorema 7.2.1 : O limite de uma func¸a˜o quando existe e´ u´nico (ou seja, se
limx→a f(x) = L1 e limx→a f(x) = L2 enta˜o L1 = L2).
Teorema 7.2.2 : Sejam lim
x→a f(x) = L e limx→a g(x) = M. Enta˜o:
(i) lim
x→a[f(x)± g(x)] = L±M ;
(ii) lim
x→a[f(x) · g(x)] = L ·M ;
(iii) lim
x→a
f(x)
g(x)
=
L
M
, se M 6= 0
Exemplo(s) 7.2.1 :
1. lim
x→2
(3x+ 2) = lim
x→2
3 · lim
x→2
x+ lim
x→2
2 = 3 · 2 + 2 = 8;
2. lim
x→3
x(2x+ 1) = lim
x→3
x · lim
x→3
(2x+ 1) = 3 · 7 = 21;
3. lim
x→−2
x2 =
(
lim
x→−2
x
)2
= (−2)2 = 4;
4. lim
t→7
8
t− 3 =
lim
t→7
8
lim
t→7
t− 3 =
8
4
= 2;
5. lim
x→1
x2 − 1
x− 1 = limx→1
(x− 1)\ (x+ 1)
x− 1 \ = limx→1x+ 1 = 2;
Observe que a func¸a˜o acima na˜o esta´ definida para x=1, o que na˜o importa
para o ca´lculo do limite, pois tomamos valores de x pro´ximos (e diferentes) de
1;
102 Ca´lculo Ba´sico
6. lim
x→3
f(x) onde f(x) =
 2− x ; x 6= 30 ; x = 3
lim
x→3
f(x) = lim
x→3
2− x = −1.
Observe que limx→3 f(x) 6= f(3) = 0, ou seja, houve uma interrupc¸a˜o em seu gra´fico
(veja fig. 1.2.1). Diz-se, nesse caso, que f e´ descont´ınua em x = 3.
3
-1
2
2
x
y
y=f(x)
Observac¸a˜o 7.2.1 : Alguns limites na˜o existem.
De fato, seja f(x) =
x
|x| =
 1, se x > 0−1, se x < 0 Note que f na˜o esta´ definida em x = 0.
Ale´m disso, temos:
(a) x→ 0, x > 0 (se x se aproxima de 0 pela direita)⇒ f(x)→ 1;
(b) x→ 0, x < 0 (se x se aproxima de 0 pela esquerda)⇒ f(x)→ −1
Assim
lim
x→0+
x
|x| = 1 (limite lateral a` direita)
e
lim
x→0−
x
|x| = −1 (limite lateral a` esquerda).
Simone D. Ramos 103
Enta˜o podemos afirmar que @ (na˜o existe) limx→0
x
|x| .
Gra´fico de f:
1
-1
x
y
Definic¸a˜o 7.2.2 (Limite lateral) :
(i) Seja f uma func¸a˜o definida no intervalo aberto (a,c). O limite de f(x) quando
x se aproxima de a pela direita e´ L se pudermos tornar f(x) ta˜o pro´ximo de L
quando se queira, tornando-se x suficientemente pro´ximo de a, com x > a.
Notac¸a˜o: lim
x→a+
f(x) = L.
(ii) Seja f uma func¸a˜o definida no intervalo aberto (d,a). O limite de f(x) quando
x se aproxima de a pela esquerda e´ L se pudermos tornar f(x) ta˜o pro´ximo de
L quando se queira, tornando-se x suficientemente pro´ximo de a, com x < a.
Notac¸a˜o: lim
x→a−
f(x) = L.
Teorema 7.2.3 : limx→a f(x) existe e e´ igual a L ⇔ limx→a+ f(x) e limx→a− f(x)
(limites laterais) existem e sa˜o iguais a L.
Exec´ıcio(s) 7.2.1 : Seja f(x) =

4− x2 ; x < 1
2 ; x = 1
2 + x ; x > 1.
104 Ca´lculo Ba´sico
(a) lim
x→1−
4− x2 =
(b) lim
x→1+
2 + x =
(c) lim
x→1
f(x) =
Exec´ıcio(s) 7.2.2 : Calcule:
(a) lim
x→−1
(x3 − 2x2 + 3x− 4);
(b) lim
x→1/2
3x+ 1
5x− 2;
(c) lim
x→−3
9− x2
3 + x
.
Limites Fundamentais:
• lim
x→0
sen x
x
= 1 • lim
x→0
(1 + x)1/x = e • lim
x→0
ax − 1
x
= ln a, a > 0, a 6= 1.
Exemplo(s) 7.2.2 :
1. lim
x→0
tg x
x
= lim
x→0
[
sen x
x
· 1
cosx
]
= lim
x→0
sen x
x
· lim
x→0
1
cosx
= 1 · 1 = 1;
2. lim
x→0
1− cos x
x
= lim
x→0
[
(1− cosx)
x
· (1 + cosx)
(1 + cosx)
]
= lim
x→0
1− cos2 x
x(1 + cosx)
=
= lim
x→0
sen2 x
x(1 + cosx)
= lim
x→0
[
sen x
x
· sen x · 1
1 + cosx
]
=
= lim
x→0
sen x
x
· lim
x→0
sen x · lim
x→0
1
1 + cosx
= 1 · 0 · 1
2
= 0
Exec´ıcio(s) 7.2.3 :
1. Calcule:
Simone D. Ramos 105
1) lim
x→3
3x+ 1
2x− 5 9) limx→0
x3 + 2x2 + 3x
x
2) lim
x→2
(5x− 4)3 10) lim
x→−1
x4 − 1
x2 − 1
3) lim
x→1
x2 + 8
x+ 3
11) lim
x→1
x2 − 4x+ 3
x2 − 3x+ 2
4) lim
x→−1
3
√
8 12) lim
x→1
x3 − 1
x− 1
5) lim
t→1/2
t2 + 1
1 +
√
2t+ 8
13) lim
x→2
x2 − 9x+ 14
x2 − 6x+ 8
6) lim
x→7
x2 − 49
x− 7 14) limx→1 f(x), sendo f(x) =
 x+12 se x > 1x2, se x < 1
7) lim
x→8/3
9x2 − 64
3x− 8 15) limt→2+
t2 − 4
t+ 2
8) lim
h→0
(3 + h)2 − 9
h
16) lim
x→2pi
sen x
x
2. Seja f(x) = 3 + |2x− 4|. Calcule:
(a) lim
x→2+
f(x); (b) lim
x→2−
f(x); (c) lim
x→2
f(x).
3. Calcule:
a) lim
y→−3
y2 − 9
2y2 + 7y + 3
e) lim
x→1
1√
x
− 1
1− x
b) lim
x→0
√
x+ 2−√2
x
f) lim
x→5
√
3x+ 1− 4
2−√x− 1
c) lim
t→0
2−√4− t
t
g) lim
x→0
22x − 4 · 2x + 3
2x − 1
d) lim
h→0
(4 + h)2 − 16
h
4. Calcule:
106 Ca´lculo Ba´sico
a) lim
x→0
sen x
7x
e) lim
x→0
1− cosx
x2
b) lim
x→0
sen 2x
x
f) lim
x→0
(x · cossec x)
c) lim
x→0
2x
sen x
g) lim
x→0
23x − 1
x
d) lim
x→0
sen 2x
sen 3x
h) lim
x→0
ln(1 + x)
x
Respostas:
1.2.1 : a) 3; b) 3; c) 3.
1.2.2 : a) − 10; b) 5; c) 6.
1.2.3:
(1) 1) 10 2) 216 3) 9/4 4) 2 5) 5/16 6) 14 7) 16 8) 6
9) 3 10) 2 11) 2 12) 3 13) 5/2 14) 1 15) 0 16) 0.
(2).
(a) 3 (b) 3 (c) 3
(3).
(a) 6/5 (b)
√
2/4 (c) 1/4 (d) 8 (e) 1/2 (f) − 3/2 (g) − 2
(4).
(a) 1 (b) − 1/9 (c) 1/7 (d) 2 (e) 1/2 (f) 1 (g) 3 ln 2 (h) 1.
Simone D. Ramos 107
7.3 Limites Infinitos
Seja f a func¸a˜o real dada por:
f(x) =
3
(x− 2)2 ; x 6= 2.
Questa˜o: O que acontece com os valores de f para x pro´ximo de 2 (pela direita e
pela esquerda)?
(i) x → 2, x > 2 ⇒ (x − 2)2 → 0 ⇒ 3(x−2)2