Unidade IV - Seções Cônicas

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UNIDADE IV 
Seções Cônicas 
Roney Rachide Nunes 
DISCIPLINAS A DISTÂNCIA DA GRADUAÇÃO 
Geometria Analítica 
 
 
 
Sumário 
 
 
Seções Cônicas ..................................................................................... 3 
 
1. Elipse ............................................................................................... 4 
1.1 Elementos da Elipse ............................................................................................. 4 
1.2 Equações Reduzidas da Elipse ........................................................................... 7 
 
 
2. Hipérbole ......................................................................................... 12 
2.1 Elementos da Hipérbole ........................................................................................ 12 
2.2 Equações Reduzidas da Hipérbole ....................................................................... 14 
 
 
3. Parábola ........................................................................................... 20 
3.1 Elementos da Parábola ........................................................................................ 20 
3.2 Equações Reduzidas da parábola ........................................................................ 22 
 
 
4. Cônicas Degeneradas ....................................................................... 25 
5. Translação de Eixos ......................................................................... 27 
6. Exercícios Sugeridos ....................................................................... 27 
 
 
 
 
 
 
 
SEÇÕES CÔNICAS 
 
Chama-se seção cônica ao conjunto de pontos que formam a interseção de um plano secante com 
um cone circular de duas folhas. 
 
 
 
Estudaremos nesta unidade as seguintes cônicas: elipse, hipérbole e parábola. Ao final, 
identificaremos as cônicas degeneradas e como identificá-las como interseção entre plano e cone. 
 
 
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1. Elipse 
 
Sejam 𝐹1 e 𝐹2 dois pontos distintos em um plano 𝜋, 𝑑(𝐹1, 𝐹2) = 2𝑐 . O lugar geométrico dos 
pontos 𝑃 de 𝜋 tais que 𝑑(𝑃, 𝐹1) + 𝑑(𝑃, 𝐹2) = 2𝑎, com 2𝑎 > 2𝑐, é denominado elipse. 
 
 
 
 
1.1 Elementos da elipse 
 
Os elementos da elipse são: 
 Focos: são os pontos 𝐹1 e 𝐹2. 
 Distância focal: É a distância 2c entre os focos. 
 Centro: é o ponto médio do segmento de reta que liga os pontos 𝐹1 e 𝐹2. 
 Eixo maior: é o segmento que liga os pontos 𝐴1 e 𝐴2 na figura acima, e tem medida 2𝑎. 
 Eixo menor: é o segmento que liga os pontos 𝐵1 e 𝐵2 na figura acima, e tem medida 
2𝑏. 
 Excentricidade: é o número real 𝑒 dado por 𝑒 =
𝑐
𝑎
 
 
 
 
 
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Note que 
1. Geralmente, referimo-nos ao eixo maior como 2𝑎, isto é, utilizamos o termo eixo maior 
tanto para denotar o segmento de reta quanto sua medida. O mesmo é válido para o 
eixo menor. 
2. Os focos da elipse estão sobre seu eixo maior. 
3. A partir da figura acima, podemos concluir que 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2. 
4. A excentricidade caracteriza a forma da elipse. Elipses com excentricidades próximas 
de 0 se aproximam de círculos, enquanto à medida que a excentricidade se aproxima 
de 1 a elipse se torna mais achatada. Fixada a excentricidade, todas as elipses tem o 
mesmo formato, variando apenas em tamanho. 
5. A excentricidade de uma elipse é sempre menor que 1, uma vez que 𝑐 𝑐 > 0, temos 
1 =
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑎2 − 𝑐2
 
 
Vimos anteriormente que 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 . Assim, 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 , e a equação acima pode ser 
reescrita na forma 
 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
 
Em particular, quando 𝑎 = 𝑏 temos uma circunferência de centro na origem e raio 𝑎. 
 
De modo análogo, podemos mostrar que a elipse de centro na origem, eixo maior 2𝑎 e focos 
𝐹1 = (0, −𝑐) e 𝐹2 = (0, 𝑐) tem equação 
 
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1 
 
Equação reduzida da elipse de centro (0,0) 
Eixo maior horizontal 
 
 
 
Focos 𝐹1 = (−𝑐, 0) e 𝐹2 = (𝑐, 0) 
 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
Eixo maior vertical 
 
Focos 𝐹1 = (0, −𝑐) e 𝐹2 = (0, 𝑐) 
 
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1 
 
 
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Exemplo 2 : Considere a elipse de equação 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒚𝟐 = 𝟏𝟎𝟎. 
A forma reduzida da equação acima é 
𝑥2
25
+
𝑦2
4
= 1 
A partir da equação, podemos concluir que 
1. 𝑎2 = 25 e 𝑏2 = 4. Consequentemente, 𝑎 = 5 e 𝑏 = 2. 
2. O eixo maior da elipse tem medida 10, enquanto o eixo menor tem medida 4. 
3. O eixo maior está sobre o eixo 𝑥, enquanto o eixo menor está sobre o eixo 𝑦. 
4. Os focos da elipse estão sobre o eixo 𝑥 
5. Como 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2, temos 𝑐 = √21 . Assim, os focos da elipse são os pontos 𝐹1 =
(−√21, 0) e 𝐹2 = (√21, 0). 
6. O esboço da elipse acima é 
 
 
 
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Exemplo 3 : Determine a equação da elipse que tem centro na origem, focos sobre o eixo 𝒚, 
excentricidade 
𝟏
𝟓
 e eixo menor medindo 6. 
Solução: 
A excentricidade da elipse é dada por 
𝑒 =
𝑐
𝑎
 
Assim, 
𝑐
𝑎
=
1
5
 
𝑎 = 5𝑐 
 
Como o eixo menor da elipse mede 6, segue que 𝑏 = 3. 
 
Sabemos que 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2. Daí, 
 
(5𝑐)2 = 32 + 𝑐2 
24𝑐2 = 9 
𝑐 =
√6
4
 
𝑎 =
5√6
4
 
 
Como os focos estão sobre o eixo 𝑦, a elipse tem equação 
 
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1 
Portanto, a equação reduzida da elipse que atende às condições dadas é 
𝑥2
9
+
𝑦2
75
8
= 1 
 
 
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Exemplo 4 : Determine a equação da elipse que tem centro na origem e dois de seus vértices 
estão na interseção entre a reta 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔 com os eixos coordenados. 
Solução: 
 
A reta 2𝑥 + 3𝑦 = 6 intercepta o eixo 𝑥 no ponto (0,3) e o eixo 𝑦 no ponto (2,0). Identificamos, 
assim, que o eixo maior da elipse está sobre o eixo 𝑥, e tem medida 6, enquanto o eixo menor 
da elipse está sobre o eixo 𝑦, e tem medida 4. 
 
A equação da elipse neste caso é 
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1. Como 𝑎 = 3 e 𝑏 = 2, segue que a equação ad 
elipse é 
𝑥2
9
+
𝑦2
4
= 1 
 
 
 
 
 
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2. Hipérbole 
 
Sejam 𝐹1 e 𝐹2 dois pontos distintos em um plano 𝜋 , 𝑑(𝐹1, 𝐹2) = 2𝑐. O lugar geométrico dos 
pontos 𝑃 de 𝜋 cujo módulo da diferença das distâncias aos pontos 𝐹1 e 𝐹2 é constante, igual a 
2𝑎, com 2𝑎 𝑎. 
 
Exemplo 5 : Determine a equação da hipérbole de focos 𝑭𝟏 = (𝟑, 𝟎), 𝑭𝟐 = (𝟎, 𝟑) e eixo real 
medindo 4. 
Solução: 
Seja 𝑃 = (𝑥, 𝑦) um ponto na elipse. Temos 
|𝑑(𝑃, 𝐹1) − 𝑑(𝑃, 𝐹2)| = 4 
Como 
𝑑(𝑃, 𝐹1) = √(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 
𝑑(𝑃, 𝐹2) = √𝑥2 + (𝑦 − 3)2 
Segue que 
 
|√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 − √𝑥2 + (𝑦 − 3)2 | = 4 
√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 − √𝑥2 + (𝑦 − 3)2 = ±4 
√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 = ±4 + √𝑥2 + (𝑦 − 3)2 
[√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 ]
2
= [±4 + √𝑥2 + (𝑦 − 3)2 ]
2
 
𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦2 = 16 ± 8√𝑥2 + (𝑦 − 3)2 + 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑦 + 9 
−6𝑥 + 6𝑦 − 16 = ±8√𝑥2 + (𝑦 − 3)2 
−3𝑥 + 3𝑦 − 8 = ±4√𝑥2 + (𝑦 − 3)2 
[−3𝑥 + 3𝑦 − 8]2 = [±4√𝑥2 + (𝑦 − 3)2 ]
2
 
 
 
 
 
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64 + 48𝑥 + 9𝑥2 − 48𝑦 − 18𝑥𝑦 + 9 𝑦2 = 16(𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑦 + 9) 
7𝑥2 + 18𝑥𝑦 − 48𝑥 + 7𝑦2 − 48 𝑦 = 80 
 
A equação da hipérbole que atende às condições dadas é 
7𝑥2 + 18𝑥𝑦 − 48𝑥 + 7𝑦2 − 48 𝑦 = 80 
e seu esboço é 
 
 
 
 
 
 
2.2 Equações Reduzidas da Hipérbole 
Considere a hipérbole que tem centro 𝐶 = (0,0), eixo real 2𝑎 e focos no eixo 𝑥. Neste caso, 
temos 
𝐹1 = (−𝑐, 0) e 𝐹2 = (𝑐, 0). 
Seja 𝑃 = (𝑥, 𝑦) um ponto na hipérbole. Temos 
|𝑑(𝑃, 𝐹1) − 𝑑(𝑃, 𝐹2)| = 2𝑎 
 
 
 
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Como 
𝑑(𝑃, 𝐹1) = √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 
𝑑(𝑃, 𝐹2) = √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 
Segue que 
 
|√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 − √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 | = 2𝑎 
A partir da igualdade acima, temos 
√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 − √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = ±2𝑎 
√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = ±2𝑎 + √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 
[√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 ]
2
= [±2𝑎 + √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 ]
2
 
(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 4𝑎2 ± 4𝑎 √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 + (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 
𝑥2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 = 4𝑎2 ± 4𝑎 √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 + 𝑥2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 
4𝑐𝑥 − 4𝑎2 = ±4𝑎 √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 
𝑐𝑥 − 𝑎2 = ±𝑎 √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 
[𝑐𝑥 − 𝑎2]2 = [±𝑎 √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 ]
2
 
𝑐2𝑥2 − 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑎4 = 𝑎2(𝑥2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2) 
𝑐2𝑥2 − 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑎4 = 𝑎2𝑥2 − 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑎2𝑐2 + 𝑎2𝑦2 
𝑎2(𝑎2 − 𝑐2) = (𝑎2 − 𝑐2)𝑥2 + 𝑎2𝑦2 
 
Como 𝑎 > 𝑐 > 0, temos 
1 =
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑎2 − 𝑐2
 
 
Vimos anteriormente que 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 . Assim, 𝑎2 − 𝑐2 = 𝑏2 , e a equação acima pode ser 
reescrita na forma 
 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 
 
 
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De modo análogo, podemos mostrar que a elipse de centro na origem, eixo real 2𝑎 e focos 
𝐹1 = (0, −𝑐) e 𝐹2 = (0, 𝑐) tem equação 
 
−
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1 
 
Equação reduzida da hipérbole de centro (0,0) 
Eixo real horizontal 
 
 
Focos 𝐹1 = (−𝑐, 0) e 𝐹2 = (𝑐, 0) 
 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 
 
Assíntotas: 𝑦 = ±
𝑏
𝑎
𝑥 
Eixo real vertical 
 
 
 
Focos 𝐹1 = (0, −𝑐) e 𝐹2 = (0, 𝑐) 
 
−
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1 
 
Assíntotas: 𝑦 = ±
𝑎
𝑏
𝑥 
 
No livro texto, você encontrará a dedução para a fórmula das assíntotas de uma hipérbole nos 
dois casos acima. 
 
 
PUC Minas Virtual • 17 
Exemplo 6 : Considere a hipérbole de equação −𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒚𝟐 = 𝟏𝟎𝟎. 
A forma reduzida da equação acima é 
−
𝑥2
25
+
𝑦2
4
= 1 
A partir da equação, podemos concluir que 
1. o eixo real da hipérbole está sobre o eixo 𝑦. 
2. 𝑎2 = 4 e 𝑏2 = 25. Consequentemente, 𝑎 = 2 e 𝑏 = 5. 
3. o eixo real da hipérbole tem medida 4, enquanto o eixo imaginário tem medida 10. 
4. os focos da hipérbole estão sobre o eixo y. 
5. como 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2, temos 𝑐 = √29. Assim, os focos da hipérbole são os pontos 
𝐹1 = (0, −√29) e 𝐹2 = (0, √29). 
6. as assíntotas da hipérbole são as retas 𝑦 =
2
5
𝑥 e 𝑦 = −
2
5
𝑥. 
7. o esboço da hipérbole acima, juntamente com suas assíntotas, é 
 
 
 
 
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Exemplo 7 : Determine a equação da hipérbole que tem centro na origem, eixo real medindo 𝟒 
e um dos focos no ponto 𝑭 = (𝟒, 𝟎). 
Solução: 
Como o eixo real mede 4, segue que 𝑎 = 2. 
Como o foco é o ponto (4,0), segue que 𝑐 = 4. 
Como 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2, segue que 𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2 = 14 − 4 = 12. Logo, 𝑏 = 2 √3. 
Como o foco está sobre o eixo 𝑥, segue que a equação da hipérbole é 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 
Portanto, a equação da hipérbole é 
𝑥2
4
−
𝑦2
12
= 1 
 
 
 
 
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Exemplo 8 : Determine a equação da hipérbole que tem centro na origem, assíntotas 𝒚 = 𝟐𝒙 e 
𝒚 = −𝟐𝒙, foco sobre o eixo y e eixo real medindo 20 unidades. 
Solução: 
Como o foco da hipérbole está sobre o eixo 𝑦, sua equação é 
𝑦2
𝑏2
−
𝑥2
𝑎2
= 1 
E suas assíntotas são 
𝑦 = ±
𝑎
𝑏
𝑥 
 
 
temos que 
𝑎
𝑏
= 2, ou seja, 𝑎 = 2𝑏 
 
Como o eixo real mede 20 unidades, 𝑎 = 10 e 𝑏 = 5. 
Logo, a equação da hipérbole é 
 
𝑦2
100
−
𝑥2
25
= 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Parábola 
 
Sejam 𝑑 uma reta e 𝐹 um ponto, ambos em plano 𝜋, 𝐹 ∉ 𝑟. O lugar geométrico dos pontos 𝑃 de 
𝜋 cuja distância à reta 𝑟 é igual à distância ao ponto 𝐹 recebe o nome de parábola. 
 
 
 
 
 
1.3 Elementos da parábola 
 
Os elementos da parábola são: 
 Focos: é o ponto 𝐹. 
 Diretriz: é a reta 𝑑. Na figura acima, a diretriz é a reta vertica. 
 Eixo: é a reta 𝑟 que passa por 𝐹 e é perpendicular à 𝑑, Na figura acima, o eixo é a reta 
horizonta. 
 Vértice: é a interseção entre o eixo e a parábola. 
 
 
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Exemplo 9 : Determine a equação da parábola que tem foco no ponto 𝑭 = (𝟐, 𝟏) e diretriz 
𝒅: 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟒 = 𝟎. 
Solução: 
Seja 𝑃 = (𝑥, 𝑦) um ponto na parábola. Temos 
𝑑(𝑃, 𝐹) = 𝑑(𝑃, 𝑑) 
Como 
𝑑(𝑃, 𝐹) = √(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 
𝑑(𝑃, 𝑑) =
|2𝑥 + 𝑦 − 4|
√5
 
segue que 
√(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 
|2𝑥 + 𝑦 − 4|
√5
 
(√(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2)
2
= (
|2𝑥 + 𝑦 − 4|
√5
)
2
 
𝑥2 − 4 𝑥 + 𝑦2 − 2 𝑦 + 5 =
4𝑥2 + 4𝑥𝑦 − 16𝑥 + 𝑦2 − 8𝑦 + 16
5
 
𝑥2 − 4𝑥𝑦 − 4𝑥 + 4𝑦2 − 2𝑦 = −9 
 
Abaixo temos representado graficamente a parábola e sua diretriz. 
 
 
 
 
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1.4 Equações Reduzidas da parábola 
Considere a parábola que tem vértice o ponto V= (0,0), foco 𝐹 = (0, 𝑝) e diretriz 𝑑: 𝑦 = −𝑝. 
Seja 𝑃 = (𝑥, 𝑦) um ponto na parábo.a. Temos 
𝑑(𝑃, 𝐹) = 𝑑(𝑃, 𝑑) 
Como 
𝑑(𝑃, 𝐹) = √𝑥2 + (𝑦 − 𝑝)2 
𝑑(𝑃, 𝑑) = |𝑦 + 𝑝| 
Segue que 
 
√𝑥2 + (𝑦 − 𝑝)2 = |𝑦 + 𝑝| 
(√𝑥2 + (𝑦 − 𝑝)2)
2
= |𝑦 + 𝑝|2 
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑝𝑦 + 𝑝2 = 𝑦2 + 2𝑝𝑦 + 𝑝2 
𝑥2 = 4𝑝𝑦 
Assim, a equação da parábola que atende as condições dadas é 
𝑥2 = 4𝑝𝑦 
 
De modo análogo, podemos mostrar que a parábola de vértice no ponto 𝑉 = (0,0), foco 𝐹 =
(𝑝, 0) e diretriz 𝑑: 𝑥 = −𝑝 é 
 
𝑦2 = 4𝑝𝑥 
 
 
 
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Equação reduzida da parábolade vértice (0,0) 
 Eixo horizontal 
Foco: 𝐹 = (0, 𝑝) 
Diretriz: 𝑑: 𝑦 = −𝑝 
𝑥2 = 4𝑝𝑦 
 
Eixo vertical 
Foco: 𝐹 = (𝑝, 0) 
Diretriz: : 𝑑: 𝑥 = −𝑝 
𝑦2 = 4𝑝𝑥 
 
p 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 10 : Determine a diretriz e o foco da parábola 𝒚 = 𝟒𝒙𝟐. 
Solução: 
A equação acima pode ser reescrita na forma 
𝑥2 =
1
4
𝑦 
Fazendo a correspondência com a forma 
𝑥2 = 4𝑝𝑦 
segue que 4𝑝 =
1
4
 e 𝑝 =
1
16
. 
 
Assim, o foco da parábola é o ponto 𝐹 = (0,
1
16
) e a diretriz é a reta 𝑑: 𝑥 = −
1
16
. 
 
Na figura abaixo estão representados o gráfico da parábola e sua diretriz.
 
 
Exemplo 11 : Determine a equação da parábola com vértice na origem, foco sobre o eixo 𝒙 e 
passa pelo ponto 𝑷 = (𝟒, 𝟒). 
Solução: 
Como o vértice da parábola está na origem e seu foco está sobre o eixo 𝑥, a equação da 
parábola é da forma 
y2 = 4px 
Como o ponto P pertence à parábola, temos 
16 = 16p 
p = 1 
Assim, a equação da parábola é y2 = 4x. 
 
 
 
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4. Cônicas degeneradas 
 
Dada uma elipse, hipérbole ou parábola em 𝑅2, sua equação pode ser escrita na forma 
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥𝑦 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 = 𝐹 
com A, B e C não simultaneamente nulos. 
Contudo, a equação acima nem sempre representa uma elipse, hipérbole ou parábola. O 
conjunto solução da equação pode representar, ainda, um único ponto, duas retas 
concorrentes, duas retas paralelas ou uma única reta. Estas são as chamadas cônicas 
degeneradas. 
Nos exemplos 13, 15, 16, 17 e 18 são apresentadas equações da forma acima, cada um deles 
resultando em uma cônica degenerada distinta. 
 
Exemplo 12 : Determine o conjunto solução da equação 
𝑥2 + 4𝑥 + 𝑦2 + 6𝑦 + 13 = 0 
Solução: 
Completando quadrados na equação acima, temos 
(𝑥 + 2)2 − 4 + (𝑦 + 3)2 − 9 + 13 = 0 
(𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 3)2 = 0 
Portanto, a única solução da equação é o ponto 𝑃 = (−2, −3) 
 
Exemplo 13 Determine o conjunto solução da equação 
𝑥2 + 4𝑥 + 𝑦2 + 6𝑦 − 13 = 0 
Solução: 
Completando quadrados na equação acima, temos 
(𝑥 + 2)2 − 4 + (𝑦 + 3)2 − 9 − 13 = 0 
(𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 3)2 = 26 
 
Portanto, a única solução da equação é uma circunferência de raio √26 centrada no ponto 
𝐶 = (−2, −3). 
 
 
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Exemplo 14 : Determine o conjunto solução da equação 
𝑥2 + 4𝑥 + 𝑦2 + 6𝑦 + 26 = 0 
Solução: 
Completando quadrados na equação acima, temos 
(𝑥 + 2)2 − 4 + (𝑦 + 3)2 − 9 + 26 = 0 
(𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 3)2 = −13 
Portanto, a equação não possui solução 
 
Exemplo 15 : Determine o conjunto solução da equação 
𝑥2 + 4𝑥 − 𝑦2 + 6𝑦 − 5 = 0 
Solução: 
Completando quadrados na equação acima, temos 
(𝑥 + 2)2 − 4 − (𝑦 − 3)2 + 9 − 5 = 0 
(𝑥 + 2)2 − (𝑦 − 3)2 = 0 
(𝑥 + 2)2 = (𝑦 − 3)2 
|𝑥 + 2| = |𝑦 − 3| 
𝑥 + 2 = 𝑦 − 3 𝑜𝑢 𝑥 + 2 = −𝑦 + 3 
𝑥 = 𝑦 − 5 𝑜𝑢 𝑥 = −𝑦 + 1 
Portanto, o conjunto solução é formado por duas retas concorrentes 
 
Exemplo 16 : Determine em 𝑹𝟐 o conjunto solução da equação 
𝑥2 + 4𝑥 = 0 
Solução: 
Resolvendo a equação acima, temos 𝑥 = 0 ou 𝑥 = −4. 
Portanto, o conjunto solução é formado por duas retas paralelas. 
 
 
Exemplo 17 : Determine em 𝑹𝟐 o conjunto solução da equação 
𝑥2 = 0 
Solução: 
Resolvendo a equação acima, temos 𝑥 = 0. 
Portanto, o conjunto solução é formado uma única reta. 
 
 
 
 
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5. Translação de eixos 
 
Nas notas de aulas, trabalhamos com elipses, hipérboles centradas na origem, e 
parábolas com vértices na origem. Podemos, porém, estender o que foi feito para 
 elipses em que o eixo maior e eixo maior são paralelos aos eixos x e y 
(independente da ordem), e, consequentemente, o centro é um ponto qualquer 
do plano. 
 hipérboles em que o eixo real é paralelo ao eixo x ou y, e, consequentemente, 
o centro é um ponto qualquer do plano. 
 parábolas em que a diretriz é paralela ao eixo x ou y, mas o vértice não é 
necessariamente a origem. 
 
Estas três situações podem ser obtidas das estudadas anteriormente por meio de 
translações. 
Leia as seções 5.1, 5.2, 5.2 e 5.4 do livro texto, para identificar como são feitas as 
translações dos eixos, e, consequentemente, o esboço de cônicas transladadas. 
 
 
 
6. Exercícios sugeridos 
 
Para fixar o conteúdo estudado na Unidade IV, refaça os exemplos capítulos 4 e 5 
(exceto seção 5.5), e resolva as questões propostas nas seções 4.8 e 5.6 do livro texto 
(SANTOS, Fabiano José dos; FERREIRA, Silvimar Fábio. Geometria analítica. Porto 
Alegre: Bookman, 2009. Xvii 216p. ISBN 9788577804825) 
 
As dúvidas devem ser postadas no Fórum de Discussões da Unidade IV.