Ângulos e Distâncias

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Ângulos e Distâncias 
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Ângulos e Distâncias 
 Ângulo entre retas 
 Ângulo entre planos 
Ângulo entre reta e plano 
 Distância de um ponto a um plano 
Distância de reta a plano 
 Distância de um ponto a uma reta 
 Distância entre dois planos 
 Distância entre duas retas 
Retas e Planos 
Ângulo entre retas 
 As retas se encontram em um 
ponto, ou seja, são concorrentes: 
 
_____________________________________________________________ 
Ângulo entre retas 
 As retas são paralelas: 
_____________________________________________________________ 
Ângulo entre retas 
 As retas são reversas, isto é, não 
são paralelas mas também não se 
interceptam. 
_____________________________________________________________ 
Ângulo entre retas 
_____________________________________________________________ 
Ângulo entre Planos 
_________________________________________________________ 
 
Ângulo entre Planos 
Ângulo entre Planos 
Ângulo entre Reta e Plano 
Sendo u = (a, b, c) o vetor normal ao plano: ax + by + cz + 
d =0 e v = (A, B, C) o vetor diretor da reta r : x = x0 + A, y 
= y0 + B, z = z0 + C, o ângulo formado por u e v é o 
complemento de . 
Tem-se então: sen() = cos (90º - ) = |u.v|/|u|.|v| 
Convém notar que o ângulo  entre uma reta e um plano é 
tal que 0 <  < 90º. 
Distância de um Ponto a um Plano 
 
 
 Sejam P0 =(x0,y0,z0) um ponto qualquer, P1 
um ponto do plano, cuja equação é: 
ax+by+cz+d=0. 
 A distância de P0 ao plano é dada por: 
Distância de um Ponto a um Plano 
 
Distância de um Ponto a um Plano 
Exemplo : 
Distância entre Reta e Plano 
 Uma reta, em relação a um plano, pode: 
(1) ser paralela ao plano, (r) 
(2) ser perpendicular ao plano, (s) 
(3) oblíqua em relação ao plano, e (t) 
(4) estar contida no plano. (v) 
 
Distância entre Reta e Plano 
 Nos casos (2), (3) e (4), segue que 
d(r, ) = 0. 
 No caso (1),segue que d(r, ) = 
d(Po, ), onde Po  r. 
Distância entre dois Planos 
Sejam dois planos β1 e β2 quaisquer. A distância entre β1 
e β2 é definida como a menor distância 
entre dois pontos, um de β1 e outro de β2. 
 
Plano Paralelo Plano Concorrente 
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Danilo Zani de Faveri RA: 042868 
Planos Concorrentes 
_________________________________________________________ 
Se os seus vetores normais 
não são paralelos, então os 
planos são concorrentes e 
neste caso a distância entre 
eles e igual a zero. 
Planos Paralelos 
Se os seus vetores normais 
são paralelos, então os 
planos são paralelos (ou 
coincidentes) e a distância 
entre β 1 e β 2 é igual à 
distância entre um ponto de 
um deles, por exemplo P2 de 
β2, e o ponto de β 1, mais 
próximo de P2. Mas, esta 
distância é igual à distância 
de P2 a β1. 
 
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Distância entre duas retas 
• Sejam r1 e r2 duas retas quaisquer. A 
distância entre r1 e r2 é definida como a 
menor distância entre dois pontos, um de 
r1 e outro de r2. 
Cálculo da distância (retas paralelas) 
 Existem dois casos para calcularmos a distância entre 
duas retas: um deles é quando os vetores diretores são 
paralelos, e outro quando eles não são paralelos. 
No caso dos vetores serem paralelos, as retas r1 e r2 serão 
paralelas ou coincidentes. Assim, a distância entre as retas é 
igual à distância entre um ponto de r2 e a reta r1, ou vive-
versa. 
A fórmula para o cálculo da distância é: 
 
_____________________________________________________________ 
Cálculo da distância (retas reversas) 
No caso dos vetores serem não paralelos, as retas serão reversas ou 
concorrentes. Os dois casos podem ser resolvidos da mesma forma. 
Estas retas definem dois planos paralelos (que podem ser coincidentes, 
no caso em que elas são concorrentes). Um é o plano que contém r1 e é 
paralelo a r2, vamos chamá-lo de β1. O outro, contém r2 e é paralelo a 
r1, β2. O vetor N = V1 x V2, é normal (ou perpendicular) a ambos os 
planos, em que V1 e V2 são os vetores diretores de r1 e r2 
respectivamente. Assim, a distância entre as retas é igual à distância 
entre estes dois planos 
Cálculo da distância (retas reversas) 
Cálculo da distância (retas reversas) 
Exemplo: 
Calcular a distância entre as retas abaixo: 
Exemplo 
Pertence à reta r1. 
As retas são paralelas, pois seus vetores diretores são paralelos: 
Assim: