ALA - Aula 8 - Produto Misto

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Milene Pimenta 
 Sejam u, v e w vetores quaisquer. O produto 
misto dos vetores u, v e w, indicado por [u, v, 
w] , é o número real 
 [u, v, w]= (u x v) . w 
 Dados os vetores u = (1,0,2), v = (-1,1,3) e w 
= (0,3,-2) , temos: 
 [u, v, w] = ? 
 
 [v, u, w] =? 
 
 Dados os vetores u = (1,0,2), v = (-1,1,3) e w 
= (0,3,-2), temos: 
 [u, v, w] = [(1,0,2) x (-1,1,3)] . (0,3,-2) = (-
2,-5,1) . (0,3,-2) = -17 
 [v, u, w] = [(-1,1,3) x (1,0,2)] . (0,3,-2) = 
(2,5,-1) . (0,3,-2) =17 
 
 Seja o paralelepípedo de arestas AB, AD e AE. 
Sabemos que o volume V desse 
paralelepípedo é: 
V = A.h, onde 
A = área da base 
h = altura 
 
 
 Considerando a altura h desse 
paralelepípedo, em relação à base ABCD e 
aplicando cálculo vetorial obtem-se 
 V =| AB x AD | h 
 
 A altura pode ser calculada como o módulo 
da projeção do vetor AE na direção de AB x 
AD, pois AB x AD é ortogonal ao plano ABC 
 
 h = | proj (AB x AD) AE| = | (AE.(ABxAD)º) (AB x 
AD)º| = | (AE.(AB x AD)º)| = | AE | | cosθ| 
 
 onde θ é o ângulo entre os vetores AE e 
ABxAD 
 
 Logo, V = | AB x AD| | AE | | cos θ | = 
|(AB x AD ).AE |= | [AB,AD,AE] | 
 
 Ou seja, V = | [AB,AD,AE] | 
 
 
 Considere agora o tetraedro de arestas AB, 
AD e AE. Seja VT o volume desse tetraedro 
 Logo 
 VT = (1/3)A.h, onde: 
A = área da base 
 e h = altura 
 
 Considerando a base ABD desse tetraedro, 
nota-se que a altura relativa a essa base 
coincide 
 com a altura do pa- 
 ralelepípedo anterior 
 
 Logo, VT = (1/3) (1/2)( | AB x AD|) |AE ||cosθ| 
 
 =(1/6 )|(AB x AD ).AE | 
 
 =( 1/6)| [AB,AD,AE] | 
 
 Considere o paralelepípedo de arestas OA, OB 
e OC, onde OA = (1,0,2), OB = (1,1,3) e OC = 
(2,1,0). Calcule o volume V deste 
paralelepípedo 
 Considere o paralelepípedo de arestas OA, OB 
e OC, onde OA = (1,0,2), OB = (1,1,3) e OC = 
(2,1,0). Calcule o volume V deste 
paralelepípedo 
 V =| [OA,OB,OC] | = | (OA x OB) . OC| 
 =| (-2,-1,1) . (2,1,0) | = 5 u.v. 
 Calcule a altura deste paralelepípedo 
 Calcule a altura deste paralelepípedo 
 
 
..
6
65
|)
6
6
,
6
6
,
3
6
()0,1,2(| cu
 [u, v, w] = 0  u, v e w são coplanares 
 
 Se [u, v, w] = 0, então o volume do 
paralelepípedo cujas arestas são 
representantes de u, v e w é zero 
 Assim, esse paralelepípedo é degenerado, e 
portanto, u, v e w são coplanares 
 [u, v, w]= [v, w, u]= [w, u, v] 
 Temos que | [u, v, w] | = | [v, w, u] | = 
| [w, u, v, ] |, como volume de um mesmo 
paralelepípedo. 
 [u, v, w]=- [v, u, w] 
 
 [u, v, w] = (u x v) . w= -(v x u) . w= 
 -[(v x u). w] = - [v, u, w] 
 (u x v). w= u.(v x w) 
 
 (u x v). w= (v x w). u = u.(v x w) 
 [u1 + u2, v,w] = [u1,v,w] + [u2,v,w] 
 Deve-se demonstrar a distributividade do 
produto vetorial em relação à adição de 
vetores 
 u x (v + w) = (u x v) + (u x w) 
 6) t [u, v,w]= [t u, v,w]= [u, t v,w] =[u, v, t w] 
 
 [tu, v,w] = (tu x v). w =(u x tv).w= [u, tv,w] 
 Dada uma base ortornomal positiva {i, j, k} e 
dados os vetores u=(x1, y1, z1), v=(x2 , y2 , z2) 
e w = (x3 , y3, z3 ) 
 [u, v, w] = (u x v) . w = (y1z2- z1y2 , z1x2- x1z2 
, x1y2- y2x1 ) . (x3 , y3 , z3 ) = 
(y1z2-z1y2)x3+(z1x2- x1z2)y3+(x1y2- x2y1)z3 
 Do tetraedro de arestas OA, OB, e OC, 
sabemos que OA = (x,3,4), OB = (0,4,2) e OC 
= (1,3,2) 
 Calcule o valor de x, para que o volume desse 
tetraedro seja igual a 2 u.v. 
 Sabemos que o volume VT do tetraedro é 
dado por: 1/6| [AB,AD,AE] | 
 
 
 
 
 Como VT = 2 u.v., temos:1/6 | 2x - 10 | =2 
 Logo, x = 11 ou x = -1