Lista 5 - P2 - MAT 143

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCE 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
 
Campus Universitário - Viçosa, MG – 36570-000 – Telefone: (31) 3899-2390 – E-mail: dma@ufv.br 
 
 
5ª LISTA DE MAT 143 – 2012/II 
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 
 
1. Prove, usando a definição, que: 
 
a) 
n
8nlim 4
2n 3


 b) 
2
2n
3n 1 3lim
5n 1 5
 

 
 
2. Prove, usando a definição, que: 
 
a) 
2
n
n 1lim
n
  b) 
n
lim n!

 
 
3. Mostre que se nn
lim a a

 , então nnlim a a  . Mostre que a recíproca desse 
resultado é falsa. 
Sugestão: Demonstre e use x y x y   , para quaisquer x,y   . 
 
4. Use o Teorema do Confronto para mostrar que: 
 
a) 2n
n
lim n n 1

  
b) 
2 2 2n
1 1 1lim ... 1
n 1 n 2 n n
           
 
 
5. Sejam  na e  nb sequências de números reais. Suponha que exista 0n  , 
tal que n na b , se 0n n . Prove que: 
 
a) Se nn
lim a

 , então nnlim b  . 
b) Se nn
lim b

 , então nnlim a  . 
 
6. Use o Teorema do Confronto para mostrar que n nn
n
lim a b max{a,b},

  
onde a,b 0 . 
 
7. Prove que se nn
lim a 0

 e  nb é limitada, então n nnlim a .b 0  . Dê um 
exemplo para ilustrar esse resultado. 
 
8. Verifique se a sequência dada é monótona ou não monótona. 
 
a) n
n 1
1.3.5...(2n 1)
2 n! 
       
 b) 
n
n 1
n
n! 
       
 c) 
n 1
n!
1.3.5...(2n 1) 
       
 
 
d) 
n 1
ln(n 2)
n 2 
       
 e)  n 1sen nπ  f) 
3
n 1
n 1
n 
       
 
 
9. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite. 
 
a) 
2 2 2
n 1
1 2 n...
n n n 
         
 b) 
n 1
2 n 1
n 1
1 1 ( 1)1 ...
4 4 4



          
 
c)   2 n 1n 9n 1 3n   d) 
n
n 1
11
n 
              
 
 e) 
3
n
3
n 1
n( 1)
1 2n 
       
 f) 
2
n 1
cos n
n 
       
 
g) 
n 1
2
n 1
( 1) n
n 1


       
 h) 
n 1 n 1
n 3 n 3
n 1
5 ( 3)
5 ( 3)
 
 

         
 
 i) n
n 1
2n n 1
n 1 2 
       
 j) 
n 1
n nπsen
n 1 2 
           
 
k) 
2 2
2
n 1
n n 1 n n 1
n n 1 
              
 l)  2 n 1n 10n 8 (n 3)     
m) 
n 1
πn sen
n 
       
 n) 
n n
n 1 n 1
n 1
3 2
3 2  
       
 
 o) 
2
n
n 1
cos n
e 
       
 p) 1
k n 1
ln n ,k
n 
        
 
 q) 
n
n
n 1
n ( 1)
n ( 1) 
         
 r) 
n
n 1
a
n! 
       
 
 s) 
2
3
n 1
n sen(n!)
n 1

         
 t) 2
n 1
an 1 cos
n 
            
 
 u) 
2n
n
n 1
3n! e
5n! e 
       
 v)  n 22n 3 2n 3    
 w) 
n n
n 1 2
n 1
( 2) ( 1)arcsen
3 1 n 
              
 x) 
 n n
3
n 1
arctg 2 ( 1) n
n 1

          
 
 y) 
n 1
1 3 5 ...(2n 1) 1 n
n 1 2 
           
 z) 
2
3
n 1
2cosn sen n
n 1 
       
 
 
10. Dê um contra-exemplo para justificar que a proposição é falsa: 
 
a) Toda sequência limitada é convergente. 
b) Toda sequência divergente é não limitada. 
c) Toda sequência alternada é divergente. 
d) Se uma sequência  n n 1a  , então  n n 1a  também diverge. 
 
11. Considere a sequência n
n!a
1.3.5.....(2n 1)
  . Essa sequência é monótona? 
Ela é limitada? Você pode concluir que ela é convergente? 
 
12. Dê exemplo de uma sequência que seja limitada e convergente, porém não 
monótona. 
 
13. Considere a sequência: 
 
12, 12 12, 12 12 12 , 12 12 12 12      
 
a) Ache uma fórmula recursiva para n 1a  . 
b) Encontre o limite de na . 
 
14. Use o Teorema da Convergência Monótona para mostrar que a sequência 
n
n 1
n!
n 
       
 é convergente. A partir daí, determine seu limite. 
 
15. Use o Teorema da Convergência Monótona para mostrar que a sequência 
n
n 1
2
n! 
       
 é convergente. 
 
16. Seja a sequência  n n 1a  , dada por 1a 2 e n 1 na 2a , n 1   . 
 
a) Encontre os quatro primeiros termos desta sequência. 
b) Mostre que na 2, para n 1  . 
c) Mostre que  n n 1a  é monótona. 
d) Calcule nn
lim a

. 
 
17. Considere a sequência  n n 1a  definida por 1a 2 e n 1 na 2 a , n 1    . 
 
a) Mostre que na 2, para n 1  . 
b) Mostre que       2 2n 1 n n na a 2 a 1 a , para n 1      . 
c) Ela é monótona? Justifique sua resposta! 
d) Ela é convergente? Justifique! Caso afirmativo, encontre o valor do limite. 
 
18. Seja a sequência  n n 1a  definida por  1 n 1 n
1a 2 e a a 4 , n 1
2
    . 
a) Determine os cinco primeiros termos da sequência e também o 101° termo. 
b) A sequência é monótona? Justifique sua resposta! 
c) Determine se esta sequência é convergente ou não. Justifique! 
 
19. Sendo n
1.3.5.7...(2n 1)a
2.4.6...2n
 . 
 
a) Exprima n 1a  em função de na . 
b) Mostre que  n n 1a  é estritamente decrescente. 
c) Mostre que  n n 1a  é convergente. 
 
20. Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando 
uma demonstração ou um contra-exemplo. 
 
a) ( ) Toda sequência limitada é convergente; 
b) ( ) Toda sequência limitada é monótona; 
c) ( ) Toda sequência monótona é limitada; 
d) ( ) Toda sequência divergente é não monótona; 
e) ( ) Toda seqüência convergente é monótona; 
f) ( ) Toda sequência divergente é não limitada; 
g) ( ) Se  n n 1a  e  n n 1b  são sequências tais que nnlim a 0  , então a 
sequência  n n n 1a b  é convergente. 
h) ( ) A sequência  n n 1a  definida por 1a 1 e nn 1
naa
n 1
  é convergente. 
i) ( ) Se n na b , n,  tal que  n n 1b  é convergente, então  n n 1a  é 
convergente. 
j) ( ) Se a sequência  n n 1a  converge, então  n n 1a  também converge. 
 
 
21. Dada a sequência na forma  1 2 3, na ,a ,a ...,a ,... , encontrar na nos seguintes 
casos: 
 
a) 
1 1 1 1 1 1, , , , , ,...
2 3 6 7 10 11
       
 
 
b) 
3 4 5 62, , , , ,...
2 3 4 5
         
 
 
c)  1, 2, 1, 8, 1, 18, 1, 32, 1,...