Esercizi_An_Mat_2_17-18_5

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Esercizi Analisi Matematica II
Anno accademico 2017-2018
Foglio 5
1. P Calcolare la matrice Jacobiana della funzione composta g ◦ f dove le
funzioni g e f sono date da:
(a) f : R2 → R3 e g : R3 → R2 dove
f(x, y) = (2xy, x2 + y, sin(y)) e g(x, y, z) = (ex+y, z2x)
Suggerimento: considerare
f(x, y) = (u(x, y), v(x, y), w(x, y)) = (2xy, x2 + y, sin(y))
e g data da g(u, v, w) = (eu+v, w2u)
(b) f : R2 → R4 e g : R4 → R3 dove
f(x, y) = (x+ y, x− y, xy, 2) e
g(x1, x2, x3, x4) = (cos(x21x3), x54x2, sin(x2x3))
(c) f : R→ R3 e g : R3 → R dove
f(t) = (t3, t2, t) e g(x, y, z) = x2 + y4 + cos(xyz)
(d) f : R3 → R e g : R→ R3 dove
f(x, y, z) = x2 + y4 + cos(xyz) e g(t) = (t3, t2, t)
2. P Siano f : R→ R3 e g : R3 → R dove
f(t) = (cos(t), sin(t), cos2(t)) e g(x, y, z) = xy + z2.
Calcolare
d
dt
(g ◦ f)(t)
3. P Siano f : R2 → R3 e g : R3 → R4 dove f(x, y) = (x2y, xy, 2y2) e
g(x, y, z) = (g1(x, y, z), g2(x, y, z), g3(x, y, z), g4(x, y, z)) =
(3x2y, z3 + sin(xy), z4, x8 + y9).
Calcolare
∂
∂y
(g2 ◦ f)(x, y)
4. P Siano f : R3 → R3 e g : R3 → R2 dove f(x, y, z) = (x2, z2y, y2x) e
g(x, y, z) = (g1(x, y, z), g2(x, y, z)) = (exzy, y2).
Calcolare
∂
∂z
(g1 ◦ f)(x, y, z)
1
5. P∗ Sia dato un fluido contenuto in una regione Ω, Ω sottoinsieme aperto
di R3. Supponiamo che il vettore velocità v = (v1, v2, v3) con cui si muove
il fluido dipenda dalla temperatura T e dalla densità σ tramite la legge v =
F (T, σ) dove F : (0,+∞)× (0,+∞)→ R3 è una funzione differenziabile.
Supponiamo che la temperatura T e la densità σ varino con la posizione
x ∈ Ω in maniera differenziabile e che in un punto x0 ∈ Ω la temperatura,
T (x0), sia pari a 30 e la densità, σ(x0), sia pari a 10. Supponiamo che
v(30, 10) = (1, 0,−1) e che
∂v
∂T
(30, 10) =
∂F
∂T
(30, 10) =
 2
4
3
 , ∂v
∂σ
(30, 10) =
∂F
∂σ
(30, 10) =
 1
0
2

e
∇T (x0) = [5 4 1] e ∇σ(x0) = [1 4 − 1].
Sia ‖v‖2 : Ω → R la funzione tale che ‖v‖2(x) = ‖v(x)‖2 per ogni x ∈ Ω.
Calcolare ∇(‖v‖2)(x0).
6. P∗ Sia dato un fluido contenuto in una regione Ω, Ω sottoinsieme aperto di
R3. Supponiamo che il vettore velocità v = (v1, v2, v3) con cui si muove il
fluido dipenda dalla temperatura T , dalla densità σ e anche esplicitamente
dalla posizione tramite la legge v = F (T, σ, x, y, z) dove F : (0,+∞) ×
(0,+∞) × Ω → R3 è una funzione differenziabile. Supponiamo che la
temperatura T e la densità σ varino con la posizione x ∈ Ω in maniera
differenziabile e che in un punto x0 = (x0, y0, z0) ∈ Ω la temperatura,
T (x0), sia pari a 30 e la densità, σ(x0), sia pari a 10. Supponiamo che
v(30, 10, x0) = (1, 0,−1) e che
∂v
∂T
(30, 10, x0) =
∂F
∂T
(30, 10, x0) =
 2
4
3
 ,
∂v
∂σ
(30, 10, x0) =
∂F
∂σ
(30, 10, x0) =
 1
0
2

e [
∂v
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
]
(30, 10, x0) =
 1 2 4
0 −1 5
−2 −1 0

e
∇T (x0) = [5 4 1] e ∇σ(x0) = [1 4 − 1].
Per ogni t ∈ (−r, r), sia f(t) = ‖v‖2(x0 + tw) = ‖v(x0 + tw)‖2 dove
w = (3, 2, 1) ∈ R3. Calcolare f ′(0).
7. T Sia L : RN → RM , N,M ≥ 1, una applicazione lineare. Definiamo
‖L‖ = sup
‖v‖RN =1
‖L[v]‖RM .
Dimostrare che
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• l’estremo superiore viene raggiunto, cioè
‖L‖ = max
‖v‖RN =1
‖L[v]‖RM ;
• la funzione ‖·‖ definisce una norma sullo spazio vettoriale L(RN ,RM ) =
{L : RN → RM : L è lineare}.
Suggerimento: per il primo punto, osservare che {v ∈ RN : ‖v‖RN = 1} =
∂B1(0) ⊂ RN e che L è continua. Per il secondo punto, le uniche diffi-
coltà sono per la disuguaglianza triangolare. Prese L1, L2 ∈ L(RN ,RM ),
scegliere ṽ ∈ RN con ‖ṽ‖RN = 1 tale che
‖L1+L2‖ = ‖(L1+L2)[ṽ]‖RM = ‖L1[ṽ]+L2[ṽ]‖RM ≤ ‖L1[ṽ]‖RM +‖L2[ṽ]‖RM
da cui si può facilmente concludere.
8. T Sia f : A ⊂ RN → R dove A è un aperto connesso. Supponiamo che f
sia differenziabile in ogni punto di A. Caratterizzare le funzioni f di questo
tipo il cui differenziale sia costante, cioè tali che esista L ∈ L(RN ,R) per
cui
Df(x) = L per ogni x ∈ A.
9. T Siano X e Y due spazi metrici. Dimostrare che una funzione f : X → Y
Lipschitziana è continua. Ricordiamo che f è Lipschitziana se esiste C > 0
tale che
dY (f(x1), f(x2)) ≤ CdX(x1, x2) per ogni x1, x2 ∈ X.
10. T Sia X uno spazio metrico e sia data una funzione f : X → RM con
componenti fi : X → R, i = 1, . . . ,M . Dimostrare che f è Lipschitziana
se e solo se lo sono tutte le sue componenti.
Suggerimento: usare il fatto che su RM la norma euclidea e la norma ‖·‖∞
sono topologicamente equivalenti, cioè che per ogni y ∈ RM si ha
‖y‖∞ ≤ ‖y‖2 ≤
√
M‖y‖∞.
11. T Sia I un intervallo di R e sia f : I → R derivabile in ogni punto di I.
Dimostrare allora che f è Lipschitziana su I se e solo se f ′ : I → R è una
funzione limitata.
12. T Sia f : RN → RM una funzione Lipschitziana. Dimostrare che esistono
costanti A1 e A2, A1, A2 ≥ 0, tali che
‖f(x)‖RM ≤ A1 +A2‖x‖RN per ogni x ∈ RN .
13. T Sia L ∈ L(RN ,RM ). Dimostrare che L è Lipschitziana su RN , cioè che
esiste C > 0 tale che
‖L[x]− L[y]‖RM ≤ C‖x− y‖RN per ogni x, y ∈ RN .
Dimostrare in particolare che si può scegliere C = ‖L‖.
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Suggerimento: per linearità è sufficiente considerare il caso in cui y = 0.
Il caso x = 0 è banale. Allora per ogni x ∈ RN , x 6= 0, abbiamo che
x = ‖x‖RN v con v direzione, cioè ‖v‖RN = 1. Quindi
‖L[x]‖RM = ‖L[‖x‖RN v]‖RM = ‖‖x‖RNL[v]‖RM = ‖x‖RN ‖L[v]‖RM
da cui si può facilmente concludere.
14. T∗ Sia f : A ⊂ RN → R una funzione differenziabile in A, A aperto. Siano
x1, x2 ∈ RN tali che [x1, x2], il segmento di vertici x1 e x2, sia contenuto
in A. Dimostrare che
|f(x2)− f(x1)| ≤
(
sup
x∈[x1,x2]
‖∇f(x)‖
)
‖x2 − x1‖.
Suggerimento: usare il Teorema del Valor Medio (con x1 6= x2). Infatti,
per qualche x̃ ∈ [x1, x2],
|f(x2)− f(x1)| =
∣∣∣∣∂f∂v (x̃)
∣∣∣∣ ‖x2 − x1‖,
dove v = (x2 − x1)/‖x2 − x1‖. Osservando che ‖v‖ = 1 e che∣∣∣∣∂f∂v (x̃)
∣∣∣∣ = |〈∇f(x̃), v〉|
si può concludere.
15. T∗ Sia f : A ⊂ RN → RM una funzione di classe C1 in A, A aperto.
Dimostrare che f è localmente Lipschitziana in A, cioè per ogni x0 ∈ A
esistono costanti positive r0 e C tali che Br0(x0) ⊂ A e vale
‖f(x2)− f(x1)‖ ≤ C‖x2 − x1‖ per ogni x1, x2 ∈ Br0(x0).
Suggerimento: considerare dapprima il caso M = 1. Fissato x0, scegliere
r0 > 0 tale che Br0(x0) ⊂ A e dimostrare che esiste una costante C
tale che ‖∇f(x)‖ ≤ C per ogni x ∈ Br0(x0). Applicare infine l’esercizio
precedente.
Per M > 1 è sufficiente ragionare componente per componente, ad esempio
dimostrando che f è localmente Lipschitziana se e solo se lo sono tutte le
sue componenti.
16. T∗ Sia C ⊂ RN , C aperto convesso. Ricordiamo che un insieme C ⊂ RN
è convesso se per ogni x, y ∈ C il segmento di estremi x e y, [x, y], è
contenuto in C.
Sia f : C ⊂ RN → RM una funzione differenziabile in C. Dimostrare che
f è Lipschitziana se e solo se
∂fi
∂xj
: C ⊂ RN → R è una funzione limitata
per ogni i = 1, . . . ,M e ogni j = 1, . . . , N .
Legenda:
T esercizio teorico; P esercizio pratico; F esercizio facoltativo; ∗ esercizio difficile
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