lista_Geometria plana

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Todo material contido nesta lista foi desenvolvida pelo professor 
Lucas Octavio de Souza e não passou por nenhuma alteração
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geometria plana
2
Autor - Lucas Octavio de Souza
 (Jeca)
Geometria plana.
Resumo teórico e exercícios.
3º Colegial / Curso Extensivo.
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geometria plana
3
 Relação das aulas.
Aula 01 - Conceitos iniciais................................................................ 
Aula 02 - Pontos notáveis de um triângulo......................................... 
Aula 03 - Congruência de triângulos..................................................
Aula 04 - Quadriláteros notáveis........................................................
Aula 05 - Polígonos convexos............................................................
Aula 06 - Ângulos na circunferência...................................................
Aula 07 - Segmentos proporcionais...................................................
Aula 08 - Semelhança de triângulos...................................................
Aula 09 - Relações métricas no triângulo retângulo...........................
Aula 10 - Relações métricas num triângulo qualquer.......................
Aula 11 - Circunferência e círculo.....................................................
Aula 12 - Inscrição e circunscrição de polígonos regulares.............
Aula 13 - Áreas das figuras planas...................................................
Jeca 01
02
18
28
38
48
60
74
84
98
112
126
136
146
Página
Considerações gerais.
 Este estudo de Geometriade Plana tem como objetivo complementar o curso que 
desenvolvo com os alunos de 3º Colegial e de curso pré-vestibular. Não tem a 
pretensão de ser uma obra acabada e, muito menos, perfeita.
 Os exercícios cujos números estão realçados com uma "sombrinha" representam 
os exercícios que considero necessários à compreensão de cada aula. Nada 
impede que mais, ou outros exercícios sejam feitos, a critério do professor.
 Autorizo o uso pelos cursinhos comunitários que se interessarem pelo material, 
desde que mantenham a minha autoria e não tenham lucro financeiro com o 
material. Peço, entretanto que me comuniquem sobre o uso. Essa comunicação 
me dará a sensação de estar contribuindo para ajudar alguém.
 Peço a todos, que perdoem eventuais erros de digitação ou de resolução e que me 
comuniquem sobre esses erros, para que possa corrigí-los e melhorar este trabalho.
 Meu e-mail - jecajeca@uol.com.br
 Um abraço.
 Jeca
 (Lucas Octavio de Souza)
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geometria plana
4
I) Reta, semirreta e segmento de reta.
A B
A B
A B
A B
reta AB
semirreta BA
segmento AB
semirreta AB
Definições.
a) Segmentos congruentes.
 Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida.
b) Ponto médio de um segmento.
 Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence ao 
segmento e divide AB em dois segmentos congruentes.
c) Mediatriz de um segmento.
 É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio
II) Ângulo.
A
O
B
a
OA - lado
OB - lado
O - vértice
ângulo AOB ou ângulo a
Definições.
a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de
mesma origem.
b) Ângulos congruentes.
 Dois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma 
medida.
c) Bissetriz de um ângulo.
 É a semirreta de origem no vértice do ângulo que divide
esse ângulo em dois ângulos congruentes.
IIa) Unidades de medida de ângulo.
a) Grau.
 A medida de uma volta completa é 360º.
 1º = 60'
 1' = 60"
b) Radiano.
 A medida de uma volta completa é 2p radianos.
 Um radiano é a medida do ângulo central de uma 
circunferência cuja medida do arco correspondente é 
igual à medida do raio da circunferência.
º - grau
' - minuto
" - segundo
IIb) Classificação dos ângulos.
 = 0º - ângulo nulo.
 0º < < 90º - ângulo agudo.
 = 90º - ângulo reto.
90º < < 180º - ângulo obtuso.
 = 180º - ângulo raso.
a
a
a
a
a
Definições.
a) Ângulos complementares.
 É o par de ângulos cuja soma das medidas é 90º.
b) Ângulos suplementares.
 É o par de ângulos cuja soma das medidas é 180º.
IIc) Ângulos formados por duas retas paralelas 
cortadas por uma reta transversal.
r
s
t
r // s
a
b c
d
e
f
g
h
a) Ângulos correspondentes (mesma posição).
 exemplo - b e f.
Propriedade - são congruentes.
b) Ângulos colaterais (mesmo lado).
 exemplo de colaterais internos - h e c.
 exemplo de colaterais externos - d e g.
Propriedade - são suplementares (soma = 180º)
c) Ângulos alternos (lados alternados).
 exemplo de alternos internos - b e h.
 exemplo de alternos externos - a e g.
Propriedade - são congruentes.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 01
Conceitos iniciais de Geometria Plana.
Jeca 02
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geometria plana
5
1) Em todo triângulo, a soma das 
medidas dos 3 ângulos internos 
é 180º.
2) Em todo triângulo, a medida de 
um ângulo externo é igual à soma 
das medidas dos 2 ângulos 
internos não adjacentes.
3) Em todo triângulo, a soma das 
medidas dos 3 ângulos externos 
é 360º.
4) Em todo triângulo isósceles, 
os ângulos da base são congru-
entes.
 Observação - A base de um 
triângulo isósceles é o seu lado 
diferente.
a
b
g
a + b + g = 180º
e
e1
e2
e3
i
lado
vértice
i - ângulo interno
e - ângulo externo
 Num mesmo 
vértice, tem-se
 i + e = 180º
III) Triângulos.
Propriedades dos triângulos.
Classificação dos triângulos.
a) quanto aos lados:
 - triângulo equilátero.
 - triângulo isósceles.
 - triângulo escaleno.
b) quanto aos ângulos:
 - triângulo retângulo.
 - triângulo obtusângulo.
 - triângulo acutângulo.
Ângulo externo.
 O ângulo externo 
de qualquer polígono 
convexo é o ângulo 
formado entre um 
lado e o 
prolongamento do 
outro lado.
a
b
e e = a + b
e + e + e = 360º1 2 3
a a
Exercícios.
01) Efetue as operações com graus abaixo solicitadas.
b) 106º 18' 25" + 17º 46' 39" d) 136º 14' - 89º 26' 12" f) 3 x (71º 23' 52")
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
(GeoJeca)
a) 48º 27' 39" + 127º 51' 42" c) 90º - 61º 14' 44" e) 4 x (68º 23' 54")
Jeca 03
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geometria plana
6
1) Em todo triângulo, a soma das 
medidas dos 3 ângulos internos 
é 180º.
2) Em todo triângulo, a medida de 
um ângulo externo é igual à soma 
das medidas dos 2 ângulos 
internos não adjacentes.
3) Em todo triângulo, a soma das 
medidas dos 3 ângulos externos 
é 360º.
4) Em todo triângulo isósceles, 
os ângulos da base são congru-
entes.
 Observação - A base de um 
triângulo isósceles é o seu lado 
diferente.
a
b
g
a + b + g = 180º
e
e1
e2
e3
i
lado
vértice
i - ângulo interno
e - ângulo externo
 Num mesmo 
vértice, tem-se
 i + e = 180º
III) Triângulos.
Propriedades dos triângulos.
Classificação dos triângulos.
a) quanto aos lados:
 - triângulo equilátero.
 - triângulo isósceles.
 - triângulo escaleno.
b) quanto aos ângulos:
 - triângulo retângulo.
 - triângulo obtusângulo.
 - triângulo acutângulo.
Ângulo externo.
 O ângulo externo 
de qualquer polígono 
convexo é o ângulo 
formado entre um 
lado e o 
prolongamento do 
outro lado.
a
b
e e = a + b
e + e + e = 360º1 2 3
a a
Exercícios.
01) Efetue asoperações com graus abaixo solicitadas.
a) 48º 27' 39" + 127º 51' 42" c) 90º - 61º 14' 44" e) 4 x (68º 23' 54")
b) 106º 18' 25" + 17º 46' 39" d) 136º 14' - 89º 26' 12" f) 3 x (71º 23' 52")
Jeca 03
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
(GeoJeca)
 48º 27' 39"
127º 51' 42"
175º 78' 81"
175º 79' 21"
176º 19' 21" Resposta
175º 78' 81"
90º
89º 60'
89º 59' 60"
- 61º 14' 44"
28º 45' 16" Resposta
4 x (68º 23' 54") = 
= 4 x 68º 4 x 23' 4 x 54" =
= 272º 92' 216" =
= 272º 95' 36" =
= 273º 35' 36" Resposta
106º 18' 25"
17º 46' 39"
123º 64' 64"
123º 64' 64"
123º 65' 04"
124º 05' 04" Resposta
136º 14'
- 89º 26' 12"
135º 74'
- 89º 26' 12"
135º 73' 60"
- 89º 26' 12"
46º 47' 48" Resposta
3 x (71º 23' 52") =
= 3 x 71º 3 x 23' 3 x 52" =
= 213º 69' 156" =
= 213º 71' 36" =
= 214º 11' 36" Resposta 
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geometria plana
7
4
118º 14' 52"
3
h)
i) 125º 12' 52"
5
90º
13
j)
04) Determine o ângulo cuja diferença entre o seu 
suplemento e o triplo do seu complemento é igual a 
54º.
06) As medidas de dois ângulos somam 124º. Deter-
mine esses ângulos sabendo que o suplemento do 
maior é igual ao complemento do menor.
07) Determine um ângulo sabendo que o suplemento 
da sua quinta parte é igual ao triplo do seu comple-
mento.(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)125º 39' 46"g)
02) Determine o ângulo que é o dobro do seu comple-
mento.
03) Determine o ângulo que excede o seu suplemento 
em 54º
05) Dois ângulos são suplementares. O menor é o 
complemento da quarta parte do maior. Determine as 
medidas desses ângulos.
Jeca 04
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geometria plana
8
g) 125º 39' 46"
4
118º 14' 52"
3
h)
i) 125º 12' 52"
5
90º
13
j)
02) Determine o ângulo que é o dobro do seu comple-
mento.
03) Determine o ângulo que excede o seu suplemento 
em 54º
04) Determine o ângulo cuja diferença entre o seu 
suplemento e o triplo do seu complemento é igual a 
54º.
05) Dois ângulos são suplementares. O menor é o 
complemento da quarta parte do maior. Determine as 
medidas desses ângulos.
06) As medidas de dois ângulos somam 124º. Deter-
mine esses ângulos sabendo que o suplemento do 
maior é igual ao complemento do menor.
07) Determine um ângulo sabendo que o suplemento 
da sua quinta parte é igual ao triplo do seu comple-
mento.
Jeca 04
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
x = 2.(90 - x)
x = 180 - 2x
3x = 180
x = 60º (resp) 
x = (180 - x) + 54
x = 180 - x + 54
2x = 234
x = 117º (resp)
x é o menor
(180 - x) é o maior
x = 90 - [(180 - x)/4]
x - 90 = -(180 - x)/4
4x - 360 = -180 + x
3x = 180
x = 60º e (180 - x) = 120º (resp)
125º 4
31º-12
05
-4
1º
1º
 =
 6
0'
60'
39'
99' 4
24'-8
19
-16
3'
3'
 =
 1
80
"
180"
46"
226" 4
56"-20
26
-24
2" (resto)
125º 39' 46"
4
= 31º 24' 56" Resposta
118º 3
39º-9
28
-27
1º
1º
 =
 6
0'
60'
14'
74' 3
24'-6
14
-12
2'
2'
 =
 1
20
"
120"
52"
172" 3
57"-15
22
-21
1" (resto)
118º 14' 52"
3
= 39º 24' 57" Resposta
125º 5
25º-10
25
-25
0º
 0'
12'
12' 5
2'-10
2'
2'
 =
 1
20
"
120"
52"
172" 5
34"-15
22
-20
2" (resto)
125º 12'' 52"
5
= 25º 02' 34" Resposta
90º 13
6º-78
12º
 720' 13
55'
5'
 =
 3
00
"
300" 13
 (resto)
90º
13
= 06º 55' 23" Resposta
12
º =
 72
0' -65
70
-65
05'
23"-26
40
-39
1"
(180 - x) - 3.(90 - x) = 54º
180 - x - 270 + 3x = 54
2x = 144
x = 72º Resposta
x + y = 124
x - maior
y - menor
(180 - x) = (90 - y)
180 - (124 - y) = 90 - y
180 - 124 + y = 90 - y
2y = 34
y = 17º e x = 107º Resposta
(180 - x/5) = 3.(90 - x)
180 - x/5 = 270 - 3x
14x/5 = 90
x = 450/14 = (225/7)º Resposta
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geometria plana
9
08) Em cada figura abaixo, determine a medida do ângulo x.
a) b)
c) d) (Tente fazer de outra maneira)
e) f)
g) h)
i) j)
k) AC = BC
r
s
r // s
41º
x
116º
x
39º
53º
x r
s
r // s
39º
53º
x r
s
r // s
55º
38º
40º
x
r
s
r // s
r
s
35º
47º
62º
x
r
s
r // s
28º
54º
88º
x 21º 1
26º
x
A
B
C
AB = AC
73º
x
11
2º 143º
x
A B
C
46º
x
x
158º
67º
38º
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
l)
Jeca 05
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geometria plana
10
08) Em cada figura abaixo, determine a medida do ângulo x.
a) b)
c) d) (Tente fazer de outra maneira)
e) f)
g) h)
i) j)
k) AC = BC l)
r
s
r // s
41º
x
116º
x
39º
53º
x r
s
r // s
39º
x r
s
r // s
55º
38º
40º
x
r
s
r // s
r
s
35º
47º
62º
x
r
s
r // s // t //u
28º
54º
88º
x 21º 1
26º
x
A
B
C
AB = AC
73º
x
11
2º 143º
x
A B
C
46º
x
x
158º
67º
38º
Jeca 05
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
41º
x = 41º (resp)
116º
x + 116 = 180
x = 64º (resp)
39º
14º
14º t
r // s // t
x = 14º (resp)
x
127º
39º
x + 39 + 127 = 180
x = 14º (resp)53º
55º
87º
93º
x + 93 + 40 = 180
x = 47º (resp)
62º
x t
r // s // t
x + 62 + 47 + 35 = 180
x =36º (resp)
28º
26º
26º
62º
x = 62º (resp)
t
u
x + 126 + 21 = 180
x = 33º (resp)
37º68º
x + 68 + 37 = 180
x = 75º (resp)
73º
x + 73 + 73 = 180
x = 34º (resp)
y y
46 + y + y = 180
2y = 134
y = 67
x + y = 180
x = 180 - 67
x = 113º (resp)
y
y = 67 + 38
y = 105º
x + y = 158
x = 158 - 105
x = 53º (resp)
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geometria plana
11
11) Na figura abaixo, determinar x + y + z + t.
30º
x
y
z
t
13) Na figura abaixo, calcule o valor de x em função de 
m.
x
4m
3m
m
x
y
z
t
u
x y
10) Na figura abaixo, estão representados um triângulo 
equilátero e um retângulo. Sendo x e y as medidas 
dos ângulos assinalados, determine a soma x + y.
x
y
09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepos-
tos. Qual é o valor de x + y, em graus ?
A B
C
D
E
F
a) 120º
b) 150º
c) 180º
d) 210º
e) 240º
14) (IBMEC-SP) Sejam a, b, g, l e q as medidas em 
graus dos ângulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE da 
figura, respectivamente. A soma a + b + g + l + q é 
igual a:
15) (ITA-SP) Em um triângulo de papel ABC fazemos 
uma dobra PT de modo que o vértice C coincida com 
o vértice A, e uma dobra PQ de modo que o vértice B 
coincida com o ponto R de AP. Sabemos que o triân-
gulo AQR formado é isósceles com ARQ = 100º; cal-
cule as medidas dos ângulos internos do triângulo 
ABC. A
B CP
T
Q
R
25º
16) Determine x, sabendo-se que ABCD é um retângu-
lo e que F e E são pontos médios dos lados AB e 
AD, respectivamente.
A
BC
D E
F
x
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das 
medidas dos ângulos x, y, z, t e u.
Jeca 06
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12
11) Na figura abaixo, determinar x + y + z + t.
30º
x
y
z
t
13) Na figura abaixo, calcule o valor de x em função de 
m.
x
4m
3m
m
12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das 
medidas dos ângulos x, y, z, t e u.
x
y
z
t
u
x y
10) Na figura abaixo, estão representados um triângulo 
equilátero e um retângulo. Sendo x e y as medidas 
dos ângulos assinalados, determine a soma x + y.
x
y
09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepos-
tos. Qual é o valor de x + y, em graus ?
A B
C
D
E
F
a) 120º
b) 150º
c) 180º
d) 210º
e) 240º
14) (IBMEC-SP) Sejam a, b, g, l e q as medidas em 
graus dos ângulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE da 
figura, respectivamente. A soma a + b + g + l + q é 
igual a:15) (ITA-SP) Em um triângulo de papel ABC fazemos 
uma dobra PT de modo que o vértice C coincida com 
o vértice A, e uma dobra PQ de modo que o vértice B 
coincida com o ponto R de AP. Sabemos que o triân-
gulo AQR formado é isósceles com ARQ = 100º; cal-
cule as medidas dos ângulos internos do triângulo 
ABC. A
B CP
T
Q
R
25º
16) Determine x, sabendo-se que ABCD é um retângu-
lo e que F e E são pontos médios dos lados AB e 
AD, respectivamente.
A
BC
D E
F
x
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(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
x
y
r
s
t
r // s // t
x + y + 90 = 360
x + y = 270º (resp)
120º
60º120 + x + y = 360
x + y = 360 - 120
x + y = 240º (resp)
x +
 y
z + t
150ºx + y + z + t + 150 = 360
x + y + z + t = 210º (resp)
y + t
x + z
u + x + z + y + t = 180º
(resp)
y
y
3m = m + y
y = 2m
4m = x + y
4m = x + 2m
x = 2m (resp)
a b
g
l
q
g
l
l + ba + g
a + b + g + q + l = 180º (resp)
M
25º
Se M é ponto médio,
então MB // DF
x = 25º (resp)
100º
40º
40º
70º
70º
80º
30º
30º80º
60º
30º
30º
60º
A = 70º
B = 80º
C = 30º (resp)
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geometria plana
13
01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.
r
s
r //s
43º
x
a) b)
r
s
r // s
57º
x
d)c)
rr
ss
r // sr // s
45º45º
62º62º
xx
(Resolver de forma diferente da letra c))
(Resolver de forma diferente da letra g))
rr
ss
r // sr // s
140º140º
65º65º
xx
150º150º
h)g)
e)
r
s
r // s
147º
82º
x
x
126º
80º
r
s
r // s
f)
r
s
r // s
i)
42º
5x
 - 1
2º
r
s
r // s
j)
48º
40
º
x
43º
k)
x
55º
l)
r
s
r // s
135º x
85º
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Conceitos iniciais de Geometria Plana.
Exercícios complementares da aula 01.
Jeca 07
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
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geometria plana
14
01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.
r
s
r //s
43º
x
a) b)
r
s
r // s
57º
x
d)c)
rr
ss
r // s
r // s
45º45º
62º62º
x
(Resolver de forma diferente da letra c))
(Resolver de forma diferente da letra g))
rr
ss
r // sr // s // t // u
140º140º
65º65º
xx
150º150º
h)g)
e)
r
s
r // s // t
147º
82º
x
x
126º
80º
r
s
r // s
f)
r
s
r // s
i)
42º
5x
 - 1
2º
r
s
r // s
j)
48º
40
º
x
43º
k)
x
55º
l)
r
s
r // s
135º x
85º
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Conceitos iniciais de Geometria Plana.
Exercícios complementares da aula 01.
Jeca 07
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
t
x
62º
45º
r // s // t
x = 45 + 62
x = 107º
(resp)
x
x = 43º (resp)
57º
x + 57 = 180
x = 123º (resp)
45º
x é ângulo externo
x = 62 + 45
x = 107º (resp)
33º
33º
49º
49º
x = 49º (resp)
80º
126º é ângulo externo
x + 80 = 126
x = 46º (resp)t
30º
40º
t
u
25º
40º
30º
x = 30 + 25
x = 55º (resp)
40º
30º
y
y
y + 40 = 65
y = 25
x = y + 30
x = 25 + 30
x = 55º (resp)
25º
42º
5x - 12 + 42 = 180
5x + 30 = 180
5x = 150
x = 30º (resp)
48º
y
y = 43 + 48
y = 91º
x + y + 40 = 180
x + 91 + 40 = 180
x = 49º (resp)
y
y + 55 + 90 = 180
y = 35º
x + y + 90 = 180
x = 55º (resp)
85º
45º 45º
x = 45 + 85
x = 130º (resp)
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15
m)
43º
x
r
s
t
u
r // s
t // u
r // s
t // u
n)
58º
x
r
s
t
u
o)
62º
79º x
p)
52º
67º
x
q)
52º
81º
x
15x18x
21x
r)
s)
A
B C
38º
x
AB = AC AB = AC
(Triângulo isósceles) (Triângulo isósceles)
A
B C
138º
x
t)
A
B C
AB = AC
152º
x
u) v)
62º 98º x
x)
A
B
C
D
AB = BC = CD
98º
x
z)
A B C
D
E
AB = BD = DE
x
y
y
y y
Jeca 08
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
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16
43º
x = 43º (resp)
x
x
x + 58 = 180
x = 122º (resp)
x + 62 + 79 = 180
x = 180 - 141
x = 39º (resp)
x = 52 + 67
x = 119º (resp)
x = 81 + 52
x = 133º (resp)
21x + 18x + 15x = 180
54x = 180
x = 180/54 = (10/3)º (resp)
x
2x + 38 = 180
2x = 142
x = 71º (resp) 42º 42º
x + 42 + 42 = 180
x = 96º (resp)
x
x + x + 152 = 360
2x = 208
x = 104º (resp)
82º
y + 82 + 62 = 180
y = 36º
62 + 2y + x = 180
x = 46º (resp)
==
=
82º
82º
41º 41º
16º
x + 41 + 16 = 180
x = 123º (resp) =
=
=
y
z
z
y é ângulo externo
do triângulo ABD
y = z + z = 2z
z = y/2
No triângulo BDE
y + y + z = 180
y + y + y/2 = 180
y = 72º
x + y = 180
x = 108º (resp)
m)
43º
x
r
s
t
u
r // s
t // u
r // s
t // u
n)
58º
x
r
s
t
u
o)
62º
79º x
p)
52º
67º
x
q)
52º
81º
x
15x18x
21x
r)
s)
A
B C
38º
x
AB = AC AB = AC
(Triângulo isósceles) (Triângulo isósceles)
A
B C
138º
x
t)
A
B C
AB = AC
152º
x
u) v)
62º 98º x
x)
A
B
C
D
AB = BC = CD
98º
x
z)
A B C
D
E
AB = BD = DE
x
y
y
y y
Jeca 08
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
81º
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geometria plana
17
02) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.
a)
37º
31º
116º
x
b)
x
73º
148º
24º
d)
f)
h)
j)
l)
c)
x
34º
38º
10
1º
bis
se
triz
x
128º
36º
42º
x
A
B
C
D
AD e BD são bissetrizes.
72
º
40º
xD
e) D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes.
g)
r
s
r // s
68º
5y
3y
x 60º
x + 30
º
2x
i)
6x
9x
12x
43º
62º
60º
x
k)
x
A B
CD
ABCD é um quadrado.
30º
118º
x
Jeca 09
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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18
02) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.
a)
37º
31º
116º
x
b)
x
73º
148º
24º
d)
f)
h)
j)
l)
c)
x
34º
38º
10
1º
bis
se
triz
x
128º
36º
42º
x
A
B
C
D
AD e BD são bissetrizes.
72
º
40º
xD
e) D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes.
g)
r
s
r // s
68º
5y
3y
x = 3y 60º
x + 30
º
2x
i)
6x
9x
12x
43º
62º
60º
x
k)
x
A B
CD
ABCD é um quadrado.
30º
118º
x
Jeca 09
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
64º
79º
101º
x + 101 + 31 = 180
x = 180 - 132 = 48º
(resp) y
148 = y + 24
y = 124º
y = x + 73
124 = x + 73
x = 51º (resp)
79º 38º
x + 34 + 79 + 38 = 180
x = 180 - 151
x = 29º (resp)
y
52º
y
y + 128 + 36 = 180
y = 16º
y + 52 + x = 180
16 + 52 + x = 180
x = 112º (resp)
108º
32º
32º
40º
x
2 . 32 + 2 . x + 80 = 180
x = 18º (resp)
y
z z
y
x
2.z + 2.y + 42 = 180
2(y + z) = 180 - 42
2(y + z) = 138
y + z = 69º
x + y + z = 180
x + 69 = 180
x = 111º (resp) 
68º
3y + 5y + 68 = 180
8y = 112
y = 14º
x = 3y = 42º (resp)
120º
x + 30 + 2x + 120 = 360
3x = 210
x = 70º (resp)
6x + 9x + 12x = 360
27x = 360
x = 360/27
x = (40/3)º (resp)
y
y = 43 + 62 
y = 105º
y = 60 + x
x = y - 60
x = 45º
45º
45º
x + 45 + 45 = 180
x = 90º (resp)
75º 62º75º 62º
x + 75 + 62 = 180
x = 43º (resp)
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geometria plana
19
m) n)
o) p)
q) r)
s) t)
u) v)
x) z)
A
B C D
AC = CD
38ºx
A
C
B
D
E
AB = BC = CD = DE e AD = AE
x
A
B
C
D
E
F
x
AB = BC = CD = DE = EF e AE = AF
A
B
C
D
E
F
44º
x
AB = AC , BD = BE e CE = CF.
A
B CD E
FG
x
ABC é um triângulo equilátero
e DEFG é um quadrado.
A B
C
DE
x
BCD é um triângulo equilátero
e ABDE é um quadrado.
A B
CDEx
CDE é um triângulo equilátero
e ABCD é um quadrado.
x
A
B
C
D
EF
G
BFE é um triângulo equilátero, ABFG e BCDE são 
 quadrados.
A B C
DEF
x
ACE e BDF são triângulos
equiláteros.
A
B CE F
x
65º
70º
D
AB = AC e DE = DF.
A
B
C
D
x
AB = AD = BD = DC e AC = BC.
A
B CDE
x 38º
AB = AC
AD é bissetriz de BÂC
AE é bissetriz de BÂD.
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
Jeca 10
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20
m) n)
o) p)
q) r)
s) t)
u) v)
x) z)
A
B C D
AC = CD
38ºx
A
C
B
D
E
AB = BC = CD = DE e AD = AE
x
A
B
C
D
E
F
x
AB = BC = CD = DE = EF e AE = AF
A
B
C
D
E
F
44º
x
AB = AC , BD = BE e CE = CF.
A
B CD E
FG
x
ABC é um triângulo equilátero
e DEFG é um quadrado.
A B
C
DE
x
BCD é um triângulo equilátero
e ABDE é um quadrado.
A B
CD
Ex
CDE é um triângulo equilátero
e ABCD é um quadrado.
x
A
B
C
D
EF
G
BFE é um triângulo equilátero, ABFG e BCDE são 
 quadrados.
A B C
DEF
x
ACE e BDF são triângulos
equiláteros.
A
B CE F
x
65º
70º
D
AB = AC e DE = DF.
A
B
C
x
AB = AD = BD = DC e AC = BC.
A
B CDE
x 38º
AB = AC
AD é bissetriz de BÂC
AE é bissetriz de BÂD.
Jeca 10
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
38º
x + 38 + 38 + 90 = 180
x = 180 - 166 = 14º (resp)
=
=
= =
x
2x
2x
3x
x
3x
x + 3x + 3x = 180
7x = 180
x = (180/7)º
(resp)
2x
2x
3x 3x
x
x
4x
x + 4x + 4x = 180
9x = 180
x = 20º (resp)
=
=
y
y
z
z
z
z
y + y + 44 = 180
y = 68º
z + z + y = 180
z = 56º
z + z + x = 180
x = 68º (resp)
60º
x + 60 + 90 = 180
x = 30º (resp)
=
=
60º
x
x + x + 90 + 60 = 180
x = 15º (resp)
=
=
=
x
30º
60º
x + x + 30 = 180
x = 75º (resp)
60º
60º
x = 60º 
(resp)
60º
30º
60º
30º
x
x + 30 + 30 = 180
x = 120º (resp)
65º55º 55º
x
x + 55 + 65 = 180
x = 60º (resp)
=
=
=
=
60º
60º
60º
x
x + x + 60 = 360
x = 150º (resp)
y 2y
y
38º
4y + 38 + 38 = 180
y = 26º
x + y + 38 = 180
x = 116º (resp)
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geometria plana
21
03) Na figura abaixo, determine x, y e z.
37º
x
y
z
04) Na figura abaixo, determinar x, y e z.
x
4x
z
2y
05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t.
t z
2x
y4x
40º
06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ângulo 
CBE, determinar x + y.
A B C
DE
x
y
4x
57ºx
07) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
A
B
C
D
E
F
O
x 28º
08) Na figura abaixo, determinar o valor do ângulo x, 
sabendo-se que OD é bissetriz de AOE, OC é bissetriz 
de AOD e OB é bissetriz de AOC.
09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e 
z.
2x y
z + 26º
2z - 84º
10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que os 
mesmos formam uma progressão aritmética de razão 
10º.
x
y
z
Jeca 11
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
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22
03) Na figura abaixo, determine x, y e z.
37º
x
y
z
04) Na figura abaixo, determinar x, y e z.
x
4x
z
2y
05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t.
t z
2x
y4x
40º
06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ângulo 
CBE, determinar x + y.
A B C
DE
x
y = 4x
4x
57ºx
07) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
A
B
C
D
E
F
O
x 28º
08) Na figura abaixo, determinar o valor do ângulo x, 
sabendo-se que OD é bissetriz de AOE, OC é bissetriz 
de AOD e OB é bissetriz de AOC.
09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e 
z.
2x y
z + 26º
2z - 84º
10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que os 
mesmos formam uma progressão aritmética de razão 
10º.
x
y
z
Jeca 11
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
x + 37 = 180 
Portanto x = 180 - 37 = 143º
y = 37º (OPV)
z = x = 143º (OPV)
(resp)
x + 4x = 180
x = 36º
2y = x = 36º
y = 18º
4x = z = 144º
(resp)
2x = 40
x = 20º
4x = z = 80º
y + 2x + z = 180
y = 60º
t = y = 60º
(resp)
4x + 4x + x = 180
x = 20º 
y = 80º
x + y = 100º
(resp)
x
57 + x = 90
x = 33º (resp)
x
2x
4x
8x + 28 = 180
x = 19º (resp)
z + 26 = 2.z - 84
z = 26 + 84 = 110º
2x + 110 + 26 = 180
x = 22º
y = 2x = 44º (resp)
y = x + 10
z = x + 20
x + y + z = 180
x + x + 10 + x + 20 = 180
3x = 150
x = 50º 
y = 60º
z = 70º (resp)
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geometria plana
23
140º
120º
x
t
s
t // s
11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x.
A B
CD
E
F
x
y z
t
u
v
A
B C D
x
B C D E
x
2x
13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determine o 
valor de x.
12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma 
x + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF é um triângulo 
inscrito no quadrado ABCD.
14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC é a bissetriz 
do ângulo BAD. Determine o valor de x.
15) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x 
em função de y.
xy 2y
5y
16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine y 
em função de x.
A B C
D
y
x
18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles 
mede 100º. Determinar a medida do ângulo agudo 
formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos 
internos.
17) Na figura abaixo mostre que vale a relação : 
 a + b = c + d. r
s
r // s
a
b
c
d
19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos 
externos de um triângulo é 360º.
e1
e2
e3
20) Na figura abaixo, determinar x em função de y e de 
z.
x
y
z
r
s
r // s
A
Jeca 12
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
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24
140º
120º
x
t
s
t // s
11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x.
A B
CD
E
F
x
y z
t
u
v
A
B C D
x
B C D E
x
2x
13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determine o 
valor de x.
12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma 
x + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF é um triângulo 
inscrito no quadrado ABCD.
14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC é a bissetriz 
do ângulo BAD. Determine o valor de x.
15) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x 
em função de y.
xy 2y
5y
16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine y 
em função de x.
A B C
D
y
x
18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles 
mede 100º. Determinar a medida do ângulo agudo 
formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos 
internos.
17) Na figura abaixo mostre que vale a relação : 
 a + b = c + d. r
s
r // s // t // u
a
b
c
d
19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos 
externos de um triângulo é 360º.
e1
e2
e3
20) Na figura abaixo, determinar x em função de y e de 
z.
x
y
z
r
s
r // s // t
A
Jeca 12
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
140º
40º
20º
x + 20 + 90 = 180
x = 70º (resp)
x + y = 90
z + t = 90
u + v = 90
x + y + z + t + u + v = 3 . 90
x + y + z + t + u + v = 270º
(resp)
= =
= =
3x
3x
6x60º
60º
6x = 60º
x = 10º (resp)
==
=
x
2x 2x
x
No triângulo ACD, tem-se
x + 2x + 2x = 180
5x = 180
x = 36º (resp)
z
z = 2y + 5y = 7y
x = y + z = y + 7y
x = 8y (resp)
x
2x2x
=
= =
y é ângulo externo
y = A + C = x + 2x
y = 3x (resp)
t
u
a
c - a
d
b - d
Ângulos alternos internos
c - a = b - d
a + b = c + d (CQD)
100º
x
x
x
x
y
100 + 2x + 2x = 180
x = 20º
x + x + y = 180
y = 140º
z é o ângulo agudo
z + y = 180
z = 40º (resp)
z
x
y
z
e + x = 1801
e + y = 1802
e + z = 1803
e + e + e + x + y + z = 5401 2 3
Mas x + y + z = 180
Portanto e + e + e = 540 - 180 = 360º (CQD)1 2 3
t x
z
y = x + z
x= y - z (resp)
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25
22) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das 
medidas dos ângulos x, y, z, t e u.
x
y
z
t
u
23) Na figura abaixo, calcule o ângulo x, sendo y o triplo 
de z e t o sêxtuplo de z.
80º
x
y
z
t
A
B D C
25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo Â, 
demonstre que vale a relação z - y = x - t.
x y
z
t
A B
C
DE
x
y
z
27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar a 
soma das medidas dos ângulos x, y e z.
A
B C D
E
x
28) Determinar a medida do ângulo x, sabendo-se que 
os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o 
triângulo BCE é equilátero.
Jeca 13
40º
x
y
24) (FUVEST-SP) No retângulo abaixo, qual o valor 
em graus de x + y ?
x
y
r
s A B
CD
21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD é cortado por 
duas retas paralelas, r e s. Com relação aos ângulos 
x e y podemos afirmar que :
a) x = y
b) x = -y
c) x + y = 90º
d) x - y = 90º
e) x + y = 180º
A
B
C
D
E F
26) Na figura abaixo, o ângulo EAB mede 38º, ABCD 
é um retângulo e AB é congruente a AE. A medida do 
ângulo CBF é :
a) 38º
b) 27º
c) 18º
d) 19º
e) 71º
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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26
22) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das 
medidas dos ângulos x, y, z, t e u.
x
y
z
t
u
23) Na figura abaixo, calcule o ângulo x, sendo y o triplo 
de z e t o sêxtuplo de z.
80º
x
y = 3.z
z
t = 6.z
A
B D C
25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo Â, 
demonstre que vale a relação z - y = x - t.
x y
z
t
A B
C
DE
x
y
z
27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar a 
soma das medidas dos ângulos x, y e z.
A
B C D
E
x
28) Determinar a medida do ângulo x, sabendo-se que 
os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o 
triângulo BCE é equilátero.
Jeca 13
40º
x
y
24) (FUVEST-SP) No retângulo abaixo, qual o valor 
em graus de x + y ?
x
y
r
s A B
CD
21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD é cortado por 
duas retas paralelas, r e s. Com relação aos ângulos 
x e y podemos afirmar que :
a) x = y
b) x = -y
c) x + y = 90º
d) x - y = 90º
e) x + y = 180º
A
B
C
D
E F
26) Na figura abaixo, o ângulo EAB mede 38º, ABCD 
é um retângulo e AB é congruente a AE. A medida do 
ângulo CBF é :
a) 38º
b) 27º
c) 18º
d) 19º
e) 71º
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
y
x
tr // s // t
x + y = 90º 
(resp)
 O polígono pode ser 
dividido em 3 triângu-
los.
S = 3 . 180 = 540
x + y + z + t + u = 540º
(resp)
100º
180 - z
180 - 3z
100 + 180 - z + 180 - 3z = 360
4.z = 100
z = 25º
t = 150º
u = 30º
u
x + u + 100 = 180
x = 50º (resp)
90 - x
90 - y
90 - x + 40 + 90 - y = 90
x + y = 130º (resp)
a a
a = 180 - x - y
a = 180 - z - t
Portanto 180 - x - y = 180 - z - t
Então z - y = x - t (CQD)
38º
x
y y
y + y + 38 = 180
y = 71º
y + 90 + x = 180
x = 180 - 90 - 71
x = 19º (resp)
a
b
a + b = 180º (ângulos colaterais internos
a + b + x + y + z = 540º
x + y + z = 540 - 180
x + y + z = 360º (resp)
=
==
=
=
60º
120º
30º
30º
60º
60º
90º
x
x + x + 90 = 180
2x = 90
x = 45º (resp)
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27
29) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 
dos ângulos x, y, z, t, u e v.
x
y
z
t
u
v
30) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 
dos ângulos x, y, z e t.
r
s
r // s
x
y
z
t
31) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 
dos ângulos x, y, z e t.
32) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o 
vértice D pertença ao lado BC, conforme a figura. 
Sendo EF a dobra feita, calcule a medida do ângulo x, 
conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado.
140º
x
A B
CD
E
F
A’
D’
x
y
z
t
33) Na figura, AM = AN, x > y e as reta MN e BC 
interceptam-se em P. Mostre que o ângulo MPB é 
igual a 
34) Na figura abaixo, os ângulos ABC, ACB e CAB’ 
medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo AD uma 
dobra de tal forma que o lado AB’ é simétrico do lado AB 
em relação a AD, determine a medida do ângulo ADB.
35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AE 
congruente a AD, calcule a medida do ângulo CDE, 
sabendo-se que BAD = 48º.
A
B CD
E
A
B C
M
N
P
x y
x - y
2 A
B CD
B’
.
Jeca 14
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28
29) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 
dos ângulos x, y, z, t, u e v.
x
y
z
t
u
v
30) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 
dos ângulos x, y, z e t.
r
s
r // s // u
x
y
z
t
31) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 
dos ângulos x, y, z e t.
32) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o 
vértice D pertença ao lado BC, conforme a figura. 
Sendo EF a dobra feita, calcule a medida do ângulo x, 
conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado.
140º
x
A B
CD
E
F
A’
D’
x
y
z
t
33) Na figura, AM = AN, x > y e as reta MN e BC 
interceptam-se em P. Mostre que o ângulo MPB é 
igual a 
34) Na figura abaixo, os ângulos ABC, ACB e CAB’ 
medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo AD uma 
dobra de tal forma que o lado AB’ é simétrico do lado AB 
em relação a AD, determine a medida do ângulo ADB.
35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AE 
congruente a AD, calcule a medida do ângulo CDE, 
sabendo-se que BAD = 48º.
A
B CD
E
A
B C
M
N
P
x y
x - y
2 A
B CD
B’
.
Jeca 14
x + y
u + v
z + tsoma dos ângulos externos
x + y + z + t + u + v = 360º
(resp)
x
t u
x + y + z + t = 180º (resp)
a
y - a
b t - b
x + y + z + t = x + y - a + a + t - b + b + z
x + y + z + t = (x + y - a + t - b) + (z + a + b)
x + y + z + t = 360 + 180 = 540 (resp)
40º
50º
50º
40º
x
x + x + 50 = 180
x = 65º (resp)
a
a
q
z
q + a + a = 180
q + x + y = 180
Então 2a = x + y
a = x - z
2a = 2x - 2z
=
=
a
a
2a = x + y
2x - 2z = x + y
2z = x - y z = (x - y)/2 (CQD)
30º 80º
30º
x
y
y
x
30º
30 + 80 + 30 + 2y = 180
y = 20º
30 + x + y = 180
30 + x + 20 = 180
x = 130º (resp)
x yy
48º
x + y
x + y
x + y + x é ângulo externo 
do triângulo ABD
x + y + x = y + 48
2x = 48
x = 24º (resp)
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29
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
Respostas dos exercícios da Aula 01
01) 
a) 176º 19' 21" b) 124º 05' 04"
c) 28º 45' 16" d) 46º 47' 48"
e) 273º 35' 36" f) 214º 11' 36"
g) 31º 24' 56" h) 39º 24' 57"
i) 25º 02' 34" j) 06º 55' 23" 
 
02) 60º
03) 117º
04) 72º
05) 60º e 120º
06) 17º e 107º
07) 225º / 7
08)
a) 41º b) 64º c) 14º d) 14º e) 47º
f) 36º g) 62º h) 33º i ) 75º j) 34º
k) 113º l) 53º 
09) 270º
10) 240º
11) 210º
12) 180º
13) 2m
14) c
15) 70º, 80º e 30º
16) 25º
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
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30
Respostas dos exercícios complementares da Aula 01
01)
a) 43º b) 123º c) 107º d) 107º e) 49º
f) 46º g) 55º h) 55º i) 30º j) 49º
k) 55º l) 130º m) 43º n) 122º o) 39º
p) 119º q) 133º r) 10º/3 s) 71º t) 96º
u) 104º v) 46º x) 123º z) 108º
02)a) 48º b) 51º c) 29º d) 112º e) 18º
f) 111º g) 42º h) 70º i) 40º/3 j) 45º
k) 90º l) 43º m) 14º n) 180º/7 o) 20º
p) 68º q) 30º r) 15º s) 75º t) 60º
u) 120º v) 60º x) 150º z) 116º
03) 143º, 37º e 143º
04) 36º, 18º e 144º
05) 20º, 60º, 80º e 60º
06) 100º
07) 33º
08) 19º
09) 22º, 44º e 110º
10) 50º, 60º e 70º
11) 70º
12) 270º
13) 10º
14) 36º
15) x = 8y
16) y = 3x
17) demonstração
18) 40º
19) demonstração
20) x = y - z
21) c
22) 540º
23) 50º
24) 130º
25) demonstração
26) d
27) 360º
28) 45º
29) 360º
30) 180º
31) 540º
32) 65º
33) demonstração
34) 130º
35) 24º
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
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31
mediana
mediatriz
bissetriz
altura
M
ponto médio
Mediana - É o segmento que une o vértice ao ponto 
médio do lado oposto.
Mediatriz - É a reta perpendicular ao lado do triângulo 
pelo seu ponto médio.
Bissetriz - É a semi-reta de origem no vértice que 
divide o ângulo em dois ângulos congruentes.
Altura - É a distância entre o vértice e a reta suporte 
do lado oposto.
Todo triângulo tem:
 3 medianas
 3 bissetrizes
 3 mediatrizes
 3 alturas
Pontos notáveis do triângulo 
B
I
C
O
- baricentro
- incentro
- circuncentro
- ortocentro
Segmentos notáveis do triângulo.
A
B M C
NP
G
Baricentro (G).
 É o ponto de encontro das 3 medianas do triângulo.
Propriedade.
 O baricentro divide cada mediana em 2 segmentos. 
O segmento que contém o vértice é o dobro do segmen-
to que contém o ponto médio do lado oposto. 
(razão 2 : 1)
 Observação - As três medianas dividem o triângulo 
original em seis triângulos de mesma área.
SS
S
S S
S
S
2x
x
AG = 2.GM
BG = 2.GN
CG = 2.GP
Incentro (I).
 É o ponto de encontro das 3 bissetrizes do triângulo.
Propriedade.
 O incentro é o centro da circunferência inscrita (inter-
na) no triângulo.
 O incentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 
lados do triângulo.
I
a
a
b
b
g
g
r
r - raio da circunferência inscrita.
Circuncentro (C).
 É o ponto de encontro das 3 mediatrizes do triângulo.
Propriedade.
 O circuncentro é o centro da circunferência circuns-
crita (externa) ao triângulo.
 O circuncentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 
vértices do triângulo.
C
R
mediatriz
ponto médio
R - raio da circunferência
 circunscrita.
Ortocentro (O).
 É o ponto de encontro das 3 alturas do triângulo.
Propriedade.
 Não tem.
hA
h B
h C
B
C
A
O
ortocentro
A
A
B
B
C
C
hA
h B
h
CO
hA
h B
hC
O
Área de cada triângulo
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 02
Pontos notáveis de um triângulo.
Jeca 18
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geometria plana
32
Observações.
1) O baricentro e o incentro sempre 
estão localizados no interior do 
triângulo.
2) O circuncentro e o ortocentro 
podem estar localizados no exterior 
do triângulo.
3) Num triângulo isósceles, os quatro 
pontos notáveis (BICO: baricentro, 
incentro, circuncentro e ortocentro) 
estão alinhados.
4) No triângulo retângulo, o ortocen-
tro é o vértice do ângulo reto e o cir-
cuncentro é o ponto médio da hipo-
tenusa.
I
O
G
C
mediana
mediatriz
bissetriz
altura
mediatriz
mediana
bissetriz
altura
R C R
hipotenusa
ortocentro
circuncentro
R
r
hl l
l
Triângulo eqüilátero.
(importante)
 Em todo triângulo eqüilátero, os 
quatro pontos notáveis (baricentro, 
incentro, circuncentro e ortocentro) 
estão localizados num único ponto.
- lado do triângulo eqüilátero.
- raio da circunferência inscrita.
- raio da circunferência circunscrita.
- altura do triângulo.
r
R
h
l
BICO
R = 2r
e
h = 3r
r
r
r
01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm, determinar :
a) a altura do triângulo.
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo.
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
d) o que o ponto O é do triângulo.
R
r
hl l
l
O
A
B C
O
02) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está 
inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BAO 
mede 33º e que o ângulo ABC mede 56º, determine a 
medida do ângulo AOC.
A
B C
O
03) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está 
inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BOC 
mede 126º , encontre a medida do ângulo BAC.
Jeca 19
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geometria plana
33
Observações.
1) O baricentro e o incentro sempre 
estão localizados no interior do 
triângulo.
2) O circuncentro e o ortocentro 
podem estar localizados no exterior 
do triângulo.
4) No triângulo retângulo, o ortocen-
tro é o vértice do ângulo reto e o cir-
cuncentro é o ponto médio da hipo-
tenusa.
I
O
G
C
mediana
mediatriz
bissetriz
altura
mediatriz
mediana
bissetriz
altura
R C R
hipotenusa
ortocentro
circuncentro
R
r
hl l
l
Triângulo eqüilátero.
(importante)
 Em todo triângulo eqüilátero, os 
quatro pontos notáveis (baricentro, 
incentro, circuncentro e ortocentro) 
estão localizados num único ponto.
- lado do triângulo eqüilátero.
- raio da circunferência inscrita.
- raio da circunferência circunscrita.
- altura do triângulo.
r
R
h
l
BICO
R = 2r
e
h = 3r
r
r
r
01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm, determinar :
a) a altura do triângulo.
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo.
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
d) o que o ponto O é do triângulo.
R
r
hl
l
O
A
B C
O
02) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está 
inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BAO 
mede 33º e que o ângulo ABC mede 56º, determine a 
medida do ângulo AOC.
A
B C
O
03) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está 
inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BOC 
mede 126º , encontre a medida do ângulo BAC.
Jeca 19
33º
28º
28º
x
y
y
33º
2y + 66 + 56 = 180
y = 29º
x + 33 + 29 = 180
x = 180 - 62 = 118º
(resp)
60º
10
 c
m
a) sen 60º =
co
hip
h
10
=
3
2
=
h
10
h = 5 3 cm
b) r = h/3 = 5 3 / 3 cm
c) R = 2.r = 10 3 / 3 cm
d) O ponto O é o "BICO"
Baricentro
Incentro
Circuncentro
Ortocentro
126º
a
a
b b
q
q
a + q + 126 = 180
a + q = 54º
2a + 2q + 2b = 180
2(a + q) + 2b = 180
2 . 54 + 2b = 180
2b = 72º (resp)
3) Num triângulo isósceles, os quatro 
pontos notáveis (BICO: baricentro, 
incentro, circuncentro e ortocentro) 
estão alinhados.
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geometria plana
34
04) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :
a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.
b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
c) o lado do triângulo.
A
B C
D
EF
G
07) Na figura abaixo, os pontos E, F e G são os pontos 
médios dos lados do triângulo ABC. Se AB = 2x, 
AC = 2y, BC = 2z, AG = 3w, BE = 3k e FC = 3n, 
determine o perímetro do triângulo BDG, em função de 
x, y, z, w, k e n.
A
B CD
E
F
08) Na figura abaixo, F é o ortocentro do triângulo ABC. 
Determine a medida do ângulo DFE sabendo que os 
ângulos BAC e BCA medem, respectivamente, 58º 
e 70º.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 20
05) O triângulo ABC tem ladosque medem 6 cm, 8 
cm e 10 cm. Determine a distância entre o ortocentro 
e o baricentro desse triângulo.
06) Sendo G e C , respectivamente, o baricentro e 
o circuncentro de um triângulo retângulo cujos cate-
tos medem 6 cm e 8 cm, determine a medida do seg-
mento GC.
R
r
hl l
l
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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35
04) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :
a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.
b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
c) o lado do triângulo.
07) Na figura abaixo, os pontos E, F e G são os pontos 
médios dos lados do triângulo ABC. Se AB = 2x, 
AC = 2y, BC = 2z, AG = 3w, BE = 3k e FC = 3n, 
determine o perímetro do triângulo BDG, em função de 
x, y, z, w, k e n.
08) Na figura abaixo, F é o ortocentro do triângulo ABC. 
Determine a medida do ângulo DFE sabendo que os 
ângulos BAC e BCA medem, respectivamente, 58º 
e 70º.
(GeoJeca)
Jeca 20
05) O triângulo ABC tem lados que medem 6 cm, 8 
cm e 10 cm. Determine a distância entre o ortocentro 
e o baricentro desse triângulo.
06) Sendo G e C , respectivamente, o baricentro e 
o circuncentro de um triângulo retângulo cujos cate-
tos medem 6 cm e 8 cm, determine a medida do seg-
mento GC.
B C
D
EF
G
A
B CD
E
F
x
x
y
y
z z
w
2w
k
2k
n
2n
Per = 2p = z + w + 2k (resp)
Ortocentro - encontro das alturas
58º
70º
x
y
y + 58 + 70 = 180
y = 52º
y + 90 + x + 90 = 360
x = 128º (resp)
A (GeoJeca)
R
r
hl l
l
60º
c) sen 60º =
co
hip
h
=
3
2
=
3
a) r = h/3 = 3/3 = 1 cm
b) R = 2.r = 2 . 1 = 2 cm
l
l
l . 3 = 6
= 6 3 /3 = 2 3 cml
Esse triângulo é retângulo 6 , 8 , 10 (3 , 4 , 5)
A B
C
D
E
Propriedades.
1) Todo triângulo retângulo 
pode ser inscrito numa se-
micircunferência.
2) O baricentro divide cada 
mediana na razão 2 : 1. 
AC e AB são alturas.
Portanto A é ortocentro
Pela propriedade 1, tem-se
AD = CD = BD = raio = 5 
D é ponto médio de BC.
Portanto AD é uma mediana.
Portanto, se E é o baricentro, então AE = 2 . ED
Distância entre o ortocentro A e o baricentro E
d = 2 . AD /3 = 2 . 5 /3 = 10/3 cm (resp)
A B
C
D
E
Propriedades.
1) Todo triângulo retângulo 
pode ser inscrito numa se-
micircunferência.
2) O baricentro divide cada 
mediana na razão 2 : 1. 
3) Em todo triângulo retân-
gulo o circuncentro é o pon-
tom médio da hipotenusa.
Pela propriedade 1, tem-se
AD = CD = BD = raio = 5 
D é o circuncentro pois é o ponto médio de BC.
Portanto AD é uma mediana.
Portanto, se E é o baricentro, então AE = 2 . ED
Distância entre o circuncentro D e o baricentro E
d = AD /3 = 5 /3 cm (resp)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Se esse triângulo é retângulo, então BC = 10 cm
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geometria plana
36
A B
C
D
E
09) Na figura abaixo, E é o ortocentro do triângulo 
equilátero ABC. Sabendo que CD = k, determine, em 
função de k, as medidas dos segmentos CE, ED e 
AE.
Peroba
Jatobá
Sibipiruna
10) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o 
mapa da localização faz menção a três grandes árvores 
do local. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice de 
um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o 
segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. Como é 
possível localizar o tesouro no local ?
A
B CD E
G
F
2
11) O triângulo ABC da figura tem área 120 cm . 
Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se as 
afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F).
( ) G é o baricentro do triângulo ABC.
2
( ) A área do triângulo AEC é 40 cm .
2
( ) A área do triângulo BFG é 40 cm .
A
B CD
EF
G
12) No triângulo ABC abaixo, F, D e E são os pontos 
médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do 
ângulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine:
a) a área do triângulo ABC;
b) a área do triângulo AFG;
c) a área do quadrilátero BCAG.
13) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas 
casas, sendo que as casas não são colineares e estão 
localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um 
poço de modo que ele fique à mesma distância das 
três casas. Supondo que a fazenda é “plana”, com 
seus conhecimentos de geometria, que sugestão 
poderia dar a eles ? Justifique o seu raciocínio.
14) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, na 
praça central, uma estátua em homenagem a Tiraden-
tes. Descubra, na planta a seguir, em que local essa 
estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá 
ficar a uma mesma distância das três ruas que 
determinam a praça.
Rua 2
Rua
 1
R
ua
 3
Jeca 21
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37
A B
C
D
E
09) Na figura abaixo, E é o ortocentro do triângulo 
equilátero ABC. Sabendo que CD = k, determine, em 
função de k, as medidas dos segmentos CE, ED e 
AE.
Peroba
Jatobá
Sibipiruna
10) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o 
mapa da localização faz menção a três grandes árvores 
do local. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice de 
um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o 
segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. Como é 
possível localizar o tesouro no local ?
A
B CD E
G
F
2
11) O triângulo ABC da figura tem área 120 cm . 
Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se as 
afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F).
( ) G é o baricentro do triângulo ABC.
2
( ) A área do triângulo AEC é 40 cm .
2
( ) A área do triângulo BFG é 40 cm .
(AE não é mediana)
A
B CD
EF
G
12) No triângulo ABC abaixo, F, D e E são os pontos 
médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do 
ângulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine:
a) a área do triângulo ABC;
b) a área do triângulo AFG;
c) a área do quadrilátero BCAG.
13) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas 
casas, sendo que as casas não são colineares e estão 
localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um 
poço de modo que ele fique à mesma distância das 
três casas. Supondo que a fazenda é “plana”, com 
seus conhecimentos de geometria, que sugestão 
poderia dar a eles ? Justifique o seu raciocínio.
14) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, na 
praça central, uma estátua em homenagem a Tiraden-
tes. Descubra, na planta a seguir, em que local essa 
estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá 
ficar a uma mesma distância das três ruas que 
determinam a praça.
Rua 2
Rua
 1
R
ua
 3
Jeca 21
Triângulo equilátero
 BICO
ED = CD/3 = k/3
CE = AE = 2.ED = 2k/3
(resp)
J
S
Tesouro
P
JS é um lado do triângulo (J e S são vértices)
A altura h obrigatoriamente passa por S e pelo ortocentro P.S
A altura h obrigatoriamente faz 90º com o lado oposto a S.S
A altura h passa por P e faz 90º com o lado oposto a J.J
O terceiro vértice do triângulo será o ponto de intersecção das 
retas ST e JT.
O ortocentro de um triân-
gulo é o ponto de encon-
tro das 3 alturas do tri-
ângulo.
T
hS
hJ
A
B CD E
G
F
40
2
cm
40
2
cm
40
2
cm
80/3
80/3
80/3
F
V
F
Propriedade - Em todo triângulo, as 
três medianas dividem o triângulo 
original em 6 triângulos menores 
de mesma área
2
a) S = (1/2).a.b.sen a = (1/2) . 14 . 12 . (1/2) = 42 cmABC
2
b) S = S / 6 = 42/6 = 7 cmAFG ABC
2
c) S = 4 . 7 = 28 cmBCAG
(resp)
2
7 cm
2
7 cm
2
7 cm
2
7 cm
2
7 cm
2
7 cm
J
P
M
Poço
mediatriz
 O poço deve ser construído no 
circuncentro do triângulo formado 
pelas três casas.
 O circuncentro é o ponto de en-
contro das três mediatrizes do tri-
ângulo.
O circuncentro é o ponto do plano 
equidistante dos três vértices do tri-
ângulo.
R
R
R
r
rr
 A estátua deve ser colocada no incentro do triângulo.
 O incentro é o ponto de encontro das três bissetrizes dos ângu-
los internos do triângulo.
 O incentro é o ponto do plano equidistante dos três lados do tri-
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geometria plana
38
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Pontos notáveis de um triângulo.
Exercícios complementares da aula 02.
01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar :
a) a altura do triângulo;
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo;
d) o que o ponto O é do triângulo.
R
r
h
O
k
kk
A
BC
D
E
FG
R
S
P
Q
03) Na figura, AG e AF, dividem o ângulo BAC em três 
ângulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, divi-
dem o ângulo ACB em três ângulos congruentes. 
Assinale a alternativa correta.
a) P é incentro de algum triângulo construído na figura.
b) Q é incentro de algum triângulo construído na figura.
c) R é incentro de algum triângulo construído na figura.
d) S é incentro de algum triângulo construído na figura.
e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.
T1
T2
O
R
04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e 
centro O consideram-se, como na figura, os triângulos 
equiláteros T , inscrito, e T , circunscrito. Determine 1 2
a razão entre a altura de T e a altura de T .2 1
Jeca 22
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
02) Na figura abaixo, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas, as 
três mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro do 
triângulo.
A
B
C
I
(GeoJeca)
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geometria plana
39
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Pontos notáveis de um triângulo.
Exercícios complementares da aula 02.
03) Na figura, AG e AF, dividem o ângulo BAC em três 
ângulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, divi-
dem o ângulo ACB em três ângulos congruentes. 
Assinale a alternativa correta.
04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e 
centro O consideram-se, como na figura, os triângulos 
equiláteros T , inscrito, e T , circunscrito. Determine 1 2
a razão entre a altura de T e a altura de T .2 1
Jeca 22
(GeoJeca)
02) Na figura abaixo, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas, as 
três mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro do 
triângulo.
A (GeoJeca)
B
C
I G C
O
A
BC
D
E
FG
R
S
P
Q
a) P é incentro de algum triângulo construído na figura.
b) Q é incentro de algum triângulo construído na figura.
c) R é incentro de algum triângulo construído na figura.
d) S é incentro de algum triângulo construído na figura.
e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.
T1
T2
O
a a a
q
q
q
AR é uma bissetriz
CP é uma bissetriz
S é incentro do D ACQ.
 (resp. d)
R
R
R
h = 3R2
h = 3R/21
h / h = 3R / 3R/22 1
h / h = 2 (resp)2 1
01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar :
a) a altura do triângulo;
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo;
d) o que o ponto O é do triângulo.
R
r
h
O
k
kk
60º
a) sen 60º = h/k
Portanto h = k 3 /2
b) r = h/3 = k 3 / 6
c) R = 2r = k 3 / 3
d)
 - baricentro
 - incentro
 - circuncentro
 - ortocentro
B
I
C
O
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geometria plana
40
05) Na figura abaixo, os pontos M, N e P são médios 
dos lados a que pertencem. Provar que G é o baricentro 
do triângulo ABC e que BG = 2.GN.
A
B C
M N
P
G
06) Na figura abaixo, o ponto I é o centro da circunfe-
rência inscrita no triângulo ABC. Sendo DE paralelo a 
BC, AB = 8 cm e AC = 11 cm, determinar o perímetro do 
triângulo ADE. 
A
B C
D E
I
A
B C
D
E
M
07) No triângulo ABC da figura, BC = 10 cm e M é o 
ponto médio de BC. Sabendo que D e E são os pés 
das alturas BD e CE, determine o valor de EM + DM.
RESOLUÇÃO - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em 
uma semi-circunferência.
A
B
C
D
08) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, os 
segmentos AD e DB são congruentes e o ângulo CAD 
mede 65º. Determine a medida do ângulo BDC.
A
B C
O
09) No triângulo ABC abaixo, ABC = 70º e ACB = 40º.
Determine a medida do ângulo BOC, sabendo-se que o 
ponto O é o ortocentro do triângulo ABC.
A
B C
D
E F
40º
10) No triângulo ABC abaixo, D é ponto médio do la-
do AC e CE é a bissetriz do ângulo ACB. Determine 
a medida do ângulo BFC.
A
B C
D
11) Na figura abaixo, D é o centro da circunferência 
inscrita no triângulo retângulo ABC. Determine a me-
dida do ângulo ADC.
12) (Fuvest) Um triângulo ABC, tem ângulos A = 40º 
e B = 50º. Qual é a medida do ângulo formado pelas 
alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo ?
a) 30º
b) 45º
c) 60º
d) 90º 
e) 120º
Jeca 23
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41
05) Na figura abaixo, os pontos M, N e P são médios 
dos lados a que pertencem. Provar que G é o baricentro 
do triângulo ABC e que BG = 2.GN.
A
B C
M N
P
G
A
B C
D E
I
A
B C
D
E
M
07) No triângulo ABC da figura, BC = 10 cm e M é o 
ponto médio de BC. Sabendo que D e E são os pés 
das alturas BD e CE, determine o valor de EM + DM.
RESOLUÇÃO - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em 
uma semi-circunferência.
A
B
C
D
08) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, os 
segmentos AD e DB são congruentes e o ângulo CAD 
mede 65º. Determine a medida do ângulo BDC.
A
B C
O
09) No triângulo ABC abaixo, ABC = 70º e ACB = 40º.
Determine a medida do ângulo BOC, sabendo-se que o 
ponto O é o ortocentro do triângulo ABC.
A
B C
D
E
40º
10) No triângulo ABC abaixo, D é ponto médio do la-
do AC e CE é a bissetriz do ângulo ACB. Determine 
a medida do ângulo BFC.
A
B C
D
11) Na figura abaixo, D é o centro da circunferência 
inscrita no triângulo retângulo ABC. Determine a me-
dida do ângulo ADC.
12) (Fuvest) Um triângulo ABC, tem ângulos A = 40º 
e B = 50º. Qual é a medida do ângulo formado pelas 
alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo ?
a) 30º
b) 45º
c) 60º
d) 90º 
e) 120º
Jeca 23
 Se M, N e P são pontos mé-
dios, então AP, BN e CM são 
medianas.
Portanto G é baricentro
R S
Seja R o ponto médio
do segmento BG e S o
ponto médio de GC.
 MN // BC // RS
 MN = RS = BC/2
MNSR é um paralelogramo.
BR = RG = GN
Portanto BG = 2.GN (CQD)
a q
a q
qa
x
x y
y
8 - x 11 - y
AB = AD + DB = AD + DI
AD + DI = 8
AC = AE + EC = AE + EI
AE + EI = 11
Per = AD + DI + AE + EI = 8 + 11 = 19 cm (resp)
06) Na figura abaixo, o ponto I é o centro da circunfe-
rência inscrita no triângulo ABC. Sendo DE paralelo a 
BC, AB = 8 cm e AC = 11 cm, determinar o perímetro do 
triângulo ADE. 
R
R
R R
BM = MC = ME = MD = R = 5
ME + MD = 10 cm
 (resp)
R R
R
65º
65º
x
x é ângulo externo
x = 65 + 65
x = 130º (resp)
40º
70º
x
y
y + 70 + 40 = 180
y = 70º
ADOE é um quadrilátero
y + 90 + x + 90 = 360
x = 360 - 250 = 110º (resp)
D
E
x
a
a
x
RR F
40º
50º
2a + 90 + 40 = 180
a = 25º
a + x + 50 = 180
25 + x + 50 = 180
x = 105º (resp)
a a
q
q
x
2a + 2q + 90 = 180
2(a + q) = 180 - 90
a + q = 45º
x + a + q = 180
x = 135º (resp)
B
A
C
hA
hB
x
x = 90º (resp d)
 Num triângulo retângulo, os dois 
catetos são duas das três alturas do 
triângulo.
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geometria plana
42
A
B C
E
D
F
13) Considere o triângulo ABC da figura e assinale a 
afirmativa falsa.
a) F é o ortocentro do DABC.
b) A é o ortocentro do DFBC.
c) Os circuncentros do DBDC e do DBEC coincidem.
d) BF = 2.FE.
e) O DABC é acutângulo.
A
B CD
E
14)No triângulo ABC da figura abaixo, as medianas 
AD e BE são perpendiculares entre si. Sabendo que 
BC = 6 e AC = 8, determine a medida de AB.
130º
12
0º
11
0
º
D
A
B C
16) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no 
triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o incentro do 
triângulo.
A
B
C
15) Na figura abaixo, o círculo inscrito no triângulo 
ABC tem área S e os ângulos A e B medem 50º e 
70º, respectivamente. Determine as áreas dos setores 
circulares S , S e S , em função de S.1 2 3
S1
S2
S3
17) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no 
triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o circuncen-
tro do triângulo.
D
A
B C
110º
12
0º
130º
A
B
C
O
18) Na figura, a circunferência de centro O está 
inscrita no setor circular de centro A, raio AB = 15 cm e 
ângulo central BAC = 60º. Determine o raio da circun-
ferência.
A
B C
D
19) O triângulo ABC da figura é retângulo em A e os 
triângulos ABD, BCD e ACD são equivalentes (têm a 
mesma área). Sendo BC = 18 cm, determine a medida 
do segmento AD.
A
B C
P
20) No triângulo ABC da figura, BAC = 50º. Se P for 
o incentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC 
é x; no entanto, se P for o ortocentro do triângulo 
ABC, a medida do ângulo BPC é y. Determine a 
razão entre x e y.
A
B C
P
Jeca 24
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43
A
B C
E
D
F
13) Considere o triângulo ABC da figura e assinale a 
afirmativa falsa.
a) F é o ortocentro do DABC.
b) A é o ortocentro do DFBC.
c) Os circuncentros do DBDC e do DBEC coincidem.
d) BF = 2.FE.
e) O DABC é acutângulo.
A
B CD
E
14) No triângulo ABC da figura abaixo, as medianas 
AD e BE são perpendiculares entre si. Sabendo que 
BC = 6 e AC = 8, determine a medida de AB.
130º
12
0º
11
0
º
D
A
B C
16) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no 
triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o incentro do 
triângulo.
A
B
C
15) Na figura abaixo, o círculo inscrito no triângulo 
ABC tem área S e os ângulos A e B medem 50º e 
70º, respectivamente. Determine as áreas dos setores 
circulares S , S e S , em função de S.1 2 3
S1
S2
S3
17) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no 
triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o circuncen-
tro do triângulo.
D
A
B C
110º
12
0º
130º
A
B
C
O
18) Na figura, a circunferência de centro O está 
inscrita no setor circular de centro A, raio AB = 15 cm e 
ângulo central BAC = 60º. Determine o raio da circun-
ferência.
A
B C
D
19) O triângulo ABC da figura é retângulo em A e os 
triângulos ABD, BCD e ACD são equivalentes (têm a 
mesma área). Sendo BC = 18 cm, determine a medida 
do segmento AD.
A
B C
P
20) No triângulo ABC da figura, BAC = 50º. Se P for 
o incentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC 
é x; no entanto, se P for o ortocentro do triângulo 
ABC, a medida do ângulo BPC é y. Determine a 
razão entre x e y.
A
B C
P
Jeca 24
 A alternativa d) é falsa 
pois F não é o baricentro e 
BE não é uma mediana.
x
2x
y
2y
w
3
4
4
3
F
Pitágoras
2 2 2
(2x) + y = 4
2 2
4x + y = 16
2 2 2
x + (2y) = 3
2 2
x + 4y = 9
2 2
5x + 5y = 25
2 2
4x + y = 16
2 2
x + 4y = 9
Portanto
2 2
x + y = 5
2 2 2 2 2 2 2
w = (2x) + (2y) = 4x + 4y = 4(x + y ) = 4 . 5 = 20
w = 20 = 2 5 (resp)
I
I é o incentro do triângulo
(ponto de encontro das bissetrizes)
25º
35º
25º
35º
x
x
ab
q
2x + 50 + 70 = 180
x = 30º
a + 35 + 30 = 180 a = 115º
b + 35 + 25 = 180 b = 120º
q = 125º
S 1 =
115
360
S = S
23
72
S 2 =
125
360
S = S
25
72
S 3 =
120
360
S = S
1
3
a
b
q
a
b
q
a + b = 180 - 120
a + b = 60
2a + 2b + 2q = 180
2(a + b) + 2q = 180
2q = 60
q = 30º
a = 20º
b = 40º
A = 2b = 80º
B = 2a = 40º
C = 2q = 60º
(resp)
R
R R
30º
35º
25º
25º
30º
35º
A = 55º
B = 65º
C = 60º
(resp) 30º
15 - R R
R
15
sen 30º =
co
hip
R
15 - R
=
R
15 - R
=
1
2
2r = 15 - R
3R = 15
R = 5 cm (resp)
SS
S
S S
S
E
FH
 Se os triângulos têm 
a mesma área, então 
AE, BF e CH são medi-
anas.
9 cm 9 cm
AE = BE = CE = R
AE = 9 cm
AD = 6 cm (resp)
x
25º
a q
a q
25º
P é incentro
(bissetrizes)
a + q = 65º
x = 115º
50º
90º
90ºy
y
P é ortocentro
(alturas)
y = 130º
x/y = 115/130 = 23/26 (resp)
D é baricentro
 (2 : 1)
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44
A
B C
DM
P
21) Na figura, ABCD é um retângulo, M é ponto mé-
dio de AD e o triângulo BMC é equilátero. Determine 
a medida do segmento PM, sabendo que BC = 12 cm.
22) (UFMG) Na figura abaixo, AD = BD, ACD = 60º e 
o ângulo DAC é o dobro do ângulo DBA. Determine a 
razão AC / BC.
A
B D C
A
B C
R
M N
P
23) No triângulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontos 
médios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm 
e AR = 10 cm, determinar :
a) O que são os segmentos AP, BN e CM para o 
triângulo ABC.
b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R.
c) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR.
A
B C
O
q
b
g
a
24) Na figura ao lado, O é o centro da circunferência 
inscrita no triângulo ABC que é retângulo em B. Sendo 
m(ACB) = 30º, determinar as medidas dos ângulos a, 
b, g e q e dizer o que a semirreta CO significa para o 
ângulo ACB.
B C
D
A
EF
G
25) Na figura abaixo, as retas FD, ED e GD encon-
tram-se no ponto D, e os pontos E, F e G são os 
pontos médios dos lados do triângulo ABC. Para o 
triângulo ABC, dizer como se denomina o ponto D e o 
que é a reta FD.
26) (UEM-PR) Em um plano a, a mediatriz de um 
segmeno de reta AB é a reta r que passa pelo ponto 
médio do segmento de reta AB e é perpendicular a 
esse segmento. Assinale a alternativa incorreta.
a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância 
de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto 
B.
b) A intersecção das mediatrizes de dois lados de um 
triângulo qualquer em a é o circuncentro do triângu-
lo.
c) Qualquer ponto do plano a que não pertença à 
reta r não equidista dos extremos do segmento AB.
d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem 
se interceptar em três pontos distintos.
e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta 
AB em a.
Jeca 25
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45
A
B C
DM
P
21) Na figura, ABCD é um retângulo, M é ponto mé-
dio de AD e o triângulo BMC é equilátero. Determine 
a medida do segmento PM, sabendo que BC = 12 cm.
22) (UFMG) Na figura abaixo, AD = BD, ACD = 60º e 
o ângulo DAC é o dobro do ângulo DBA. Determine a 
razão AC / BC.
A
B D C
A
B C
R
M N
P
23) No triângulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontos 
médios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm 
e AR = 10 cm, determinar :
a) O que são os segmentos AP, BN e CM para o 
triângulo ABC.
b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R.
c) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR.
A
B C
O
q
b
g
a
24) Na figura ao lado, O é o centro da circunferência 
inscrita no triângulo ABC que é retângulo em B. Sendo 
m(ACB) = 30º, determinar as medidas dos ângulos a, 
b, g e q e dizer o que a semirreta CO significa para o 
ângulo ACB.
B C
D
A
EF
G
25) Na figura abaixo, as retas FD, ED e GD encon-
tram-se no ponto D, e os pontos E, F e G são os 
pontos médios dos lados do triângulo ABC. Para o 
triângulo ABC, dizer como se denomina o ponto D e o 
que é a reta FD.
26) (UEM-PR) Em um plano a, a mediatriz de um 
segmeno de reta AB é a reta r que passa pelo ponto 
médio do segmento de reta AB e é perpendicular a 
esse segmento. Assinale a alternativa incorreta.
a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância 
de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto 
B.
b) A intersecção das mediatrizes de dois lados de um 
triângulo qualquer em a é o circuncentrodo triângu-
lo.
c) Qualquer ponto do plano a que não pertença à 
reta r não equidista dos extremos do segmento AB.
d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem 
se interceptar em três pontos distintos.
e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta 
AB em a.
Jeca 25
 No triângulo ABD, BM é uma mediana.
Como E é ponto médio de BD, AE também
é uma mediana.
P é o baricentro (encontro das medianas)
BC = BM = 12 cm.
PM = BM / 3 = 12 / 3 = 4 cm (resp) 
E 60º
=
=
a
2a
a
4a + 60 = 180
a = 30º
Portanto 
2a = 60º
O triângulo ADC é isósceles.
AD = DC = BC
AC / BC = 1/2 (resp)
10
7 6
5 1412
a) medianas
b) baricentro
c) CR = 14 cm
 BR = 12 cm
 PR = 5 cm
 (resp)
15º
15º
45º
45º
30º
30º
O é o incentro.
Ponto de encontro das bissetrizes.
a = 15º
b = 45º
g = 120º
q = 30º
CO é bissetriz
 (resp)
D é o circuncentro do triângulo.
FD é a mediatriz do lado AB do triângulo. (resp)
d é incorreta.
As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se no
mesmo ponto, que é denominado circuncentro do triângulo.
 (resp)
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46
Respostas dos exercícios da Aula 02.
01)
a) (5 3 ) cm
b) (5 3 / 3) cm
c) (10 3 / 3) cm
d) Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro.
02) 118º
03) 72º
04) 
a) 1 cm
b) 2 cm
c) 2 3 cm
05) 10/3 cm
06) 5/3 cm
07) 2k + w + z
08) 128º
09) 2k / 3 , k / 3 e 2k / 3
10) 
11) F , V e F
12) 
2
a) 42 cm
2
b) 7 cm
2
c) 28 cm
13) O poço deve localizar-se no circuncentro do
triângulo cujos vértices são as três casas.
14) A estátua deve ser colocada no incentro do
triângulo formado pelas três ruas.
Peroba
Jatobá
Sibipiruna
tesouro
O
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
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47
Respostas dos exercícios complementares da Aula 02.
01)
a) k 3 / 2
b) k 3 / 6
c) k 3 / 3
d) BICO
02)
03) d
04) 2
05) 
06) 19 cm
07) 10 cm
08) 130º
09) 110º
10) 105º
11) 135º
A
B C
M N
P
G
S R
S é ponto médio de BG
R é ponto médio de CG
MNRS é um paralelogramo
Portando, SG = GN = BS
Razão 2 : 1
12) d
13) d
14) 2 5 
15) 23 S / 72, 25 S / 72 e S / 3
16) 80º, 40º e 60º
17) 55º, 65º e 60º
18) 5 cm
19) 6 cm
20) 23 / 26
21) 4 cm
22) 1 / 2
23) 
a) medianas
b) baricentro
c) 14 cm, 12 cm e 5 cm
24) 15º, 45º, 120º, 30º e bissetriz
25) circuncentro e mediatriz
26) d
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Jeca 27
A
B
C
G CI
O
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48
A
B C EF
D Dois triângulos são congruentes se têm os lados 
dois a dois ordenadamente congruentes e os ângu-
los dois a dois ordenadamente congruentes.
DABC DDEF 
A D
B E
C F
AB DE
AC DF
BC EF
Casos de congruência.
1) L.A.L.
2) A.L.A.
3)L.L.L.
4) L.A.AO
5) Caso especial (CE)
Onde:
L - lado.
A - ângulo junto ao lado.
A - ângulo oposto ao lado.O
Caso especial (CE).
 Dois triângulos retângulos são 
congruentes se têm as hipotenusas 
congruentes e um cateto de um 
triângulo é congruente a um cateto 
do outro triângulo
Observação.
 A posição de cada elemento do 
triângulo (lado ou ângulo) no dese-
nho é muito importante na caracteri-
zação do caso de congruência.
L.A.L. - dois lados e o ângulo entre 
eles.
A.L.A. - dois ângulos e o lado entre 
eles.
01) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e os segmentos AD e CD 
são congruentes. Prove que os triângulos ABD e CBD são congruentes.
02) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e BD é a bissetriz do ângu- 
lo ADC. Prove que os segmentos AB e CB são congruentes.
A
B
C
D
03) Na figura ao lado, os segmentos AB e BC são congruentes e os segmen-
tos AD e CD também. Prove que os ângulos A e C são congruentes.
A
B
C
D
A
B
C
D
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 03
Congruência de triângulos.
Jeca 28
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49
A
B C EF
D Dois triângulos são congruentes se têm os lados 
dois a dois ordenadamente congruentes e os ângu-
los dois a dois ordenadamente congruentes.
DABC DDEF 
A D
B E
C F
AB DE
AC DF
BC EF
Casos de congruência.
1) L.A.L.
2) A.L.A.
3)L.L.L.
4) L.A.AO
5) Caso especial (CE)
Onde:
L - lado.
A - ângulo junto ao lado.
A - ângulo oposto ao lado.O
Caso especial (CE).
 Dois triângulos retângulos são 
congruentes se têm as hipotenusas 
congruentes e um cateto de um 
triângulo é congruente a um cateto 
do outro triângulo
Observação.
 A posição de cada elemento do 
triângulo (lado ou ângulo) no dese-
nho é muito importante na caracteri-
zação do caso de congruência.
L.A.L. - dois lados e o ângulo entre 
eles.
A.L.A. - dois ângulos e o lado entre 
eles.
01) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e os segmentos AD e CD 
são congruentes. Prove que os triângulos ABD e CBD são congruentes.
02) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e BD é a bissetriz do ângu- 
lo ADC. Prove que os segmentos AB e CB são congruentes.
A
B
C
D
03) Na figura ao lado, os segmentos AB e BC são congruentes e os segmen-
tos AD e CD também. Prove que os ângulos A e C são congruentes.
A
B
C
D
A
B
C
D
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 03
Congruência de triângulos.
Jeca 28
A = C = 90º (A) dado do exercício
AD CD (L) dado do exercício
BD BD (L) lado comum
Pelo caso especial (HC), tem-se:
DABD DCBD (CQD)
A = C = 90º (A) dado do exercício
ADB CDB (A) BD é bissetriz
BD BD (L) lado comum
Pelo caso L.A.A , tem-se:O
DABD DCBD AB CB (CQD)
=
AB BC (L) - dado do enunciado
AD CD (L) - dado do enunciado
BD BD (L) - lado comum
Pelo caso L.L.L., tem-se:
D ABD D CBD A C (CQD)
=
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50
r
s
O
M P
C A
B
D
04) (importante) Na figura abaixo, AB é uma corda da circunferência de centro C. Provar que se o raio CD é 
perpendicular à corda AB, então M é ponto médio de AB.
A B
M
P
mediatriz
M
05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz, mediana e 
mediatriz.
A
B CH
Jeca 29
06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio, 
provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das extremidades A e B do segmento.07) Dadas as retas r e s, e os pontos O, M e P, tal que M seja ponto médio do segmento OP, determine os 
pontos, A pertencente a r, e B pertencente a s, de modo que o ponto M também seja ponto médio do 
segmento AB.
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51
r
s
O
M P
07) Dadas as retas r e s, e os pontos O, M e P, tal que M seja ponto médio do segmento OP, determine os 
pontos, A pertencente a r, e B pertencente a s, de modo que o ponto M também seja ponto médio do 
segmento AB.
C A
B
D
04) (importante) Na figura abaixo, AB é uma corda da circunferência de centro C. Provar que se o raio CD é 
perpendicular à corda AB, então M é ponto médio de AB.
06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio, 
provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das extremidades A e B do segmento.
A B
M
P
mediatriz
M
05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz, mediana e 
mediatriz.
A
B CH
Jeca 29
BC = AC = R (L) raio
BMC AMC = 90º (A) perpendicular
CM CM (L) lado comum
Pelo caso especial, tem-se
DBMC DAMC
Portanto BM AM.
Então M é ponto médio de AB. (CQD)
AB AC (L) - triângulo isósceles
AH AH (L) - lado comum
BHA CHA = 90º (A) - AH é altura
Pelo caso especial, tem-se
D ABH D ACH
a) Se D ABH D ACH, então
BH CH
Portanto H é ponto médio
Então AH é mediana
b) Se D ABH D ACH, então
BAH CAH
Portanto AH é bissetriz
c) Se H é ponto médio e 
AHB = 90º , então AH é mediatriz de BC.
Observação
 Ao provar que os triângulos ABH e ACH são congruen-
tes, prova-se também que em todo triângulo isósceles os 
ângulos da base são congruentes. (B C)
AMP BMP (A) - da definição de mediatriz
AM MB )L) - da definição de mediatriz
MP MP (L) - lado comum
Pelo caso L.A.L., tem-se
D AMP D BMP AP BP (CQD)
A
B
t
Seja t // r (por construção)
OM MP (L) - dado do enunciado
PBM OAM (A) - ângulos alternos internos
AMO BMP (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso L.A.A , tem-seO
D OAM D PBM
Portanto AM MB
Então M é ponto médio de AB (CQD)
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52
A
B C
D
E
08) Na figura abaixo, os segmentos AE e DE são 
congruentes. Sabendo-se que o triângulo BCE é 
isósceles de base BC, prove que os segmentos AB e 
DC são congruentes.
09) (UFMG) Observe a figura:
A
B
P
O
C
R
r
s
q
 Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpen-
diculares, respectivamente, às retas r e s. Além 
disso, AP = PB, BR = CR e a medida do ângulo POR 
é q. Determine, em função de q, a medida do ângulo 
interno AOC do quadrilátero AOCB.
A B
CD
E
F
10) Na figura, ABCD é um paralelogramo e os 
segmentos AE e CF são congruentes. Prove que os 
segmentos DE e FB são congruentes e paralelos 
entre si.
A B
CD
E
F
G
H
11) Na figura abaixo, o quadrado EFGH está inscrito 
no quadrado ABCD. Prove que os triângulos AEH, 
BFE, CGF e GDH são congruentes entre si.
A B
CD
E
F
12) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e os 
segmentos AE e CF são perpendiculares ao 
segmento BD. Prove que os segmentos DE e BF 
são congruentes entre si.
A B
CD
E
13) Provar que se ABCD é um paralelogramo e AC e 
BD são as diagonais, então o ponto de intersecção das 
diagonais é o ponto médio da diagonal AC.
Jeca 30
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geometria plana
53
A
B C
D
E
08) Na figura abaixo, os segmentos AE e DE são 
congruentes. Sabendo-se que o triângulo BCE é 
isósceles de base BC, prove que os segmentos AB e 
DC são congruentes.
09) (UFMG) Observe a figura:
A
B
P
C
R
r
s
 Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpen-
diculares, respectivamente, às retas r e s. Além 
disso, AP = PB, BR = CR e a medida do ângulo POR 
é q. Determine, em função de q, a medida do ângulo 
interno AOC do quadrilátero AOCB.
A B
CD
E
F
10) Na figura, ABCD é um paralelogramo e os 
segmentos AE e CF são congruentes. Prove que os 
segmentos DE e FB são congruentes e paralelos 
entre si.
A B
CD
E
F
G
H
11) Na figura abaixo, o quadrado EFGH está inscrito 
no quadrado ABCD. Prove que os triângulos AEH, 
BFE, CGF e GDH são congruentes entre si.
A B
CD
E
F
12) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e os 
segmentos AE e CF são perpendiculares ao 
segmento BD. Prove que os segmentos DE e BF 
são congruentes entre si.
A B
CD
E
13) Provar que se ABCD é um paralelogramo e AC e 
BD são as diagonais, então o ponto de intersecção das 
diagonais é o ponto médio da diagonal AC.
Jeca 30
O
q
a
b
a
b
AP = PB (L) P é médio
APO = BPO = 90º (A) dado 
 do exercício
PO = PO (L) lado comum
Pelo caso L.A.L. , tem-se
DAPO = DBPO
 Analogamente, tem-se
 DCRO = DBRO
 se q = a + b
 então 2a + 2b = 2q
 (resp)
AE DE 
BE EC
Se AC = AE + EC
 DB = DE + EB
Pode-se concluir que
AC BD (L) - conclusão acima apresentada
EBC ECB (A) - o triângulo BEC é isósceles
BC BC (L) - lado comum
Pelo caso L.A.L. , tem-se
D ABC D CBD AB DC (CQD)
AE CF (L) - dado do enunciado
A C (A) - ABCD é um paralelogramo
AD BC (L) - ABCD é um paralelogramo
Pelo caso L.A.L. , tem-se D ADE D BCF
Portanto DE BF
Se AED CFB , então DEB BFD
Portanto DEBF também é um paralelogramo
Então DE é paralelo a BF (CQD)
a
90
 - 
a
a
a
90 - a
HE EF (L) - EFGH é um quadrado
AHE BEF (A) - Propriedade dos triângulos
AEH BFE (A) - Propriedade dos triângulos
Pelo caso A.L.A. , tem-se
D AHE D BFE
Analogamente, tem-se DAEH D BFE D FCG D GDH 
(CQD)
AED CFB = 90º (A) - dado do enunciado
ADE CBF (A) - ângulos alternos internos
AD BC (L) - ABCD é um retângulo
Pelo caso L.A.A . , tem-seO
D ADE D BCF DE BF (CQD)
AD BC (L) - ABCD é um paralelogramo
ADB CBD (A) - ângulos alternos internos
AED BEC (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso L.A.A . , tem-seO
D ADE D BCD
Portanto, AE EC , então o ponto E é médio de AC
e DE EB , então E o ponto E é médio de DB (CQD)
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54
Teorema do ponto exterior.
 Dada uma circunferência l e um ponto P, P 
exterior a l, se A e B são os pontos de tangência 
das retas tangentes a l por P, então PA = PB.
A
B
Pl
PA = PB
Consequência do Teorema do ponto exterior.
 Em todo quadrilátero circunscrito numa circunferên-
cia a soma das medidas dos lados opostos é 
constante.
l
A
B
C
D
AB + CD = AD + BC
14) Prove o Teorema do ponto exterior.
A
B
Pl
A
B C
R
S
T
15) Na figura abaixo, a circunferência está inscrita no 
triângulo ABC, AB = 10, AC = 12 e BC = 14. Deter-
mine a medida do segmento CT.
A
B
Pl
C
D
E
16) Na figura abaixo, A, B e D são pontos de tangên-
cia. Determinar o perímetro do triângulo CEP, sabendo 
que a distância PB mede 17 cm.
18) Determinar a medida da base média de um trapé-
zio isósceles sabendo-se que os lados não paralelos 
desse trapézio medem 15 cm cada.
A B
CD
A
B
C
D
17) Determine o valor de x na figura abaixo, sabendo-
se que AB = 2x + 2, CD = 4x - 3, AD = 3x - 2 e
BC = 3x + 1.
19) Determine a medida do raio da circunferência ins-
crita no triângulo retângulo cujos lados medem 8 cm, 
15 cm e 17 cm.
Jeca 31
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55
Teorema do ponto exterior.
 Dada uma circunferência l e um ponto P, P 
exterior a l,se A e B são os pontos de tangência 
das retas tangentes a l por P, então PA = PB.
A
B
Pl
PA = PB
Consequência do Teorema do ponto exterior.
 Em todo quadrilátero circunscrito numa circunferên-
cia a soma das medidas dos lados opostos é 
constante.
l
A
B
C
D
AB + CD = AD + BC
14) Prove o Teorema do ponto exterior.
A
B
Pl
A
B C
R
S
T
15) Na figura abaixo, a circunferência está inscrita no 
triângulo ABC, AB = 10, AC = 12 e BC = 14. Deter-
mine a medida do segmento CT.
A
B
Pl
C
D
E
16) Na figura abaixo, A, B e D são pontos de tangên-
cia. Determinar o perímetro do triângulo CEP, sabendo 
que a distância PB mede 17 cm.
18) Determinar a medida da base média de um trapé-
zio isósceles sabendo-se que os lados não paralelos 
desse trapézio medem 15 cm cada.
A B
CD
A
B
C
D
17) Determine o valor de x na figura abaixo, sabendo-
se que AB = 2x + 2, CD = 4x - 3, AD = 3x - 2 e
BC = 3x + 1.
19) Determine a medida do raio da circunferência ins-
crita no triângulo retângulo cujos lados medem 8 cm, 
15 cm e 17 cm.
Jeca 31
C
AC = BC = R (L) raio
CAP = CBP = 90º (A) tangente
CP = CP (L) lado comum
Pelo caso especial, tem-se
DACP = DBCP
Portanto PA = PB (CQD)
10
x
14
14
 -
 x
12
x
12
 -
 x
14 - x
Teorema do ponto exterior
14 - x + 12 - x = 10
2x = 16
x = 8 
CT = x = 8 (resp)
17 cm
x
x
y
y
AP = BP = 17
AP = AC + CP = DC + CP = 17
BP = BE + EP = DE + EP = 17
Per = 2p = DC + CP + DE + EP = 17 + 17 = 34 cm
 (resp)
Teorema do
ponto exterior
AB + CD = AD + BC
2x + 2 + 4x - 3 = 3x - 2 + 3x + 1
6x - 1 = 6x - 1
Para qualquer x real
Analisando a condição de existência
4x - 3 = 0
Então x > 3/4
S = {x | x > 3/4} (resp)R
1
5
x
1
5
 -
 x
x
15 - x
x
15 - x
Teorema do 
ponto exterior
Base média de trapézio
M N
MN = AB + CD
2
x + x + 15 - x + 15 - x
=
2
MN =
2
30 = 15 cm (resp)
R
R
R
R15 - R
8 - R
17
15
 - R
8 -
 R
Teorema do
ponto exterior
15 - R + 8 - R = 17
2R = 6
R = 3 cm (resp)
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56
A
B
M
C
D
02) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento AC e os ângulos A e C são congruentes. Provar que M 
também é ponto médio do segmento BD.
03) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento BD e os ângulos A e C são congruentes. Provar que os 
segmentos AB e CD são congruentes.
A
B
M
C
D
A
B
M
C
D
A
B
M
C
D
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Congruência de triângulos.
Exercícios complementares da aula 03.
A B
C
D
Jeca 32
05) Na figura abaixo, AB é bissetriz do ângulo CAD e os ângulos ACB e ADB são congruentes. Prove que os 
segmentos AC e AD são congruentes.
04) Na figura abaixo, M é ponto médio dos segmentos AC e BD. Provar que as retas AB e CD são paralelas.
01) Na figura abaixo, M é ponto médio de AC e de BD. Provar que o triângulo ABM é congruente ao triângulo 
CDM.
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57
01) Na figura abaixo, M é ponto médio de AC e de BD. Provar que o triângulo ABM é congruente ao triângulo 
CDM.
A
B
M
C
D
02) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento AC e os ângulos A e C são congruentes. Provar que M 
também é ponto médio do segmento BD.
03) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento BD e os ângulos A e C são congruentes. Provar que os 
segmentos AB e CD são congruentes.
04) Na figura abaixo, M é ponto médio dos segmentos AC e BD. Provar que as retas AB e CD são paralelas.
A
B
M
C
D
A
B
M
C
D
A
B
M
C
D
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Congruência de triângulos.
Exercícios complementares da aula 03.
B
C
D
05) Na figura abaixo, AB é bissetriz do ângulo CAD e os ângulos ACB e ADB são congruentes. Prove que os 
segmentos AC e AD são congruentes.
Jeca 32
AM MC (L) M é ponto médio
BM MD (L) M é ponto médio
AMB CMD (A) OPV
Pelo caso L.A.L. , tem-se
D ABM D CDM (CQD)
AM MC (L) - dado do enunciado
A C (A) - dado do enunciado
AMB CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso A.L.A. , tem-se
D ABM D CDM BM MD
Portanto M é ponto médio de BD (CQD)
BM MD (L) - dado do enunciado
A C (A) - dado do enunciado
AMB CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso L.A.A . , tem-seO
D ABM D CDM AB CD (CQD)
AM MC (L) - M é ponto médio de AC
BM MD (L) - M é ponto médio de BD
AMB CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso L.A.L. , tem-se
D ABM D CDM B D
Se B e D são ângulos alternos internos, então AB // CD (CQD)
CAB DAB (A) - AB é bissetriz
ACB ADB (A) - dado do enunciado
AB AB (L) - lado comum
Pelo caso L.A.A . , tem-seO
D ABC D ABD AC AD (CQD)
A
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58
A
B CD E
F
G
06) Na figura abaixo, AC FD e BD CE. Provar que o triângulo DCG é isósceles.
A
B CD E
07) Na figura abaixo, ADE é um triângulo isósceles de base DE. Sabendo-se que BD CE, provar que ABC 
também é um triângulo isósceles.
09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero e os pontos D, E e F pertencem aos lados AB, BC e AC, 
respectivamente. Sabendo-se que os segmentos AF, BD e CE são congruentes, provar que o triângulo DEF é 
eqüilátero.
A
B C
F
D
E
A
B
C
D
E
08) Na figura abaixo, DAC BAE, ADE ABC e AD AB. Provar que os triângulos ABC e ADE são congruen-
tes.
Jeca 33
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59
A
B CD E
F
G
06) Na figura abaixo, AC FD e BD CE. Provar que o triângulo DCG é isósceles.
B CD E
07) Na figura abaixo, ADE é um triângulo isósceles de base DE. Sabendo-se que BD CE, provar que ABC 
também é um triângulo isósceles.
09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero e os pontos D, E e F pertencem aos lados AB, BC e AC, 
respectivamente. Sabendo-se que os segmentos AF, BD e CE são congruentes, provar que o triângulo DEF é 
eqüilátero.
A
B C
F
D
E
A
B
C
D
E
08) Na figura abaixo, DAC BAE, ADE ABC e AD AB. Provar que os triângulos ABC e ADE são congruen-
tes.
Jeca 33
BD = CE do enunciado
Portanto BD + DC = CE + DC
BC = ED (L) conclusão acima
AC = FD (L) do enunciado
B = E = 90º (A) da figura
Pelo caso especial, tem-se
DABC = DFED
Os ângulos ACB e EDF são congruentes
Então o triângulo DCG é isósceles (CQD)
AD AE (L) - triângulo isósceles
BD CE (L) - dado do enunciado
BDA CEA (A) - o triângulo ADE é isósceles
Pelo caso L.A.L. , tem-se
D ABD D ACE AB AC
Portanto o triângulo ABC é isósceles (CQD)
A
DAC BAE BAC DAE (Têm o mesmo incremento DAB)
BAC DAE (A) - Resultado da análise acima
ABC ADE (A) - dado do enunciado
AB AD - dado do enunciado
Pelo caso A.L.A. , tem-se
D ABC D ADE (CQD)
Se AF CE BD , então AD CF BE = (AC - AF)
AF BD CE (L) - dado do enunciado
AD CF BE (L) - Resultado da análise acima
A B C = 60º (A) - o triângulo ABC é equilátero
Pelo caso L.A.L. , tem-se
D AFD D CEF D BDE FE ED DF
Portanto o triângulo DEF é equilátero (CQD)
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60
12) Provar que em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado 
e vale a metade desse terceiro lado.
A
B C
D E
13) Provar que em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às 
bases e vale a semi-soma dessas bases.
A BCD
E F
10) Provar que em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos 
desse losango.
A
B
C
D
M
k k
k k
A B
CD
E
F
G
H
J
K
L
M
11) Na figura, ABCD e EFGH são quadrados. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vértice E do 
outro quadrado. Prove que os triângulos EJL e EKM são congruentes.
Jeca 34
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61
12) Provar que em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado 
e vale a metade desse terceiro lado.
A
B C
D
E
13) Provar que em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às 
bases e vale a semi-soma dessas bases.
A B
CD
E F
10) Provar que em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos 
desse losango.
A
B
C
D
M
k k
k k
A B
CD
E
F
G
H
J
K
L
M
11) Na figura, ABCD e EFGH são quadrados. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vértice E do 
outro quadrado. Prove que os triângulos EJL e EKM são congruentes.
Jeca 34
Nos triângulos ABM e ADM, tem-se
AB AD (L) losango
AM AM (L) lado comum
BM MD (L) o losango é um paralelogramo
Pelo caso L.L.L. , tem-se
D ABM D ADM
Se os ângulos BAM e DAM são congruentes, então AM é bissetriz.
Se AMB AMD e BMD = 180º, então AMB = AMD = 90º (CQD)
a
90 - a
a
LEJ MEK (A) - propriedade dos triângulos
EJ EK (l) - dado do enunciado
EJL EKM = 90º (A) - dado da figura
Pelo caso A.L.A. , tem-se
D EJL D EKM (CQD)
F
Seja FC // AB
Sejam D, E e F pontos colineares
AE EC (L) - E é ponto médio de AC
ADE CFE (A) - ângulos alternos internos
AED CEF (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso A.L.A . , tem-seO
D ADE D CFE CF AD e DE EF
Mas, AD DB porque D é ponto médio.
Então AD BD CF
Se CF BD e CF // BD , então BCFD é um paralelogramo.
BC DF e DE EF , entãoDE // BC e DE = BC / 2 (CQD)
G
BF FC (L) - F é ponto médio de BC
ABF GCF (A) - ângulos alternos internos
AFB CFG (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso A.L.A. , tem-se
D ABF D GCF AB CG e AF FC (F é ponto médio de BC).
Então EF é base média do triângulo ADG.
Portanto, pela propriedade da base média do triângulo (exercício anterior)
tem-se
EF // DC // AB e EF AB + DC 
2
DC + CG
=
2
= (CQD)
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62
Respostas dos exercícios da Aula 03.
Observação - Dependendo dos dados, um exercício 
pode ser provado por mais de um caso de 
congruência. Levando em conta essa possibilidade 
nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi 
considerado o caso de congruência mais evidente.
01) Caso especial (CE)
02) L.A.A .O
03) L.L.L.
04) Caso especial
05) É possível provar por vários casos.
06) L.A.L.
07) Demonstração ao lado.
08) L.A.L.
09) Pelo caso L.A.L. prova-se que os triângulos
APO e BPO são congruentes.
Pelo mesmo caso, prova-se que os triângulos
BRO e CRO também são congruentes.
AOP = BOP = a e COR = BOR = b
Portanto AOC = 2q
10) L.A.L.
11) A.L.A.
12) L.A.A .O
13) L.A.A .O
14) Caso especial (Una o ponto P ao centro)
15) 8
16) 34 cm
17) S = { x R x > 3 / 4 }
18) 15 cm
19) 3 cm
r
s
O M
P
Resolução
A
B
Seja BP // OA
OM = MP (L) - por hipótese
OMA = PMB (A) - OPV
AOM = BPM (A) - alternos
 internos
Pelo caso A.L.A., temos
DOAM = DPBM
Portanto AM = MB
 CQD
07)
A
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 36
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63
Respostas dos exercícios complementares da Aula 03.
Observação - Dependendo dos dados, um 
exercício pode ser provado por mais de um caso de 
congruência. Levando em conta essa possibilidade 
nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi 
considerado o caso de congruência mais evidente.
01) LAL 
02) ALA 
03) LAA O
04) LAL 
05) LAA O
06) Caso especial
07) LAL 
08) ALA 
09) LAL 
10) LLL 
11) ALA
A
B C
D E
Demonstração do exercício nº 12.
A
B C
D E F
Seja CF // AB (por construção) >
DAE FCE (alternos internos)
AE CE (E é ponto médio)
AED CEF (opostos pelo vértice)
Pelo caso ALA, temos: DADE DCFE CF AD
Mas D é ponto médio de AB CF AD DB
Se BD //CF e BD CF BCFD é um paralelogramo 
 DF // BC e DF BC
Mas DE EF DE e DE // BC (CQD)
>
>
> >
> =
BC
2
>
>
Demonstração do exercício nº 13.
A B
CD
E F
A B
D
E
C
F
G
>
A
CD
E F
DG = DC + CG = DC + AB
Pelo teorema demonstrado no exercício 12, temos:
EF // AB // CD e EF
 (CQD)
=
AB + CD
2
G
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
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Jeca 37
AFB CFG (A) (opostos pelo vértice)
BF FC (L) (F é ponto médio de BC)
BAF CGF (A) (alternos internos)
Pelo caso LAA , temos: DABF DCGF AF FG O
 e AB CG 
Considerando apenas o triângulo ADG, temos:
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64
I) Trapézio.
 É o quadrilátero que tem 
dois lados paralelos.
Trapézio
retângulo
Trapézio
isósceles
Trapézio
escaleno
a
b
a a
b b b
a
 A altura de um trapézio é
a distância entre as retas 
suporte de suas bases.
h
base menor
base maior
a + b = 180º
II) Paralelogramo.
 É o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
A B
CD
AB // CD
e
AD //BC
III) Retângulo.
 É o quadrilátero que tem todos os ângulos internos 
congruentes e iguais a 90º.
A B
CD
b
h
b
h
IV) Losango.
 É o quadrilátero que tem os lados congruentes.
V) Quadrado.
 É o quadrilátero que tem 
os lados congruentes e 
todos os ângulos internos 
congruentes (90º).
a
b
b
aA
B
C
D
AB // CD
e
AD // BC
45º
Propriedades dos quadriláteros notáveis.
1) Em todo paralelogramo as diagonais cortam-se nos 
respectivos pontos médios.
2) Em todo losango as diagonais são:
 a) perpendiculares entre si;
 b) bissetrizes dos ângulos internos.
A B
CD
M
M é ponto médio de AC
e
M é ponto médio de BD.
A
B
C
D
x
y
x
y y
y
x
x
3) Base média de trapézio.
 Em todo trapézio, o segmento que une os pontos 
médios dos dois lados não paralelos, é paralelo às 
bases e vale a média aritmética dessas bases.
4) Base média de triângulo.
 Em todo triângulo, o segmento que une os pontos 
médios de dois lados é paralelo ao 3º lado e vale a 
metade desse 3ºlado.
A B
N
CD
M
base média
MN // AB // CD
e
MN AB + CD
2
=
A
B C
M N
base média
MN // BC
e
MN =
BC
2
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 04
Quadriláteros notáveis.
Jeca 38
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geometria plana
65
7 cm
7 cm12
 cm
2x 
x 
+ 
5
2x
 +
 1
k
k
04) No losango ABCD abaixo, conhecendo-se a 
medida do ângulo BDC, determinar as medidas dos 
ângulos a, b, c e d.
58º
A
B
C
D
A B
CD
3y
12 c
mx - 4
7 cm
01) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x 
e a medida da diagonal BD.
A B
CD
02) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x 
e a medida da diagonal BD.
A B
CD
03) No paralelogramo ABCD abaixo, determinar o 
valor de x, o valor de y, a medida da diagonal AC e 
a medida da diagonal BD.
a
b
c
d
08) (UERJ) Se um polígono tem todos os lados com 
medidas iguais, então todos os seus ângulos internos 
têm medidas iguais.
Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se 
usar como exemplo a figura denominada:
a) triângulo equilátero;
b) losango;
c) trapézio;
d) retângulo;
e) quadrado.
A
B
C
D
L
M N
P
A
B
C
D
L
M N
P
05) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon-
tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero 
ABCD. Determinar o perímetro do quadrilátero LMNP 
sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 10 cm.
06) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon-
tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero 
ABCD. Provar que LMNP é um paralelogramo.
07) (Unifesp) Determine a medida do menor ângulo 
interno de um paralelogramo sabendo-se que dois 
ângulos internos consecutivos desse paralelogramo 
estão na razão 1 : 3.
Jeca 39
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66
7 cm
7 cm12
 cm
2x 
x 
+ 
5
2x
 +
 1
k
k
04) No losango ABCD abaixo, conhecendo-se a 
medida do ângulo BDC, determinar as medidas dos 
ângulos a, b, c e d.
58º
A
B
C
D
A B
CD
3y
12 c
mx - 4
7 cm
01) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x 
e a medida da diagonal BD.
A B
CD
02) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x 
e a medida da diagonal BD.
A B
CD
03) No paralelogramo ABCD abaixo, determinar o 
valor de x, o valor de y, a medida da diagonal AC e 
a medida da diagonal BD.
a
b
c
d
08) (UERJ) Se um polígono tem todos os lados com 
medidas iguais, então todos os seus ângulos internos 
têm medidas iguais.
Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se 
usar como exemplo a figura denominada:
a) triângulo equilátero;
b) losango;
c) trapézio;
d) retângulo;
e) quadrado.
A
B
C
D
L
M N
P
A
B
C
D
L
M N
P
05) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon-
tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero 
ABCD. Determinar o perímetro do quadrilátero LMNP 
sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 10 cm.
06) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon-
tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero 
ABCD. Provar que LMNP é um paralelogramo.
07) (Unifesp) Determine a medida do menor ângulo 
interno de um paralelogramo sabendo-se que dois 
ângulos internos consecutivos desse paralelogramo 
estão na razão 1 : 3.
Jeca 39
"Em todo paralelogramo as diagonais
cortam-se nos respectivos pontos médios."
2x = 12
Portanto x = 6 cm e BD = 24 cm (resp)
x + 5 = 2x + 1
x = 4 (resp)
BD = 2.(x + 5)
BD = 2.(4 + 5)
BD = 18 (resp.)
x - 4 = 7
x = 11 cm
3y = 12
y = 4 cm
AC = 2 . 7 
AC = 14 cm
BD = 2 . 12
BD = 24 cm
a + 58 + 90 = 180
a = 32º
b = 2a = 64º
c = 90º
d = 2 . 58 = 116º 
LP é a base média do triângulo ABD
MN é a base média do triângulo BCD
Portanto LP = MN = BD/2 = 10/2 = 5 cm
LM é a base média do triângulo ABC
PN é a base média do triângulo ACD
Portanto LM = PN = AC/2 = 6/2 = 3 cm 
Per = 2 . 3 + 2 . 5
Per = 16 cm
(resp)
LP é a base média do triângulo ABD.
MN é a base média do triângulo BCD.
Portanto LP // MN e LP = MN = BD/2
LM é a base média do triângulo ABC.
PN é a base média do triângulo ACD.
Portanto LM //PN e LM = PN = AC/2
Portanto LMNP é um paralelogramo (CQD)
3x
x
x + 3x = 180º - ângulos colaterais internos
4x = 180
x = 180/4
x = 45º (resp)
b) Losango
 O losango tem todos os lados com medidas iguais mas os seus 
ângulos internos não necessariamente têm medidas iguais.
Portanto, o losango contraria a afirmação acima. (resp)
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67
A
B C
D E
09) No triângulo ABC abaixo, AB = 8 cm, AC = 12 cm e 
BC = 10 cm. Sendo D e E pontos médios dos lados 
AB e AC, respectivamente, determine a medida do pe-
rímetro do trapézio BCED.
A
B C
D
E
F
10) No triângulo ABC abaixo, AB = 16 cm, AC = 14 cm 
e BC = 18 cm. Sendo D, E e F os pontos médios dos 
lados AB, BC e AC, respectivamente, determinar as 
medidas dos segmentos DE, DF e EF.
A
B C
D E
F
11) No triângulo ABC abaixo, AB = x, AC = y e BC = z.
Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, AC e 
BC, respectivamente, determinar o perímetro do qua-
drilátero BDEF.
A B
CD
E F
12) No trapézio ABCD abaixo, a base menor AB mede 
8 cm, a base maior CD mede 20 cm e os pontos E e F 
são os pontos médios dos lados AD e BC, respectiva-
mente. Determine a medida da base média EF.
A B
CD
E F
13) No trapézio retângulo ABCD abaixo, a base menor 
AB mede 12 cm e a base maior CD mede 18 cm. Sendo 
BC = 10 cm, E e F os pontos médios dos lados AD e BC, 
respectivamente, determinar os perímetros dos trapé-
zios ABFE e CDEF.
A B
CD
E F
14) No trapézio ABCD abaixo, a base média EF mede 
17 cm e a base maior CD mede 22 cm. Determine a 
medida da base menor AB. 
A B
CD
E F
G H
15) No trapézio ABCD abaixo, EF = 8 cm e GH = 11 cm.
Sendo AE = EG = GD e BF = FH = HC, determine as 
medidas da base menor AB e da base maior CD.
A B
CD
E
F G
H
16) No trapézio ABCD abaixo, AB = 12 cm, CD = 26 cm 
e os pontos E e H são pontos médios dos lados AD e 
BC, respectivamente. Determinar as medidas dos seg-
mentos EH, EF, GH e FG.
Jeca 40
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68
A
B C
D E
09) No triângulo ABC abaixo, AB = 8 cm, AC = 12 cm e 
BC = 10 cm. Sendo D e E pontos médios dos lados 
AB e AC, respectivamente, determine a medida do pe-
rímetro do trapézio BCED.
A
B C
D
E
F
10) No triângulo ABC abaixo, AB = 16 cm, AC = 14 cm 
e BC = 18 cm. Sendo D, E e F os pontos médios dos 
lados AB, BC e AC, respectivamente, determinar as 
medidas dos segmentos DE, DF e EF.
A
B C
D E
F
11) No triângulo ABC abaixo, AB = x, AC = y e BC = z.
Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, AC e 
BC, respectivamente, determinar o perímetro do qua-
drilátero BDEF.
A B
CD
E F
12) No trapézio ABCD abaixo, a base menor AB mede 
8 cm, a base maior CD mede 20 cm e os pontos E e F 
são os pontos médios dos lados AD e BC, respectiva-
mente. Determine a medida da base média EF.
A B
CD
E F
13) No trapézio retângulo ABCD abaixo, a base menor 
AB mede 12 cm e a base maior CD mede 18 cm. Sendo 
BC = 10 cm, E e F os pontos médios dos lados AD e BC, 
respectivamente, determinar os perímetros dos trapé-
zios ABFE e CDEF.
A B
CD
E F
14) No trapézio ABCD abaixo, a base média EF mede 
17 cm e a base maior CD mede 22 cm. Determine a 
medida da base menor AB. 
A B
CD
E F
G H
15) No trapézio ABCD abaixo, EF = 8 cm e GH = 11 cm.
Sendo AE = EG = GD e BF = FH = HC, determine as 
medidas da base menor AB e da base maior CD.
A B
CD
E
F G
H
16) No trapézio ABCD abaixo, AB = 12 cm, CD = 26 cm 
e os pontos E e H são pontos médios dos lados AD e 
BC, respectivamente. Determinar as medidas dos seg-
mentos EH, EF, GH e FG.
Jeca 40
BD = AB / 2 = 8 / 2 = 4 cm
EC = AC / 2 = 12 / 2 = 6 cm
DE = BC / 2 = 10 / 2 = 5 cm
2p = 4 + 5 + 6 + 10 = 25 cm (resp)
Base média de triângulo.DE = AC/2 = 14/2 = 7 cm
DF = BC/2 = 18/2 = 9 cm
EF = AB/2 = 16/2 = 8 cm
(resp)
x/2
x/2
y/2
y/2
x/2
z/2
z/2
z/2
Per = 2p = 2 . (x/2) + 2 . (z/2)
2p = x + z (resp)
8
20 cm
EF // AB // CD
EF
EF = 14 cm (resp)
= AB + CD
2
=
2
8 + 20
12
18 cm
5
5
12 6
Pitágoras
2 2 2
10 = 6 + (AD)
AD = 8 cm
EF = (12 + 18)/2 = 15 cm
Per = 12 + 5 + 15 + 4ABFE
Per = 36 cm ABFE
Per = 15 + 5 + 18 + 4EFCD
Per = 42 cm EFCD
4
4
17 cm
22 cm
x
17 =
x + 22
2
x + 22 = 34
x = 12 cm
AB = 12 cm (resp)
8 cm
11 cm
x
y
8 = x + 11
2
16 = x + 11
x = 5 cm
AB = 5 cm (resp)
11 =
y + 8
2
22 = y + 8
y = 14
CD = 14 cm (resp)
12 cm
26 cm
EF e GH são bases médias
dos triângulos ABD e ABC.
EF = GH = AB/2 = 12/2
EF = GH = 6 cm
EH é base média do trapézio
EH = (AB + CD)/2
EH = (12 + 26)/2 = 19 cm
FG = EH - EF - GH
FG = 19 - 6 - 6
FG = 7 cm
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69
M
N L
P
C
D
E
F
17) Na figura, MNLP é um quadrilátero, C, D, E e F são 
os pontos médios dos lados MN, NL, LP e PM. Deter-
mine o perímetro do quadrilátero CDEF sabendo-se 
que ML = 14 cm e NP = 8 cm.
18) Determine as medidas dos ângulos internos de um 
paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos 
opostos medem 3x - 18º e 2x + 27º.
A
B C
D E
F
20) No triângulo ABC abaixo, sendo F o baricentro, 
AC = x, AB = y, BC = z, CF = t e DF = w, determinar o 
perímetro do quadrilátero AEFD.
A
B C
D
E
F
21) No triângulo ABC abaixo, E e G são os pontos 
médios dos respectivos lados. Sendo AB = x, BC = y, 
AC = z e GD = k, determinar o perímetro do triângulo 
GEC e dizer o que o ponto D é do triângulo ABC.
A
GE
D
BFC
23) (Fuvest) Em um trapézio isósceles, a medida da altura é igual à da base média. Determine o ângulo que a 
diagonal do trapézio forma com uma das bases do trapézio.
A B
CD
22) Demonstre que o ângulo formado pelas bissetri-
zes de dois ângulos internos consecutivos de um 
paralelogramo é um ângulo reto.
Jeca 41
19) No triângulo ABC abaixo, D e E são os pontos 
médios dos respectivos lados. Sendo o perímetro do 
triângulo DEF igual a 23 cm, determinar :
a) o que é o ponto F para o triângulo ABC.
b) a medida do perímetro do triângulo BCF.
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70
M
N L
P
C
D
E
F
17) Na figura, MNLP é um quadrilátero, C, D, E e F são 
os pontos médios dos lados MN, NL, LP e PM. Deter-
mine o perímetro do quadrilátero CDEF sabendo-se 
que ML = 14 cm e NP = 8 cm.
18) Determine as medidas dos ângulos internos de um 
paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos 
opostos medem 3x - 18º e 2x + 27º.
A
B C
D E
F
19) No triângulo ABC abaixo, D e E são os pontos 
médios dos respectivos lados. Sendo o perímetro do 
triângulo DEF igual a 23 cm, determinar :
a) o que é o ponto F para o triângulo ABC.
b) a medida do perímetro do triângulo BCF.
20) No triângulo ABC abaixo, sendo F o baricentro, 
AC = x, AB = y, BC = z, CF = t e DF = w, determinar o 
perímetro do quadrilátero AEFD.
A
B C
D
E
F
21) No triângulo ABC abaixo, E e G são os pontos 
médios dos respectivos lados. Sendo AB = x, BC = y, 
AC = z e GD = k, determinar o perímetro do triângulo 
GEC e dizer o que o ponto D é do triângulo ABC.
A
GE
D
BFC
23) (Fuvest) Em um trapézio isósceles, a medida da altura é igual à da base média. Determine o ângulo que a 
diagonal do trapézio forma com uma das bases do trapézio.
A B
CD
22) Demonstre que o ângulo formado pelas bissetri-
zes de dois ângulos internos consecutivos de um 
paralelogramo é um ângulo reto.
Jeca 41
Base média de triângulo.
CF = DE = NP/2 = 8/2 = 4 cm
CD = EF = ML/2 = 14/2 = 7 cm
2p = 4 + 7 + 4 + 7 = 22 cm
 (resp)
a
b
b
a
a = 3x - 18
a = 2x + 27
3x - 18 = 2x + 27
x = 45º
Portanto a = 117º
a + b = 180º - ângulos colaterais internos
117 + b = 180
b = 63º
x
y z
2y2z
a) BE e CD são medianas.
Portanto F é baricentro.
b) x + y + z = 23
DE é base média.
Portanto BC = 2.DE = 2x
Per = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z) = 2 . 23 = 46 cm (resp)BCF
 Se F é baricentro, então E 
e D são pontos médios e, 
BD e CD são medianas.
x/2
y/2
z
t
w
y/2
x/2
2w
t/2
EF = FC/2 = t/2
Per = x/2 + y/2 + t/2 + w = (x + y + t + 2w)/2 (resp)AEFD
x/2
y/2
z/2
k
x/2z/2
y/2
2k
 Se E e G são pontos médios, então EB 
e CG são medianas. Além disso, EG é a 
base média do triângulo ABC.
EG = BC/2 = y/2
Per = y/2 + z/2 + 3kGEC
Per = (y + z + 6k)/2 (resp)GEC
D é o baricentro do triângulo ABC.
a
b
a
b
2a + 2b = 180º - ângulos colaterais internos
a + b = 90º
a + b + 90 = 180
Portanto a + b = 90º (CQD)
h
h
x
y
x
y - x
2
y - x
2
d
d =
y - x
2
+ x =
y - x + 2x
2
d =
y + x
2
M N MN é base média
MN = (y + x)/2 = h
= h
h
h
a
tg a = h/h = 1
a = 45º (resp)
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geometria plana
71
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Quadriláteros notáveis.
Exercícios complementares da aula 04.
32º
x
y
A B
CD
03) No retângulo ABCD abaixo, AC e BD são as 
diagonais. Determine as medidas dos ângulos x e y.
A
B
C
D
q
2q
04) (PUCCamp-SP) Na figura a seguir, tem-se repre-
sentado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede 
4 cm. Determine a medida da diagonal maior e do lado 
desse losango.
A B
CD
E
F
05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e DCE é 
um triângulo equilátero, onde o ponto E pertence ao 
lado AB do retângulo. Sendo DB a diagonal do re-
tângulo, F o ponto de intersecção entre a diagonal e o 
lado do triângulo e CD = 9 cm, determine a medida do 
segmento FC.
06) (VUNESP-SP) Considere as seguintes proposi-
ções.
I. Todo quadrado é um losango.
II. Todo quadrado é um retângulo.
III. Todo retângulo é um paralelogramo.
IV. Todo triângulo equilátero é isósceles.
Pode-se afirmar que:
a) só uma é verdadeira.
b) todas são verdadeiras.
c) só uma é falsa.
d) duas são verdadeiras e duas são falsas.
e) todas são falsas.
Jeca 42
01) Dado o losango ABCD abaixo e o ângulo de 138º, 
determine as medidas dos ângulos assinalados.
A
B
C
D
x
y
z
t
138º
A B
CD M
E
60º
60º
02) (J) No paralelogramo ABCD abaixo, AE = 5 cm 
e M é o ponto médio do lado CD. Determine o 
perímetro de ABCD. 
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geometria plana
72
F
F é ponto médio de AC
No triangulo ACD
AM é mediana
DF é mediana
E é baricentro
EM = AE/2
EM = 5/2
Portanto AM = 5 + 5/2 = 15/2 cm
Se DAB = 120º, então ADM = 60º - ângulos colaterais internos
ADM é um triângulo equilátero de lado 15/2 cm
Portanto AD = 15/2 e AB = 15
Per = 15/2 + 15 + 15/2 + 15 = 45 cm (resp)ABCD
32º
x é ângulo externo
x = 32 + 32 = 64º
y + x = 180
y = 116º (resp)
3q = 180
q = 60º
O triângulo ABD é equilátero
BD = 4 cm AB = BC = CD = AD = 4m
30º
4 cm
x
cos 30º =
x
4
x = 4 3 /2 = 2 3 cm
AC = 2.d = 4 3 cm
M
9 cm
No triângulo ABC, tem-se
BM é mediana.
CE é mediana.
F é baricentro
CD = CE = 2x + x = 3x = 9
x = 3
FC = 2x = 2 . 3 = 6 cm
(resp) 
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Quadriláteros notáveis.
Exercícios complementares da aula 04.
32º
x
y
A B
CD
03) No retângulo ABCD abaixo, AC e BD são as 
diagonais. Determine as medidas dos ângulos x e y.
A
B
C
D
q
2q
04) (PUCCamp-SP) Na figura a seguir, tem-se repre-
sentado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede 
4 cm. Determine a medida da diagonal maior e do lado 
desse losango.
A B
CD
E
F
05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e DCE é 
um triângulo equilátero, onde o ponto E pertence ao 
lado AB do retângulo. Sendo DB a diagonal do re-
tângulo, F o ponto de intersecção entre a diagonal e o 
lado do triângulo e CD = 9 cm, determinea medida do 
segmento FC.
06) (VUNESP-SP) Considere as seguintes proposi-
ções.
I. Todo quadrado é um losango. 
II. Todo quadrado é um retângulo. 
III. Todo retângulo é um paralelogramo. 
IV. Todo triângulo equilátero é isósceles. 
Pode-se afirmar que:
a) só uma é verdadeira.
b) todas são verdadeiras.
c) só uma é falsa.
d) duas são verdadeiras e duas são falsas.
e) todas são falsas.
(verdadeira)
(verdadeira)
(verdadeira)
(verdadeira)
Jeca 42
01) Dado o losango ABCD abaixo e o ângulo de 138º, 
determine as medidas dos ângulos assinalados.
A
B
C
D
x
y
z
t
138º
"Em todo losango, as diagonais são:
a) perpendiculares entre si.
b) bissetrizes dos ângulos internos."
y = 138/2 = 69º
t = 90º
x + t + y = 180º
x + 90 + 69 = 180
x = 21º
z = 2x = 42º
A B
CD M
E
60º
60º
02) (J) No paralelogramo ABCD abaixo, AE = 5 cm 
e M é o ponto médio do lado CD. Determine o 
perímetro de ABCD. 
q
q
x
2x
Todas são verdadeiras (resp. b)
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73
07) (PUC-SP) Sendo:
A = {x / x é quadrilátero}
B = {x / x é quadrado}
C = {x / x é retângulo}
D = {x / x é losango}
E = {x / x é trapézio}
F = {x / x é paralelogramo}
Então vale a relação:
a) A D E
b) A F D B
c) F D A
d) A F B C
e) B D A E
08) (UFOP-MG) Assinale a alternativa incorreta:
a) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal 
oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra.
b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois 
ângulos consecutivos de um paralelogramo.
c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um para-
lelogramo são paralelas entre si.
d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um tri-
ângulo, este fica decomposto em quatro triângulos 
congruentes.
e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas.
E
A
BC
D
F
G
H I
09)(UECE) Na figura, o retângulo DGHI, o triângulo e-
quilátero DEF e o quadrado ABCI, têm todos, períme-
tro igual a 24 cm. Se D é o ponto médio de CI, o perí-
metro da figura fechada ABCDEFGHIA é igual a:
a) 48 m
b) 49 m
c) 50 m
d) 51 m
e) 52 m
10) Determine as medidas dos ângulos internos de um 
paralelogramo sabendo que a diferença entre as 
medidas de dois ângulos internos consecutivos é 52º.
11) (FGV-SP) A diagonal menor de um losango de-
compõe esse losango em dois triângulos congruentes. 
Se cada ângulo obtuso do losango mede 130º, quais 
são as medidas dos três ângulos de cada um dos dois 
triângulos considerados ?
12) (ITA-SP) Dadas as afirmações:
I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadriláte-
ro são suplementares.
II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um para-
lelogramo são suplementares.
III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpen-
diculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, 
então esse paralelogramo é um losango.
a) Todas são verdadeiras.
b) Apenas I e II são verdadeiras.
c) Apenas II e III são verdadeiras.
d) Apenas II é verdadeira.
e) Apenas III é verdadeira.
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74
07) (PUC-SP) Sendo:
A = {x / x é quadrilátero}
B = {x / x é quadrado}
C = {x / x é retângulo}
D = {x / x é losango}
E = {x / x é trapézio}
F = {x / x é paralelogramo}
Então vale a relação:
a) A D E
b) A F D B
c) F D A
d) A F B C
e) B D A E
08) (UFOP-MG) Assinale a alternativa incorreta:
a) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal 
oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra.
b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois 
ângulos consecutivos de um paralelogramo.
c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um para-
lelogramo são paralelas entre si.
d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um tri-
ângulo, este fica decomposto em quatro triângulos 
congruentes.
e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas.
E
A
BC
D
F
G
H I
09)(UECE) Na figura, o retângulo DGHI, o triângulo e-
quilátero DEF e o quadrado ABCI, têm todos, períme-
tro igual a 24 cm. Se D é o ponto médio de CI, o perí-
metro da figura fechada ABCDEFGHIA é igual a:
a) 48 m
b) 49 m
c) 50 m
d) 51 m
e) 52 m
10) Determine as medidas dos ângulos internos de um 
paralelogramo sabendo que a diferença entre as 
medidas de dois ângulos internos consecutivos é 52º.
11) (FGV-SP) A diagonal menor de um losango de-
compõe esse losango em dois triângulos congruentes. 
Se cada ângulo obtuso do losango mede 130º, quais 
são as medidas dos três ângulos de cada um dos dois 
triângulos considerados ?
12) (ITA-SP) Dadas as afirmações:
I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadriláte-
ro são suplementares. 
II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um para-
lelogramo são suplementares. 
III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpen-
diculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, 
então esse paralelogramo é um losango. 
a) Todas são verdadeiras.
b) Apenas I e II são verdadeiras.
c) Apenas II e III são verdadeiras.
d) Apenas II é verdadeira.
e) Apenas III é verdadeira.
(Falsa)
(Verdadeira)
(Verdadeira)
Jeca 43
A
B
C
D
E
F
Resp b)
a) V b) V c) V d) V e) Falsa
8 8
8
6
6
6
3
3
9
3
AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IA =
6 + 6 + 3 + 8 + 8 + 1 + 3 + 9 + 6 = 50 cm (resp c)
1
180 - x
x
180 - x - x = 52
2x = 180 - 52 = 128
x = 64º
x = 64º
180 - x = 116º (resp)
A
B
C
D
130º
65º 65º
x
As medidas dos três ângulos 
são:
65º , 65º e 50º (resp)
x + 65 + 65 = 180
x = 50º
Resposta c
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75
13) (UFV-MG) Num trapézio isósceles de bases dife-
rentes, uma diagonal é também bissetriz de um ângu-
lo adjacente à base maior. Isso significa que:
a) a base menor tem medida igual à dos lados 
oblíquos.
b) os ângulos adjacentes à base menor não são 
congruentes.
c) a base maior tem medida igual à dos lados 
oblíquos.
d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto 
médio.
e) as diagonais se interceptam, formando ângulo 
reto.
14) (FUVEST-SP) No quadrilátero ABCD, temos 
AD = BC = 2 e os prolongamentos desses lados 
formam um ângulo de 60º.
a) Indicando por a, b, g e q, respectivamente, as 
medidas dos ângulos internos dos vértices A, B, C e D, 
calcule a + b + g + q.
b) Sejam J o ponto médio de DC, M o ponto médio de 
AC e N o ponto médio de BD. Calcule JM e JN.
c) Calcule a medida do ângulo MJN.
A
D C
B
A
B C
D E
F
G H
I
15) Na figura, BC = 24 cm, D é ponto médio de AB, F 
é ponto médio de BD, E é ponto médio de AC e I é 
ponto médio de CE. Determine as medidas dos 
segmentos FG e GH.
16) (ITA-SP) Considere um quadrilátero ABCD cujas 
diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm 
e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos 
lados do quadrilátero dado, então o perímetro do 
quadrilátero RSTU vale:
a) 22 cm
b) 5,5 cm
c) 8,5 cm
d) 11 cm
e) 12 cm
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
17) No trapézio AEJF abaixo, BG = x e DI = y. Se 
AB = BC = CD = DE e FG = GH = HI = IJ, determine 
AF e EJ em função de x e de y.
A
B C
D E
F
18) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em 
B, o ponto D é ponto médio do lado AB e o segmento 
DE é paralelo ao cateto BC. Sendo AC = 24 cm, de-
termine a medida do segmento EF.
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76
13) (UFV-MG) Num trapézio isósceles de bases dife-
rentes, uma diagonal é também bissetriz de um ângu-
lo adjacente à base maior. Isso significa que:
a) a base menor tem medida igual à dos lados 
oblíquos.
b) os ângulos adjacentes à base menor não são 
congruentes.
c) a base maior tem medida igual à dos lados 
oblíquos.
d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto 
médio.
e) as diagonais se interceptam, formando ângulo 
reto.
14) (FUVEST-SP)No quadrilátero ABCD, temos 
AD = BC = 2 e os prolongamentos desses lados 
formam um ângulo de 60º.
a) Indicando por a, b, g e q, respectivamente, as 
medidas dos ângulos internos dos vértices A, B, C e D, 
calcule a + b + g + q.
b) Sejam J o ponto médio de DC, M o ponto médio de 
AC e N o ponto médio de BD. Calcule JM e JN.
c) Calcule a medida do ângulo MJN.
A
D
C
B
A
B C
D E
F
G H
I
15) Na figura, BC = 24 cm, D é ponto médio de AB, F 
é ponto médio de BD, E é ponto médio de AC e I é 
ponto médio de CE. Determine as medidas dos 
segmentos FG e GH.
16) (ITA-SP) Considere um quadrilátero ABCD cujas 
diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm 
e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos 
lados do quadrilátero dado, então o perímetro do 
quadrilátero RSTU vale:
a) 22 cm
b) 5,5 cm
c) 8,5 cm
d) 11 cm
e) 12 cm
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
17) No trapézio AEJF abaixo, BG = x e DI = y. Se 
AB = BC = CD = DE e FG = GH = HI = IJ, determine 
AF e EJ em função de x e de y.
A
B C
D E
F
18) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em 
B, o ponto D é ponto médio do lado AB e o segmento 
DE é paralelo ao cateto BC. Sendo AC = 24 cm, de-
termine a medida do segmento EF.
Jeca 44
a
a
a
resp a) 2 2
60º
J
M N
a) a + b + g + q = 360º
b) JM é base média do 
triângulo ACD.
Portanto JM = AD/2 = 2/2 = 1
 JN é base média do
triângulo BCD.
Portanto JN = 2/2 = 1
c) JM // AD
 JN // BC
Então MJN = 60º
 (resp)
24 cm
x y
w
DE é base média do triângulo ABC DE = w = 24/2 = 12 cm
FG é base média do triângulo BDE FG = x = 12/2 = 6 cm
FH é base média do triângulo BCD FH = x + y = 12 cm
x + y = 12
6 + y = 12
y = GH = 6 cm (resp)
A
B
C
D
R
S T
U
RU é a base média do triângulo ABD
ST é a base média do triângulo BCD
Portanto RU = ST = BD/2 = 6/2 = 3 cm
RS é a base média do triângulo ABC
TU é a base média do triângulo ACD
Portanto RS = TU = AC/2 = 5/2 cm 
Per = 2 . 3 + 2 . 5/2
Per = 11 cm
(resp)
x
y
k
n
w
Base média de trapézio.
w =
x + y
2
y w + n=
2
n 2y - w = 2y -
x + y
2
=
4y - x - y
2
n 3y -x=
2
EJ =
=
x w + k=
2
k 2x - w = 2x -
x + y
2
=
4x - x - y
2
=
n 3x - y=
2
AF =
R
R
R
AE = EC = EB = R = 12
 Todo triângulo retângulo 
pode ser inscrito em uma 
semicircunferência.
BE é uma mediana.
CD é uma mediana.
Portanto F é o baricen-
tro do triângulo ABC.
BE = 12 cm
Mas, BF = 2.EF 3 . EF = 12 EF = 4 cm (resp)
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77
Respostas dos exercícios da Aula 04.
01) 6 cm e 24 cm
02) 4 e 18
03) 11 cm, 4 cm, 14 cm e 24 cm
04) 32º, 64º, 90º e 116º
05) 16 cm
06) Propriedade da base média do triângulo.
BD // LP // MN e AC // LM // PN
Portanto LMNP é um paralelogramo.
07) 45º
08) b
09) 25 cm
10) 7 cm, 9 cm, e 8 cm
11) x + z
12) 14 cm
13) 36 cm e 42 cm
14) 12 cm
15) 5 cm e 14 cm
16) 19 cm, 6 cm, 6 cm e 7 cm
17) 22 cm
18) 117º e 63º
19) Baricentro e 46 cm
20) (x + y + 2w + t) / 2
21) (y + z + 6k) / 2 e baricentro
22) 2a + 2b = 180 (alternos internos)
Portanto a + b = 90º
23) 45º
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
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78
Respostas dos exercícios complementares da Aula 04.
01) x = 21º, y = 69º, z = 42º, t = 90º
02) 45 cm
03) x = 64º, y = 116º
04) AC = 4 3 cm, AB = 4 cm
05) 6 cm
06) b
07) b
08) e
09) c
10) 64º e 116º
11) 50º, 65º e 65º
12) c
13) a
14) 
a) 360º 
b) 1 e 1 
c) 60º
15) FG = 6 cm e GH = 6 cm
16) d
17) AF EJ 
18) 4cm
=
3x - y
2
=
3y - x
2
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
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79
I) Polígonos convexos.
i
e
d
d - diagonal
i - ângulo interno
e - ângulo externo
Classificação dos polígonos (quanto ao nº de lados).
 3 lados - triângulo
 4 lados - quadrilátero
 5 lados - pentágono
 6 lados - hexágono
 7 lados - heptágono
 8 lados - octógono
 9 lados - eneágono
10 lados - decágono
11 lados - undecágono
12 lados - dodecágono
13 lados - tridecágono
14 lados - quadridecágono
15 lados - pentadecágono
16 lados - hexadecágono
17 lados - heptadecágono
18 lados - octodecágono
19 lados - eneadecágono
20 lados - icoságonoi + e = 180º
II) Soma das medidas dos ângulos 
internos de um polígono convexo.
(S )i
III) Soma das medidas dos ângulos 
externos de um polígono convexo.
(S )e
IV) Número de diagonais de um polí-
gono convexo. (d)
i1
i2
i3
i4
in
S = i + i + i + ... + ii 1 2 3 n
S = 180 (n - 2)i
n - nº de lados do polígono
e1
e2
e3
e4
en
S = e + e + e + ... + ee 1 2 3 n
S = 360ºe
Para qualquer polígono convexo
 Diagonal é o segmento que une 
dois vértices não consecutivos.
d n (n - 3)
2
=
vértice
lado
V) Polígono regular.
e
e
e
e
e
i
i
i
ii
a
 Um polígono é regular se tem:
a) todos os lados congruentes entre si;
b) todos os ângulos internos congruentes entre si;
c) todos os ângulos externos congruentes entre si.
3 lados - triângulo equilátero
4 lados - quadrado
5 lados - pentágono regular
6 lados - hexágono regular
 etc
Classificação dos polígonos regulares
Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.
Medida de cada ângulo externo de um polígono regular.
i =
Si
n >
180 (n - 2)
i = n
e =
Se
n >
360e = n
(importante)
Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e 
circunscrito numa circunferência.
ângulo
central
C
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 05
Polígonos convexos.
Jeca 48
d = n - 31
 Nº de diagonais que chegam em 
um vértice.
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80
I) Polígonos convexos.
i
e
d
d - diagonal
i - ângulo interno
e - ângulo externo
Classificação dos polígonos (quanto ao nº de lados).
 3 lados - triângulo
 4 lados - quadrilátero
 5 lados - pentágono
 6 lados - hexágono
 7 lados - heptágono
 8 lados - octógono
 9 lados - eneágono
10 lados - decágono
11 lados - undecágono
12 lados - dodecágono
13 lados - tridecágono
14 lados - quadridecágono
15 lados - pentadecágono
16 lados - hexadecágono
17 lados - heptadecágono
18 lados - octodecágono
19 lados - eneadecágono
20 lados - icoságono
i + e = 180º
II) Soma das medidas dos ângulos 
internos de um polígono convexo.
(S )i
III) Soma das medidas dos ângulos 
externos de um polígono convexo.
(S )e
IV) Número de diagonais de um polí-
gono convexo.
(d)
i1
i2
i3
i4
in
S = i +i + i + ... + ii 1 2 3 n
S = 180 (n - 2)i
n - nº de lados do polígono
e1
e2
e3
e4
en
S = e + e + e + ... + ee 1 2 3 n
S = 360ºe
Para qualquer polígono convexo
 Diagonal é o segmento que une 
dois vértices não consecutivos.
d n (n - 3)
2
=
n - nº de lados do polígono
vértice
lado
V) Polígono regular.
e
e
e
e
e
i
i
i
ii
a
 Um polígono é regular se tem:
a) todos os lados congruentes entre si;
b) todos os ângulos internos congruentes entre si;
c) todos os ângulos externos congruentes entre si.
3 lados - triângulo equilátero
4 lados - quadrado
5 lados - pentágono regular
6 lados - hexágono regular
 etc
Classificação dos polígonos regulares
Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.
Medida de cada ângulo externo de um polígono regular.
i =
Si
n >
180 (n - 2)
i = n
e =
Se
n >
360e = n
(importante)
Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e 
circunscrito numa circunferência.
ângulo
central
C
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Aula 05
Polígonos convexos.
Jeca 48
Importante. 
 Se um polígono convexo tem n lados , então ele tem n vértices, 
n ângulos internos e n ângulos externos.
Nº de diagonais que partem de 1 vértice 
(d )1
d = n - 31
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geometria plana
81
01) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter-
nos e o número de diagonais de um pentadecágono 
convexo.
02) Determinar a soma das medidas dos ângulos exter-
nos e o número de diagonais de um octodecágono 
convexo.
03) Determinar a medida de cada ângulo interno e de 
cada ângulo externo de um eneágono regular.
04) Determinar a medida de cada ângulo interno e o nº 
de diagonais de um octógono regular.
05) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter-
nos de um polígono convexo que tem 65 diagonais.
06) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu-
lar cuja medida de cada ângulo externo é 30º.
07) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu-
lar sabendo-se que a medida de um ângulo interno 
excede a medida do ângulo externo em 132º.
08) Determinar a medida do ângulo externo de um 
polígono regular que tem 14 diagonais.
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82
01) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter-
nos e o número de diagonais de um pentadecágono 
convexo.
02) Determinar a soma das medidas dos ângulos exter-
nos e o número de diagonais de um octodecágono 
convexo.
03) Determinar a medida de cada ângulo interno e de 
cada ângulo externo de um eneágono regular.
04) Determinar a medida de cada ângulo interno e o nº 
de diagonais de um octógono regular.
05) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter-
nos de um polígono convexo que tem 65 diagonais.
06) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu-
lar cuja medida de cada ângulo externo é 30º.
07) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu-
lar sabendo-se que a medida de um ângulo interno 
excede a medida do ângulo externo em 132º.
08) Determinar a medida do ângulo externo de um 
polígono regular que tem 14 diagonais.
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Pentadecágono (n = 15 lados)
S = 180(n - 2) = 180(15 - 2) = 2 340º (resp)i
d = n(n - 3) / 2 = 15(15 - 3) / 2 = 90 diagonais (resp)
octodecágono - 18 lados
S = 360º (resp)e
d = n(n - 3)/2
d = 18(18 - 3)/2 = 135 diagonais. (resp)
eneágono - 9 lados
e = 360/n = 360/9 = 40º (resp)
i + e = 180º
i + 40 = 180
i = 140º (resp)
octógono - 8 lados
e = 360/n = 360/8 = 45º
i + e = 180º
i + 45 = 180
i = 135º (resp)
d = n(n - 3)/2 = 8(8 - 3)/2
d = 20 diagonais (resp)
e = 360/n
30 = 360/n
n = 12 lados (dodecágono)
d = n(n - 3)/2
d = 12(12 - 3)/2
d = 54 diagonais (resp)
d = n(n - 3)/2
65 = n(n - 3)/2
2
130 = n - 3n
2
n - 3n - 130 = 0
Raízes
n = 13
n = -10 (não convém)
Para n = 13 (tridecágono)
S = 180(n - 2) = 180(13 - 2)i
S = 1 980º (resp)i
i - e = 132º
i + e = 180º
2i = 312
i = 156º e = 180 - 156 = 24º
e = 360/n
24 = 360/n n = 15 lados (pentadecágono)
d = n(n - 3)/2
d = 15(15 - 3)/2 = 90 diagonais
d = n(n - 3)/2
14 = n(n - 3)/2
228 = n - 3n
2n - 3n - 28 = 0
Raízes
n = 7 (heptágono)
n = -4 (não convém)
Para n = 7 lados
e = 360/n = 360º/7 (resp)
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83
09) Dados dois polígonos convexos, A e B, sabe-se 
que B tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que A. 
Determine quais são os polígonos A e B.
10) Dados dois polígonos regulares, A e B, sabe-se 
que B tem 6 lados a mais do que A e a diferença 
das medidas de seus ângulos externos é 16º. Deter-
mine quais são esses polígonos.
11) Determine a medida do ângulo agudo formado 
entre a diagonal AF e o lado AB de um dodecágono 
regular ABC.... KL.
12) Determine a medida do ângulo agudo formado 
pelos prolongamentos das diagonais AC e DG de 
um dodecágono regular ABC...KL.
Jeca 50
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84
09) Dados dois polígonos convexos, A e B, sabe-se 
que B tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que A. 
Determine quais são os polígonos A e B.
10) Dados dois polígonos regulares, A e B, sabe-se 
que B tem 6 lados a mais do que A e a diferença 
das medidas de seus ângulos externos é 16º. Deter-
mine quais são esses polígonos.
11) Determine a medida do ângulo agudo formado 
entre a diagonal AF e o lado AB de um dodecágono 
regular ABC.... KL.
12) Determine a medida do ângulo agudo formado 
pelos prolongamentos das diagonais AC e DG de 
um dodecágono regular ABC...KL.
Jeca 50
A
nA
dA
B
nB
dB
n = n + 4B A
d = d + 30B A
d - d = 30B A
n (n - 3)/2 - n (n - 3)/2 = 30B B A A
(n + 4)(n + 4 - 3) - n (n - 3) = 60A A A A
8.n = 56A
n = 7 lados (heptágono)A
n = 7 + 4 = 11 lados (undecágono) (resp)B
A
nA
eA
B
nB
eB
n = n + 6B A
e - e = 16 A B
Importante - O polígono que tem menos lados tem o maior 
ângulo externo. (e - e > 0)A B
e - e A B = nA n + 6A
360-360 = 16
n (n + 6)A A
360(n + 6) - 360.nA A
= 16
360(n + 6) - 360.n = 16n (n + 6)A A A A
2
360n + 2 160 - 360n = 16n + 96nA A A A
2
n + 6n - 135 = 0A A
Raízes
n = 9 lados (eneágono)A
n = -15 lados (não convém)A
Polígono A - eneágono
polígono B - (9 + 6 = 15) - pentadecágono (resp)
A
B
C
D
E
F
e
i = 150º
e - ângulo externo
i - ângulo interno
e = 360/n = 360/12 = 30º
Portanto i = 180 - e = 180 - 30 = 150º
ABCDEF é um hexágono irregular
S = 180(n - 2) = 180(6 - 2) = 180 . 4 = 720ºi
Mas, S = 4 . 150 + 2xi
720 = 600 + 2x
x = 60º (resp)
x
x
150º
150º
150º
A
B
C
D
E
F
e - ângulo externo
i - ângulo interno
150º
150º
150º
G
e
e = 360/n = 360/12 = 30º
i = 180 - e = 180 - 30 = 150º
ABC é um triângulo
x + x + 150 = 180 x = 15º
DEFG é um quadrilátero
y + y + 150 + 150 = 360 y = 30º
a = x + 30 = 45º
b = y + 30 = 60º
a + b + q = 180
q = 75º (resp)
e = 30º
e =
 30
º
x
y
x y
a
b
q
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geometria plana
85
q
13) (UNIFESP-SP) Pentágonos regulares congruen-
tes podem ser conectados, lado a lado, formando uma 
estrela de cinco pontas, conforme destacado na figu-
ra. Nestas condições, o ângulo q mede:
a) 108º b) 72º c) 54º d) 36º e) 18º
14) (FUVEST-SP) Dois ângulos internos de um polí-
gono convexo medem 130º cada um e os demais 
ângulos internos medem 128º cada um. O nº de 
lados desse polígono é:
a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17
15) (CESGRANRIO-RJ) No quadrilátero ABCD da 
figura abaixo, são traçadas as bissetrizes CM e BN, 
que formam entre si o ângulo a. A soma dos ângulos 
internos A e D desse quadrilátero corresponde a:
a) a/4 b) a/2 c) a d) 2a e) 3a
A
B
C
D
M
Na
16) (MACK-SP) Os lados de um polígono regular de 
n lados, n > 4, são prolongados para formar uma 
estrela. A medida, em graus, de cada vértice da 
estrela é:
a)
b)
c)
d)
e)
360º
n
(n - 4) . 180º
n
(n - 2) . 180º
n
180º _ 90º
n
180º
n
Jeca 51
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86
q
13) (UNIFESP-SP) Pentágonos regulares congruen-
tes podem ser conectados, lado a lado, formando uma 
estrela de cinco pontas, conforme destacado na figu-
ra. Nestas condições, o ângulo q mede:
a) 108º b) 72º c) 54º d) 36º e) 18º
14) (FUVEST-SP) Dois ângulos internos de um polí-
gono convexo medem 130º cada um e os demais 
ângulos internos medem 128º cada um. O nº de 
lados desse polígono é:
a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17
15) (CESGRANRIO-RJ) No quadrilátero ABCD da 
figura abaixo, são traçadas as bissetrizes CM e BN, 
que formam entre si o ângulo a. A soma dos ângulos 
internos A e D desse quadrilátero corresponde a:
a) a/4 b) a/2 c) a d) 2a e) 3a
A
B
C
D
M
N
a
16) (MACK-SP) Os lados de um polígono regular de 
n lados, n > 4, são prolongados para formar uma 
estrela. A medida, em graus, de cada vértice da 
estrela é:
a)
b)
c)
d)
e)
360º
n
(n - 4) . 180º
n
(n - 2) . 180º
n
180º _ 90º
n
180º
n
Jeca 51
q
e = 360 / 5 = 72º
e = 72ºi = 108º
108º
108º
108º
q = 360 - 3 . 108 = 
= 360 - 324 = 36º
 (resp)
130º
130º 128º
128º
128º
52º
52º
52º
50º
50º
Se dois ângulos internos medem 130º, então dois ângulos
externos medem 50º
Se os demais ângulos internos medem 128º, então os demais
ângulos externos medem 52º
A soma das medidas dos ângulos externos é 360º.
2 . 50 + x . 52 = 360
x . 52 = 360 - 100 = 260
x = 260/52 = 5
2 ângulos externos de 50º
5 ângulos externos de 52º
total - 7 ângulos externos n = 7 lados (resp b)
x
x
yy
x + y = 180 - a
A + B + C + D = 360º
A + D = 360 - 2x - 2y
A + D = 360 - 2(x + y)
A + D = 360 - 2(180 - a)
 A + D = 360 - 360 + 2a
A + D = 2a (resp d)
x
e
e
e - ângulo externo do polígono.
x - vértice da estrela.
e = 360/n
e + e + x = 180º
2 . 360/n + x = 180
x = 180 - 720/n = (180n - 720)/n = 180(n - 4)/n (resp b)
Polígono
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geometria plana
87
01) Dado um polígono convexo de 17 lados, determinar:
a) a soma das medidas dos ângulos 
internos.
b) a soma das medidas dos ângulos 
externos.
c) o número de diagonais desse polí-
gono.
03) Determinar o número de lados e o número de diagonais de um polígono convexo cuja soma das medidas dos 
ângulos internos é 2160º.
04) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 44 diagonais.
02) Dado um undecágono convexo, determinar:
a) a soma das medidas dos ângulos 
internos.
b) a soma das medidas dos ângulos 
externos.
c) o número de diagonais desse polí-
gono.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Polígonos convexos.
Exercícios complementares da aula 05.
Jeca 52
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geometria plana
88
01) Dado um polígono convexo de 17 lados, determinar:
a) a soma das medidas dos ângulos 
internos.
b) a soma das medidas dos ângulos 
externos.
c) o número de diagonais desse polí-
gono.
03) Determinar o número de lados e o número de diagonais de um polígono convexo cuja soma das medidas dos 
ângulos internos é 2160º.
04) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 44 diagonais.
02) Dado um undecágono convexo, determinar:
a) a soma das medidas dos ângulos 
internos.
b) a soma das medidas dos ângulos 
externos.
c) o número de diagonais desse polí-
gono.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Polígonos convexos.
Exercícios complementares da aula 05.
Jeca 52
S = 180(n - 2) = 180(17 - 2) = 2 700ºi
S = 360ºe
d = n(n - 3)/2
d = 17(17 - 3)/2
d = 119 diagonais
S = 180(n - 2) = 180(11 - 2) = 1 620ºi
S = 360ºe
d = n(n - 3)/2
d = 1(11 - 3)/2
d = 44 diagonais
S = 180(n - 2)i
2 160 = 180(n - 2)
n - 2 = 2 160/180
n - 2 = 12
n = 14 lados (resp)
d = n(n - 3)/2
d = 14(14 - 3)/2
d = 77 diagonais (resp)
d = n(n - 3)/2
44 = n(n - 3)/2
2
n - 3n - 88 = 0
Raízes
n = 11 lados (undecágono)
n = -8 (não convém)
S = 180(n - 2)i
S = 180(11 - 2)i
S = 1 620º (resp)i
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geometria plana
89
05) No pentágono ao lado, AB // DE. Determinar a soma das medidas 
dos ângulos internos assinalados. A B
C
E D
06) Determinar os polígonos convexos A e B, sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que o 
polígono B.
07) Dado um eneágono regular, determinar :
a) o número de lados do eneágono. b) a soma das medidas dos ângulos 
internos.
c) a medida de cada ângulo interno.
d) a soma das medidas dos ângulos 
externos.
e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do eneágo-
no.
08) Determinar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo externo é igual a 2/7 da medida de um ângulo 
interno.
Jeca 53
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90
05) No pentágono ao lado, AB // DE. Determinar a soma das medidas 
dos ângulos internos assinalados. A B
C
E
D
06) Determinar os polígonos convexos A e B, sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que o 
polígono B.
07) Dado um eneágono regular, determinar :
a) o número de lados do eneágono. b) a soma das medidas dos ângulos 
internos.
c) a medida de cada ângulo interno.
d) a soma das medidas dos ângulos 
externos.
e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do eneágo-
no.
08) Determinar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo externo é igual a 2/7 da medida de um ângulo 
interno.
Jeca 53
A + E = 180º (ângulos colaterais internos)
ABCDE é um pentágono, portanto S = 180(n - 2) = 180(5 - 2) = 540ºi
E + A + B + C + D = 540
180 + B + C + D = 540
B + C + D = 540 - 180 = 360º (resp)
A
nA
dA
B
nB
dB
n = n + 2A B
d = d + 23A B
d - d = 23A B
(n + 2)(n + 2 - 3)/2 - n (n - 3)/2 = 23B B B B
(n + 2)(n - 1) - n (n - 3) = 46B B B B
4.n = 48B
n = 12 lados (dodecágono)B
n = 12 + 2 = 14 lados (quadridecágono) (resp)A
n = 9 lados
S = 180(n - 2i
S = 180(9 - 2)i
S = 1 260ºi
i = S /ni
i = 1 260/9
i = 140º
S = 360ºe
e = 360/n
e = 360/9
e = 40º
d = n(n - 3)/2
d = 9(9 - 3)/2
d = 27 diagonais
e = 2.i / 7
i + e = 180º
e = 2.i / 7 i = 7.e / 2
e + 7.e / 2 = 180
2e + 7e = 360
9e = 360
e = 40º
e = 360/n
40 = 360/n
n = 360/40 = 9
n = 9 lados (eneágono) (resp)
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91
09) Dado um pentadecágono regular, determinar :
a) o número de lados do pentadecá-
gono.
b) a soma das medidas dos ângulos 
internos.
c) a medida de cada ângulo interno.
d) a soma das medidas dos ângulos 
externos.
e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do penta-
decágono.
10) Determinar dois polígonos regulares, A e B, sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferença 
entre as medidas dos seus ângulos externos é 6º.
11) Dado um decágono regular ABCDE … , determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o lado AB 
e a diagonal AC.
12) Dado um dodecágono regular ABCDE … , sendo O o centro do dodecágono, 
determinar a medida do ângulo AOE.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
O
Jeca 54
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92
09) Dado um pentadecágono regular, determinar :
a) o número de lados do pentadecá-
gono.
b) a soma das medidas dos ângulos 
internos.
c) a medida de cada ângulo interno.
d) a soma das medidas dos ângulos 
externos.
e) a medida de cada ângulo externo. f) o número dediagonais do penta-
decágono.
10) Determinar dois polígonos regulares, A e B, sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferença 
entre as medidas dos seus ângulos externos é 6º.
11) Dado um decágono regular ABCDE … , determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o lado AB 
e a diagonal AC.
12) Dado um dodecágono regular ABCDE … , sendo O o centro do dodecágono, 
determinar a medida do ângulo AOE.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
O
Jeca 54
n = 15 lados S = 180(n - 2i
S = 180(15 - 2)i
S = 2 340ºi
i = S /ni
i = 2 340/15
i = 156º
S = 360ºe
e = 360/n
e = 360/15
e = 24º
d = n(n - 3)/2
d = 15(15 - 3)/2
d = 90 diagonais
A
nA
eA
B
nB
eB
n = n + 3A B
e - e = 6 B A
Importante - O polígono que tem menos lados tem o maior 
ângulo externo. (e - e > 0)B A
e - e B A = nB n + 3B
360-360 = 6
n (n + 3)B B
360(n + 3) - 360.nB B = 6
360(n + 3) - 360.n = 6n (n + 3)B B B B
2
360n + 1 080 - 360n = 6n + 18nB B B B
2
n + 3n - 180 = 0B B
Raízes
n = 12 lados (dodecágono)B
n = -15 lados (não convém)B
Polígono A - (12 + 3 = 15 lados) - pentadecágono
polígono B - dodecágono (resp)
A
B
C
D
E
e
i
x
e - ângulo externo
i - ângulo interno
e = 360/n = 360/10 = 36º
i + e = 180º
i = 180 - 36 = 144º
x + x + i = 2x + 144 = 180
2x = 36
x = 18º (resp)
x
i e
e - ângulo externo
i - ângulo interno
e = 360/n = 360/12 = 30º
i + e = 180
i + 30 = 180
i = 150º
y y
x
ABCDEO é umhexágono irregular
S = 180(n - 2) = 180(6 - 2) = 720ºi
y = i/2 = 150/2 = 75º
720 = 2y + 3 . 150 + x
720 = 2 . 75 + 3 . 150 + x
x = 720 - 600 = 120º (resp)
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93
13) Dado um decágono regular ABCDE … , sendo O o centro do polígono, determinar :
A
B
C
D
EG
H
I
J
O
b) a medida de cada ângulo externo.
d) a medida de cada ângulo interno. e) a medida do ângulo obtuso forma-
do pelos prolongamentos dos lados 
BC e DE.
f) a medida do ângulo agudo forma-
do pelos prolongamentos dos lados 
BC e EF.
g) a medida do ângulo agudo forma-
do entre as diagonais BI e AG.
h) a medida do ângulo EOG.
a) a soma das medidas dos ângulos 
externos do decágono.
c) a soma das medidas dos ângulos 
internos do decágono.
F
i) a medida do ângulo EBC.
Jeca 55
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94
13) Dado um decágono regular ABCDE … , sendo O o centro do polígono, determinar :
A
B
C
D
EG
H
I
J
O
b) a medida de cada ângulo externo.
d) a medida de cada ângulo interno. e) a medida do ângulo obtuso forma-
do pelos prolongamentos dos lados 
BC e DE.
f) a medida do ângulo agudo forma-
do pelos prolongamentos dos lados 
BC e EF.
g) a medida do ângulo agudo forma-
do entre as diagonais BI e AG.
h) a medida do ângulo EOG.
a) a soma das medidas dos ângulos 
externos do decágono.
c) a soma das medidas dos ângulos 
internos do decágono.
F
i) a medida do ângulo EBC.
Jeca 55
S = 360ºe
x
e
e
e = 360/n = 360/10
e = 36º S = 180(n - 2)i
S = 180(10 - 2)i
S = 1440ºi
i = S /ni 
i = 1440/10
i = 144º x + e + e = 180
x + 2e = 180
x + 2 . 36 = 180
x = 108º
y
z
z
2z = e = 36
z = 18º
z + e + y + z + e = 180
18 + 36 + y + 18 + 36 = 180
y = 72º
w
144º
144º
36º
108º
36º
54º
54º 90º
90º
w + 90 + 36 = 180
w = 54º
k k
k = 360/n = 360/10 = 36º
EOG = 2k = 2 . 36
EOG = 72º
72º
36º
EBC = 36º
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geometria plana
95
14) Na figura ao lado, determinar o valor de x + y.
x
y
105º
88º
93º
15) Dado um polígono convexo ABCD... com n lados, 
n > 3, o número de diagonais do polígono que não 
passam pelo vértice A é dado por:
a) 5n - 4
2
c) n - 5n + 6
2
2
b) n - 11n
d) n(n-3)
2
2
e) 2n - 4
16) Se a soma dos ângulos internos de um polígono 
regular é 1620º, sendo x a medida de cada ângulo 
externo então:
a) x = 18º 
b) 30º < x < 35º 
c) x = 45º 
d) x < 27º 
e) 40º < x < 45º
A
C
D
E
F
GH
18) Na figura ao lado, ABC é um triângulo eqüilátero 
e DEFGH é um pentágono regular. Sabendo-se que 
D pertence ao lado AC, F pertence ao lado AC, G e 
H pertencem ao lado BC, determinar as medidas dos 
ângulos ADE e CDH.
B
G
H
19) Dado o eneágono regular ao lado, determinar a 
medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos 
lados AB e DE.
A
B
C
D
EF
I
X
17) Três polígonos têm o número de lados expressos 
por números inteiros consecutivos. Sabendo que o 
número total de diagonais dos três polígonos é igual a 
28, determine a polígono com maior número de 
diagonais.
Jeca 56
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geometria plana
96
14) Na figura ao lado, determinar o valor de x + y.
x
y
105º
88º
93º
15) Dado um polígono convexo ABCD... com n lados, 
n > 3, o número de diagonais do polígono que não 
passam pelo vértice A é dado por:
a) 5n - 4
2
c) n - 5n + 6
2
2
b) n - 11n
d) n(n-3)
2
2
e) 2n - 4
16) Se a soma dos ângulos internos de um polígono 
regular é 1620º, sendo x a medida de cada ângulo 
externo então:
a) x = 18º 
b) 30º < x < 35º 
c) x = 45º 
d) x < 27º 
e) 40º < x < 45º
A
C
D
E
F
GH
18) Na figura ao lado, ABC é um triângulo eqüilátero 
e DEFGH é um pentágono regular. Sabendo-se que 
D pertence ao lado AC, F pertence ao lado AC, G e 
H pertencem ao lado BC, determinar as medidas dos 
ângulos ADE e CDH.
B
G
H
19) Dado o eneágono regular ao lado, determinar a 
medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos 
lados AB e DE.
A
B
C
D
EF
I
X
17) Três polígonos têm o número de lados expressos 
por números inteiros consecutivos. Sabendo que o 
número total de diagonais dos três polígonos é igual a 
28, determine a polígono com maior número de 
diagonais.
Jeca 56
a
b
a + b + 93 + 88 + 105 = 540 (pentágono)
a + b = 540 - 286 = 254
c + d = 254 - 180 = 74
x + y = c + d = 74º (resp)
c
d
c + 
d = 
x + 
y
 Se um polígono tem n lados, 
então tem n vértices.
 O número de diagonais que
passam num vértice é n - 3.
 O número total de diagonais 
de um polígono é dado por
 d = n(n - 3)/2
Excluindo-se as que passam 
pelo vértice A, tem-se
d' =
n(n - 3)
2
- (n - 3)
d' =
2
n(n - 3) - 2(n - 3)
=
2
n - 3n - 2n + 6
2
d' =
2
2
n - 5n + 6 (resp c)
polígono A - n lados
polígono B - n + 1 lados
polígono C - n + 2 lados
d =
n(n - 3)
2
nº de diagonais
de um polígono
Total de diagonais = 28
28 =
n(n - 3)
2
(n + 1)(n + 1 - 3) (n + 2)(n + 2 - 3)+
2
+
2
28 =
n(n - 3)
2
+ (n + 1)(n - 2) + (n + 2)(n - 1)
2
n - n - 20 = 0
Raízes
n = -4 (não convém)
n = 5
polígono A - 5 lados
polígono B - 6 lados
polígono C - 7 lados (heptágono) - tem o maior número
 de diagonais. (resp)
S = 180(n - 2)i
1 620 = 180(n - 2)
n - 2 = 1 620/180 = 9
n = 11
e = 360/n
e = 360/11 = 32,73º
x = e = 32,73º Portanto 30º < x < 35º (resp b)
x
y
e60º i
e = 360/n = 360/5 = 72º
i + e = 180
i + 72 = 180
i = 108º
y + 60 + e = 180
y + 60 + 72 = 180
y = 48º
y + i + x = 180
48 + 108 + x = 180
x = 24º
i = 108º
e
y
e
i
e = 360/n = 360/9 = 40º
i = 180 - e = 180 - 40 = 140º
y + y + 140 = 180
y = 20º
x + (y + e) + (y + e) = x + 2y + 2e = 180
x + 40 + 80 = 180
x = 60º (resp)
140º
y
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geometria plana
97
21) (MACK-SP) Num quadrilátero convexo, a soma 
de dois ângulos internos consecutivos mede 190º. 
O maior ângulo formado pelas bissetrizes internas 
dos dois outros ângulos mede:
a) 105º b) 100º c) 90º d) 95º e) 85º
22) (ITA-SP) O número de diagonais de um polígono 
regular de 2n lados, que não passam pelo centro da 
circunferência circunscrita a esse polígono, é dado 
por:
a) 2n(n - 2)
b) 2n(n - 1)
c) 2n(n - 3)
d)
e) n.d.a.
n(n - 5)
2
23) (FEI) O menor ângulo interno de um polígono con-
vexo mede 139º, e os outros ângulos formam como 
primeiro uma progressão aritmética de razão 2. De-
termine o número de lados do polígono.
Jeca 57
20) (UFSC-2006) Considere um hexágono equiângu-
lo (ângulos internos iguais), no qual quatro lados 
consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, 
conforme figura a seguir. Calcule o perímetro do he-
xágono.
a
a a
a
a
B
C
DE
F
23
15
13
20
a
A
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98
21) (MACK-SP) Num quadrilátero convexo, a soma 
de dois ângulos internos consecutivos mede 190º. 
O maior ângulo formado pelas bissetrizes internas 
dos dois outros ângulos mede:
a) 105º b) 100º c) 90º d) 95º e) 85º
22) (ITA-SP) O número de diagonais de um polígono 
regular de 2n lados, que não passam pelo centro da 
circunferência circunscrita a esse polígono, é dado 
por:
a) 2n(n - 2)
b) 2n(n - 1)
c) 2n(n - 3)
d)
e) n.d.a.
n(n - 5)
2
23) (FEI) O menor ângulo interno de um polígono con-
vexo mede 139º, e os outros ângulos formam com o 
primeiro uma progressão aritmética de razão 2. De-
termine o número de lados do polígono.
Jeca 57
20) (UFSC-2006) Considere um hexágono equiângu-
lo (ângulos internos iguais), no qual quatro lados 
consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, 
conforme figura a seguir. Calcule o perímetro do he-
xágono.
a
a a
a
a
B
C
DE
F
23
15
13
20
a
A
S = 180(n - 2)i
S = 180(6 - 2) = 720ºi
i = 720 / 6 = 120º
B
C
DE
F
23
15
13
20
A
120º 120º
120º
120º
120º
120º
60º
60º
60º
13
13
xx
y
A figura acima é um paralelogramo
20 + 13 = 23 + x x = 10
x + y = 15 + 13
10 + y = 28
y = 18
Per = 2p = 20 + 13 + 15 + 23 + 10 + 18 = 99 cm (resp)
x
A
B
C
D
a
b
a
b
x
y
A + B + C + D = 360º
A + B = 190º
Portanto
C + D = 360 - 190 = 170º
Mas C + D = 2a + 2b = 170º
Então a + b = 85º
y é ângulo externo
y = a + b = 85º
x = 180 - y = 180 - 85 = 95º
O maior ângulo é x
x = 95º (resp d)
d =
n(n - 3)
2
nº de diagonais
de um polígono
Se o polígono tem 2n lados, a fórmula passa a ser
d =
2n(2n - 3)
2
Mas a diagonal que passa pelo centro está sendo excluída
Então a fórmula passa a ser
Simplificando, tem-se
d =
2n(2n - 4)
2
d = n(2n - 4)
d = 2n(n - 2) (resp a) 
Se o menor ângulo interno mede 139º, então o maior ângulo
externo mede 180 - 139 = 41º
Os ângulos externos formam uma PA (41º, 39º, 37º, ... )
A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é 360º.
Soma dos n primeiros termos de uma PA S n = a + a1 n
2
n( ) .
Fórmula do termo geral de uma PA a = a + (n - 1) . rn 1
a = 41 + (n - 1).(-2) = 43 - 2nn
Sn = (41 + 43 - 2n) . n / 2
360 = (41 + 43 - 2n) . n / 2
2
n - 42n + 360 = 0
Raízes
n = 30 (não convém pois o 30º ângulo será menor que 0º)
n = 12
Se esse polígono tem 12 ângulos externos, então ele tem 
12 lados. (resp)
Conferindo
41 + 39 + 37 + 35 + 33 + 31 + 29 + 27 + 25 + 23 + 21 + 19 = 360
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99
Respostas dos exercícios da Aula 05.
01) 2340º e 90 diagonais
02) 360º e 135 diagonais
03) 140º e 40º
04) 135º e 20 diagonais
05) 1980º
06) 54 diagonais
07) 90 diagonais
08) 360º / 7
09) Heptágono e undecágono
10) Eneágono e pentadecágono
11) 60º
12) 75º
13) d
14) b
15) d
16) b
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
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100
Respostas dos exercícios complementares da Aula 05.
01) 
a) 2700º b) 360º c) 119 
02) 
a) 1620º b) 360º c) 44
03) 14 lados e 77 diagonais
04) 1620º
05) 360º
06) Quadridecágono e dodecágono
07) 
a) 9 b) 1260º c) 140º d) 360º 
e) 40º f) 27
08) Eneágono
09) 
a) 15 b) 2340º c) 156º d) 360º 
e) 24º f) 90
10) Pentadecágono e dodecágono
11) 18º
12) 120º
13) 
a) 360º b) 36º c) 1440º d) 144º 
e) 108º f) 72º g) 54º h) 72º 
 i) 36º
14) 74º
15) c
16) b
17) heptágono
18) 24º e 48º
19) 60º
20) 99 cm 
21) d
22) a
23) 12
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
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geometria plana
101
I) Elementos da circunferência.
A
B
C
D
r
r
r
a
P
C - centro da circunferência
AC = r - raio da circunferência
AB = 2r - diâmetro da circunferência
ACD = a - ângulo central
APD - arco da circunferência
AD - corda da circunferência
II) Posições relativas entre ponto
 e circunferência.
III) Posições relativas entre reta
 e circunferência.
reta tangente
reta sec
ante
reta exterior
ponto de tangência
A
B
D
C
A - ponto
exterior
B - ponto da
circunferência
D - ponto
interior
C - centro da
circunferência
IV) Propriedades da circunferência.
1) Em toda circunferência, a medida 
do ângulo central é igual à medida 
do arco correspondente.
2) Em toda circunferência, o raio é 
perpendicular à reta tangente no 
ponto de tangência.
3) Em toda circunferência, o raio, 
quando perpendicular à corda, divi-
de essa corda ao meio.
C
A
P
B
a
APB = a
C C
A
B
M
AM = MB
V) Ângulos na circunferência.
a) Ângulo inscrito na circunferência. b) Ângulo de segmento.
 É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circun-
ferência e os dois lados secantes a essa 
circunferência.
Propriedade - O ângulo inscrito vale a metade do 
ângulo central ou a metade do arco correspondente.
 É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circunfe-
rência, um lado secante e um lado tangente a essa 
circunferência. 
Propriedade - O ângulo de segmento vale a metade 
do ângulo central ou a metade do arco correspondente.
b
a
vértice
a - ângulo central
b - ângulo inscrito
b =
a
2
b
a
vértice
se
ca
nt
e
tangente
a - ângulo central
b - ângulo de segmento
b =
a
2
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 06
Ângulos na circunferência.
Jeca 60
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geometria plana
102
IV) Consequências do ângulo inscrito.
1) Todo triângulo retângulo pode ser 
inscrito numa semicircunferência 
onde a hipotenusa coincide com o 
diâmetro.
2) Em todo triângulo retângulo, a 
mediana relativa à hipotenusa vale 
a metade dessa hipotenusa.
3) Todos os ângulos de uma circun-
ferência inscritos no mesmo arco 
são congruentes.
4) Em todo quadrilátero inscrito nu-
ma circunferência os ângulos inter-
nos opostos são suplementares.
5) Ângulo excêntrico de vértice 
interno.
6) Ângulo excêntrico de vértice 
externo.
hipotenusa
e diâmetro
ângulo
inscrito
hipotenusa
mediana
relativa à
hipotenusa
RR
R
b
b
b
b
arco de
medida
2b
a
b
g
q
a + b = 180º
e
g + q = 180º
C
a
b
x
x =
a + b
2
x =
a - b
2
xa b
vérticevértice
Exercícios - 01) Nas circunferências abaixo, sendo O o centro, determine a medida do ângulo ou do arco x.
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
O
O O
O O
O
x
118º
41º
x
x
46º
39º
x
x
O x62º
O
x
62º
104º
x O
x
87º
Jeca 61
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geometria plana
103
IV) Consequências do ângulo inscrito.
1) Todo triângulo retângulo pode ser 
inscrito numa semicircunferência 
onde a hipotenusa coincide com o 
diâmetro.
2) Em todo triângulo retângulo, a 
mediana relativa à hipotenusa vale 
a metade dessa hipotenusa.
3) Todos os ângulos de uma circun-
ferência inscritos no mesmo arco 
são congruentes.
4) Em todo quadrilátero inscrito nu-
ma circunferência os ângulos inter-
nos opostos são suplementares.
5) Ângulo excêntrico de vértice 
interno.
6) Ângulo excêntrico de vértice 
externo.
hipotenusa
e diâmetro
ângulo
inscrito
hipotenusa
mediana
relativa à
hipotenusa
RR
R
b
b
b
b
arco de
medida
2b
a
b
g
q
a + b = 180º
e
g + q = 180º
C
a
b
x
x =
a + b
2
x =
a - b
2
xa b
vértice
vértice
Exercícios - 01) Nas circunferências abaixo, sendo O o centro, determine a medida do ângulo ou do arco x.
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
O
O O
O O
O
x
118º
41º
x
x
46º
39º
x
x
O x62º
O
x
62º
104º
x O
x
87º
Jeca 61
x = 118/2
x = 59º
x/2 = 41
x = 82º x/2 = 46
x = 92º
x = 39º x = 180/2
x = 90º
x + 90 + 62 = 180
x = 28º
124º
56º
x = 56/2
x = 28º
x + 104 = 180
x = 76º
y
x + y = 180
y + 87 = 180
x = 87º
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geometria plana
104
A
B
C
O
124º
x
D
x
3x
x
55º
x
35º
02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
O O
O O
a) b) c)
d) f)
g) h) Tente fazer por outro método. i)
j) k) l)
m) n) o)
52º
x
O O
O
O
O
O O
O
37º
x
O
37º
x
x
88º
56º
x
33º
87º
x
11
8
º
34
º
142º
34º
x
146º
x
x 54º
ta
ng
en
te
165º
77
º
x
Jeca 62
e)
34º
52º x
O
tangente
(GeoJeca)
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105
A
B
C
O
124º
x
D
x
3x
x
55º
x
35º
02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
O O
O O
a) b) c)
d) f)
g) h) Tente fazer por outro método. i)
j) k) l)
m) n) o)
52º
x
O O
O
O
O
O O
O
37º
x
O
37º
x
x
88º
56º
x
33º
87º
x
11
8
º
34
º
142º
34º
x
146º
x
x 54º
ta
ng
en
te
165º
77
º
x
Jeca 62
124º
56º x = 56/2
x = 28º
3x
6x
3x + x + 90 = 180
x = 90/4
x = 22,5º
35º
55º
35º
35 + x + 35 = 90
x = 20º
R
R
37º
y
y + 37 + 37 = 180
y = 106º
x = y/2
x = 106/2
x = 53º
74º
106º x = 106/2
x = 53º
y
z
x
z = 33/2 = 16,5º
y = 87/2 = 43,5º
x + 16,5 + 43,5 = 180
x = 120º
y
z
y = 34/2 = 17º
z = 118/2 = 59º
z = x + y
x = z - y
x = 42º
146º
214º x = 214/2
x = 107º
y
y
z
y = 90 - 54 = 36º
y + y + z = 180
z = 108º
x = 108/2
x = 54º
e)
34º
52º x
O
tangente
w
y z
128º
w - ângulo de segmento
w = 52º
 y + 34 + 52 = 180
 y = 94º
z = 180 - w - y
 z = 34º
x + z + 128 = 180
x = 18º
y
55 = y/2
y = 110º
x = y
x = 110º
y
z
52 = y/2
y = 104º
z = 180 - y
z = 76º
x = z/2
x = 76/2
x = 38º
y
z
z = 56/2 = 28º
y = 88/2 = 44º
x é ângulo externo
x = y + z
x = 72º
z
y
x
y = 142/2 = 71º
z = 34/2 = 17º
x + y + z = 180º
x = 92º
y
y + 165 = 77 = 360
y = 118
x = y/2
x = 118/2
x = 59º
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106
A
B
C
D
E
F
G
H
70º
03) Na circunferência abaixo pode-se afirmar que:
a) as medidas dos arcos AHG e EDC são iguais.
b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º.
c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º.
d) o arco GFE é maior que o arco EDC.
e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º.
04) (J) Dada uma circunferência de diâmetro AB, seja 
P um ponto da circunferência distinto de A e de B. 
Pode-se afirmar que :
a) PA = PB
b) PA + PB = constante
c) PA > PB
2 2
d) (PA) + (PB) = constante
2 2
e) (PA) - (PB) = constante
CA
B
D
E F
05) Na figura abaixo, a circunferência de centro C 
tangencia o triângulo DEF nos pontos A e B. Sabendo-
se que a medida do ângulo interno D é 40º e que a 
medida do arco AGB é 75º, determinar a medida do 
ângulo x.
G
x
A
B
C
O
118º
x
y
06) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são pontos 
da circunferência de centro O. O valor de x + y é :
a) 242º
b) 121º
c) 118º
d) 59º
e) 62º
A
B
P
R S
M
N
K
07) Na figura abaixo, as duas circunferências têm o 
mesmo raio e centros nos pontos R e S. Os pontos A, 
P, B e S estão na circunferência de centro R e os 
pontos M, N, R e K estão na circunferência de centro 
S. Se o arco APB mede 86º, então o ângulo MKN, 
mede :
a) 23º
b) 21º 30’
c) 22º
d) 22º 30’
e) 43º
A
B
C
D
E
08) Dado um pentágono regular ABCDE, constói-se 
uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma 
que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, 
em B e em E, respectivamente. Determine a medida, 
em graus, do menor arco BE dessa circunferência.
N
S
M
T
P
Q
10) (MACK-SP) Na figura a seguir, os arcos QMP e 
MTQ medem,respectivamente, 170º e 130º. Então, 
o arco MSN mede:
a) 60º b) 70º c) 80º d) 100º e) 110º
09) (J) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tan-
gentes à circunferência de centro O. Determine a me-
dida do ângulo APB sabendo que o ângulo ACB 
mede 61º.
A
B
C
P
O
(GeoJeca)
Jeca 63
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geometria plana
107
A
B
C
D
E
F
G
H
70º
03) Na circunferência abaixo pode-se afirmar que:
a) as medidas dos arcos AHG e EDC são iguais. 
b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º. 
c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º. 
d) o arco GFE é maior que o arco EDC. 
e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º. 
(F)
(F)
(F)
(F)
(V)
04) (J) Dada uma circunferência de diâmetro AB, seja 
P um ponto da circunferência distinto de A e de B. 
Pode-se afirmar que :
a) PA = PB
b) PA + PB = constante
c) PA > PB
2 2
d) (PA) + (PB) = constante
2 2
e) (PA) - (PB) = constante
CA
B
D
E F
05) Na figura abaixo, a circunferência de centro C 
tangencia o triângulo DEF nos pontos A e B. Sabendo-
se que a medida do ângulo interno D é 40º e que a 
medida do arco AGB é 75º, determinar a medida do 
ângulo x.
G
x
A
B
C
O
118º
x
y
06) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são pontos 
da circunferência de centro O. O valor de x + y é :
a) 242º
b) 121º
c) 118º
d) 59º
e) 62º
A
B
P
R S
M
N
K
07) Na figura abaixo, as duas circunferências têm o 
mesmo raio e centros nos pontos R e S. Os pontos A, 
P, B e S estão na circunferência de centro R e os 
pontos M, N, R e K estão na circunferência de centro 
S. Se o arco APB mede 86º, então o ângulo MKN, 
mede :
a) 23º
b) 21º 30’
c) 22º
d) 22º 30’
e) 43º
A
B
C
D
E
08) Dado um pentágono regular ABCDE, constói-se 
uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma 
que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, 
em B e em E, respectivamente. Determine a medida, 
em graus, do menor arco BE dessa circunferência.
N
S
M
T
P
Q
10) (MACK-SP) Na figura a seguir, os arcos QMP e 
MTQ medem,respectivamente, 170º e 130º. Então, 
o arco MSN mede:
a) 60º b) 70º c) 80º d) 100º e) 110º
Jeca 63
x
y
70º
A
B
C
D
E
F
G
H
70º
03) Na circunferência abaixo pode-se afirmar que:
a) as medidas dos arcos AHG e EDC são iguais. 
b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º. 
c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º. 
d) o arco GFE é maior que o arco EDC. 
e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º. 
(F)
(F)
(F)
(F)
(V)
2x
2y
x + y + 70 = 180
x + y = 110
2x + 2y = 220º
resp e)
40º
75º
y
 A medida do ângulo central ACB 
é igual à medida do arco AGBACBE é um 
quadrilátero
A + E + B + C = 360º
Portanto y = 105º
x + y + 40 = 180
x = 35º (resp)
86º
y
xy = 86/2
y = 43
x = y/2 = 43/2
x =21,5º (resp b)
A B
P
1) Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircun-
ferência.
2) Se o triângulo é retângulo então ele satisfaz o Teorema de
Pitágoras.
2 2 2
(AB) = (PA) + (PB)
2 2 2
Portanto (PA) + (PB) = (AB) = constante (resp d)
z
wz = 118/2 = 59º
w = x + z
w = x + 59
118 = y + w
118 = y + x + 59
x + y = 118 - 59 = 59º (resp d)
e
i
e = 360/n = 360/5 = 72º
i = 180 - e = 180 - 72 = 108º
x 108º
O
BCDEO é um quadrilátero
S = 180(n - 2) = 180(5 - 2)i
S = 540ºi
540 = x + 2 . 90 + 2 . 108
x = 144º
BE = x
BE = 144º (resp)
y
y = 360 - QMP
y = 360 - 170 = 190
z = y/2 = 95º
w = 180 - 95 = 85º
k = 130/2
k = 65º
x + k + w = 180
x = 30º
x = MSN/2
MSN = 60º (resp a)
130º
w
z
k
x
09) (J) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tan-
gentes à circunferência de centro O. Determine a me-
dida do ângulo APB sabendo que o ângulo ACB 
mede 61º.
A
B
C
P
O
(GeoJeca)
x
61º
y y = 2 . 61 = 122º
APBO é um qua-
drilátero
y + 90 + x + 90 = 360
x = 360 - 180 - 122
x = 58º (resp)
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108
A
B
C
D
E
F
G
HI
J
K
L
M
N
P
O
A B
C
D
E
F
G
H
I
JKL
M
N
P
Q
R
S
T
U
O
11) No pentadecágono regular abaixo, determinar a 
medida do ângulo agudo formado entre as diagonais 
NE e BJ.
x
y
z
12) No icoságono regular abaixo, BK, CN e HN são 
diagonais. Determine as medidas dos ângulos x, y e 
z.
A
AB
B
C
C
D
D
E
E
F
FG
G
H
H
I
I
J
J
K
K
L
L
O
O
x
yz
t
13) No dodecágono regular de centro O abaixo, deter-
minar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
x
y
z
t
14) A figura abaixo representa um quadrilátero BEFK 
inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determi-
nar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
15) A figura abaixo representa um eneágono regular 
ABCD … de centro O. Sendo OI a bissetriz do ângulo 
AIH e OP a mediatriz do segmento FE, determinar as 
medidas dos ângulos x, y, z e t.
A
B
C
D
EF
G
H
I
O
16) No eneágono regular ABCD … , determinar a 
medida do ângulo x formado pelas retas IB e DE.
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
x
A
B
C
D
EF
G
H
I
O
P
x
y
z
t
Jeca 64
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geometria plana
109
A
B
C
D
E
F
G
HI
J
K
L
M
N
P
O
A B
C
D
E
F
G
H
I
JKL
M
N
P
Q
R
S
T
U
O
11) No pentadecágono regular abaixo, determinar a 
medida do ângulo agudo formado entre as diagonais 
NE e BJ.
x
y
z
12) No icoságono regular abaixo, BK, CN e HN são 
diagonais. Determine as medidas dos ângulos x, y e 
z.
A
AB
B
C
C
D
D
E
E
F
FG
G
H
H
I
I
J
J
K
K
L
L
O
O
x
yz
t
13) No dodecágono regular de centro O abaixo, deter-
minar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
x
y
z
t
14) A figura abaixo representa um quadrilátero BEFK 
inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determi-
nar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
15) A figura abaixo representa um eneágono regular 
ABCD … de centro O. Sendo OI a bissetriz do ângulo 
AIH e OP a mediatriz do segmento FE, determinar as 
medidas dos ângulos x, y, z e t.
A
B
C
D
EF
G
H
I
O
16) No eneágono regular ABCD … , determinar a 
medida do ângulo x formado pelas retas IB e DE.
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
x
A
B
C
D
EF
G
H
I
O
P
x
y
z
t
Jeca 64
n = 15 lados
k = 360/15 
k = 24º
x
3 . 24 = 72º
4 . 24 = 96º
y
w
y = 72/2 = 36º
w = 96/2 = 48º
x = y + w 
x = 36 + 48
x = 84º (resp)
m = 360/12
m = 30º
x = LCE/2 = 5 . 30/2
x = 150/2 = 75º
t = CDE = 2 . 30
t = 60º
y = EFG/2 
y = 2 . 30/2
y = 30º
z = GHJ/2 
z = 3 . 30/2
z = 45º
m = 360/9
m = 40º
x = ICG/2
x = 7 . 40/2
x = 140º
y = x = 140º
2.t = 140
t = 70º
z = IGP'
z = 3,5 . 40
z = 140º 
t
w
t
m = 360/20
m = 18º
x = CEH/2
x = 5 . 18/2
x = 45º
w = HJK/2
w = 3 . 18/2
w = 27º
t = NSB/2
t = 8 . 18/2
t = 72º
y = t + w
y = 27 + 72 = 99º
x + y + z = 180
z = 36º
m = 360/12
m = 30º
x = BDF/2
x = 4 . 30/2
x = 60º
y = EHK/2
y = 6 . 30/2
y = 90º
z = FJB/2
z = 8 . 30/2
z = 120º
t = KBE/2
t = 6 . 30/2
t = 90º
m = 360/9
m = 40º
y
z
y = BCD/2
y = 2 . 40/2
y = 40º
z = EGI/2
z = 4 . 40/2
z = 80º
z = x + y
x = z - y
x = 80 - 40 = 40º (resp)
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geometria plana
110
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Ângulos na circunferência.
Exercícios complementares da aula 06.
O86º x V
a)
24
6º
x
O
V
b)
76º
x
V
O
c)
O136ºx
d)
x
88º
O
e)
x
29º
O
f)
x 94º
70º
O O
g)
87º
23º
xh)
68
º
102º
O
x
i)
33º
x
O
j)
O
38
º
10
6º
x
l)
x
O
m)
O
n)
51º
x
O
56º
x
o)
x
O
196º
p)
01) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
Jeca 65
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geometria plana
111
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Ângulos na circunferência.
Exercícios complementares da aula 06.
O86º x V
a)
24
6º
x
O
V
b)
76º
x
V
O
c)
O136ºx
d)
x
88º
O
e)
x
29º
O
f)
x 94º
70º
O O
g)
87º
23º
xh)
68
º
102º
O
x
i)
33º
x
O
j)
O
38
º
10
6º
x
l)
x
O
m)
O
n)
51º
x
O
56º
x
o)
x
O
196º
p)
01) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
Jeca 65
x = 86/2
x = 43º
x = 246/2
x = 123º
x = 136º
x = 88/2
x = 44º
x
94º
x + 94 + 70 = 180
x = 16º
x/2
93º
x/2 + 23 + 93 = 180
x/2 = 64
x = 128º
66º
114º
x = 114/2
x = 57º
y
z
y = 38/2
y = 19º
z = 106/2
z = 53º
z = x + y 
x = z - y = 53 - 19 = 34º
x + 51 + 90 = 180
x = 39º
x + 56 = 180
x = 124º
76 = x/2
x = 152º
y
y = 2 . 29
y = 58º
x = y/2
x = 58/2
x = 29º
y
w
x
y = 102/2
y = 51º
w = 68/2
w = 34º
x + y + w = 180º
x = 180 - 51 - 34 = 95º
x = 180/2
x = 90º
180º
y
y = 196/2
y = 98º
x + y = 180
x = 180 - 98
x = 82º
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112
O O O
O
O
O
OO
O
O
O
O
O
O
a)
x
2x
b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) l) m)
n) o) p)
98º
x
78º
x
57º
x 4
2
º x
58º
88º
x
x
56º
14
0º 26º
x
94º
x
40º
36º
x
68º
82º
55º
120º
x
115º
10
0º
x
O
x
56º
x
44º
48º
x
02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
Jeca 66
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113
O O O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
a)
x
2x
b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) l) m)
n) o) p)
98º
x
78º
x
57º
x 4
2
º x
58º
88º
x
x
56º
14
0º 26º
x
94º
x
40º
36º
x
68º
82º
55º
120º
x
115º
10
0º
x
O
x
56º
x
44º
48º
x
02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
Jeca 66
x + 2x = 180
3x = 180
x = 60º
y
y + 98 = 180
x + y = 180
x = 98º
114º
2x
2x + 114 = 180
2x = 66
x = 33º
84º 2x
2x + 84 = 180
2x = 96
x = 48º
z
y
140º
y = 56/2
y = 28º
z + 140 + y = 180
z = 12º
x = 2z = 2 . 12
x = 24º
z
y
z = 94/2 = 47º
y + 26 = 47 y = 21º
x = 2y = 2 . 21 = 42º
y
z
y = 68/2
y = 34º
82 = 34 + z
z = 48º
x = 2z
x = 2 . 48 = 96º
2x
60º
x
x + 60 + 55 = 180
x = 65º
y
y = 2 . 56
y = 112º
x = y = 112º
y
z
y = 2 . 44
y = 88º
z = 180 - y
z = 92º
x = z/2
x = 92/2
x = 46º
y
y + 78 = 180
y = 102
y = x/2
x = 2y
x = 204º
y 58 = 2y
y = 116º
x + y + 88 = 360
x = 156º
z
y
y = 40/2
y = 20º
z = 36 + y
z = 56º
x = 2z
x = 2 . 56
x = 112º
y
z
y = 2 . 100
y = 200º
z = 2 . 115
z =230º
x
y + z = 360 + x
430 = 360 + x
x = 70º
R
R
y
y
z
48 = z/2
z = 96º
z + y + y = 180 y = 42º
x + y = 90 x = 48º
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114
08) Na figura abaixo, AB = 12 cm é um diâmetro da cir-
cunferência de centro C. Sendo D um ponto da circun-
ferência diferente de A e de B, determine :
a) a medida do ângulo ADB.
b) o tipo do triângulo ADB.
c) o que é o segmento CD no triângulo ADB.
d) a medida do segmento CD.
A
B
C
D
A
C
B
D
E
03) Na circunferência de centro C abaixo, AB é um 
diâmetro e a medida do segmento DE é a metade da 
medida de AB. Determine a medida dos ângulos ADB, 
ECD e AFE.
F
A
P
B
C
D
04) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à 
circunferência de centro C nos pontos A e B. 
Sabendo-se que o ângulo APB mede 48º, determinar 
a medida do arco ADB.
28º
72º
O
x
A
BC
D
E
05) Na figura abaixo, A, B, C e D são pontos da cir-
cunferência de diâmetro AD e centro O. Determine 
a medida do ângulo AEB.
06) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferência de 
centro O, tais que P e Q estão do mesmo lado do 
diâmetro que passa por R. Sabendo que ORP = 20º e 
ROQ = 80º, calcule o ângulo PQO.
O
R
A B
C
D
E
F
07) Na figura abaixo, AB é o diâmetro e C, D e E são 
pontos da circunferência. Sabendo-se que o ângulo 
DCE mede 35º, determine a medida do ângulo BFE.
Jeca 67
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115
08) Na figura abaixo, AB = 12 cm é um diâmetro da cir-
cunferência de centro C. Sendo D um ponto da circun-
ferência diferente de A e de B, determine :
a) a medida do ângulo ADB.
b) o tipo do triângulo ADB.
c) o que é o segmento CD no triângulo ADB.
d) a medida do segmento CD.
A
B
C
D
A
C
B
D
E
03) Na circunferência de centro C abaixo, AB é um 
diâmetro e a medida do segmento DE é a metade da 
medida de AB. Determine a medida dos ângulos ADB, 
ECD e AFE.
F
A
P
B
C
D
04) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à 
circunferência de centro C nos pontos A e B. 
Sabendo-se que o ângulo APB mede 48º, determinar 
a medida do arco ADB.
28º
72º
O
x
A
BC
D
E
05) Na figura abaixo, A, B, C e D são pontos da cir-
cunferência de diâmetro AD e centro O. Determine 
a medida do ângulo AEB.
06) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferência de 
centro O, tais que P e Q estão do mesmo lado do 
diâmetro que passa por R. Sabendo que ORP = 20º e 
ROQ = 80º, calcule o ângulo PQO.
O
R
A B
C
D
E
F
07) Na figura abaixo, AB é o diâmetro e C, D e E são 
pontos da circunferência. Sabendo-se que o ângulo 
DCE mede 35º, determine a medida do ângulo BFE.
Jeca 67
R
R
R
R
DE = AC = CB = R (raio)
O triângulo CDE é equilátero
Portanto ECD = 60º
ADB = 90º
O triângulo ADB é retân-
gulo porque está inscrito
numa semicircunferência.
x
y
z
w
y + w + z = 180
w = 60º
y + z = 120º
k
p
y = 2k k = y/2
z = 2p p = z/2
x = p + k = y/2 + z/2 = (y + z)/2
x = 120/2
x = AFE = 60º
z
y
z = 28/2 = 14º
y = 72 /2 = 36º
y = x + z
x = y - z
x = 36 - 14
x = 22º
35º
xy
z
w
k p
z = 2 . 35 = 70º
y + z + w = 180
y + w = 110º
k = w/2
p = y/2
x = k + p = w/2 + y/w
x = (y + w)/2
x = 110/2
x = 55º
48º
y
y
z
z
w
O triângulo APB é isósceles
2y + 48 = 180
y = 66º
z + y = 90º
z = 24º
w + 2z = 180
w = 132º
ADB = 360 - w = 360 - 132 = 228º
P
Q
x
80º 20º
y
z
z = 20 + 80
z = 100º
y = QOR/2
y = 80/2
y = 40º
z = x + y
100 = x + 40
x = 60º (resp)
D
a) ADB = 90º
Todo triângulo retângulo pode ser 
inscrito numa semicircunferência.
b) triângulo retângulo.
c) CD é uma mediana do 
triângulo ABD
d) CD = AC = CB = R (raio)
 CD = 6 cm
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geometria plana
116
A
B
C
D
EF
G
H
I
09) A figura abaixo representa um eneágono regular 
inscrito em uma circunferência de centro O. Determinar 
a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais 
GB e HD.
Ox
A
B
C
D
F
EG
H
I
J
10) A figura abaixo representa um decágono regular 
inscrito em uma circunferência de centro O. Sendo OJ 
e OC as bissetrizes dos ângulos AJI e BCD 
respectivamente, determinar a medida do ângulo COJ.
O
A
B
C
DE
F
G
O
11) A figura abaixo representa um heptágono regular 
inscrito numa circunferência de centro O. Determinar a 
medida do ângulo BDG.
A
B
C
D
E
F
G
HI
J
K
L
M
N
P
O
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
Jeca 68
12) A figura abaixo representa um pentadecágono re-
gular inscrito numa circunferência de centro O. Deter-
minar o ângulo obtuso formado entre as diagonais MD 
e BI.
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geometria plana
117
A
B
C
D
EF
G
H
I
09) A figura abaixo representa um eneágono regular 
inscrito em uma circunferência de centro O. Determinar 
a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais 
GB e HD.
Ox
A
B
C
D
F
EG
H
I
J
10) A figura abaixo representa um decágono regular 
inscrito em uma circunferência de centro O. Sendo OJ 
e OC as bissetrizes dos ângulos AJI e BCD 
respectivamente, determinar a medida do ângulo COJ.
O
A
B
C
DE
F
G
O
11) A figura abaixo representa um heptágono regular 
inscrito numa circunferência de centro O. Determinar a 
medida do ângulo BDG.
A
B
C
D
E
F
G
HI
J
K
L
M
N
P
O
12) A figura abaixo representa um pentadecágono re-
gular inscrito numa circunferência de centro O. Deter-
minar o ângulo obtuso formado entre as diagonais MD 
e BI.
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
Jeca 68
y
z
m = 360/9
m = 40º
y = BCD/2
y = 2 . 40 = 80/2
y = 40º
z = HG/2
z = 40/2
z = 20º
x = y + z
x = 40 + 20
x = 60º (resp)
x
m = 360/10
m = 36º
x = JAC
x = 3 . 36
x = 108º (resp)
m = 360º/7
x
x = GAB/2
x = 2 . m/2
x = (2 . 360/7)/2
x = 360/7
x = 360º/7 (resp)
x
m = 360/15
m = 24º
y
z
y = DFI/2 = 5.m/2 = 5 . 24/2 
y = 60º
z = MPB/2 = 4 . m/2 = 4 . 24/2 = 48º
x = y + z = 60 + 48
x = 108º (resp)
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118
A
B
C
D
E
F
G
HI
J
K
L
M
N
P
O
A B
C
D
E
F
G
H
I
JKL
M
N
P
Q
R
S
T
U
O
13) No pentadecágono regular abaixo, determinar a 
medida do ângulo agudo formado entre as diagonais 
ND e BJ.
x y
z
14) No icoságono regular abaixo, determinar as medi-
das dos ângulos x, y e z.
A
AB
B
C
C
D
D
E
E
F
FG
G
H
H
I
I
J
J
K
K
L
L
O
O
x
y
z
t
15) No dodecágono regular de centro O abaixo, deter-
minar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
x
y
zt
16) A figura abaixo representa um quadrilátero BEIK 
inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determi-
nar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
A
B
C
D
E
F
G
H
O
x
y
z
t
17) A figura abaixo representa um octógono regular 
ABCD … de centro O. Sendo OH a bissetriz do ângulo 
AHG e OB a mediatriz do segmento BC, determinar as 
medidas dos ângulos x, y, z e t. A
B
C
D
EF
G
H
I
O
x
18) No eneágono regular ABCD … , determinar a 
medida do ângulo x formado pelas retas AG e DF.
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
Jeca 69
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119
A
B
C
D
E
F
G
HI
J
K
L
M
N
P
O
A B
C
D
E
F
G
H
I
JKL
M
N
P
Q
R
S
T
U
O
13) No pentadecágono regular abaixo, determinar a 
medida do ângulo agudo formado entre as diagonais 
ND e BJ.
x y
z
14) No icoságono regular abaixo, determinar as medi-
das dos ângulos x, y e z.
A
AB
B
C
C
D
D
E
E
F
FG
G
H
H
I
I
J
J
K
K
L
L
O
O
x
y
z
t
15) No dodecágonoregular de centro O abaixo, deter-
minar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
x
y
zt
16) A figura abaixo representa um quadrilátero BEIK 
inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determi-
nar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
A
B
C
D
E
F
G
H
O
x
y
z
t
17) A figura abaixo representa um octógono regular 
ABCD … de centro O. Sendo OH a bissetriz do ângulo 
AHG e OB a mediatriz do segmento BC, determinar as 
medidas dos ângulos x, y, z e t. A
B
C
D
EF
G
H
I
O
x
18) No eneágono regular ABCD … , determinar a 
medida do ângulo x formado pelas retas AG e DF.
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
Jeca 69
A medida do arco MN
é igual a 360/15 = 24º
24º
48º
72º
BJD = BCD/2 = 48/2 = 24º
JDN = JLN/2 = 96/2 = 48
JRN é ãngulo externo do triângulo JRD
JRN = 24 + 48 = 72º (resp)
R
w
k
m = 360/20
m = 18º
x = CDF/2
x = 3.m/2 = 3 . 18/2
x = 27º
k = FJM/2 
k = 7.m/2 = 7 . 18/2
k = 63º
w = RUB/2
w = 5.m/2 = 5 . 18/2
w = 45º
y = k + w = 63 + 45
y = 108º
x + y + z = 180
27 + 108 + z = 180
z = 45º
m = 360/12
m = 30º
x = LCE/2
x = 5.m/2 = 5 . 30/2
x = 75º
y = EFH/2
y = 3.m/2 = 3.30/2
y = 45º
z = HIJ/2
z = 2.m/2 = 2.30/2
z = 30º
t = ACE
t = 4,m = 4 . 30
t = 120º
m
 =
 3
60
/8
m
 =
 4
5º
x = BEH/2
x = 6.m/2
x = 6 . 45/2
x = 135º
y = x = 135º
z = x/2 = 135/2
z = 67,5º
t = 2,5 . m
7 = 2,5 . 45
t = 112,5º
m
 =
 3
60
/1
2
m
 =
 3
0º
x = BFI/2
x = 7.m/2 = 7 . 30/2
x = 105º
y = EHK/2
y = 6.m/2 = 6 . 30/2
y = 90º
z = ILB/2
z = 5.m/2 = 5 . 30/2
z = 75º
t = KBE/2
t = 6.m/2 = 6 . 30/2
t = 90º
m = 360/9
m = 40º
y
z
y = ABD/2
y = 3.m/2
y = 3 . 40/2
y = 60º
z = GF/2
z = m/2
z = 40/2
z = 20º
y = x + z
x = y - z
x = 60 - 20
x = 40º
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120
A
B CD
E
F
O
23) No triângulo ABC abaixo, AD, BE e CF são as alturas relativas aos vértices A, B e C. Sendo as medidas dos 
ângulos ABC = 48º e ACB = 64º,determinar as medidas dos ângulos internos do triângulo DEF.
De
saf
io
19) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão 
na circunferência de centro O. Se o arco APC mede 
160º e o ângulo BAC mede 63º, qual é a medida do 
ângulo ACB ?
a) 51º
b) 43º
c) 33º
d) 47º
e) 37º
A
B
C
PM
N
O
20) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão 
na circunferência de centro O. Se o arco AMB mede 
110º e o ângulo ABC mede 63º, qual é a medida do 
ângulo BAC ?
a) 62º
b) 64º
c) 58º
d) 63º
e) 59º
A
B
C
PM
N
O
35ºA B
O
D
C
x
21) Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência 
de centro O. Determinar a medida do ângulo ADC 
sabendo que o ângulo BAC mede 35º.
22) (FUVEST-SP) A hipotenusa de um triângulo retân-
gulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20º.
a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa ?
b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana 
e pela bissetriz do ângulo reto ?
Jeca 70
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121
A
B CD
E
F
O
23) No triângulo ABC abaixo, AD, BE e CF são as alturas relativas aos vértices A, B e C. Sendo as medidas dos 
ângulos ABC = 48º e ACB = 64º,determinar as medidas dos ângulos internos do triângulo DEF.
De
saf
io
19) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão 
na circunferência de centro O. Se o arco APC mede 
160º e o ângulo BAC mede 63º, qual é a medida do 
ângulo ACB ?
a) 51º
b) 43º
c) 33º
d) 47º
e) 37º
A
B
C
PM
N
O
20) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão 
na circunferência de centro O. Se o arco AMB mede 
110º e o ângulo ABC mede 63º, qual é a medida do 
ângulo BAC ?
a) 62º
b) 64º
c) 58º
d) 63º
e) 59º
A
B
C
PM
N
O
35ºA B
O
D
C
x
21) Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência 
de centro O. Determinar a medida do ângulo ADC 
sabendo que o ângulo BAC mede 35º.
22) (FUVEST-SP) A hipotenusa de um triângulo retân-
gulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20º.
a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa ?
b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana 
e pela bissetriz do ângulo reto ?
Jeca 70
160º
63º
xy
y = 160/2 = 80º
x + y + 63 = 180
x + 80 + 63 = 180
x = 180 - 143
x = 37º (resp e)
70º
180º
x = ABC/2
x = (180 +70)/2
x = 250/2
x = 125º
110º
63º y
20º
10 cm 10 cm
A B
C
O
45º
20º
x
a) Em todo triângulo retângu-
lo a mediana relativa à hipo-
tenusa vale a metade dessa
hipotenusa.
Portanto CO = 10 cm
b) 45 + x + 20 = 90
x = 90 - 65
x = 25º
(Resolução na página 72)
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122
Respostas dos exercícios da Aula 06.
01)
a) 59º b) 82º c) 92º d) 39º e) 90º
f) 28º g) 28º h) 76º i) 87º
02) 
a) 28º b) 22º 30' c) 110º d) 20º e) 18º
f) 38º g) 53º h) 53º i) 72º j) 120º
k) 42º l) 92º m) 107º n) 54º o) 59º
03) e
04) d
05) 35º
06) d
07) b
08) 144º
09) 58º
10) a
11) 84º
12) 45º, 99º e 36º
13) 75º, 30º, 45º e 60º
14) 60º, 90º, 120º e 90º
15) 140º, 140º, 70º e 140º
16) 40º
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 72
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123
Respostas dos exercícios complemmentares da Aula 06.
01) 
a) 43º b) 123º c) 152º d) 136º e) 44º 
f) 29º g) 16º h) 128º i) 95º j) 57º 
l) 34º m) 90º n) 39º o) 124º p) 82º
02) 
a) 60º b) 98º c) 204º d) 33º e) 48º 
f) 156º g) 24º h) 42º i) 112º j) 96º 
 l) 65º m) 70º n) 112º o) 46º p) 48º
03) 90º, 60º e 60º
04) 228º
05) 22º
06) 60º 
07) 55º
08) a) 90º b) triângulo retângulo 
c) mediana d) 6 cm 
09) 60º
10) 108º 
11) 360º / 7 
12) 108º 
13) 72º
14) x = 27º, y = 108º , z = 45º
15) x = 75º , y = 45º , z = 30º , t = 120º
16) x = 105º , y = 90º , z = 75º , t = 90º
17) x = 135º , y = 135º , z = 67,5º , t = 112,5º
18) 40º 
19) e 
20) a 
21) 125º
22) a) 10 cm b) 25º
Resolução do exercício 23) (Desafio)
 O quadrilátero AFOE é inscrito numa circunferência, pois os os ângulos opostos AFO e AEO são 
suplementares. Desenhando-se a circunferência percebe-se que os ângulos EAO e EFO são 
congruentes pois estâo inscritos no mesmo arco da mesma circunferência. Análogamente provam-se os 
demais ângulos.
A
B C
D
E
F
O
DEF = 84º
DFE = 52º
EDF = 44º
64º
26º
26º
(GeoJeca)
Jeca 73
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geometria plana
124
II) Teorema da bissetriz interna.I) Teorema de Tales.
 Em todo feixe de retas paralelas, cortado por duas 
retas transversais, a razão entre dois segmentos 
quaisquer de uma transversal é igual à razão entre os 
segmentos correspondentes da outra transversal.
 Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno 
divide internamente o lado oposto em dois segmentos 
que são proporcionais aos lados adjacentes.
r
t
r // s // t
s
a
b
c
d
a
b
c
d=
aa
bissetriz
A
B C
bc
x y
x
c
y
b
=
Teorema 
de Tales
Teorema da
bissetriz interna
r
s
t
r // s // t r // s // t
r // s // t
x
65
8
rs
t
x 8
18 24
r
s
t
x
12 10
18
r
s
r // s
5
4x
8
x1210
6
r
s
t
r // s // t
r
s
r // s
7
11
8
x
01) Determine o valor de x na figura abaixo. 02) Determine o valor de x na figura abaixo.
03) Determine o valor de x na figura abaixo. 04) Determine o valor de x na figura abaixo.
05) Determine o valor de x na figura abaixo. 06) Determine o valor de x na figura abaixo.
Exercícios.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 07
Segmentos proporcionais.
Jeca 74
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125
II) Teorema da bissetriz interna.I) Teorema de Tales.
 Em todo feixe de retas paralelas, cortado por duas 
retas transversais, a razão entre dois segmentos 
quaisquer de uma transversal é igual à razão entre os 
segmentos correspondentes da outra transversal.
 Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno 
divide internamente o lado oposto em dois segmentos 
que são proporcionais aos lados adjacentes.
r
t
r // s // t
s
a
b
c
d
a
b
c
d=
aa
bissetriz
A
B C
bc
x y
x
c
y
b
=
Teorema 
de Tales
Teorema da
bissetriz interna
r
s
t
r // s // t r // s // t
r // s // t
x
65
8
r
s
t
x 8
18 24
r
s
t
x
12 10
18
r
s
r // s // t
5
4x
8
x1210
6
r
s
t
r // s // t
r
s
r // s
7
11
8
x
01) Determine o valor de x na figura abaixo. 02) Determine o valor de x na figura abaixo.
03) Determine o valor de x na figura abaixo. 04) Determine o valor de x na figura abaixo.
05) Determine o valor de x na figura abaixo. 06) Determine o valor de x na figura abaixo.
Exercícios.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 07
Segmentos proporcionais.
Jeca 74
Teorema de Tales
8
5
=
x
6
x = 6 . 8/5
x = 48/5 (resp) 
Teorema de Tales
8
18
=
x
24
x = 24 . 8/18
x = 32/3 (resp) 
Teorema de Tales
x
12
=
18
10
x = 12 . 18/10
x = 108/5 (resp) 
Teorema de Tales
x
8
=
4
5
x = 8 . 4/5
x = 32/5 (resp) 
Teorema de Tales
x6 + 10
=
1210
x = (16 . 12)/10
x = 96/5 (resp) 
Teorema de Tales
x
8
=
11
7
x = 8 . 11/ 7
x = 88/ 7 (resp) 
t
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126
07) (MAPOFEI 76) Três terrenos têm frente para a 
Rua A e para a Rua B, como mostra a figura. As divisas 
laterais são perpendiculares à Rua A. Qual a medida 
de frente para a Rua B de cada lote, sabendo que a 
frente total para essa rua é 180 m.
40 m 30 m 20 m
Rua B
Rua A
y
z
x
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
m
n
p
q
r
s
08) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são 
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. 
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, 
EF = 7 e JL = 8, determine a medida de GJ e de HM.
u v
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
m
n
p
q
r
s
09) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são 
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. 
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, 
EF = 7 e JM =15, determine as medidas de HL e GM.
u v
10) (UNICAMP) A figura a seguir mostra um segmen-
to AD dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3 cm 
e CD = 5 cm. O segmento AD' mede 13 cm e as 
retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os 
comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D' em 
centímetros.
A B C D
B'
C'
D'
Jeca 75
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geometria plana
127
07) (MAPOFEI 76) Três terrenos têm frente para a 
Rua A e para a Rua B, como mostra a figura. As divisas 
laterais são perpendiculares à Rua A. Qual a medida 
de frente para a Rua B de cada lote, sabendo que a 
frente total para essa rua é 180 m.
40 m 30 m 20 m
Rua B
Rua A
y
z
x
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
m
n
p
q
r
s
08) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são 
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. 
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, 
EF = 7 e JL = 8, determine a medida de GJ e de HM.
u v
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
m
n
p
q
r
s
09) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são 
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. 
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, 
EF = 7 e JM =15, determine as medidas de HL e GM.
u v
10) (UNICAMP) A figura a seguir mostra um segmen-
to AD dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3 cm 
e CD = 5 cm. O segmento AD' mede 13 cm e as 
retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os 
comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D' em 
centímetros.
A B C D
B'
C'
D'
Jeca 75
40 + 30 + 20 = 90 m
180 m
Teor. de Tales
x
180
=
40
90
x = 2 . 40 = 80 m
y
180
=
30
90
y = 2 . 30 = 60 m
z
180
=
20
90
z = 2 . 20 = 40 m Teor. de Tales
GJ
JL
=
AD
DE
3
4
5
6
7
8
GJ = AD . JL / DE
GJ = (3 + 4 + 5) . 8 / 6
GJ = 16
HM
JL
=
BF
DE
HM = BF . JL / DE
HM = (4 + 5 + 6 + 7) . 8 / 6
HM = 88/3
Teor. de Tales
HL
JM
=
BE
DF
3
4
5
6
7
15
Teor. de Tales
GM
JM
=
AF
DF
HL = JM . BE / DF
HL = 15 . (4 + 5 + 6) / (6 + 7)
HL = 225 / 13
GM = JM . AF / DF
GM = 15(3 + 4 + 5 + 6 + 7)/13
GM = 375 / 13
2 cm 3 cm 5 cm
2 + 3 + 5 = 10 cm
13 cm
x
y
z
Teor. de Tales
x
13
=
2
10
x = 2 . 13 / 10 = 13/5 cm
y
13
=
3
10
y = 3 . 13 / 10 = 39/10 cm
z
13
=
5
10
z = 5 . 13 / 10 = 13/2 cm
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geometria plana
128
11) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do 
ângulo interno do vértice A, determine a medida do 
segmento AC.
a a
12
 c
m
6 cm 9 cm
A
B D C
12) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do 
ângulo interno do vértice A, determine a medida do 
segmento BD.
aa
A
C
D
B
20 cm
16 c
m 10 cm
13) Na figura, AD é bissetriz interna do ângulo A. 
Calcule a medida do segmento CD.
A
B C
30 
cm
14 cm
16
 c
m
D
14) Determinar o valor de x sabendo-se que na figura 
abaixo AD é a bissetriz interna do ângulo A.
A
B CD
12 cm 9 cm
3x
 + 
1 3x
 - 3
15) O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado 4 cm. 
Determine a medida do segmento DE.
a
3a
A B
CD
A
B CD
E
3 cm 5 cm
10 cm
16) Na figura abaixo, o ponto E é o incentro do triân-
gulo ABC. Sendo BD = 3 cm, CD = 5 cm e AC = 10 cm, 
determine o valor da razão DE / AE.
E
a
b
c
d
17) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo 
A, determine a em função de b, c e d.
a
a
A
B
C
D
18) Dado um triângulo ABC de lados AB = c, AC = b e 
BC = a, sendo c < b < a. Se a bissetriz do ângulo A 
divide o lado BC em dois segmentos, qual é a medida 
do menor desses segmentos ?
a) b . c
b) b . c
c) a . b
d) a . c
e) a . b
a + c
b + c
b - c
b + c
a + b
Jeca 76
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129
11) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do 
ângulo interno do vértice A, determine a medida do 
segmento AC.
a a
12
 c
m
6 cm 9 cm
A
B D C
12) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do 
ângulo interno do vértice A, determine a medida do 
segmento BD.
aa
A
C
D
B
20 cm
16 c
m 10 cm
13) Na figura, AD é bissetriz interna do ângulo A. 
Calcule a medida do segmento CD.
A
B C
30 
cm
14 cm
16
 c
m
D
14) Determinar o valor de x sabendo-se que na figura 
abaixo AD é a bissetriz interna do ângulo A.
A
B CD
12 cm 9 cm
3x
 + 
1 3x
 - 3
15) O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado 4 cm. 
Determine a medida do segmento DE.
a
3a
A B
CD
A
B CD
E
3 cm 5 cm
10 cm
16) Na figura abaixo, o ponto E é o incentro do triân-
gulo ABC. Sendo BD = 3 cm, CD = 5 cm e AC = 10 cm, 
determine o valor da razão DE / AE.
E
a
b
c
d
17) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo 
A, determine a em função de b, c e d.
a
a
A
B
C
D
18) Dado um triânguloABC de lados AB = c, AC = b e 
BC = a, sendo c < b < a. Se a bissetriz do ângulo A 
divide o lado BC em dois segmentos, qual é a medida 
do menor desses segmentos ?
a) b . c
b) b . c
c) a . b
d) a . c
e) a . b
a + c
b + c
b - c
b + c
a + b
Jeca 76
Teorema da bissetriz
interna
x
6
12
=
9
x
x = 12 . 9 / 6
x = 18 cm (resp)
Teorema da bissetriz
interna
=
Teorema da bissetriz
interna
=
Teorema da bissetriz
interna
=
Teorema da bissetriz
interna
=
Teorema da bissetriz
interna
=
Teorema da bissetriz
interna
=
Teorema da bissetriz
interna
=
x 20 - x
x
16
20 - x
10
x =
16(20 - x)
10
10x = 320 - 16x
26x = 320 x = 160 / 13 cm (resp)
x
x
16
14
30
x = 16 . 14 / 30
x = 112 / 15 cm (resp)
x 4 - x
d = 4 24
x
4
4 - x
4 2
x . 4 2 = 4(4 - x)
x 2 = 4 - x
x 2 + x = 4
x( 2 + 1) = 4
x =
4
2 + 1
4( 2 - 1) cm=
(resp)
b
a
c
d
a . c = b . d
a = b . d / c (resp)
12
3x + 1
9
3x - 3
9(3x + 1) = 12(3x - 3)
27x + 9 = 36x - 36
45 = 9x
x = 5 cm (resp)
Incentro - ponto de encontro das bissetrizes.
a
b
a
b
x
3
x
5
10
5x = 30 x = 6 cm
BE também é bissetriz
=
AE
6
DE
3
=
AE6
DE3
=
1
2
(resp)
A
B C
a
x a - x
c b
a
a
x
c
a - x
b
bx = a.c - c.x
b.x + c.x = a.c
x(b + c) = a.c
x = a.c / (b + c) (resp d)
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geometria plana
130
19) (Fuvest-SP) Um triângulo ABC tem lados AB = 5, 
BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que 
CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura 
relativa ao lado AB. Determine o comprimento de MN.
20) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo e o 
segmento BD é a bissetriz interna do ângulo ABC. 
Determine a medida de BD sabendo que BC = 25 cm e 
que AB = 7 cm.
A
B
CD
21) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em 
A ; AM é a mediana relativa à hipotenusa e AD é a 
bissetriz do ângulo BAC. Determinar a medida do 
segmento DM.
A
B CD M
6 
cm
8 cm5 cm
22) (MAPOFEI-SP) O perímetro de um triângulo é 
100 m. A bissetriz do ângulo interno A divide o lado 
oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determi-
ne as medidas dos lados desse triângulo.
Jeca 77
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131
19) (Fuvest-SP) Um triângulo ABC tem lados AB = 5, 
BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que 
CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura 
relativa ao lado AB. Determine o comprimento de MN.
20) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo e o 
segmento BD é a bissetriz interna do ângulo ABC. 
Determine a medida de BD sabendo que BC = 25 cm e 
que AB = 7 cm.
A
B
CD
21) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em 
A ; AM é a mediana relativa à hipotenusa e AD é a 
bissetriz do ângulo BAC. Determinar a medida do 
segmento DM.
A
B CD M
6 
cm
8 cm5 cm
22) (MAPOFEI-SP) O perímetro de um triângulo é 
100 m. A bissetriz do ângulo interno A divide o lado 
oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determi-
ne as medidas dos lados desse triângulo.
Jeca 77
2 4
5
B
A
C
MN
2 4
BA
C
M
x 5 - x
a a
Teorema da bissetriz
interna
x
2
=
5 - x
4
4x = 10 - 2x x = 5/3 
2
BA
C
Ny
h
5 - y
4
Pitágoras
2 2 2
2 = y + h
2 2
y + h = 4
2 2 2
4 = (5 - y) + h
2 2
16 = 25 - 10y + y + h
16 = 25 - 10y + 4
10y = 13
y = 13/10
MN = x - y = 5/3 - 13/10 = 5030 - 39/30 = 11/30 (resp)
a
a
25 cm
7 x
y
w
Pitágoras
2 2 2
25 = 7 + w
2
w = 625 - 49 = 576
w = 24
24 - y
Teorema da bissetriz interna
y
7
24 - y
25
=
25y = 168 - 7y y = 21/4 cm
Pitágoras
2 2 2
x = 7 + (21/4)
2
x = 49 + 441/16 = 1 225/16
x = 35/4 cm (resp)
xPitágoras
2 2 2x = 6 + 8 = 100
x = 10 cm
Portanto, BM = 5 cm
Teorema da bissetriz interna
y 10 - y
y
6
10 - y
8
=
8y = 60 - 6y
14y = 60
y = 30/7 cm
BM = 5 cm
BD = 30/7 cm
DM = BM - BD = 5 - 30/7 = 35/7 - 30/7
DM = 5/7 cm (resp)
16 24
40 m
x 60 - x
a a
A
B C
AB + AC + BC = 100
Se BC = 16 + 24 = 40 , então AB + AC = 100 - 40 = 60 m
Teorema da bissetriz interna
16
x
24
60 - x
=
24x = 960 - 16x
40x = 960
x = 24 m
AB = x = 24 m
AC = 60 - x = 60 - 24 = 36 m
BC = 40 m
 (resp)
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geometria plana
132
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Teorema de Tales e Teorema da
bissetriz interna.
Exercícios complementares da aula 07.
03) Na figura abaixo, determine z em função de y.
r
s
t
x
3x
y
z
r // s // t
r
s
t
2
3
x
y
r // s // t
04) Na figura abaixo, sendo x + y = 9, determinar o 
valor de x e de y.
02) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x 
e y.a
b
c
d
a
b
c
d
x
y 4
4
57
5 x
8 10
y 7
01) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x 
e y.
08) Num triângulo ABC, o lado AC mede 32 cm e o lado 
BC, 36 cm. Por um ponto M situado sobre AC, a 10 cm 
do vértice C, traçamos a paralela ao lado AB, a qual 
divide BC em dois segmentos BN e CN. Determine a 
medida de CN.
r
s
t
u
v
r // s // t // u // v
7
3
11
z 2
9
y
x
05) Na figura abaixo, determinar x, y e z.
9 cm
6 cm
7 cm
x
06) Na figura abaixo, determine o valor de x.
r
s
r // s
a b
c x
07) Na figura abaixo, determine o valor de x em função 
de a, b e c.
Jeca 78
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133
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Teorema de Tales e Teorema da
bissetriz interna.
Exercícios complementares da aula 07.
03) Na figura abaixo, determine z em função de y.
r
s
t
x
3x
y
z
r // s // t
r
s
t
2
3
x
y
r // s // t
04) Na figura abaixo, sendo x + y = 9, determinar o 
valor de x e de y.
02) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x 
e y.a
b
c
d
a
b
c
d
x
y 4
4
57
5 x
8 10
y 7
01) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x 
e y.
08) Num triângulo ABC, o lado AC mede 32 cm e o lado 
BC, 36 cm. Por um ponto M situado sobre AC, a 10 cm 
do vértice C, traçamos a paralela ao lado AB, a qual 
divide BC em dois segmentos BN e CN. Determine a 
medida de CN.
r
s
t
u
v
r // s // t // u // v
7
3
11
z 2
9
y
x
05) Na figura abaixo, determinar x, y e z.
9 cm
6 cm
7 cm
x
06) Na figura abaixo, determine o valor de x.
r
s
r // s // t
a b
c x
07) Na figura abaixo, determine o valor de x em função 
de a, b e c.
Jeca 78
Teorema de Tales
=
Teorema de Tales
=
Teorema de Tales
=
Teorema de Tales
=
Teorema de Tales
=
Teorema de Tales
=
Teorema de Tales
=
Teorema de Tales
=
5
8
x
10
x = 5 . 10 / 8
x = 25 / 4
=
8
y
10
7
y = 7 . 8 / 10
y = 28 / 5
7
x
5
4
=
5
y
7
4
x = 7 . 4 / 5
x = 28 / 5
y = 5 . 4 / 7
y = 20 / 7
x
3x
y
z
=
1
3
y
z
z = 3y (resp)
2
2 + 3
x
x + y
=
2
5
x
9
x = 18 / 5
=
3
5
y
9
y = 27 / 5
x
7
9
6
x = 9 . 7 / 6
x = 63 / 6 
x = 21 / 2
C
A
B 36 - x
22
10M
N x
x
36 - x
10
22
22x = 360 - 10x
32x = 360
x = 360 / 32
x = 45 / 4 cm
x
9
7
11
=
y
9
3
11
=
11
z
9
2
x = 9 . 7 / 11 = 63 / 11
y = 9 . 3 / 11 = 27 / 11
z = 11 . 2 / 9 = 22 / 9
t
a
x
b
c
x . b = a . c
x = a . c / b
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geometria plana
134
x
y 4
5
09) Na figura abaixo, as retas r , s e t são paralelas 
entre si. Se x + y = 12, então o valor que mais se 
aproxima de x - y, é :
r
s
t
a) 1,03
b) 1,33
c) 1,57
d) 1,75
e) 2,00
2
3
4
5
6
3
x
y
z
t
a
b
c
d
e
f
10) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d, e e f são 
paralelas entre si. Determine o valor da soma das me-
didas dos segmentos x, y, z e t.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
m
n
p
q
r
s
11) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são 
paralelas entre si e são cortadaspelas retas u e v. 
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, 
EF = 7 e LM = 8, qual é a medida de HJ ?
u v
a) 83 / 9
b) 81 / 7
c) 93 / 9
d) 72 / 7
e) 89 / 8
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
m
n
p
q
r
s
12) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são 
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. 
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, 
EF = 7 e HJ = 10, qual é a medida de HM ?
u v
a) 198 / 7
b) 223 / 9
c) 220 / 9
d) 241 / 10
e) 241 / 11
13) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. 
Determine a medida do segmento BD e o valor do pe-
rímetro do triângulo ABC.
a
a
8 cm
18
 cm
12 cm
aa
20 cm
12
 c
m 16 cm
14) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. 
Determine a medida dos segmentos BD e CD.
A
B CD
A
B C
D
Jeca 79
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135
x
y 4
5
09) Na figura abaixo, as retas r , s e t são paralelas 
entre si. Se x + y = 12, então o valor que mais se 
aproxima de x - y, é :
r
s
t
a) 1,03
b) 1,33
c) 1,57
d) 1,75
e) 2,00
2
3
4
5
6
3
x
y
z
t
a
b
c
d
e
f
10) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d, e e f são 
paralelas entre si. Determine o valor da soma das me-
didas dos segmentos x, y, z e t.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
m
n
p
q
r
s
11) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são 
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. 
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, 
EF = 7 e LM = 8, qual é a medida de HJ ?
u v
a) 83 / 9
b) 81 / 7
c) 93 / 9
d) 72 / 7
e) 89 / 8
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
m
n
p
q
r
s
12) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são 
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. 
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, 
EF = 7 e HJ = 10, qual é a medida de HM ?
u v
a) 198 / 7
b) 223 / 9
c) 220 / 9
d) 241 / 10
e) 241 / 11
13) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. 
Determine a medida do segmento BD e o valor do pe-
rímetro do triângulo ABC.
a
a
8 cm
18
 cm
12 cm
aa
20 cm
12
 c
m 16 cm
14) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. 
Determine a medida dos segmentos BD e CD.
A
B CD
A
B C
D
Jeca 79
Teorema de Tales
=
Teorema de Tales
Teorema de Tales
=
Teorema de Tales
=
Teorema da bissetriz
interna
x
x + y
5
5 + 4
=
x
12
5
9
x = 12 . 5 / 9 = 20 / 3
=
y
x + y
4
5 + 4
=
y
12
4
9
y = 12 . 4 / 9 = 16 / 3
x - y = 20/3 - 16/3 = 4/3 = 1,33 (resp b)
2
3 + 4 + 5 + 6
3
x + y + z + t
=
2
18
3
x + y + z + t
=
x + y + z + t = 54/2 = 27 (resp)
3
4
5
6
7 8BD
EF
HJ
LM
=
4 + 5
7
HJ
8
HJ = 8 . 9 / 7
HJ = 72 / 7 (resp d)
3
4
5
6
7
BD
BF
HJ
HM
=
9
22
10
HM
HM = 22 . 10 / 9
HM = 220 / 9
 (resp c)
x
=
x
18
8
12
x = 8 . 18 / 12
x = 12 cm 
Per = 2p = 12 + 8 + 12 + 18 = 50 cm (resp)
x 20 - x
Teorema da bissetriz
interna
=
x
12
20 - x
16
16x = 240 - 12x
28x = 240
x = 60 / 7 cm
BD = 60 / 7 cm
DC = 20 - 60 / 7 = 80 / 7 cm
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geometria plana
136
15) Num triângulo ABC, CD é a bissetriz do ângulo 
interno ACB. Sabendo que AD = 7 cm, BD = 4 cm e 
AC = 15 cm, determine a medida do lado BC.
a
b
c
d
x
x
16) Observe a figura abaixo. De acordo com essa figu-
ra, qual das relações abaixo é verdadeira.
a) a = b.d / c
b) a = b.c / d
c) a = c.d / b
d) a = c / (b.d)
e) a = b.c.d
A
B
C
D
17) No triângulo ABD abaixo, BC é a bissetriz do 
ângulo ABD, AB = 18 cm e BD = 15 cm. Determine a 
razão entre as medidas dos segmentos AC e CD.
A
B C
D E
18) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 12, AC = 8 e 
BC = 10. Determinar a medida de AD, sabendo que 
DE é paralelo a BC e BE é a bissetriz do ângulo 
interno do vértice B.
20) (J) Na figura abaixo, a = 15º e AC = 4. Determi-
ne a razão entre BD e CD.
A
BC
a a
D
Jeca 80
a
b
c
15º 15º 15º
x
y
19) (J) Na figura abaixo, determinar x e w em função 
de c, y em função de a e k em função de b.
w
k
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137
15) Num triângulo ABC, CD é a bissetriz do ângulo 
interno ACB. Sabendo que AD = 7 cm, BD = 4 cm e 
AC = 15 cm, determine a medida do lado BC.
a
b
c
d
x
x
16) Observe a figura abaixo. De acordo com essa figu-
ra, qual das relações abaixo é verdadeira.
a) a = b.d / c
b) a = b.c / d
c) a = c.d / b
d) a = c / (b.d)
e) a = b.c.d
A
B
C
D
17) No triângulo ABD abaixo, BC é a bissetriz do 
ângulo ABD, AB = 18 cm e BD = 15 cm. Determine a 
razão entre as medidas dos segmentos AC e CD.
A
B C
D E
18) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 12, AC = 8 e 
BC = 10. Determinar a medida de AD, sabendo que 
DE é paralelo a BC e BE é a bissetriz do ângulo 
interno do vértice B.
Jeca 80
Teorema da bissetriz
interna
=
4
x
7
15
A
B C
D
a
a
7
4
15 cm
x
x = 4 . 15 / 7
x = 60 / 7 cm (resp)
Teorema da bissetriz
interna
=
b
a
c
d
a.c = b.d
a = b.d / c (resp a)
Teorema da bissetriz
interna
=
AC
18
CD
a
a
18 cm
15
15
=
AC 18
CD 15
=
6
5
(resp)
Teorema da bissetriz
interna
=
x
12
8 - x
10
12
8
a
a
10
x
8 - x10x = 96 - 12x
22x = 96
x = 48 / 11
Teorema de Tales
=
x
8
AD
12
AD = 12x / 8 = 3x / 2
AD =
3 . 48
11
2
=
72
11
 (resp)
a
b
c
15º 15º 15º
x
y
19) (J) Na figura abaixo, determinar x e w em função 
de c, y em função de a e k em função de b.
w
k
x = c
y = a
cos 30º =
k
b
=
3
2
k = 2b 3 / 3 
Teorema da bissetriz
interna
w
k =
x
b
20) (J) Na figura abaixo, a = 15º e AC = 4. Determi-
ne a razão entre BD e CD.
A
BC
a a
D
4 x
y
cos 30º =
ca
hip
x
4
=
x
4
=
3
2
x = 2 3
Teorema da bissetriz
interna
BD 
x =
CD
4
BD 
=
CD 4
x
BD 
=
CD 4
2 3
=
3
2
 (resp)
w =
k . x
b
=
b
w =
2c 3 
k
b
2b 3
3
. c
3
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geometria plana
138
24) (J) Determine a medida de uma diagonal de um 
pentágono regular de lado K.
d
K
a
b
c
d
e
5
6
10
x 9
11
7
y t
21) (J) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d e e são 
paralelas entre si. Determine o valor da expressão
E = x . y + t.
R
S
T
D
A
B C
22) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e 
BC = 8. Sabendo que D é o ponto de encontro das 
três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo 
ABC, determine a razão entre CD e DT.
R
S
T
D
A
B CV
23) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e 
BC = 8. Sabendo que D é o incentro do triângulo ABC 
e que V é o ponto onde a circunferência de centro em 
D tangencia o lado BC, determine a distância VR.
Jeca 81
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139
x
10
=
9
11
Teorema de Tales
x = 90/11
5
10
=
y
11
y = 55/10 = 11/2
t
7
=
y
9
t = 7y/9 = 77/18
E = x . y + t = 90
11
.
2
+ 77
18
11
=
887
18
(resp)
a
ax
9
8
y 8 - y
Teorema da bissetriz
interna
(No triângulo ABC)
x
9
6 - x
8
=
8x = 54 - 9x
17x = 54
x = 54/17
(No triângulo ATC)
DT
x =
CD
9
DTx
=
CD9
DT
CD
=
9
17
54
=
17
6
(resp)
24) (J) Determine a medida de uma diagonal de um 
pentágono regular de lado K.
d
K
a
b
c
d
e
5
6
10
x 9
11
7
y t
21) (J) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d e e são 
paralelas entre si. Determine o valor da expressão
E = x . y + t.
R
S
T
D
A
B C
22) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e 
BC = 8. Sabendo que D é o ponto de encontro das 
três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo 
ABC, determine a razão entre CD e DT.
R
S
T
D
A
B CV
23) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e 
BC = 8. Sabendo que D é o incentro do triângulo ABC 
e que V é o ponto onde a circunferência de centro em 
D tangencia o lado BC, determine a distância VR.
Jeca 81
d
k
k
e 
= 
36
0/
5 
= 
72
º
108º36º
36º
36º
36º
36º
36º
72º
36º
36º
72º
A
B
CD
E
F
k
d -
 k
No triângulo ADB, AF é uma bissetriz.
Pelo Teorema da bissetriz interna, tem-se
2 2
Portanto k = d - kd
2 2
Organizando, tem-se d - kd - k = 0
Resolvendo a equação do 2º grau em d , tem-se
k
d
=
d - k
k
d =
- (-k) +-
2 2
(-k) - 4 . 1 . (-k )
2 . 1
d =
k +- k 5
2
=
k( 1 + 5 )
2
(resp)
A
S
C
V
B
T
D
x 8 - x
x
6 - x
6 - x
8 - x
Teor. do ponto exterior
(6 - x) + (8 - x) = 9
2x = 5
x = 5/2
Portanto BV = 5/2
Teor. da bissetriz interna
y / AB = 8 - y / AC
y / 6 = (8 - y) / 9 
y 8 - y
VR = BR - BV
VR = 16/5 - 5/2
VR = 32/10 - 25/10
VR = 7/10 (resp)
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140
Respostas dos exercícios da Aula 07.
01) 48 / 5
02) 32 / 3
03) 108 / 5
04) 32 / 5
05) 96 / 5
06) 88 / 7
07) 80 m, 60 m, e 40 m
08) 16 e 88 / 3
09) 225 / 13 e 375 / 13
10) 13 / 5, 39 / 10 e 13 / 2
11) 18 cm
12) (160 / 13) cm
13) (112 / 15) cm
14) 5 cm
15) 4( 2 - 1) cm
16) 1 / 2
17) b.d / c
18) d
19) 11 / 30
20) (35 / 4) cm
21) (5 / 7) cm
22) 24 cm, 40 cm e 36 cm
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 82
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141
Respostas dos exercícios complementares da Aula 07.
01) 25 / 4 e 28 / 5
02) 28 / 5 e 20 / 7
03) 3y
04) 18 / 5 e 27 / 5
05) 63 / 11, 27 / 11 e 22 / 9
06) (21 / 2) cm
07) a.c / b
08) (45 / 4) cm
09) b
10) 27
11) d
12) c
13) 12 cm e 50 cm
14) (60 / 7) cm e (80 / 7) cm
15) (60 / 7) cm
16) a
17) 6 / 5
18) 72 / 11
19) x = c , y = a , w = 
 k =
20) 3 / 2
21) 887 / 18
22) 17 / 6
23) 7 / 10
24) K(1 + 5 ) / 2
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
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Jeca 83
2c 3 
3
2b 3 
3
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geometria plana
142
aula: 
página: 
exercício: 
aula: 
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exercício: 
aula: 
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exercício: 
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exercício: 
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exercício: 
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exercício: 
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exercício: 
aula: 
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exercício: 
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exercício: 
aula: 
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exercício: 
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exercício: 
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exercício: 
aula: 
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exercício: 
Correções
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143
>
3 3
A
3
R
R
N
N
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geometria plana
144
I) Semelhança de triângulos.
Definição.
 Dois triângulos são semelhantes se 
têm os ângulos dois a dois congruentes 
e os lados correspondentes dois a dois 
proporcionais.
Definição mais "popular".
 Dois triângulos são semelhantes se 
um deles é a redução ou a ampliação 
do outro.
A
BC
D
EF
DABC DDEF ~ >
A D
B E
C F 
 e
AB AC BC
DE DF EF
k= =
K - razão da semelhança
ou
constante de proporcionalidade.
Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer 
dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios 
das circunferências circunscritas, perímetros, etc.
II) Casos de semelhança. (Como reconhecer a semelhança de triângulos)
1) Caso AA (importantíssimo). 3) Caso LAL.2) Caso LLL.
 Dois triângulos são semelhantes 
se dois ângulos (AA) de um deles 
são congruentes a dois ângulos do 
outro.
 Dois triângulos são semelhantes 
se têm um ângulo congruente e os 
dois lados de um triângulo adjacen-
tes ao ângulo são proporcionais 
aos dois lados adjacentes ao ângu-
lo do outro triângulo.
 Dois triângulos são semelhantes 
se têm os três lados dois a dois or-
denadamente proporcionais.
a b
a b
a b
c
d e
f
a b c
d e f
k= = =
a
a
a
c
d
f
a c
d f
k= =
III) Como aplicar a semelhança de triângulos.
a) Reconhecer a semelhança através dos "casos de semelhança".
b) Desenhar os dois triângulos separados.
c) Chamar de a, b e g os três ângulos de cada triângulo.
d) Escolher um triângulo para ser o numerador da proporção.
e) Montar uma proporção entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo triângulo no 
numerador da proporção.
A
B C
D
12
4
x
=
a
a
semelhante
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 08
Semelhança de triângulos.
Exercício 01 - Utilizando a técnica de aplicação da semelhança de triângulos acima descrita, determine o 
valor de x na figura abaixo.
Jeca 84
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geometria plana
145
I) Semelhança de triângulos.
Definição.
 Dois triângulos são semelhantes se 
têm os ângulos dois a dois congruentes 
e os lados correspondentes dois a dois 
proporcionais.
Definição mais "popular".
 Dois triângulos são semelhantes se 
um deles é a redução ou a ampliação 
do outro.
A
BC
D
EF
DABC DDEF ~ >
A D
B E
C F 
 e
AB AC BC
DE DF EF
k= =
K - razão da semelhança
ou
constante de proporcionalidade.
Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer 
dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios 
das circunferências circunscritas, perímetros, etc.
II) Casos de semelhança. (Como reconhecer a semelhança de triângulos)
1) Caso AA (importantíssimo). 3) Caso LAL.2) Caso LLL.
 Dois triângulos são semelhantes 
se dois ângulos (AA) de um deles 
são congruentes a dois ângulos do 
outro.
 Dois triângulos são semelhantes 
se têm um ângulo congruente e os 
dois lados de um triângulo adjacen-
tes ao ângulo são proporcionais 
aos dois lados adjacentes ao ângu-
lo do outro triângulo.
 Dois triângulos são semelhantes 
se têm os três lados dois a dois or-
denadamente proporcionais.
a b
a b
a b
c
d e
f
a b c
d e f
k= = =
a
a
a
c
d
f
a c
d f
k= =
III) Como aplicar a semelhança de triângulos.
a) Reconhecer a semelhança através dos "casos de semelhança".
b) Desenhar os dois triângulos separados.
c) Chamar de a, b e g os três ângulos de cada triângulo.
d) Escolher um triângulo para ser o numerador da proporção.
e) Montar uma proporção entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo triângulo no 
numerador da proporção.
Exercício 01 - Utilizando a técnica de aplicação da semelhança de triângulos acima descrita, determine o 
valor de x na figura abaixo.
A
B C
D
12
4
x
=
a
a
semelhante
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 08
Semelhança de triângulos.
Jeca 84
A
B Cx
a
16
ab q b
q 4
x
Semelhança de triângulos
x
4
16
x=
2
x = 64
Portanto x = 8 (resp)
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146
A
B C
D E
A
B
C
D
E
03) Na figura abaixo, AB = 7 cm, BC = 5 cm, ED = 6 cm 
e BE mede 10 cm e é paralelo a CD. Determine a 
medida dos segmentos AE e CD.
A
B C
D
E
04) Na figura, AB = 5 cm, BE = 3 cm e AE = 7 cm. De-
termine a medida dos segmentos AC e CD, sabendo 
que BE é paralelo a CD e que o perímetro do triângu-
lo ACD mede 45 cm.
A B
CD
E
05) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, 
CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BD 
interceptam-se no ponto E. Determine a distância 
entre o ponto E e a base CD.
d
A B
CD
A
B C
D
E
07) Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BD 
mede 14 cm. Determine a medida do segmento CD.
02) Na figura abaixo o segmento DE é paralelo à 
base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a me-
dida de DE é 8 cm. Determine as medidas dos seg-
mentos AD e AE.
06) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, 
CD = 18 cm e altura 12 cm. Sendo E o ponto de inter-
secção dos prolongamentos dos lados AD e BC, de-
termine a altura relativa à base AB do triângulo ABE.
Jeca 85
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geometria plana
147
A
B C
D E
02) Na figura abaixo o segmento DE é paralelo à 
base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a me-
dida de DE é 8 cm. Determine as medidas dos seg-
mentos AD e AE. A
B
C
D
E
03) Na figura abaixo, AB = 7 cm, BC = 5 cm, ED = 6 cm 
e BE mede 10 cm e é paralelo a CD. Determine a 
medida dos segmentos AE e CD.
A
B C
D
E
04) Na figura, AB = 5 cm, BE = 3 cm e AE = 7 cm. De-
termine a medida dos segmentos AC e CD, sabendo 
que BE é paralelo a CD e que o perímetro do triângu-
lo ACD mede 45 cm.
A B
CD
E
05) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, 
CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BD 
interceptam-se no ponto E. Determine a distância 
entre o ponto E e a base CD.
d
A B
CD
06) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, 
CD = 18 cm e altura 12 cm. Sendo E o ponto de inter-
secção dos prolongamentos dos lados AD e BC, de-
termine a altura relativa à base AB do triângulo ABE.
A
B C
D
E
07) Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BD 
mede 14 cm. Determine a medida do segmento CD.
Jeca 85
8
12
x y
9
13
Semelhança de triângulos
x
9
y
13
8
12
==
x = 9 . 8 / 12 = 6 cm
y = 13 . 8 / 12 = 26/3 cm (resp)
7
5
6
x
10
y
a
b
q
b
a
Semelhança de triângulos.
7
12
=
x
x + 6
10
y=
12x = 7x + 42
5x = 42
x = 42/5 cm 
7y = 120
y = 120/7 cm
Respostas
5
3
7
Per = 45 cm ACD
Semelhança de triângulos.
Semelhança de triângulos.
Semelhança de triângulos.
Semelhança de triângulos.
7
AD
3
CD
5
AC
=
PerABE
PerACD
7 + 5 + 3
45
15
45
1
3
= = = = =
5
AC
=
1
3
AC = 15 cm
3
CD
=
1
3
CD = 9 cm
Respostas
8 cm
18
12
12 - d
D ABE ~ D CDE
8
18
=
12 - d
d
8d = 216 - 18d
26d = 216
d = 108/13 cm Resposta
8
18
12
d
8
=
18
d
d + 12
18d = 8d + 96
d = 96/10 = 48/5 = 9,6 cm Resposta
8
4
x
14 - x
b
a
b
a
x
14 - x
=
4
8
8x = 56 - 4x
12x = 56
x = 56/12 = 14/3 cm Resposta
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148
P
A
B
C
x
y
z50º
40º
45º
13) (ESPM) Um mastro vertical é mantido nessa posi-
ção por 3 cabos esticados que partem da extremidade 
P e são fixados no chão nos pontos A, B e C, confor-
me a figura abaixo. Sendo x, y e z as distâncias 
respectivas desses pontos ao pé do mastro, determine 
o valor de z em função de x e y.
A
B C
DE
F
08) Na figura, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango 
inscrito no triângulo ABC. Determine a medida do lado 
desse losango.
A
B C
D E
h
10) Na figura abaixo, o triângulo ADE tem base DE = x 
e altura h. Sabendo-se que o triângulo ABC tem base 
BC = y e as bases BC e DE são paralelas, determine a 
medida da altura H do trapézio BCED em função de x, 
y e h.
H
x
y
A
B CD E
FG
h
 =
 6
 c
m
11) Os quadrados representados na figura abaixo têm 
lados 9 cm, 6 cm e x cm. Determinar a medida do 
perímetro do menor quadrado.
9 cm 6 cm x
12) Na figura abaixo, AB = 8 cm, BD = 20 cm e 
DE = 5 cm. Determine a medida de BC.
A
B C D
E
Jeca 86
09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de altura 6 
cm e cuja base BC mede 12 cm. DEFG é um qua-
drado com o lado DE sobre o segmento BC. Deter-
mine a medida do lado desse quadrado.
(GeoJeca)
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149
P
A
B
C
x
y
z50º
40º
45º
13) (ESPM) Um mastro vertical é mantido nessa posi-
ção por 3 cabos esticados que partem da extremidade 
P e são fixados no chão nos pontos A, B e C, confor-
me a figura abaixo. Sendo x, y e z as distâncias 
respectivas desses pontos ao pé do mastro, determine 
o valor de z em função de x e y.
A
B C
DE
F
08) Na figura, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango 
inscrito no triângulo ABC. Determine a medida do lado 
desse losango.
A
B C
D E
h
10) Na figura abaixo, o triângulo ADE tem base DE = x 
e altura h. Sabendo-se que o triângulo ABC tem base 
BC = y e as bases BC e DE são paralelas, determine a 
medida da altura H do trapézio BCED em função de x, 
y e h.
H
x
y
A
B CD E
FG
h
 =
 6
 c
m
11) Os quadrados representados na figura abaixo têm 
lados 9 cm, 6 cm e x cm. Determinar a medida do 
perímetro do menor quadrado.
9 cm 6 cm x
12) Na figura abaixo, AB = 8 cm, BD = 20 cm e 
DE = 5 cm. Determine a medida de BC.
A
B C D
E
Jeca 86
8
12
x
x
x
x 12 - x
DABC ~ DCDF
12 - x
12
=
x
8
12x = 96 - 8x
20x = 96
x = 96/20 = 4,8 cm (resp)
Semelhança de triângulos
base
Base
altura
Altura
=
x
y
h
h + H
=
xh + xH = yh
xH = yh - xh
H = (yh - xh) / x (resp)
ou H = h(y - x) / x (resp)
a
b a
b
8
x 20 - x
5
Semelhança de triângulos.
x
5
8
20 - x
= >
2
x - 20x + 40 = 0
Resolvendo, tem-se
x = 10 + 2 15 cm ou x = 10 - 2 15 cm (resp)
45º
50º
40º
D
DPDC é isósceles
DC = PD = z
DADP ~ DBDP
z
x
z
z
y=
z = x . y (resp)
09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de altura 6 
cm e cuja base BC mede 12 cm. DEFG é um qua-
drado com o lado DE sobre o segmento BC. Deter-
mine a medida do lado desse quadrado.
(GeoJeca)
x
x
12 cm
6 - x
Semelhança de triângulos.
x
12
6 - x
6
=
6x = 72 - 12x
18x = 72
x = 4 cm Resposta
3
6
x6 - x
Semelhança de triângulos.
x
6
=
6 - x
3
3x = 36 - 6x
9x = 36
x = 4 cm
Per = 4.x = 16 cm Resposta
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150
IV) Potência de um ponto em relação a uma circunferência.
 Dada uma circunferência l e um ponto P, P não pertencente a l, 
se A e B são os pontos de intersecção entre l e a reta secante a l 
por P, define-se potência de P em relação a l o produto PA x PB.
Propriedade.
 Dados l e P, a potência de P em relação a l é constante, 
qualquer que seja a reta AB secante a l por P.
A
B
P
l
Potência = PA x PB
1º caso: O ponto P é interior a l. 2º caso: O ponto P é exterior a l.
A
BP
l
C
D
E
F
G
H
PA x PB = PC x PD = PE x PF = PG x PH = cte
O
P
l
O
T
A
B
C
D
T é ponto de tangência
PA x PB = PC x PD = PT = cte( )
2
A
B
C
D
P
O
14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-
cem à circunferência l. Sabendo que PA = 6, PB = 8 
e que PD = 12, determine a medida do segmento PC.
A
B
C
P
O
15) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem 
à circunferência l. Sabendo que PA = 4, AB = 12, de-
termine a medida do segmento PC.
l
l
A B
C
D
P
O l
16) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-
cem à circunferência l. Sabendo que PA = 6, AB = 8 
e CD = 5, determine a medida do segmento PD.
A
B
P O
l
17) Na figura abaixo, os pontos A e B pertencem à 
circunferência de centroO. Determine a medida do 
raio da circunferência sabendo que PA = 6, PB = 10 e 
PO = 4.
Jeca 87
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151
IV) Potência de um ponto em relação a uma circunferência.
 Dada uma circunferência l e um ponto P, P não pertencente a l, 
se A e B são os pontos de intersecção entre l e a reta secante a l 
por P, define-se potência de P em relação a l o produto PA x PB.
Propriedade.
 Dados l e P, a potência de P em relação a l é constante, 
qualquer que seja a reta AB secante a l por P.
A
B
P
l
Potência = PA x PB
1º caso: O ponto P é interior a l. 2º caso: O ponto P é exterior a l.
A
BP
l
C
D
E
F
G
H
PA x PB = PC x PD = PE x PF = PG x PH = cte
O
P
l
O
T
A
B
C
D
T é ponto de tangência
PA x PB = PC x PD = PT = cte( )
2
A
B
C
D
P
O
14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-
cem à circunferência l. Sabendo que PA = 6, PB = 8 
e que PD = 12, determine a medida do segmento PC.
A
B
C
P
O
15) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem 
à circunferência l. Sabendo que PA = 4, AB = 12, de-
termine a medida do segmento PC.
l
l
A B
C
D
P
O l
16) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-
cem à circunferência l. Sabendo que PA = 6, AB = 8 
e CD = 5, determine a medida do segmento PD.
A
B
P O
l
17) Na figura abaixo, os pontos A e B pertencem à 
circunferência de centro O. Determine a medida do 
raio da circunferência sabendo que PA = 6, PB = 10 e 
PO = 4.
Jeca 87
Potência de ponto
PA . PC = PB . PD
6 . x = 8 . 12
x = 96/6 = 16 cm
 (resp)
6
8
12
x
C
D
6
10
4
R
PC = R - 4
PD = R + 4
Potência
PA x PB = PC x PD
6 x 10 = (R - 4).(R + 4)
2 2
R - 4 = 60
2
R = 76
R = 2 19 uc (resp)
Potência de ponto
2
PA . PB = PC
2
4.(4 + 12) = PC
2
PC = 64
PC = 8 (Resp.)
6 8
5
x
Potência de ponto
PA x PB = PC x PD
6 . 14 = x.(x + 5)
2
x + 5x - 84 = 0
Raízes
x = -12 (não convém)
x = 7 cm Resposta
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152
A
B C
D
E
18) Na figura, AB = 5 cm, BC = 12 cm e DE = 3 cm. 
Determine a medida do segmento EC.
20) Na figura abaixo, os segmentos AB, AC e BC 
medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e AC é 
a bissetriz do ângulo BCD. Determine a medida do 
segmento CD.
a
a
A
B
C
D
21) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o 
lado BC foi prolongado, como mostra a figura, até o 
ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao 
triângulo PCA. Determine o comprimento do segmen-
to PC.
A B
C
P
19) (UEL-PR) Após um tremor de terra, dois muros pa-
ralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramen-
te abalados. Os moradores se reuniram e decidiram 
escorar os muros utilizando duas barras metálicas, co-
mo mostra a figura abaixo. Sabendo que os muros têm 
alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do 
nível do chão as duas barras se interceptam ? 
Despreze as espessuras das barras.
h
3 m
9 m
Jeca 88
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153
A
B C
D
E
18) Na figura, AB = 5 cm, BC = 12 cm e DE = 3 cm. 
Determine a medida do segmento EC.
20) Na figura abaixo, os segmentos AB, AC e BC 
medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e AC é 
a bissetriz do ângulo BCD. Determine a medida do 
segmento CD.
a
a
A
B
C
D
21) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o 
lado BC foi prolongado, como mostra a figura, até o 
ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao 
triângulo PCA. Determine o comprimento do segmen-
to PC.
A B
C
P
19) (UEL-PR) Após um tremor de terra, dois muros pa-
ralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramen-
te abalados. Os moradores se reuniram e decidiram 
escorar os muros utilizando duas barras metálicas, co-
mo mostra a figura abaixo. Sabendo que os muros têm 
alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do 
nível do chão as duas barras se interceptam ? 
Despreze as espessuras das barras.
h
3 m
9 m
Jeca 88
A
B C
E
D
C
5
12
3
y
x
a
b
ba
2 2 2
Pitágoras y = 5 + 12
 y = 13 cm
Semelhança de triângulos
x = 39/5 cm (resp)
x
13
=
3
5
P
A B
P
A
Cx + 7
x
y y
6
8
a
a
b
b q
q
Semelhança de triângulos
x + 7
y
y
x
8
6
= =
y 8x
6
= =
4x
3
8y = 6(x + 7)
8.(4x/3) = 6x + 42
32x = 18x + 126
x = 126/14 = 9 uc (resp)
A
B C
D
E
x y
DABE ~ DCDE DBFE ~ DBCD
39
= yx
F
x
x + y
h
3
== x + y
12
x + y
h
3x
=x + y =
12x
9
=
12x
9h
3x
h = 9/4 = 2,25 m (resp)
b b
q
q
8
10
7 x
Semelhança de triângulos
x
10
=
10
7
x = 100/7 cm (resp)
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154
A B
P
Q
O
22) (Ibmec) Na figura, AB é o diâmetro da circunferên-
cia de raio 10 cm e a reta PA é tangente a essa 
circunferência. Determine a medida do segmento BQ, 
sabendo que o segmento PQ mede 3 cm.
A t
B
C
D E
24) (ITA-SP) Na figura, a reta t é tangente à 
circunferência no ponto A e paralela ao segmento 
DE. Se AD = 6, AE = 5 e CE = 7, a medida do 
segmento BD será:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
25) (ITA-SP) Seja E um ponto externo a uma circunfe-
rência. Os segmentos EA e ED interceptam essa 
circunferência nos pontos B e A, e, C e D respectiva-
mente. A corda AF da circunferência intercepta o 
segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, 
GD = 3 e AG = 6, então GF vale:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
23) (FUVEST-SP) Na figura, o triângulo ABC é 
retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o 
ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao 
cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal 
forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, 
então a área do paralelogramo DECF vale
a)
b)
c)
d)
e)
63
25
12
5
58
25
56
25
11
5
A
B C
D
E
F
Jeca 89
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155
A B
P
Q
O
22) (Ibmec) Na figura, AB é o diâmetro da circunferên-
cia de raio 10 cm e a reta PA é tangente a essa 
circunferência. Determine a medida do segmento BQ, 
sabendo que o segmento PQ mede 3 cm.
A t
B
C
D E
24) (ITA-SP) Na figura, a reta t é tangente à 
circunferência no ponto A e paralela ao segmento 
DE. Se AD = 6, AE = 5 e CE = 7, a medida do 
segmento BD será:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
25) (ITA-SP) Seja E um ponto externo a uma circunfe-
rência. Os segmentos EA e ED interceptam essa 
circunferência nos pontos B e A, e, C e D respectiva-
mente. A corda AF da circunferência intercepta o 
segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, 
GD = 3 e AG = 6, então GF vale:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
23) (FUVEST-SP) Na figura, o triângulo ABC é 
retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o 
ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao 
cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal 
forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, 
então a área do paralelogramo DECF vale
a)
b)
c)
d)
e)
63
25
12
5
58
25
56
25
11
5
A
B C
D
E
F
Jeca 89
A B
P
Q
A B
x
x + 3
2 10
2 10
a
b
ba
Semelhança de triângulos
x + 3
2 10
=
x
2 10
2
x + 3x - 40 = 0
x = -8 ou x = 5
x = 5 cm (resp)
6 5
7
a
b q
q
b
b
P
Os ângulos
PAB , ADE e BCA são
congruentes e iguais a b.
PAB e ADE são colaterais internos
PAB = b é ângulo de segmento
BCA = b é ângulo inscrito
Semelhança de triângulos.
60 = 6x + 36
6x = 24
x = 4 (resp)
6
12
=
5
x + 6
x
A
D
B
C
E
F
G
5
7
4
3
6
x
y
Potência de ponto 
EB.EA = EC.ED
5.(5 + 7) = 4.(4 + y + 3)
y = 8
Potência de ponto
AG.GF = DG.GC
6 . x = 3 . 8
x = 4 Resposta d
4
3
5
3/2h
b3 - b
Semelhança de triângulos
h
4
3 - b 3/2
5
=
3
=
h = 12/10
b = 21/10
S = b . h 12
10
21
= .
10
=
252
100
S 63
25
=Resposta a
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156
01) Na figura abaixo, o segmento DE é paralelo ao segmento BC. Provar que os triângulos ABC e ADE são 
semelhantes e calcular as medidas dos segmentos AD e AE.
A
B C
D E
12 cm
8 cm
x y
9 
cm
11 cm
A
B
C D
E
02) Na figura abaixo, AB = 8 cm, DE = 5 cm, BC = 10 cm. Provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e 
calcular as medidas dos segmentos AC, CD e CE.
A B
CD
E
8 cm
14 cm
d
6
 c
m
03) Na figura abaixo, o ponto E é o ponto de intersecção das diagonais do trapézio ABCD. Sendo AB = 8 cm, 
CD = 14 cm e tendo o trapézio 6 cm de altura, provar que os triângulos ABE e CDE são semelhantes e 
determinar a distância d entre o ponto E e a base maior CD.
3 cm
5 cm
x
4
 c
m
04) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Semelhança de triângulos e
Potência de ponto.
Exercícios complementares da aula 08.
Jeca 90
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geometria plana
157
01) Na figura abaixo, o segmento DE é paralelo ao segmento BC. Provar que os triângulos ABC e ADE são 
semelhantes e calcular as medidas dos segmentos AD e AE.
A
B C
D E
12 cm
8 cm
x y
9 
cm
11 cm
A
B
C D
E
02) Na figura abaixo, AB = 8 cm, DE = 5 cm, BC = 10 cm. Provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e 
calcular as medidas dos segmentos AC, CD e CE.
A B
CD
E
8 cm
14 cm
d
6
 c
m
03) Na figura abaixo, o ponto E é o ponto de intersecção das diagonais do trapézio ABCD. Sendo AB = 8 cm, 
CD = 14 cm e tendo o trapézio 6 cm de altura, provar que os triângulos ABE e CDE são semelhantes e 
determinar a distância d entre o ponto E e a base maior CD.
3 cm
5 cm
x
4
 c
m
04) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Semelhança de triângulos e
Potência de ponto.
Exercícios complementares da aula 08.
Jeca 90
Semelhança de triângulos
x = 9 . 8 / 12 = 6 cm
y = 11 . 8 / 9 = 88 / 9 cm (resp)
x
9
y
11
8
12
= =
D AEB ~ D CDE
6 - d b
B
h
H
=
=8
14
6 - d
d
d = 42/11 cm (Resp.)
a
b
b
a
8
5
10
x
y
z
Pitágoras
2 2 2
x = 8 + 10
2
x = 64 + 100 = 164
x = 2 41 cm
 Os triângulos ABC e DEC são semelhantes pelo
caso AA.
8
5
=
10
y
x
z=
8.y = 50
y = 50/8 = 25/4 cm
8.z = 5.x = 5 . 2 41
z = 5 41 /4 cm
Semelhança de triângulos.
3
5
=
x
x + 4
5x = 3x + 12
2x = 12
x = 6 cm Resposta
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158
05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados AB = 4 cm e AD = 3 cm. Provar que os triângulos ABC, ABE 
e BCE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e BE.
A B
CD
E
3
 c
m
4 cm
A
B C
D
06) Na figura abaixo, AD = 10 cm e CD = 4 cm. Provar que os triângulos ABC e BCD são semelhantes e 
determinar a medida do segmento BC. 
A B
CD
E
P
07) Na figura abaixo, os pontos A, B, D e E pertencem à circunferência de centro C. Provar que os triângulos 
ABP e DEP são semelhantes e que vale a relação AP x PE = DP x PB.
a
a
08) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de base BC = 16 cm e altura 8 cm. Provar que os triângulos ABC e AGF 
são semelhantes e determinar a área do quadrado DEFG inscrito no triângulo ABC.
A
B CD E
FG
h
 =
 8
 c
m
A
E
x
09) Na figura abaixo, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar uma expressão que 
forneça t como função de x , y e z.
B C Dy z
t
Jeca 91
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159
05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados AB = 4 cm e AD = 3 cm. Provar que os triângulos ABC, ABE 
e BCE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e BE.
A B
CD
E
3
 c
m
4 cm
A
B C
D
06) Na figura abaixo, AD = 10 cm e CD = 4 cm. Provar que os triângulos ABC e BCD são semelhantes e 
determinar a medida do segmento BC. 
A B
CD
E
P
07) Na figura abaixo, os pontos A, B, D e E pertencem à circunferência de centro C. Provar que os triângulos 
ABP e DEP são semelhantes e que vale a relação AP x PE = DP x PB.
a
a
08) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de base BC = 16 cm e altura 8 cm. Provar que os triângulos ABC e AGF 
são semelhantes e determinar a área do quadrado DEFG inscrito no triângulo ABC.
A
B CD E
FG
h
 =
 8
 c
m
A
E
x
09) Na figura abaixo, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar uma expressão que 
forneça t como função de x , y e z.
B C Dy z
t
Jeca 91
a b
b
b a
a
4 cm
2 2 2
Pitágoras (AC) = 3 + 4 = 25
 AC = 5 cm
Semelhança de triângulos.
DADC ~ DABE
AD
BE
=
AC
AB
DC
AE
=
= =
3
BE
5
4
4
AE
BE = 3 . 4 / 5 = 12 / 5 cm
AE = 4 . 4 / 5 = 16 / 5 cm (resp)
A
B C
D
B C
14
x
4
x
a
a
b
c
c
b 4
x
x
14
=
2
x = 4 . 14
x = 2 14 cm (Resp.)
C é um vértice comum aos
dois triângulos.
Os triângulos são semelhantes
pelo caso AA.
a q
q
a
b
b
Os triângulos ABP e DEP são semelhantes pelo caso AA.
AP
DP
=
PB
PE
Portanto AP x PE = DP x PB (CQD)
a b
q
a b
x
x
8 - x
Os triângulos AGF e ABC são semelhantes pelo caso AA.
x
16
=
8 - x
8
16 cm
128 - 16x = 8x
24x = 128
x = 128/24 = 16/3 cm
2 2 2
S = x = (16/3) = (256/9) cm Resposta
a
9
0
 - a
90 - aa
Os triângulos CDE e ABC são semelhantes pelo caso AA.
t
y =
z
x
t =
y . z
x
Resposta
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160
A
B C
D
E
10) Na figura abaixo, AB = 12 cm, BC = 8 cm, AC = 9 cm e DE = 5 cm. Sabendo-se que os ângulos ACB e ADE são 
congruentes, provar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos 
AE e CE.
A
B CD
E
11) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo cujos catetos AB e AC medem respectivamente 3 cm e 4 cm. 
Sendo AE igual a 1 cm, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar a medida do 
segmento DE.
12) Sabendo-se que BE = 5 cm e CF = 4 cm são duas alturas de um triângulo ABC de lado AB = 6 cm, 
determinar a medida do lado AC desse triângulo.
13) O triângulo ABC da figura abaixo é eqüilátero de lado 10 cm e M é o ponto médio do lado AB. Sendo CD = 6 
cm, determinar a medida do segmento CN.
A
B C D
N
M
14) Considere a circunferência circunscrita a um triângulo ABC. Seja AE um 
diâmetro desta circunferência e AD altura do triângulo. Sendo AB = 6 cm, 
AC = 10 cm e AE = 30 cm, calcule a altura AD.
h
A
B C
D
E
O
Jeca 92
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161
A
B C
D
E
10) Na figura abaixo, AB = 12 cm, BC = 8 cm, AC = 9 cm e DE = 5 cm. Sabendo-se que os ângulos ACB e ADE são 
congruentes, provar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos 
AE e CE.
A
B CD
E
11) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo cujos catetos AB e AC medem respectivamente 3 cm e 4 cm. 
Sendo AE igual a 1 cm, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar a medida do 
segmento DE.
12) Sabendo-se que BE = 5 cm e CF = 4 cm são duas alturas de um triângulo ABC de lado AB = 6 cm, 
determinar a medida do lado AC desse triângulo.
13) O triângulo ABC da figura abaixo é eqüilátero de lado 10 cm e M é o ponto médio do lado AB. Sendo CD = 6 
cm, determinar a medida do segmento CN.
A
B C
D
N
M
14) Considere a circunferência circunscrita a um triângulo ABC. Seja AE um 
diâmetro desta circunferência e AD altura do triângulo. Sendo AB = 6 cm, 
AC = 10 cm e AE = 30 cm, calcule a altura AD.
h
A
B C
D
E
O
Jeca 92
A
B C
A
D
E
a
b
a
q
a
b
qb
q
q
b
12
8
9
5
AB
AE
=
AC
AD
BC
DE
=
= =
12
AE
9
AD
8
5
AE = 12 . 5 / 8 = 15 / 2 cm
AD = 9 . 5 / 8 = 45 / 8 cm (resp)
P
5
55 5 6
11
60º
120º60º
120º
Seja P ponto médio de BC.
Então MP // AC 
MP = AC/2 = 10/2 = 5 cm
DBMP é equilátero..
Então os ângulos MPD e NCD são congruentes.
Semelhança de triângulos DMPD ~ DNCD
NC = 30/11 cm (resp)
5 NC
5
6
11
=
3
4
3
x
a b
a
b
 Os triângulos são semelhantes pelo caso AA.
Pitágoras
2 2 2
y = 3 + 4 = 25
y = 5
y
Semelhança de triângulos
x
3
=
3
5
x = 9/5 cm Resposta
A
B C
E
F
4
5
6
 c
m
C
F
4
B
E
5
A
a
b
a
b
6
 c
m
Semelhança de triângulos
x
x
6
4
5
=
x = 24/5 cm Resposta
a
a
b
b 10
30
6
Semelhança de triângulos.
 D ABD ~ D ACE
6
30
=
h
10
h = 2 cm Resposta
Observação - Os ângulos ABC e AEC são
congruentes pois são ângulos inscritos no 
mesmo arco AC.
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162
15) Na figura abaixo, determinar o valor de x sabendo-se que os dois quadrados representados têm lados 5 cm 
e 8 cm.
12 cm
8 cm
8 cm
5 cm
x
x
xt y
16) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados t e y. Determinar a medida de x em função de t e 
de y.
17) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados 12 cm, 8 cm e x cm. Determinar a medida do 
perímetro do menor quadrado.
A B
CD M
P
h
18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo cujo lado BC mede 9 cm. Sendo M o ponto médio do lado CD, 
provar que os triângulos ABP e MCP são semelhantes e determinar a altura h do triângulo MCP.
A M N B
PQ
C
4
 c
m
19) No triângulo acutângulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa 
base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem 
ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, ao lado AC. Determinar o perímetro desse 
retângulo.
20) O trapézio ABCD abaixo tem base menor AB = 8 cm, base maior CD = 14 cm 
e altura igual a 6 cm. Sendo P a intersecção dos prolongamentos dos lados não 
paralelos do trapézio, determine a distância entre o ponto P e a base maior de 
ABCD. 
A B
CD
Jeca 93
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163
15) Na figura abaixo, determinar o valor de x sabendo-se que os dois quadrados representados têm lados 5 cm 
e 8 cm.
12 cm
8 cm
8 cm
5 cm
x
x
xt y
16) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados t e y. Determinar a medida de x em função de t e 
de y.
17) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados 12 cm, 8 cm e x cm. Determinar a medida do 
perímetro do menor quadrado.
A B
CD M
P
h
18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo cujo lado BC mede 9 cm. Sendo M o ponto médio do lado CD, 
provar que os triângulos ABP e MCP são semelhantes e determinar a altura h do triângulo MCP.
A M N B
PQ
C
4
 c
m
19) No triângulo acutângulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa 
base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem 
ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, ao lado AC. Determinar o perímetro desse 
retângulo.
20) O trapézio ABCD abaixo tem base menor AB = 8 cm, base maior CD = 14 cm 
e altura igual a 6 cm. Sendo P a intersecção dos prolongamentos dos lados não 
paralelos do trapézio, determine a distância entre o ponto P e a base maior de 
ABCD. 
A B
CD
Jeca 93
5
8 - 5 = 3
Semelhança de triângulos.
x = 5 . 5 / 3 = 25 / 3 cm (resp)
5
3
5
5
x
=
y
y
t - y
y
x =
t - y
y
Semelhança de triângulos
2
y = x.(t - y)
2
x = y /(t - y) Resposta
4
8 - x x
x
8 
=
8
8 - x
4
Semelhança de triângulos
4x = 64 - 8x
12x = 64
x = 64/12 = 16/3 cm
Per = 2p = 4x = 64/3 cm Resposta
9
x x
a b
ab
9 - h
2xOs triângulos ABP e MCP são semelhantes pelo caso AA.
2x
x
=
9 - h
h
2h = 9 - h
3h = 9
h = 3 cm Resposta
4 cm
x
y
4 - xSemelhança de triângulos.
y
4
=
4 - x
4
x + y = 4
Per = 2p = x + y + x + y
Per = 4 + 4 = 8 cm Resposta
8
14
6
h
Semelhança de triângulos.
h
h + 6
=
8
14
14h = 8h + 48
6h = 48
h = 8 cm
d = h + 6
d = 8 + 6
d = 14 cm Resposta
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164
21) Considere as três circunferências da figura, de mesmo raio R, tangentes externamente. Calcular a medida da 
corda BC em função de R, sabendo que a reta r é tangente à circunferência de centro O .3
A
B
C
O O O1 2 3
r
22) Na figura abaixo, determine o valor de x.
x1
2
 c
m
14 cm
10 cm
15 cm
23) Na figura, ABCD é um retângulo tal que a base é o dobro da altura. Determine 
a medida do perímetro desse retângulo.
1
2
 c
m
16 cm
A B
CD
a
a
24) No triângulo ABC abaixo, sendo DE // BC, determine as medidas de AD e AE.
A
B C
D E
16 cm
5 cm
9 
cm 11 cm
25) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
x
6 
cm
5 cm
7 cm
a
a
26) Na figura abaixo, sendo AB = 16 cm, AC = 9 cm, BC = 15 cm e DE = 7 cm, determinar AD e AE.
A
B C
D
E
x
x
Jeca 94
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165
21) Considere as três circunferências da figura, de mesmo raio R, tangentes externamente. Calcular a medida da 
corda BC em função de R, sabendo que a reta r é tangente à circunferência de centro O .3
A
B
C
O O O1 2 3
r
22) Na figura abaixo, determine o valor de x.
x1
2
 c
m
14 cm
10 cm
15 cm
23) Na figura, ABCD é um retângulo tal que a base é o dobro da altura. Determine 
a medida do perímetro desse retângulo.
1
2
 c
m
16 cm
A B
CD
a
a
24) No triângulo ABC abaixo, sendo DE // BC, determine as medidas de AD e AE.
A
B C
D E
16 cm
5 cm
9 
cm 11 cm
25) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
x
6 
cm
5 cm
7 cm
a
a
26) Na figura abaixo, sendo AB = 16 cm, AC = 9 cm, BC = 15 cm e DE = 7 cm, determinar AD e AE.
A
B C
D
E
x
x
Jeca 94
R R R R R
R
R
x
Semelhança de triângulos.
x = 3R / 5
2 2 2
Pitágoras R = y + (3R/5)
2 2 2 2 y = R - 9R /25 = 16R /25
BC = 2y = 2 . 4R/5 = 8R/5 Resposta 
3R
5R
=
x
R
y
12
24
x
14
15
a
b
q
b q
a
Semelhança de triângulos
x
12
=
15
24
x = 12 . 15 / 24 = 180 / 24
x = 15/2 cm Resposta
h
2h
12 - h
Semelhança de triângulos
2h
16
=
12 - h
12
24h = 192 - 16h
40 h = 192
h = 192/40
Perímetro = 2p = 6h
2p = 6 . 192/40 = 144/5 cm Resposta
x y
Semelhança de triângulos
x
x + 9
y
=
y + 11
5
16
=
16x = 5x + 45
11x = 45
x = 45/11 cm
16y = 5y + 55
11y = 55
y = 55/11 = 5 cm cm
Respostas
5
6
6 
+
 x 12
a
a
b
b
q
q
Semelhança de triângulos
6 + x
5
=
12
6
36 + 6x = 60
6x = 24
x = 24/6 = 4
x = 4 cm Resposta
7
15
9
16
x
y
a b
q
q
a
b
Semelhança de triângulos
x
9
=
y
16
7
15
=
x = 9 . 7 / 15
x = 21 / 5 cm
y = 16 . 7 / 15
y = 112 / 15 cm
Respostas
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166
27) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sabendo-se que AP = 4 cm, 
PC = 6 cm e PD = 8 cm, determine a medida do segmento BP e cite a propriedade utilizada na solução do 
exercício.
A
B
C
DP
O
A
B
C
D
M
O
28) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo M ponto médio do 
segmento BD, AM = 9 cm e CM = 4 cm, determine a medida do segmento BD e cite a propriedade utilizada na 
solução do exercício.
A
B C
D
P
O
29) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo PD = 5 cm, AD = 9 cm 
e BC = 10 cm, determine a medida do segmento PC e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
A
C
B
P
D
30) Os pontos A e B pertencem à circunferência de centro C e raio 6 cm. A reta PD é tangente à circunferência 
no ponto D. Sendo PB = 5 cm, determine a medida de PD e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
A
B
C
D
E
F
31) Os pontos B, D, E e F pertencem à circunferência de centro C. Sendo AB = x, BD = y, AE = z e EF = t, 
determine t em função de x, y e z.
Jeca 95
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167
27) Nafigura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sabendo-se que AP = 4 cm, 
PC = 6 cm e PD = 8 cm, determine a medida do segmento BP e cite a propriedade utilizada na solução do 
exercício.
A
B
C
DP
O
A
B
C
D
M
O
28) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo M ponto médio do 
segmento BD, AM = 9 cm e CM = 4 cm, determine a medida do segmento BD e cite a propriedade utilizada na 
solução do exercício.
A
B C
D
P
O
29) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo PD = 5 cm, AD = 9 cm 
e BC = 10 cm, determine a medida do segmento PC e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
A
C
B
P
D
30) Os pontos A e B pertencem à circunferência de centro C e raio 6 cm. A reta PD é tangente à circunferência 
no ponto D. Sendo PB = 5 cm, determine a medida de PD e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
A
B
C
D
E
F
31) Os pontos B, D, E e F pertencem à circunferência de centro C. Sendo AB = x, BD = y, AE = z e EF = t, 
determine t em função de x, y e z.
Jeca 95
Potência de ponto. 
PA x PC = PB x PD
4 . 6 = PB . 8
PB = 24 / 8 = 3 cm (resp)
4
6
8
Potência de ponto. 
AM x MC = BM x MD
9 . 4 = x . x
2x = 36
x = 6 cm
BD = 2.x = 12 cm Resposta
x
x
9
4
Potência de ponto. 
PA x PD = PB x PC
5 . (5 + 9) = x . (x + 10)
2x + 10x - 70 = 0
Raízes
x = - 95 - 5 (não convém)
x = ( 95 - 5) cm Resposta
5
9
10 x
Potência de ponto. 
2
(PD) = PA x PB
2
x = 17 . 5
x = 85 cm Resposta
6
x
5
6
x
y
z
t
Potência de ponto. 
AD x AB = AF x AE
x.(x + y) = z.(z + t)
2
x.(x + y) = z + z.t
2
x.(x + y) - z = z.t
2
t = [x.(x + y) - z ] / z Resposta
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168
Respostas dos exercícios da Aula 08.
01) 8
02) 6 cm e (26 / 3) cm
03) (42 / 5) cm e (120 / 7) cm
04) 15 cm e 9 cm
05) (108 / 13) cm
06) (48 / 5) cm
07) (14 / 3) cm
08) 24 / 5
09) 4 cm
10 ) h(y - x) / x
11) 16 cm
12) (10 - 2 15 ) cm ou (10 + 2 15 ) cm
13) x . y
14) 16
15) 8
16) 7
17) 2 19
18) (39 / 5) cm
19) (9 / 4) m
20) (100 / 7) cm
21) 9
22) 5 cm
23) a 
24) c
25) d
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
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169
Respostas dos exercícios complementares da Aula 08.
01) 6 cm e (22 / 3) cm
02) 2 41 cm, (25 / 4) cm e (5 41 / 4) cm
03) (42 / 11) cm
04) 6 cm
05) (16 / 5) cm e (12 / 5) cm
06) 2 14 cm
07) demonstração - Utilizando ângulos inscritos 
prova-se que os triângulos são semelhantes.
2
08) (256 / 9) cm
09) y . z / x
10) (15 / 2) cm e (3 / 2) cm
11) (9 / 5) cm
12) (24 / 5) cm
13) (30 / 11) cm
14) 2 cm
15) (25 / 3) cm
2
16) y / (t - y)
17) (64 / 3) cm
18) 3 cm
19) 8 cm
20) 14 cm
21) 8R / 5
22) (15 / 2) cm
23) (144 / 5) cm
24) (45 / 11) cm e 5 cm
25) 4 cm
26) (21 / 5) cm e (112 / 15) cm
27) 3 cm - potência de ponto.
28) 12 cm - potência de ponto.
29) ( 95 - 5) cm - potência de ponto.
30) 85 cm - potência de ponto.
2
31) [x(x + y) - z ] / z
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 97
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geometria plana
170
I) Relações métricas no triângulo retângulo.
Teorema.
 Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à 
hipotenusa divide o triângulo original em dois 
triângulos menores, que são semelhantes entre 
si e semelhantes ao triângulo original.
A
B CH
b
c
a
m n
h
2 2 2
c = a . m b = a . n h = m . n a . h = b . c
II) Teorema de PItágoras.
 Em todo triângulo retângulo, o quadrado da 
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos 
catetos.
A
B C
bc
a
2 2 2
a = b + c
A
B CH
III) Exercícios.
01) Na figura abaixo, sabendo-se 
que AB = 5 cm e AC = 9 cm, deter-
mine as medidas de BC, BH, HC 
e AH.
A
B CH
02) Na figura abaixo, sabendo-se 
que BH = 3 cm e HC = 9 cm, deter-
mine as medidas de BC, AC, AB e 
AH.
A
B CH
03) Na figura abaixo, sabendo-se 
que AH = 3 cm e AC = 5 cm, deter-
mine as medidas de HC, HB, AB 
e BC.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 09
Relações métricas no triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras.
Jeca 98
Observação - Os segmentos m e n são as projeções 
ortogonais dos catetos b e c sobre a hipotenusa a.
(GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca)
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171
A
B CH
III) Exercícios.
01) Na figura abaixo, sabendo-se 
que AB = 5 cm e AC = 9 cm, deter-
mine as medidas de BC, BH, HC 
e AH.
A
B CH
02) Na figura abaixo, sabendo-se 
que BH = 3 cm e HC = 9 cm, deter-
mine as medidas de BC, AC, AB e 
AH.
A
B CH
03) Na figura abaixo, sabendo-se 
que AH = 3 cm e AC = 5 cm, deter-
mine as medidas de HC, HB, AB 
e BC.
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pelo prof. Jeca
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Aula 09
Relações métricas no triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras.
Jeca 98
5 9
m n
h
a
2 2 2
a = b + c
2 2
 = 9 + 5 = 81 + 25 = 106
a = BC = 106 cm
2
c = a . m
2
5 = 106 . BH
BH = 25 / 106 = 25 106 / 106 cm
2
b = a . n
2
9 = 106 . HC
HC = 81 / 106 = 81 106 / 106 cm
a . h = b . c
 106 . h = 9 . 5
h = 45 / 106 = 45 106 / 106 cm
3 9 cm
BC = 3 + 9 = 12 cm
2
(AC) = 12 . 9 = 108
AC = 108 = 6 3 cm
2
(AB) = 12 . 3 = 36
AB = 6 cm
2
(AH) = 3 . 9 = 27
AH = 3 3 cm 
2
b = a . n
2
c = a . m
2
h = m . n
3
5 cm
Pitágoras
2 2 2
5 = 3 + (HC)
HC = 4 cm
2
3 = 4 . BH
BH = 9/4 cm
2
(AB) = (4 + 9/4) . 9/4 = 225/16
AB = 225/16 = 15/4 cm
BC = BH + HC = 9/4 + 4 = 25/4 cm 
2
h = m . n
2
c = a . m
I) Relações métricas no triângulo retângulo.
Teorema.
 Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à 
hipotenusa divide o triângulo original em dois 
triângulos menores, que são semelhantes entre 
si e semelhantes ao triângulo original.
A
B CH
b
c
a
m n
h
2 2 2
c = a . m b = a . n h = m . n a . h = b . c
II) Teorema de PItágoras.
 Em todo triângulo retângulo, o quadrado da 
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos 
catetos.
A
B C
bc
a
2 2 2
a = b + c
Observação - Os segmentos m e n são as projeções 
ortogonais dos catetos b e c sobre a hipotenusa a.
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172
06) Num retângulo ABCD tem-se AB = 15 e BC = 8. 
Sobre o lado AB, marca-se um ponto P de modo que 
PB =12 e sobre o lado CD, marca-se um ponto Q de 
modo queDQ = 7. Qual é a distância entre os pontos 
P e Q ?
a) 83
b) 4 5
c) 78
d) 2 19
e) 89
05) Qual é o perímetro, em cm, de um losango cujas 
diagonais medem 12 cm e 6 cm ?
a) 4 39
b) 12 5
c) 16 3
d) 8 13
e) 8 14
07) No retângulo ABCD abaixo tem-se AB = 15 cm e 
BC = 8 cm. Sobre o lado BC, marca-se um ponto P tal 
que PB = 1 cm e sobre o lado AD, marca-se um ponto 
Q tal que DQ = 2 cm. Qual é, em cm, a distância entre 
os pontos P e Q ?
A B
CD
a) 274
b) 269
c) 2 14
d) 5 10
e) 246
08) Qual é o raio de uma circunferência, se uma reta 
secante que dista 5 cm do centro da mesma, 
determina nessa circunferência uma corda de 
comprimento 24 cm ?
a) 8 cm
b) 13 cm
c) 15 cm
d) 17 cm
e) 19 cm
a
b
c
d
09) Na figura abaixo, medida de a, em função de b, 
c, e d, é :
2 2 2a) a = b + c + d
2 2 2b) a = b + c - d 
2 2 2c) a = b - c - d 
2 2 2d) a = d - b - c 
2 2 2 e) a = d - b + c
x13
 cm
10 cm
04) Determine o valor de x no triângulo retângulo abai-
xo.
Jeca 99
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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173
06) Num retângulo ABCD tem-se AB = 15 e BC = 8. 
Sobre o lado AB, marca-se um ponto P de modo que 
PB =12 e sobre o lado CD, marca-se um ponto Q de 
modo que DQ = 7. Qual é a distância entre os pontos 
P e Q ?
a) 83
b) 4 5
c) 78
d) 2 19
e) 89
05) Qual é o perímetro, em cm, de um losango cujas 
diagonais medem 12 cm e 6 cm ?
a) 4 39
b) 12 5
c) 16 3
d) 8 13
e) 8 14
07) No retângulo ABCD abaixo tem-se AB = 15 cm e 
BC = 8 cm. Sobre o lado BC, marca-se um ponto P tal 
que PB = 1 cm e sobre o lado AD, marca-se um ponto 
Q tal que DQ = 2 cm. Qual é, em cm, a distância entre 
os pontos P e Q ?
A B
CD
a) 274
b) 269
c) 2 14
d) 5 10
e) 246
08) Qual é o raio de uma circunferência, se uma reta 
secante que dista 5 cm do centro da mesma, 
determina nessa circunferência uma corda de 
comprimento 24 cm ?
a) 8 cm
b) 13 cm
c) 15 cm
d) 17 cm
e) 19 cm
a
b
c
d
09) Na figura abaixo, medida de a, em função de b, 
c, e d, é :
2 2 2a) a = b + c + d
2 2 2b) a = b + c - d 
2 2 2c) a = b - c - d 
2 2 2d) a = d - b - c 
2 2 2 e) a = d - b + c
x13
 cm
10 cm
04) Determine o valor de x no triângulo retângulo abai-
xo.
Jeca 99
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Pitágoras
2 2 2
13 = 10 + x
2
x = 169 - 100 = 69
x = 69 cm (resp)
3
6 cm
x
Pitágoras
2 2 2
x = 3 + 6
2
x = 9 + 36 = 45
x = 45 = 3 5 cm 
Perímetro = 2p = 4 . x 
2P = 12 5 cm Resposta b
A B
CD
3 12P
3 4 8
8 cm8 x
Q
Pitágoras
2 2 2x = 8 + 4 
2x = 64 + 16 = 80
x = 80 = 4 5 cm Resposta b
2
5
1
8
15 cm
x
Pitágoras
2 2 2x = 5 + 15 
2
x = 25 + 225 = 250
x = 250 = 5 10 cm Resposta d
5
12 
cm
R
Pitágoras
2 2 2
R = 5 + 12
2
R = 25 + 144 = 169
R = 13 cm Resposta b
x
Pitágoras
2 2 2
x = a + b
2 2 2 2 2 2
d = x + c = a + b + c
2 2 2 2
a = d - b - c
2 2 2
a = d - b - c Resposta d
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174
A B
CD
E
F
G
H
P1
11) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, o quadrado EFGH 
tem lado a, e é obtido através de uma rotação de 45º 
do quadrado ABCD em torno do centro O. Se EP = 1, 
então a mede:
a)
b)
c)
d)
e)
2
2 - 1
2
3 - 1
2
2 - 1
2
2
2
10) (FUVEST-SP) Um triângulo retângulo tem cate-
tos AB = 3 e AC = 4. No cateto AB toma-se um pon-
to P equidistante do ponto A e da reta BC. Qual é a 
distância AP ?
13) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, M é o ponto 
médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8. O 
segmento RM é perpendicular a PQ e RM 
Calcule:
a) o raio da circunferência;
b) a medida do ângulo POQ, onde O é o centro da 
circunferência.
4 3=
3
.
P
Q
R
M
O
A B
CD
d
d d
12) Na figura, o quadrado ABCD tem lado 16 cm. De-
termine a distância d entre P e A sabendo que o 
ponto P é equidistante de A, de B e da reta CD.
P
8 cm
x
24 cm
presilha
parede
tubo
parafuso
15) (ESPM-MG) Um tubo de aço foi fixado a uma pare-
de por meio de uma presilha retangular, como mostra a 
figura abaixo. A distância x, da presilha até a parede, 
vale:
a) 16 cm
b) 17 cm
c) 18 cm
d) 19 cm
e) 20 cm
A
B
C D
E
1
2
 c
m
16 cm
14) A figura abaixo representa um retângulo e três cir-
cunferências, sendo duas idênticas maiores e uma 
menor destacada. Determine o raio da circunferência 
menor, sabendo que A, B, C, D e E são pontos de 
tangência.
Jeca 100
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175
A B
CD
E
F
G
H
P1
11) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, o quadrado EFGH 
tem lado a, e é obtido através de uma rotação de 45º 
do quadrado ABCD em torno do centro O. Se EP = 1, 
então a mede:
a)
b)
c)
d)
e)
2
2 - 1
2
3 - 1
2
2 - 1
2
2
2
10) (FUVEST-SP) Um triângulo retângulo tem cate-
tos AB = 3 e AC = 4. No cateto AB toma-se um pon-
to P equidistante do ponto A e da reta BC. Qual é a 
distância AP ?
13) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, M é o ponto 
médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8. O 
segmento RM é perpendicular a PQ e RM 
Calcule:
a) o raio da circunferência;
b) a medida do ângulo POQ, onde O é o centro da 
circunferência.
4 3=
3
.
P
Q
R
M
O
A B
CD
d
d d
12) Na figura, o quadrado ABCD tem lado 16 cm. De-
termine a distância d entre P e A sabendo que o 
ponto P é equidistante de A, de B e da reta CD.
P
8 cm
x
24 cm
presilha
parede
tubo
parafuso
15) (ESPM-MG) Um tubo de aço foi fixado a uma pare-
de por meio de uma presilha retangular, como mostra a 
figura abaixo. A distância x, da presilha até a parede, 
vale:
a) 16 cm
b) 17 cm
c) 18 cm
d) 19 cm
e) 20 cm
A
B
C D
E
1
2
 c
m
16 cm
14) A figura abaixo representa um retângulo e três cir-
cunferências, sendo duas idênticas maiores e uma 
menor destacada. Determine o raio da circunferência 
menor, sabendo que A, B, C, D e E são pontos de 
tangência.
Jeca 100
A
B
C
P
E
d
d
4
3
 -
 d
3 b
a
2 2 2
Pitágoras (BC) = 3 + 4
BC = 5 cm
Semelhança de triângulos.
5d = 12 - 4d
9d = 12
d = 12/9 = 4/3 
3 - d
b
5
=
d
4
R
R - 8
12
Pitágoras
2 2 2
R = (R - 8) + 12
Resolvendo, tem-se
R = 13 cm
x = 2R - 8 = 26 - 8 = 18 cm Resposta c
1a
(Diagonal do quadrado de lado a) d = a 2
a 2 = 1 + a + 1
a 2 = a + 2
a 2 - a = 2
a = 2
2 - 1
Resposta e
16
8
16 - d
8
Pitágoras
2 2 2
d = 8 + (16 - d)
2 2
d = 64 + 256 - 32d + d
32d = 320
d = 10 cm Resposta
4
4
R
R - 
Pitágoras
2 2 2
R = 4 + (R - )
2 2
R = 16 + R - 8R 3 /3 + 16/3
R 3 = 8
R = 8 3 /3 cm Resposta
b) sen (MOQ) = 4/R = 3 /2 MOQ = 60º
Portanto POQ = 2 . MOQ = 2 . 60 = 120º Resposta
4 3
3
4 3
3
4 3
3
a)
44 4 4
R
R
 +
 4 8 - R
Pitágoras
2 2 2
(R + 4) = (8 - R) + 4
2 2
R + 8R + 16 = 64 - 16R + R + 16
24R = 64
R = 64/24 = 8/3 cm Resposta
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176
16) (FUVEST-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos de 
madeira num caminhão de largura 2,5 m, conforme a 
figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio 
da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros é:
h
a)
b)
c)
d)
e)
1 + 7
7
2
3
1 +
1 + 7
3
1 + 7
4
7
4
1 +
2,5
C
A D E
B
O
17) Na figura abaixo, determine o raio da circunferência 
sabendo que AC e AD tangenciam a circunferência 
nos pontos C e D, respectivamente, e que BE = 2 cm, e 
AE = 9 cm.
A
B C
O
18) Na figura, o triângulo isósceles ABC está inscrito 
na circunferência de centro O. A base BC mede 6 cm 
e AB = 3 10 cm. Determine o raio da circunferência.
O
P
T
A19) Na figura, a reta PT tangencia a circunferência de 
centro O, os pontos P, A e O estão alinhados e as 
distâncias PT e PA valem, respectivamente 15 cm 
e 9 cm. Determine a medida do raio da circunferência.
Jeca 101
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177
16) (FUVEST-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos de 
madeira num caminhão de largura 2,5 m, conforme a 
figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio 
da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros é:
h
a)
b)
c)
d)
e)
1 + 7
7
2
3
1 +
1 + 7
3
1 + 7
4
7
4
1 +
2,5
C
A D E
B
O
17) Na figura abaixo, determine o raio da circunferência 
sabendo que AC e AD tangenciam a circunferência 
nos pontos C e D, respectivamente, e que BE = 2 cm, e 
AE = 9 cm.
A
B C
O
18) Na figura, o triângulo isósceles ABC está inscrito 
na circunferência de centro O. A base BC mede 6 cm 
e AB = 3 10 cm. Determine o raio da circunferência.
O
P
T
A
19) Na figura, a reta PT tangencia a circunferência de 
centro O, os pontos P, A e O estão alinhados e as 
distâncias PT e PA valem, respectivamente 15 cm 
e 9 cm. Determine a medida do raio da circunferência.
Jeca 101
1 m
3/4 m
x
Pitágoras
2 2 2
1 = x + (3/4)
2 x = 1 - 9/16 = 7/16
x = 7 / 4
h = x + 1 = 1 + 7 / 4 m (resp) 
R
2
9
9 - R
R - 2
2Pitágoras
2 2 2
R = (R - 2) + (9 - R)
2 2 2
R = R - 4R + 4 + 81 - 18R + R
2
R - 22R + 85 = 0
Raízes
R = 17 cm (não convém porque é maior que 9)
R = 5 cm Resposta
3
 
 1
0
3 3
Pitágoras
2 2 2
(3 10 ) = h + 3
2
90 = h + 9
2
h = 81
h = 9 cm
Pitágoras
h
R
9 - R
2 2 2
R = 3 + (9 - R)
2 2
R = 9 + 81 - 18R + R
18R = 90
R = 5 cm Resposta
15 cm
9
R
R
Pitágoras
2 2 2
(R + 9) = R + 15
2 2
R + 18R + 81 = R + 225
18R = 144
R = 8 cm Resposta
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178
A
B CH
D
E
20) O triângulo ABC abaixo é retângulo em A, tem 
catetos AB = 12 cm, AC = 16 cm. O arco DHE tem 
centro no vértice A e tangencia a hipotenusa BC no 
ponto H. Determine a área da região sombreada na 
figura. A
B CD
21) O triângulo ABC abaixo tem lados AB, AC e BC 
que medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 10 cm. 
Determine a medida da altura AD do triângulo ABC.
A B
CD
E
22) A figura abaixo representa um quadrado de lado 
16 cm, um arco de circunferência com centro em A e 
raio AB e uma circunferência de centro em E, que 
tangencia o arco e os lados do quadrado. Determine a 
medida do raio da circunferência.
O
A
B
C D
E
23) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem 
à circunferência de centro O. Os pontos A, O, C e D 
estão alinhados. Determine a medida do raio da cir-
cunferência, sabendo que ED = 9 cm, AB = 8 cm e 
AE = 15 cm.
Jeca 102
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179
A
B CH
D
E
20) O triângulo ABC abaixo é retângulo em A, tem 
catetos AB = 12 cm, AC = 16 cm. O arco DHE tem 
centro no vértice A e tangencia a hipotenusa BC no 
ponto H. Determine a área da região sombreada na 
figura. A
B CD
21) O triângulo ABC abaixo tem lados AB, AC e BC 
que medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 10 cm. 
Determine a medida da altura AD do triângulo ABC.
A B
CD
E
22) A figura abaixo representa um quadrado de lado 
16 cm, um arco de circunferência com centro em A e 
raio AB e uma circunferência de centro em E, que 
tangencia o arco e os lados do quadrado. Determine a 
medida do raio da circunferência.
O
A
B
C D
E
23) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem 
à circunferência de centro O. Os pontos A, O, C e D 
estão alinhados. Determine a medida do raio da cir-
cunferência, sabendo que ED = 9 cm, AB = 8 cm e 
AE = 15 cm.
Jeca 102
12 16h
a
2 2 2
Pitágoras a = 12 + 16 = 144 + 256 = 400
a = 20 cm
20 . h = 16 . 12
h = 192 / 20 = 48 / 5 cm
mas h = raio do setor circular
2
S = S - S = 12 . 16 / 2 - p . (48/5) / 4Triâng Setor
2
S = (96 - 576p/25) cm (resp)
a . h = b . c
r x
r
16
AC = diagonal
AC = 16 2
EC = diagonal
EC = r 2
AC = 16 + r + r 2
16 2 = 16 + r + r 2
2
r = 16( 2 - 1) 
r = 16(3 - 2 2 ) cm (resp)
5 7
10
h
x 10 - x
Pitágoras
2 2 2 2 2
5 = h + x h + x = 25
2 2 2
7 = h + (10 - x)
2 2
49 = h + 100 - 20x + x
2 2
49 = (h + x ) - 20x + 100
49 = 25 - 20x + 100
20x = 125 - 49 = 76
x = 76/20 = 19/5
2 2
h + (19/5) = 25
2
h = 25 - 361/25 = (625 - 361)/25 = 264/25
h = 264/25 = 2 66 /5 cm Resposta
9
8 cm
7 
R R
x
Pitágoras
2 2 2
15 = 9 + x
2
x = 225 - 81 = 144
x = 12 cm
Semelhança de triângulos
2R
15
=
8
12
2R = 120/12 = 10
R = 5 cm Resposta
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geometria plana
180
01) No triângulo retângulo ABC abaixo, determine a , m , n e h.
h
m n
6 
cm
8 cm
a
A
B C
02) No triângulo retângulo abaixo, determine o valor de x, y, z e t.
x
y z
t
3 cm9 cm
03) Na figura, ABC é um triângulo retângulo em A. Sendo AB = 9 cm e AC = 12 cm, determine x, y, z e t.
A
B
C
x
y
zt
04) Determine o valor de x nos triângulos retângulos abaixo.
a)
x
7
 c
m
9 cm
13 cm
12 cm
x
x12
 cm
9 cm
b) c)
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Relações métricas num triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras.
Exercícios complementares da aula 09.
Jeca 103
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geometria plana
181
01) No triângulo retângulo ABC abaixo, determine a , m , n e h.
h
m n
6 
cm
8 cm
a
A
B C
02) No triângulo retângulo abaixo, determine o valor de x, y, z e t.
x
y z
t
3 cm9 cm
03) Na figura, ABC é um triângulo retângulo em A. Sendo AB = 9 cm e AC = 12 cm, determine x, y, z e t.
A
B
C
x
y
zt
04) Determine o valor de x nos triângulos retângulos abaixo.
a)
x
7
 c
m
9 cm
13 cm
12 cm
x
x12
 cm
9 cm
b) c)
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Relações métricas num triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras.
Exercícios complementares da aula 09.
Jeca 103
2 2 2
a = b + c
2 2
 = 8 + 6 = 100
a = 10 cm (resp)
2
b = a . n
2
c = a . m
a . h = b . c
2
8 = 10 . n
n = 64/10 = 32/5 cm (resp)
2
6 = 10 . m
m = 36/10 = 18/5 cm (resp)
10 . h = 8 . 6
h = 48/10 = 24/5 cm (resp)
x = 9 + 3 = 12 cm
2
y = 9 . 3 = 27
y = 3 3 cm
2
h = m . n
Pitágoras
2 2 2
t = y + 9 = 27 + 81 = 108
t = 108 = 6 3 cm
2
z = 12 . 3 = 36
z = 6 cm
2 2 2
a = b + c
2
b = a . n
9
12
Pitágoras
2 2 2
x = 9 + 12 = 225
x = 15 cm
2
9 = 15 . y
y = 81 / 15 = 27/5 cm
2 2 2
a = b + c
2
b = a . n
2
c = a . m
a . h = b . c
2
12 = 15 . z
z = 144 / 15 = 48 / 5 cm
15 . t = 9 . 12
t = 108 / 15 = 36 / 5 cm
Pitágoras
2 2 2
x = 7 + 9
2
x = 49 + 81 = 130
x = 130 cm Resposta
Pitágoras
2 2 2
13 = x + 12
2
x = 169 - 144 = 25
x = 5 cm Resposta
Pitágoras
2 2 2
12 = x + 9
2
x = 144 - 81 = 63
x = 3 7 cm Resposta
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182
05) No triângulo retângulo abaixo, determinar x em função de y e z.
x
y
z
06) Determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado a.
d
a a
a
a
07) Determinar a altura de um triângulo eqüilátero de lado a.
a
a a
h
08) Determine x, y e z na figura abaixo.
1 
cm
1 cm
1 cm
1 
cmx
y
z
09)( ESAN) Na figura abaixo, determine o valor de x e y.
x
y 10
14
6
10) (FUVEST-GV) Queremos desenhar no interior de um retângulo ABCD, um losango AICJ com vértice I sobre 
o lado AB do retângulo e vértice J sobre o lado CD. Se as dimensões dos lados do retângulo são AB = 25 cm e 
BC = 15 cm, calcule a medida do lado do losango.
Jeca 104
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183
05) No triângulo retângulo abaixo, determinar x em função de y e z.
x
y
z
06) Determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado a.
d
a a
a
a
07) Determinar a altura de um triângulo eqüilátero de lado a.
a
a a
h
08) Determine x, y e z na figura abaixo.
1 
cm
1 cm
1 cm
1 
cmx
y
z
09)( ESAN) Na figura abaixo, determine o valor de x e y.
x
y 10
14
6
10) (FUVEST-GV) Queremos desenhar no interior de um retângulo ABCD, um losango AICJ com vértice I sobre 
o lado AB do retângulo e vértice J sobre o lado CD. Se as dimensões dos lados do retângulo são AB = 25 cm e 
BC = 15 cm, calcule a medida do lado do losango.
Jeca 104
2 2 2
y = x + z
2 2 2
x = y - z
2 2
x = y - z (resp)
A B
CD
I
J
x
x
x
x
25 - x
1515
Pitágoras
2 2 2
x = 15 + (25 - x)
Resolvendo, tem-se
x = 17 cm (Resposta)
Pitágoras
2 2 2 2
d = a + a = 2a
2
d = 2a
d = a 2 Resposta
a/2
Pitágoras
2 2 2
a = h + (a/2)
2 2 2
h = a - (a/2)
2 2
h = 3.a /4
h = a 3 /2 Resposta
Pitágoras
2 2 2
x = 1 + 1 = 2
x = 2
2 2 2
y = x + 1 = 2 + 1 = 3
y = 3
2 2 2
z = y + 1 = 3 + 1 = 4
z = 4 = 2 Respostas
Pitágoras
2 2 2
6 = x + y
2 2
x + y = 36
2 2 2
14 = x + (y + 10)
2 2
196 = x + y + 20y + 100
196 = + 20y + 100
20y = 196 - 100 - 36 = 60 y = 3
2
x = 36 - 9 = 27 x = 3 3 Resposta
36
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184
11) (COVEST-PE) Na figura abaixo, o triângulo ABC é 
eqüilátero e cada um dos seus lados mede 8 cm. Se 
AD é uma altura do triângulo ABC e M é o ponto médio 
de AD, calcule a medida de CM em centímetros.
A
B CD
M
13) (Fuvest) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, E 
é um ponto sobre o lado AD tal que o ângulo ABE me-
de 60º e os ângulos EBC e BCD são retos. Sabe-se 
também que AB = CD = 3 e BC = 1. Determine a 
medida de AD.
A
B C
D
E
60º
3
3
1
14) (Jeca) Na figura ao lado, A, B, C e D são os pontos 
médios dos lados de um quadrado de perímetro 4. 
Determine o raio da circunferência inscrita no 
quadrado ABCD.
A
B
C
D
16) A figura abaixo representa um quadrado de lado k 
e duas circunferências interiores tangentes entre si e 
tangentes ao quadrado. Determine o raio da circun-
ferência menor em função de k.
15) No trapézio retângulo ABCD da figura abaixo, 
determine a medida da diagonal AC sabendo-se que 
AB = 10 cm, BC = 5 cm e CD = 6 cm.
A B
CD
A
BC D
12) Na figura abaixo, o ponto A é o ponto de tangência 
da reta AB com a circunferência de centro C. Sendo 
AB e BD iguais a 10 cm e 6 cm, respectivamente, 
determine a medida do raio da circunferência.
Jeca 105
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185
11) (COVEST-PE) Na figura abaixo, o triângulo ABC é 
eqüilátero e cada um dos seus lados mede 8 cm. Se 
AD é uma altura do triângulo ABC e M é o ponto médio 
de AD, calcule a medida de CM em centímetros.
A
B CD
M
13) (Fuvest) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, E 
é um ponto sobre o lado AD tal que o ângulo ABE me-
de 60º e os ângulos EBC e BCD são retos. Sabe-se 
também que AB = CD = 3 e BC = 1. Determine a 
medida de AD.
A
B C
D
E
60º
3
3
1
14) (Jeca) Na figura ao lado, A, B, C e D são os pontos 
médios dos lados de um quadrado de perímetro 4. 
Determine o raio da circunferência inscrita no 
quadrado ABCD.
A
B
C
D
16) A figura abaixo representa um quadrado de lado k 
e duas circunferências interiores tangentes entre si e 
tangentes ao quadrado. Determine o raio da circun-
ferência menor em função de k.
15) No trapézio retângulo ABCD da figura abaixo, 
determine a medida da diagonal AC sabendo-se que 
AB = 10 cm, BC = 5 cm e CD = 6 cm.
A B
CD
A
BC D
12) Na figura abaixo, o ponto A é o ponto de tangência 
da reta AB com a circunferência de centro C. Sendo 
AB e BD iguais a 10 cm e 6 cm, respectivamente, 
determine a medida do raio da circunferência.
Jeca 105
8 8
4 4
2 2 2
(AD) = 8 - 4 = 64 - 16 = 48
AD = 48 = 4 3 cm
DM = AD/2 = 2 3 cm
2 2 2
(CM) = (DM) + (CD)
2 2 2
(CM) = (2 3 ) + 4 
2
(CM) = 12 + 16 = 28
CM = 28 = 2 7 cm
 (resp)
a
tg a = 3 /1 = 3
a = 60º
Pitágoras
2 2 2
y = ( 3 ) + 1 = 4
y = 2
O triângulo ADB é retângulo
2 2 2
x = ( 3 ) + 2
Portanto x = 7 (Resposta)
= 30º
x
y
10 cm
6
R
R
Pitágoras
2 2 2
(R + 6) = R + 10
2 2
R + 12R + 36 = R + 100
12R = 64
R = 64/12 = 16/3 cm Resposta
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
2R
2R
Pitágoras
2 2 2
(2R) = (1/2) + (1/2)
2
4R = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2
2
R = 1/8
R = 1/8
R = 1 / 2 2
R = 2 /4 Resposta
6 cm
5 cm
6 4
h
Pitágoras
2 2 2
5 = 4 + h h = 3 cm
2 2 2
(AC) = 6 + 3 = 36 + 9 = 45
AC = 45 = 3 5 cm Resposta
r
r 2
r
r
k/2O
A
E
E
A
OA = (k/2) 2 (diagonal de um quadrado de lado k/2)
k/2
k 2
2
=
k
2
+ r 2r + k( 2 - 1)
2
r(1 + 2 )=
r =
k(3 - 2 2 )
2
Resposta
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186
17) As bases de um trapézio isósceles circunscrito a 
um círculo medem 8 cm e 2 cm. Calcular a altura desse 
trapézio.
8 cm
2 cm
h
18) Os raios das circunferências de centros A e B 
medem, respectivamente, 8 cm e 3 cm e a distância 
entre os centros, 13 cm. Calcule a medida de PQ, 
sendo P e Q pontos de tangência.
A
A
B
B
P
P
Q
Q
19) Os raios das circunferências de centros A e B 
medem 5 cm e 2 cm, respectivamente e a distância 
entre seus centros, 9 cm. Sendo P e Q pontos de 
tangência, calcule a distância PQ. 
20) Na figura abaixo, o lado do quadrado mede 8 cm. 
Calcule o raio da circunferência da figura, sendo T 
ponto de tangência.
O
T
22) Na figura abaixo, as quatro circunferências são 
tangentes entre si. Sendo C o centro da circunferência 
maior, A, B e D os centros das demais e AC = BC = 2, 
determine o raio da circunferência menor.
A BC
D
21) Na figura abaixo, determine o valor de x.
x
6
8
12
Jeca 106
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187
17) As bases de um trapézio isósceles circunscrito a 
um círculo medem 8 cm e 2 cm. Calcular a altura desse 
trapézio.
8 cm
2 cm
h
18) Os raios das circunferências de centros A e B 
medem, respectivamente, 8 cm e 3 cm e a distância 
entre os centros, 13 cm. Calcule a medida de PQ, 
sendo P e Q pontos de tangência.
A
A
B
B
P
P
Q
Q
19) Os raios das circunferências de centros A e B 
medem 5 cm e 2 cm, respectivamente e a distância 
entre seus centros, 9 cm. Sendo P e Q pontos de 
tangência, calcule a distância PQ. 
20) Na figura abaixo, o lado do quadrado mede 8 cm. 
Calcule o raio da circunferência da figura, sendo T 
ponto de tangência.
O
T
22) Na figura abaixo, as quatro circunferências são 
tangentes entre si. Sendo C o centro da circunferência 
maior, A, B e D os centros das demais e AC = BC = 2, 
determine o raio da circunferência menor.
A BC
D
21) Na figura abaixo, determine o valor de x.
x
6
8
12
Jeca 106
4
1
3
2 2 2
5 = 3 + h
2
h = 25 - 9 = 16
h = 4 cm (resp)
3
2
9 cm
5
2
2
d
d
Pitágoras
2 2 2
9 = 7 + d
2
d = 81 - 49 = 32
d = 4 2 cm (Resposta)
y
Pitágoras
2 2 2 2 2 6 = x + y x + y = 36
2 2 2
12 = y + (x + 8)
2 2
144 = y + x + 16x + 64
144 = 36 + 16x + 64
16x = 144 - 100
x = 44/16 = 11/4 Resposta
>
5
3 3
13 cm
x
x
Pitágoras
2 2 2
13 = 5 + x
2
x = 169 - 25 = 144
x = 12 cm Resposta
4 4
R 8 - R
R
Pitágoras
2 2 2
R = 4 + (8 - R)
2 2
R = 16 + 64 - 16R + R
16R = 80
R = 5 cm Resposta
2 2
2
R
R
4 - R
Pitágoras
2 2 2
(2 + R) = 2 + (4 - R)
2 2
4 + 4R + R = 4 + 16 - 8R + R
12R = 16
R = 16/12 = 4/3 Resposta
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geometria plana
188
10 cm
3 cm 3 cm
A
B
D
C
23) Nafigura abaixo, determine AB e AD.
20 cm
24) (Jeca) Na figura, estão representados dois 
círculos de raios 5 cm e 8 cm, tangentes entre si e 
tangentes aos lados do retângulo ABCD. Determine 
a medida do lado AD do retângulo.
A B
CD
27) Uma circunferência de raio 3 cm é inscrita num 
triângulo isósceles. Sabendo-se que a altura do 
triângulo é 8 cm, determinar as medidas dos lados 
desse triângulo e o seu perímetro.
25) Duas circunferências de raios 6 cm e 8 cm são 
tangentes externamente. Determine a medida de um 
segmento AB, sendo A e B os pontos de tangência da 
reta AB com as circunferências. 8 cm
y
7 
cm
x
26) Na figura abaixo, determine o valor de x, y e h.
A B
8
6
x
A B
C
D
E
6 6 
2
 
28) Na circunferência de centro C, AD = DB = 6 cm e 
ED = 2 cm. Determine a medida do segmento CD.
h
A
B C
Jeca 107
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geometria plana
189
10 cm
3 cm 3 cm
A
B
D
C
23) Na figura abaixo, determine AB e AD.
20 cm
24) (Jeca) Na figura, estão representados dois 
círculos de raios 5 cm e 8 cm, tangentes entre si e 
tangentes aos lados do retângulo ABCD. Determine 
a medida do lado AD do retângulo.
A B
CD
27) Uma circunferência de raio 3 cm é inscrita num 
triângulo isósceles. Sabendo-se que a altura do 
triângulo é 8 cm, determinar as medidas dos lados 
desse triângulo e o seu perímetro.
25) Duas circunferências de raios 6 cm e 8 cm são 
tangentes externamente. Determine a medida de um 
segmento AB, sendo A e B os pontos de tangência da 
reta AB com as circunferências. 8 cm
y
7 
cm
x
26) Na figura abaixo, determine o valor de x, y e h.
A B
8
6
x
A B
C
D
E
6 6 
2
 
28) Na circunferência de centro C, AD = DB = 6 cm e 
ED = 2 cm. Determine a medida do segmento CD.
h
A
B C
Jeca 107
2 2 2
10 = 6 + y 
2
y = 100 - 36 = 64
y = 8 cm
2 2 2
x = 3 + 8 
2
x = 9 + 64 = 73
x = 73 cm (resp)
xy
8
x
5
8 + 5 = 13
8 5y
8 + y + 5 = 20
y = 20 - 13 = 7
Pitágoras
2 2 2
13 = 7 + x
2
x = 169 - 49 = 120
x = 120 = 2 30
AD = 8 + x + 5
AD = (13 + 2 30 ) cm (resp) 
142
x
Pitágoras
2 2 2
14 = 2 + x
2
x = 196 - 2 = 192
x = 8 3 cm
Resposta
Pitágoras
2 2 2
(x + y) = 7 + 8 = 113
x + y = 113 cm
Relações métricas no triângulo retângulo.
2
c = a . m
2
b = a . n
2
7 = 113 . x
x = 49 . 113 / 113 cm
2
8 = 113 . y
y = 64 . 113 / 113 cm
Respostas
3
5
3
x
Pitágoras
2 2 2
5 = 3 + x
x = 4 cm
y
Semelhança de triângulos
3
y
x
8
=
3
y
4
8
=
y = 6 cm
Pitágoras
2 2 2
(AB) = 6 + 8 AB = 10 cm
AB = AC = 10 cm , BC = 2 . 6 = 12 cm
Perímetro = AB + AC + BC = 32 cm Respostas
R
R - 2
Pitágoras
2 2 2
R = (R - 2) + 6
2 2
R = R - 4R + 4 + 36
4R = 40
R = 10 cm 
CD = R - 2 = 10 - 2
CD = 8 cm Resposta
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geometria plana
190
30) A figura abaixo representa 4 circunferências de 
raio 8 cm, tangentes duas a duas e uma circunferência 
menor tangente às quatro maiores. Determinar o raio 
da circunferência menor.
29) No triângulo ABC abaixo, determine a altura h.
h
A
B C
5 
cm
2 13 cm
9 cm
A B
CD E
F
31) O retângulo ABCD da figura abaixo tem lados AB = 
40 cm e BC = 30 cm. Sendo CE = 10 cm, determinar a 
medida do segmento BF.
33) Na figura abaixo, as circunferências têm raio 10 
cm, tangenciam a reta AB nos pontos A e B, são 
tangentes entre si e tangentes ao quadrado que tem 
base na reta AB. Determine a medida do lado desse 
quadrado.
A B
34) (FUVEST) Uma folha retangular de papel com 
dimensões 6 x 8 é dobrada de modo que dois vértices 
diagonalmente opostos coincidam. Determine o 
comprimento do vinco (dobra).
6
8
32) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de 
um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus 
vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a 
de maneira que o vértice D fique sobre o “lado” AB (figu-
ra 2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a dis-
tância de A a D’.
figura 1 figura 2
A B
CD
A BD’x
 Determine a função que expressa a área do triângulo 
sombreado em função de x.
(Fazer a resolução em outro espaço)
Jeca 108
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geometria plana
191
30) A figura abaixo representa 4 circunferências de 
raio 8 cm, tangentes duas a duas e uma circunferência 
menor tangente às quatro maiores. Determinar o raio 
da circunferência menor.
29) No triângulo ABC abaixo, determine a altura h.
h
A
B C
5 
cm
2 13 cm
9 cm
A B
CD E
F
31) O retângulo ABCD da figura tem lados AB = 40 cm 
e BC = 30 cm. Sendo CE = 10 cm, determinar a medida 
do segmento BF.
33) Na figura abaixo, as circunferências têm raio 10 
cm, tangenciam a reta AB nos pontos A e B, são 
tangentes entre si e tangentes ao quadrado que tem 
base na reta AB. Determine a medida do lado desse 
quadrado.
A B
34) (FUVEST) Uma folha retangular de papel com 
dimensões 6 x 8 é dobrada de modo que dois vértices 
diagonalmente opostos coincidam. Determine o 
comprimento do vinco (dobra).
6
8
32) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de 
um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus 
vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a 
de maneira que o vértice D fique sobre o “lado” AB (figu-
ra 2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a dis-
tância de A a D’.
figura 1 figura 2
A B
CD
A BD’x
 Determine a função que expressa a área do triângulo 
sombreado em função de x.
(Fazer a resolução em outro espaço)
Jeca 108
x 9 - x
2 2 2
x + h = 5 = 25
2 2 2 2 2
(2 13 ) = h + (9 - x) = h + 81 - 18x + x 
2 2
52 = x + h - 18x + 81 = 25 - 18x + 81
18x = 54
x = 3
2 2
3 + h = 25
2
h = 25 - 9 = 16
h = 4 cm (resp)
a
a
90 - a
6
y
x
8 - 2y
8 - y 6
y
y
8 - y
A B
CD
E
F
G
6
Os triângulos AEF e ADG são congruentes pelo caso A.L.A.
2 2 2
Pitágoras (8 - y) = 6 + y
y = 7/4
O triângulo FGH é retângulo
Pitágoras
2 2 2
x = 6 + (8 - 2.7/4) = 36 + 81/4 = 225/4
 x = FG = 15/2 Resposta
yH
8
8
8 8
8
8
2r
Diagonal do quadrado de
lado 16 cm
d = 16 2 cm
Mas d = 8 + 2r + 8
 d = 16 + 2r
Então 16 2 = 16 + 2r
2r = 16 2 - 16 = 16( 2 - 1)
r = 8( 2 - 1) cm Resposta
x x
10 10 - x
10 - (x/2)
Pitágoras
2 2 2
10 = (10 - x) + [10 - (x/2)]
2
x - 24x + 80 = 0
Raízes 
x = -20 (não convém pois é maior que o raio)
x = 4 cm Resposta
x/2
Resolução na próxima página
Pitágoras
2 2 2
(BD) = (AB) + (BC)
2 2 3
(BD) = 40 + 30 
2
(BD) = 2 500
 BD = 50 cm
Semelhança de triângulos 
D ABF ~ D DEF
x
50
 - x
a
ab
b
q
q
1030
40
40
30
x
50 - x
=
2 000 - 40 x = 30 x
2 000 = 70 x
x = 2 000/70 = 200/7 cm Resposta
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192
Jeca 109
figura 2
A BD’
x
y
2
1
 -
 y
2
1
21 - y
Pitágoras
2 2 2
(21 - y) = y + x
2 2 2
441 - 42y + y = y + x
2
-42y = x - 441
2
42y = 441 - x
2
y = (441 - x ) / 42
Área do triângulo
S = b . h /2 = x . y /2
S =
x .
2
(441 - x )
42
2
=
3
441x - x
84
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193
Respostas dos exercícios da Aula 09.
01) 
 106 cm, (25 106 / 106) cm, (81 106 / 106) cm 
e (45 106 / 106) cm
02)
12 cm, 6 3 cm, 6 cm e 3 3 cm
03) 
4 cm, (9 / 4) cm, (15 / 4) cm e (25 / 4) cm
04) 69 cm
05) b
06) b
07) d
08) b
09) d
10) 4 / 3
11) e
12) 10 cm
13) 
a) 8 3 / 3
b) 120º
14) (8 / 3) cm
15) c
16) e
17) 5 cm
18) 5 cm
19) 8 cm
2
20) (96 - (576p / 25)) cm 
21) (2 66 / 5) cm
22) 16(3 - 2 2 ) cm
23) 5 cm
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.Obrigado.
 Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
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194
Respostas dos exercícios complementares da Aula 09.
01) a = 10 cm, m = 3,6 cm, n = 6,4 cm, h = 4,8 cm
02) x = 12 cm, y = 3 3 cm, z = 6 cm, t = 6 3 cm
03) x = 15 cm, y = 27/5 cm, z = 48/5 cm, t = 36/5 cm
04) a) x = 130 cm b) x = 5 cm c) x = 3 7 cm
2 2 
05) x = y - z 
06) d = a 2
07) h 
08) x = 2 cm y = 3 cm z = 2 cm
09) x = 3 3 y = 3
10) x = 17 cm
11) CM = 2 7 cm
12) r = 16 / 3 cm
13) AD = 7
14) r = 2 / 4
15) x = 3 5 cm
16) r
17) h = 4 cm
18) d = 12 cm
19) d = 4 2 cm
20) R = 5 cm
a 3
2
=
=
k(3 - 2 2 )
2
31) BF = 200 / 7 cm
32) A
33) x = 4 cm
34) d = 15 / 2
=
3
-x + 441x
84
21) x = 11 / 4
22) r = 4 / 3
23) AB = 8 cm AD = 73 cm
24) AD = (13 + 2 30 ) cm
25) AB = 8 3
26) x = 49 113 / 113 cm y = 64 113 / 113 cm
27) AB = AC = 10 cm BC = 12 cm Perím = 32 cm
28) CD = 8 cm
29) h = 4 cm
30) r = 8( 2 - 1 ) cm
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
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2
cm
Respostas dos exercícios complementares da Aula 09.
01) a = 10 cm, m = 3,6 cm, n = 6,4 cm, h = 4,8 cm
02) x = 12 cm, y = 3 3 cm, z = 6 cm, t = 6 3 cm
03) x = 15 cm, y = 27/5 cm, z = 48/5 cm, t = 36/5 cm
04) a) x = 130 cm b) x = 5 cm c) x = 3 7 cm
2 2 
05) x = y - z 
06) d = a 2
07) h 
08) x = 2 cm y = 3 cm z = 2 cm
09) x = 3 3 y = 3
10) x = 17 cm
11) CM = 2 7 cm
12) r = 16 / 3 cm
13) AD = 7
14) r = 2 / 4
15) x = 3 5 cm
16) r
17) h = 4 cm
18) d = 12 cm
19) d = 4 2 cm
20) R = 5 cm
a 3
2
=
=
k(3 - 2 2 )
2
31) BF = 200 / 7 cm
32) A
33) x = 4 cm
34) d = 15 / 2
=
3
-x + 441x
84
21) x = 11 / 4
22) r = 4 / 3
23) AB = 8 cm AD = 73 cm
24) AD = (13 + 2 30 ) cm
25) AB = 8 3
26) x = 49 113 / 113 cm y = 64 113 / 113 cm
27) AB = AC = 10 cm BC = 12 cm Perím = 32 cm
28) CD = 8 cm
29) h = 4 cm
30) r = 8( 2 - 1 ) cm
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
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geometria plana
195
I) Lei dos senos. II) Lei dos cossenos.
 Em todo triângulo, a razão entre a medida de um 
lado e o seno do ângulo oposto é constante e vale o 
dobro do raio da circunferência circunscrita ao 
triângulo.
 Em todo triângulo, a medida de qualquer lado 
depende das medidas dos outros dois lados e do 
ângulo entre eles.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R=
A
B C
R
O
Lei dos senos
=
2 2 2 x = a + b - 2.a.b.cos a
Lei dos cossenos
xa
b
a
III) Propriedades dos triângulos.
1) Em todo triângulo, ao maior lado 
opõe-se o maior ângulo e ao menor 
lado opõe-se o menor ângulo.
2) Condição de existência de um 
triângulo.
 Em todo triângulo, a medida de 
qualquer lado é menor que a soma 
e maior que a diferença das medi-
das dos outros dois lados.
3) Natureza de um triângulo.
 Quanto à natureza um triângulo 
pode ser:
a) triângulo retângulo;
b) triângulo obtusângulo;
c) triângulo acutângulo.
 Reconhecimento da natureza de 
um triângulo.
 Seja a o maior lado de um triân-
gulo de lados a, b e c.
2 2 2
- Se a = b + c triângulo 
 retângulo.
2 2 2
- Se a > b + c triângulo
 obtusângulo.
2 2 2
- Se a < b + c triângulo 
 acutângulo.
b - c < a < b + c
Condição de existência.
onde a, b e c são as medidas
dos lados do triângulo.
a
b
c
a
b
g
a < b < c a < b < g
onde a, b e c são as medidas
dos lados do triângulo.
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a 
cos (a + b) = cos a . cos b - sena . sen b
sen 2a = 2 . sen a . cos a
2 2
cos 2a = cos a - sen a
IV) Pré-requisitos de trigonometria. (Poderão ser usados em exercícios mais complexos deste capítulo)
Exercícios.
01) Dados três segmentos de medidas 12 cm, 8 cm e 15 cm, verificar a possibilidade de se construir um triân-
gulo com esses segmentos. Se for possível, determinar a natureza desse triângulo.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 10
Relações métricas num triângulo qualquer.
Jeca 112
a
bc
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196
I) Lei dos senos. II) Lei dos cossenos.
 Em todo triângulo, a razão entre a medida de um 
lado e o seno do ângulo oposto é constante e vale o 
dobro do raio da circunferência circunscrita ao 
triângulo.
 Em todo triângulo, a medida de qualquer lado 
depende das medidas dos outros dois lados e do 
ângulo entre eles.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R=
A
B C
R
O
Lei dos senos
=
2 2 2 x = a + b - 2.a.b.cos a
Lei dos cossenos
xa
b
a
III) Propriedades dos triângulos.
1) Em todo triângulo, ao maior lado 
opõe-se o maior ângulo e ao menor 
lado opõe-se o menor ângulo.
2) Condição de existência de um 
triângulo.
 Em todo triângulo, a medida de 
qualquer lado é menor que a soma 
e maior que a diferença das medi-
das dos outros dois lados.
3) Natureza de um triângulo.
 Quanto à natureza um triângulo 
pode ser:
a) triângulo retângulo;
b) triângulo obtusângulo;
c) triângulo acutângulo.
 Reconhecimento da natureza de 
um triângulo.
 Seja a o maior lado de um triân-
gulo de lados a, b e c.
2 2 2
- Se a = b + c triângulo 
 retângulo.
2 2 2
- Se a > b + c triângulo
 obtusângulo.
2 2 2
- Se a < b + c triângulo 
 acutângulo.
b - c < a < b + c
Condição de existência.
onde a, b e c são as medidas
dos lados do triângulo.
a
b
c
a
b
g
a < b < c a < b < g
onde a, b e c são as medidas
dos lados do triângulo.
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a 
cos (a + b) = cos a . cos b - sena . sen b
sen 2a = 2 . sen a . cos a
2 2
cos 2a = cos a - sen a
IV) Pré-requisitos de trigonometria. (Poderão ser usados em exercícios mais complexos deste capítulo)
Exercícios.
01) Dados três segmentos de medidas 12 cm, 8 cm e 15 cm, verificar a possibilidade de se construir um triân-
gulo com esses segmentos. Se for possível, determinar a natureza desse triângulo.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
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Aula 10
Relações métricas num triângulo qualquer.
Jeca 112
a
bc
Existência
|b - c| < a < b + c
|12 - 8| < 15 < 12 + 8
4 < 15 < 20 VerdadeiroEsse triângulo existe.
Natureza
2 2
a = 15 = 225
2 2 2 2
b + c = 12 + 8 = 144 + 64 = 208
225 > 208
2 2 2
a > b + c
Esse triângulo é obtusângulo.
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197
02) Dadas as medidas de três segmentos, verificar se é possível construir um triângulo com esses segmentos e 
determinar a natureza desse triângulo, se o mesmo existir. 
a) 8 cm, 15 cm e 17 cm. b) 8 cm, 15 cm e 16 cm.
c) 8 cm, 15 cm e 13 cm. d) 2 cm, 4 cm e 7 cm.
e) 5 cm, 8 cm e 13 cm. f) 10 cm, 11 cm e 12 cm.
h) 4 cm, 9 cm e 9 cm.g) 5 cm, 9 cm e 12 cm.
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Jeca 113
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198
02) Dadas as medidas de três segmentos, verificar se é possível construir um triângulo com esses segmentos e 
determinar a natureza desse triângulo, se o mesmo existir. 
a) 8 cm, 15 cm e 17 cm. b) 8 cm, 15 cm e 16 cm.
c) 8 cm, 15 cm e 13 cm. d) 2 cm, 4 cm e 7 cm.
e) 5 cm, 8 cm e 13 cm. f) 10 cm, 11 cm e 12 cm.
h) 4 cm, 9 cm e 9 cm.g) 5 cm, 9 cm e 12 cm.
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Jeca 113
|b - c| < a < b + c
|8 - 15| < 17 < 8 + 15
7 < 17 < 23 Verdadeiro
Esse triângulo existe
2 2
a = 17 = 289
2 2 2 2
b + c = 8 + 15 
2 2
b + c = 64 + 225 = 289
2 2 2
a = b + c 
Esse triângulo é retângulo
|b - c| < a < b + c
|8 - 15| < 16 < 8 + 15
7 < 16 < 23 Verdadeiro
Esse triângulo existe
2 2
a = 16 = 256
2 2 2 2
b + c = 8 + 15 
2 2
b + c = 64 + 225 = 289
2 2 2
a < b + c 
Esse triângulo é acutângulo
|b - c| < a < b + c
|8 - 15| < 13 < 8 + 15
7 < 13 < 23 Verdadeiro
Esse triângulo existe
2 2
a = 15 = 225
2 2 2 2
b + c = 8 + 13 
2 2
b + c = 64 + 169 = 233
2 2 2
a < b + c 
Esse triângulo é acutângulo
|b - c| < a < b + c
|2 - 4| < 7 < 2 + 4
2 < 7 < 6 Falso
Esse triângulo não existe
|b - c| < a < b + c
|5 - 8| < 13 < 5 + 8
3 < 13 < 13 Falso
Esse triângulo não existe
|b - c| < a < b + c
|10 - 11| < 12 < 10 + 11
1 < 12 < 21 Verdadeiro
Esse triângulo existe
2 2
a = 12 = 144
2 2 2 2
b + c = 10 + 11 
2 2
b + c = 100 + 121 = 221
2 2 2
a < b + c 
Esse triângulo é acutângulo
|b - c| < a < b + c
|5 - 9| < 12 < 5 + 9
4 < 12 < 14 Verdadeiro
Esse triângulo existe
2 2
a = 12 = 144
2 2 2 2
b + c = 5 + 9 
2 2
b + c = 25 + 81 = 106
2 2 2
a > b + c 
Esse triângulo é obtusângulo
|b - c| < a < b + c
|4 - 9| < 9 < 4 + 9
5 < 9 < 13 Verdadeiro
Esse triângulo existe
2 2
a = 9 = 81
2 2 2 2
b + c = 9 + 4 
2 2
b + c = 81 + 16 = 97
2 2 2
a < b + c 
Esse triângulo é acutângulo
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geometria plana
199
05) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-
dem, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medi-
da do lado AB, sabendo que a medida de AC é 8 cm.
08) Na figura abaixo, os ângulos A e B medem, res-
pectivamente 75º e 45º. O raio da circunferência 
circunscrita ao triângulo ABC mede 6 cm. Determine 
as medidas dos lados AB e AC.
A
B C
06) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-
dem, respectivamente, 60º e 45º. Determine a medi-
da do lado AC, sabendo que a medida de AB é 4 cm.
A
B C
07) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-
dem, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medi-
da do lado BC, sabendo que a medida de AC é 8 cm.
A
B C
A
B C
Jeca 114
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
04) Utilizando a lei dos cossenos, determine a natu-
reza de um triângulo de lados 10 cm, 12 cm e 16 cm.
03) Dados três segmentos de medidas 7 cm, 9 cm e 
x cm, determine o intervalo de valores que x pode as-
sumir para que exista o triângulo de lados 7, 9 e x.
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200
03) Dados os segmentos a = 7 cm, b = 9 cm e c, de-
termine o intervalo de valores que c pode assumir 
para que exista o triângulo de lados a, b e c.
05) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-
dem, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medi-
da do lado AB, sabendo que a medida de AC é 8 cm.
08) Na figura abaixo, os ângulos A e B medem, res-
pectivamente 75º e 45º. O raio da circunferência 
circunscrita ao triângulo ABC mede 6 cm. Determine 
as medidas dos lados AB e AC.
A
B C
06) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-
dem, respectivamente, 60º e 45º. Determine a medi-
da do lado AC, sabendo que a medida de AB é 4 cm.
A
B C
07) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-
dem, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medi-
da do lado BC, sabendo que a medida de AC é 8 cm.
A
B C
A
B C
Jeca 114
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
04) Utilizando a lei dos cossenos, determine a natu-
reza de um triângulo de lados 10 cm, 12 cm e 16 cm.
Condição de existência
|b - c| < a < b + c
|7 - 9| < c < 7 + 9
2 < c < 16 Resposta
Condição de existência
|b - c| < a < b + c
|10 - 12| < 16 < 10 + 12
2 < 16 < 22 (o triângulo existe)
Natureza
2 2
a = 16 = 256
2 2 2 2
b + c = 10 + 12 
2 2
b + c = 100 + 144 = 244
2 2 2
a > b + c 
Esse triângulo é obtusângulo Resposta
45º 30º
8 cmx
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
x
sen 30º
=
8
sen 45º
x
=
8
1
2
2
2
x = 4 2 cm Resposta
60º 45º
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
x
sen 60º
=
4
sen 45º
x
=
4
2
2
2
x = 2 6 cm Resposta
x4
3
x
8 cm
45º 30º
105º
8
sen 45º
=
x
sen 105º
sen 105º = sen(45º + 60º) = sen 45º.cos 60º + sen 60º.cos 45º
sen 105º =
2 + 6
4
8
=
x
2
2
2 + 6
4
x = 4( 3 + 1) cm Resposta
75º
45º
R
 =
 6
 c
m
60º
x y
x
sen 60º
=
y
sen 45º
2 . 6=
x = AB = 12 . sen 60º = 6 3 cm
y = 12 . sen 45º = 6 2 cm Respostas
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geometria plana
201
09) Na figura, os ângulos A e C medem, respectiva-
mente, 45º e 15º. Sabendo que BC = 12 cm, determi-
ne a medida do lado AC e o raio da circunferência 
circunscrita ao triângulo ABC.
10) Um triângulo ABC tem lados AB e BC que me-
dem, respectivamente, 5 cm e 7 cm. Determine a 
medida do lado AC, sabendo que o ângulo B mede 
60º.
12) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, 
determine o valor do cosseno do menor ângulo interno 
desse triângulo.
A
B C
11) Um triângulo ABC tem lados AB e BC que me-
dem, respectivamente, 6 cm e 8 cm. Determine a 
medida do lado AC, sabendo que o ângulo B mede 
120º.
13) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, 
determine o valor do cosseno do maior ângulo interno 
desse triângulo.
14) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, 
determine o valor do seno do maior ângulo interno 
desse triângulo.
Jeca 115
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geometria plana
202
09) Na figura, os ângulos A e C medem, respectiva-
mente, 45º e 15º. Sabendo que BC = 12 cm, determi-
ne a medida do lado AC e o raio da circunferência 
circunscrita ao triângulo ABC.
10) Um triângulo ABC tem lados AB e BC que me-
dem, respectivamente, 5 cm e 7 cm. Determine a 
medida do lado AC, sabendo que o ângulo B mede 
60º.
12) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, 
determine o valor do cosseno do menor ângulo interno 
desse triângulo.
A
B C
11) Um triângulo ABC tem lados AB e BC que me-
dem, respectivamente, 6 cm e 8 cm. Determine a 
medida do lado AC, sabendo que o ângulo B mede 
120º.
13) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm,determine o valor do cosseno do maior ângulo interno 
desse triângulo.
14) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, 
determine o valor do seno do maior ângulo interno 
desse triângulo.
Jeca 115
45º
15º
120º
12 cm
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
AC
sen 120º
=
12
sen 45º
2R=
AC
 3
=
12
2
2R=
22
AC = 6 6 cm (resp)
R = 6 2 cm (resp)
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
5
7
60º
x
2 2 2
x = 5 + 7 - 2 . 5 . 7 . cos 60º
2
x = 25 + 49 - 2 . 5 . 7 . 1/2
2
x = 39
x = 39 cm Resposta
5
7
8
Propriedade - Em todo triângulo, ao mai-
or lado opõe-se o maior ângulo e ao me-
nor lado opõe-se o menor ângulo.
a
2 2 2
5 = 7 + 8 - 2 . 7 . 8 . cos a
25 - 49 - 64 = -112 cos a
cos a = 11/14 Resposta
A
B C
120º
6
8 cm
x
2 2 2
x = 6 + 8 - 2 . 6 . 8 . cos 120º
2
x = 36 + 64 - 2 . 6 . 8 . (-0,5)
2
x = 148
x = 2 37 cm Resposta
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
5
7
8
Propriedade - Em todo triângulo, ao mai-
or lado opõe-se o maior ângulo e ao me-
nor lado opõe-se o menor ângulo.
a
2 2 2
8 = 7 + 5 - 2 . 7 . 5 . cos a
64 - 49 - 25 = -70 cos a
cos a = 1/7 Resposta
5
7
8
a
 Do exercício anterior, tem-se que
cos a = 1/7
2 2
sen a + cos a = 1
2 2
sen a + (1/7) = 1
sen a = 4 3 /7 Resposta
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geometria plana
203
15) Na figura, o triângulo ABC tem lados AB, AC e 
BC que medem, respectivamente, 5 cm, 10 cm e 9 cm. 
Determine a medida da mediana relativa ao lado AC.
A
B C
16) Determine o raio da circunferência circunscrita ao 
triângulo de lados que medem 4 cm, 5 cm e 6 cm.
18) (Fuvest) As páginas de um livro medem 1 dm de
 base e 1 + 3 dm de altura. O livro é parcialmente 
aberto, de tal forma que o ângulo entre duas páginas é 
60º. Determinar o ângulo formado pelas diagonais das 
duas páginas.
a
60º
Jeca 116
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
17) Dados os segmentos a = 6 cm, b = 9 cm e c, de-
termine o intervalo de valores que c pode assumir 
para que o triângulo de lados a, b e c exista e seja 
um triângulo acutângulo.
(GeoJeca)
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geometria plana
204
M
5
5
9
5
a
d
Lei dos cossenos.
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a 
2 2 2
No DABC, tem-se 9 = 5 + 10 - 2 . 5 . 10 . cos a 
cos a = (81 - 125) / (-100)
cos a = -44 / (-100) = 11/25
2 2 2
No DABM, tem-se d = 5 + 5 - 2 . 5 . 5 . cos a 
2
d = 25 + 25 - 50 . 11/25 = 50 - 22 = 28
d = 28 = 2 7 cm (resp)
Condição de existência
|b - c| < a < b + c
|6 - 9| < c < 6 + 9
3 < c < 15
Natureza
Considerando 9 como sendo o maior lado, tem-se
2 2 2 9 < c + 6
2
81 - 36 < c
2
c > 45
c > 3 5
Considerando c como sendo o maior lado, tem-se
2 2 2
c < 9 + 6 = 81 + 36 = 117
c < 117 = 3 13
Portanto 
3 5 < c < 3 13 Resposta
1
1 + 3
1
 +
 
 3
1
1 1
y
Pitágoras
2 2 2
y = 1 + ( )
2
y = 1 + 1 + 3
2
y = 2 + 3
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
No exercício
x = 1
a = b = y
2 2 2
1 = y + y - 2 . y . y . cos a
1 = 2 + 3 + 2 + 3 - 2 . (2 + 3 ).cos a
1 - 4 - 2 3 = -2 . (2 + 3 ).cos a
-(3 + 2 3 ) = -2 . (2 + 3 ).cos a
cos a =
-(3 + 2 3 )
-2 . (2 + 3 )
=
3
2
a = 30º Resposta
4 5
6
a
2 2 2
5 = 4 + 6 - 2 . 4 . 6 . cos a
cos a = 9/16
2 2
sen a + cos a = 1
2 2
sen a + (9/16) = 1
sen a = 5 7 /16 
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
5
sen a
2R=
5 2R=
5 7
4
R =
8
7
8 7
=
7
cm Resposta
15) Na figura, o triângulo ABC tem lados AB, AC e 
BC que medem, respectivamente, 5 cm, 10 cm e 9 cm. 
Determine a medida da mediana relativa ao lado AC.
16) Determine o raio da circunferência circunscrita ao 
triângulo de lados que medem 4 cm, 5 cm e 6 cm.
18) (Fuvest) As páginas de um livro medem 1 dm de
 base e 1 + 3 dm de altura. O livro é parcialmente 
aberto, de tal forma que o ângulo entre duas páginas é 
60º. Determinar o ângulo formado pelas diagonais das 
duas páginas.
a
60º
Jeca 116
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
17) Dados os segmentos a = 6 cm, b = 9 cm e c, de-
termine o intervalo de valores que c pode assumir 
para que o triângulo de lados a, b e c exista e seja 
um triângulo acutângulo.
(GeoJeca)
A
B C
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205
19) Dado um triângulo de lados 4 cm, 5 cm e 6 cm, 
determine a altura desse triângulo relativa ao maior 
lado.
20) Em um triângulo acutângulo de lados AB = 5 cm e 
AC = 7 cm, a projeção ortogonal do lado AC sobre o 
lado AB mede 1 cm. Determine a medida do lado 
BC desse triângulo.
21) Um navio, deslocando-se em linha reta, visa um 
farol e obtém a leitura de 30º para o ângulo formado 
entre a sua trajetória e a linha de visada do farol. 
Após navegar 20 milhas, através de uma nova visada 
ao farol, obtém a leitura de 75º. Determine a 
distância entre o farol e o navio no instante em que fez 
a 2ª leitura.
22) Para medir a distância entre dois pontos, A e B, 
em margens distintas de um precipício, um engenhei-
ro, que estava na mesma margem que o ponto A, 
adotou um segmento AC = 300 m. Através de um 
teodolito, obteve os ângulos BAC = 58º e BCA = 67º. 
Com uma calculadora científica obteve os valores de 
sen 67º = 0,9205 e sen 55º = 0,8192. Com base 
nesses valores, determine a distância AB, calculada 
pelo engenheiro.
precipício
margem B
margem A
B
A
C300 m
58º 67º
Jeca 117
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206
19) Dado um triângulo de lados 4 cm, 5 cm e 6 cm, 
determine a altura desse triângulo relativa ao maior 
lado.
20) Em um triângulo acutângulo de lados AB = 5 cm e 
AC = 7 cm, a projeção ortogonal do lado AC sobre o 
lado AB mede 1 cm. Determine a medida do lado 
BC desse triângulo.
21) Um navio, deslocando-se em linha reta, visa um 
farol e obtém a leitura de 30º para o ângulo formado 
entre a sua trajetória e a linha de visada do farol. 
Após navegar 20 milhas, através de uma nova visada 
ao farol, obtém a leitura de 75º. Determine a 
distância entre o farol e o navio no instante em que fez 
a 2ª leitura.
22) Para medir a distância entre dois pontos, A e B, 
em margens distintas de um precipício, um engenhei-
ro, que estava na mesma margem que o ponto A, 
adotou um segmento AC = 300 m. Através de um 
teodolito, obteve os ângulos BAC = 58º e BCA = 67º. 
Com uma calculadora científica obteve os valores de 
sen 67º = 0,9205 e sen 55º = 0,8192. Com base 
nesses valores, determine a distância AB, calculada 
pelo engenheiro.
precipício
margem B
margem A
B
A
C300 m
58º 67º
Jeca 117
4
5
6 cm
h
A
B CD
Lei dos cossenos.
2 2 2
5 = 4 + 6 - 2 . 4 . 6 . cos a
25 - 16 - 36 = -48 cos a
cos a = -27 / (-48) = 9 / 16
2 2
Relação fundamental sen a + cos a = 1
2 2
sen a = 1 - (9/16) = (256 - 81)/256 = 175/256
sen a = 5 7 /16
No DABD, tem-se sen a = h/4
5 7 /16 = h/4
Portanto h = 5 7 /4cm (resp)
a
55ºx
Lei dos senos
x
sen 67º
300
sen 55º
=
x
0,9205
300
0,8192
=
x = 300 . 0,9205 / 0,8192
x = 337 m Resposta
A
B C
1
4
7 cm
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
x
a
cos a =
ca
hip
1
7
=
2 2 2
x = 7 + 5 - 2 . 7 . 5 . cos a
2
x = 49 + 25 - 2 . 7 . 5 . 1/7 = 64
x = 8 cm Resposta
Farol
d
20 milhas
75º30º
105º
Lei dos senos
d
sen 30º
20
sen 45º
=
d 20
=
45º
1 2
22
d = 10 2 milhas Resposta
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geometria plana
207
01) Dadas as medidas de três segmentos, verificar se é possível construir um triângulo com esses segmentos e 
determinara natureza desse triângulo, se o mesmo existir. 
a) 6 cm, 8 cm e 10 cm. b) 6 cm, 8 cm e 9 cm.
c) 6 cm, 8 cm e 12 cm. d) 6 cm, 8 cm e 15 cm.
e) 9 cm, 5 cm e 12 cm. f) 12 cm, 5 cm e 13 cm.
h) 14 cm, 12 cm e 13 cm.g) 3 cm, 4 cm e 7 cm.
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Relações métricas num triângulo qualquer.
Exercícios complementares da aula 10.
Jeca 118
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208
01) Dadas as medidas de três segmentos, verificar se é possível construir um triângulo com esses segmentos e 
determinar a natureza desse triângulo, se o mesmo existir. 
a) 6 cm, 8 cm e 10 cm. b) 6 cm, 8 cm e 9 cm.
c) 6 cm, 8 cm e 12 cm. d) 6 cm, 8 cm e 15 cm.
e) 9 cm, 5 cm e 12 cm. f) 12 cm, 5 cm e 13 cm.
h) 14 cm, 12 cm e 13 cm.g) 3 cm, 4 cm e 7 cm.
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Relações métricas num triângulo qualquer.
Exercícios complementares da aula 10.
Jeca 118
|b - c| < a < b + c
|6 - 8| < 10 < 6 + 8
2 < 10 < 14 verdadeiro
Esse triângulo existe.
2 2
a = 10 = 100
2 2 2 2
b + c = 6 + 8 = 36 + 64 
2 2
b + c = 100
2 2 2
a = b + c 
Esse triângulo é retângulo.
|b - c| < a < b + c
|6 - 8| < 9 < 6 + 8
2 < 9 < 14 verdadeiro
Esse triângulo existe.
2 2
a = 9 = 81
2 2 2 2
b + c = 6 + 8 = 36 + 64 
2 2
b + c = 100
2 2 2
a < b + c 
Esse triângulo é acutângulo.
|b - c| < a < b + c
|6 - 8| < 12 < 6 + 8
2 < 12 < 14 verdadeiro
Esse triângulo existe.
2 2
a = 12 = 144
2 2 2 2
b + c = 6 + 8 = 36 + 64 
2 2
b + c = 100
2 2 2
a > b + c 
Esse triângulo é obtusângulo.
|b - c| < a < b + c
|6 - 8| < 15 < 6 + 8
2 < 15 < 14 falso
Esse triângulo nãoexiste.
|b - c| < a < b + c
|9 - 5| < 12 < 9 + 5
4 < 12 < 14 verdadeiro
Esse triângulo existe.
2 2
a = 12 = 144
2 2 2 2
b + c = 9 + 5 = 81 + 25 
2 2
b + c = 106
2 2 2
a > b + c 
Esse triângulo é obtusângulo.
|b - c| < a < b + c
|12 - 5| < 13 < 12 + 5
7 < 13 < 17 verdadeiro
Esse triângulo existe.
2 2
a = 13 = 169
2 2 2 2
b + c = 12 + 5 = 144 + 25 
2 2
b + c = 169
2 2 2
a = b + c 
Esse triângulo é retângulo.
|b - c| < a < b + c
|3 - 4| < 7 < 3 + 4
1 < 7 < 7 falso
Esse triângulo não existe.
|b - c| < a < b + c
|14 - 12| < 13 < 14 + 12
2 < 13 < 26 verdadeiro
Esse triângulo existe.
2 2
a = 14 = 196
2 2 2 2
b + c = 12 + 13 = 144 + 169 
2 2
b + c = 313
2 2 2
a < b + c 
Esse triângulo é acutângulo.
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209
02) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
30º
10 cm
8 c
m x
45º
8 
cm
9 cm
x
60º
14 cm
9 
cm
x
6
 c
m
9 cm
x
6 cm
9 cm
x
120º
8 cm
10 cm
x
135º
A
B C11 cm
8 cm
6 
cm
a
09) No triângulo ABC abaixo, determine o valor de 
cos a.
03) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
04) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
05) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
06) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
07) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
08) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
150º
8 c
m
x
8 cm
Jeca 119
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210
02) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
30º
10 cm
8 c
m x
45º
8 
cm
9 cm
x
60º
14 cm
9 
cm
x
6
 c
m
9 cm
x
6 cm
9 cm
x
120º
8 cm
10 cm
x
135º
A
B C11 cm
8 cm
6 
cm
a
09) No triângulo ABC abaixo, determine o valor de 
cos a.
03) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
04) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
05) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
06) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
07) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
08) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
150º
8 c
m
x
8 cm
Jeca 119
Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2 . a . b . cos a
2 2 2
x = 8 + 10 - 2 . 8 . 10 . 3 / 2
2
x = 64 + 100 - 80 3
x = 2 (41 - 20 3 ) cm (resp)
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2 2 2
x = 8 + 9 - 2 . 8 . 9 . cos 45º
2
x = 64 + 81 - 2 . 8 . 9 .
2
x = 145 - 72 2
x = 145 - 72 2 cm Resposta
2
2
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2 2 2
x = 9 + 14 - 2 . 9 . 14 . cos 60º
2
x = 81 + 196 - 2 . 9 . 14 .
2
 x = 151
x = 151 cm Resposta
1
2
Pitágoras
2 2 2
x = 6 + 9 = 117
x = 117 = 3 13 cm 
 Resposta
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2 2 2
x = 6 + 9 - 2 . 6 . 9 . cos 120º
2
x = 36 + 81 - 2 . 6 . 9 . (-0,5) = 171 
x = 171 = 3 19 cm Resposta
2 2 2
x = 8 + 10 - 2 . 8 . 10 . cos 135º
2
x = 64 + 100 - 2 . 8 . 10 . ( - )
2
x = 164 + 80 2 = 4(41 + 20 2 )
x = 2 41 + 20 2 cm Resposta
2
2
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2 2 2
x = 8 + 8 - 2 . 8 . 8 . cos 150º
2
x = 64 + 64 - 2 . 64 . (- 3 )
2
x = 128 + 64 3 = 64 (2 + 3 ) 
x = 8 2 + 3 cm Resposta 
2
2 2 211 = 6 + 8 - 2 . 6 . 8 . cos a
121 - 36 - 64 = - 96.cos a
21 = - 96.cos a
cos a = -21/96 = -7/32 Resposta
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211
11) No triângulo ABC abaixo, sendo AB = 7 cm, BC = 8 
cm e AC = 9 cm, determinar a medida da mediana AM, 
relativa ao lado BC.
10) No triângulo ABC abaixo, determinar o cos a e 
cos b.
10 cm
8 cm
5 
cm
b
a g
A
B CM
12) No triângulo ABC abaixo, determinar o valor de 
cos a, sen a e tg a.
a
12 cm6 cm
8 cm
14) Na figura abaixo, determine :
a) o cosseno do ângulo a.
b) a medida do segmento AD.
A
B C
D
a
6 cm 4 cm
5 
cm
8 cm
15) (Jeca) Na figura ao lado, as três circunferências 
maiores têm raio 1 cm, tangenciam-se entre si e 
tangenciam uma circunferência menor. Determine o 
raio da circunferência menor.
13) No triângulo ABC abaixo, o ponto M é medio do 
segmento BC. Sa bendo que AB = 6 cm, BC = 10 cm 
e AC = 13 cm, determine :
a) o cosseno do ângulo B.
b) a medida da mediana AM.
M
A
BC
Jeca 120
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212
11) No triângulo ABC abaixo, sendo AB = 7 cm, BC = 8 
cm e AC = 9 cm, determinar a medida da mediana AM, 
relativa ao lado BC.
10) No triângulo ABC abaixo, determinar o cos a e 
cos b.
10 cm
8 cm
5 
cm
b
a g
A
B CM
12) No triângulo ABC abaixo, determinar o valor de 
cos a, sen a e tg a.
a
12 cm6 cm
8 cm
14) Na figura abaixo, determine :
a) o cosseno do ângulo a.
b) a medida do segmento AD.A
B C
D
a
6 cm 4 cm
5 
cm
8 cm
15) (Jeca) Na figura ao lado, as três circunferências 
maiores têm raio 1 cm, tangenciam-se entre si e 
tangenciam uma circunferência menor. Determine o 
raio da circunferência menor.
13) No triângulo ABC abaixo, o ponto M é medio do 
segmento BC. Sa bendo que AB = 6 cm, BC = 10 cm 
e AC = 13 cm, determine :
a) o cosseno do ângulo B.
b) a medida da mediana AM.
M
A
BC
Jeca 120
2 2 2
8 = 5 + 10 - 2 . 5 . 10 . cos a
cos a = (64 - 25 - 100) / (-100) = -61 / (-100)
cos a = 61/100 (resp)
2 2 2
10 = 5 + 8 - 2 . 5 . 8 . cos b
cos b = (100 - 25 - 64) / (-80)
cos b = 11 / (-80) = -11 / 80 (resp)
Lei dos cossenos.
2 2 2
12 = 6 + 8 - 2 . 6 . 8 . cos a
cos a = (144 - 36 - 64) / (-96)
cos a = 44 / (-96) = -11 / 24 (resp)
Relação fundamental da trigonometria
2 2 sen a + cos a = 1
2 2
sen a + (-11 / 24) = 1
sen a = 455 / 24 (resp)
tg a = sen a / cos a = ( 455 / 24) / (-11 / 24)
tg a = - 455 / 11 (resp)
4 4
9
7
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
q
2 2 2
9 = 7 + 8 - 2 . 7 . 8 . cos q
cos q = 2/7
No D ABM , tem-se
2 2 2
x = 7 + 4 - 2 . 7 . 4 . cos q
2 2 2
x = 7 + 4 - 2 . 7 . 4 . 2/7
2x = 49
x = 7 cm Resposta
x
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2 2 2
13 = 6 + 10 - 2 . 6 . 10 . cos q
cos q = -11/40
No D ABM , tem-se
2 2 2
x = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . cos q
2 2 2
x = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . (-11/40)
2
x = 61 + 33/2 = 155/2 = 310/4
x = 310 / 2 cm Resposta
y
5 5
6
13
q
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
y
2 2 2
8 = 5 + 10 - 2 . 5 . 10 . cos a
cos a = 61/100
No D ABD , tem-se
2 2 2
y = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . cos a
2
y = 25 + 36 - 60 . 61/100 = 488/5 
y = 122/5 = 610 / 5 cm Resposta
12
0º
1 +
 r
1
1
1 + r
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2 2 2
2 = (1 + r) + (1 + r) - 2 . (1 + r) . (1 + r) . cos 120º
2
3r + 6r - 1 = 0
r =
2 3 - 3
3
cm Resposta
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213
18) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
45º30º
A
B C
8 cmx
60º
75º
12 cmx
A
B C
120º
45º
x16 cm
A
B C
R
 =
 8
 c
m
x
45º
O
x
x45º 45º
1
2
 c
m
1
2
 c
m
6 6 cm
19) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
20) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
21) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
22) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
23) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
6 6 cm
60º
x
10 cm
79 cm
16) Na figura abaixo, encontre o valor de x. Cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
17) Na figura abaixo, encontre o valor de x. Cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
120º
14 cm
10 cm
x
Jeca 121
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214
18) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
45º30º
A
B C
8 cmx
60º
75º
12 cmx
A
B C
120º
45º
x16 cm
A
B C
R
 =
 8
 c
m
x
45º
O
x
x45º 45º
1
2
 c
m
1
2
 c
m
6 6 cm
19) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
20) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
21) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
22) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
23) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
6 6 cm
60º
x
10 cm
79 cm
16) Na figura abaixo, encontre o valor de x. Cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
17) Na figura abaixo, encontre o valor de x. Cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
120º
14 cm
10 cm
x
Jeca 121
Lei dos cossenos.
2 2 2
x = a + b - 2 . a . b . cos a
No exercício
x = 14
a = x
2 2 2
14 = x + 10 - 2 . x . 10 . (-1/2)
2
196 = x + 100 + 10x
2
x + 10x - 96 = 0
Resolvendo a equação do 2º grau, tem-se
x = -16 cm ou x = 6 cm (resp)
cos 120º
Lei dos cossenos.
2 2 2
x = a + b - 2 . a . b . cos a
No exercício
x = 79
a = x
2 2 2
( 79 ) = x + 10 - 2 . x . 10 . cos 60º
2
x - 10x + 21 = 0
Resolvendo, tem-se
x = 7 cm
ou
x = 3 cm Resposta
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
x
sen 45º
=
8
sen 30º
x
=
8
2 2
2 1
x = 8 2 cm Resposta
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
x
sen 45º
=
12
sen 60º
x
=
2
2
x = 4 6 cm Resposta
45º
12
2
3
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
16
sen 45º
=
x
sen 120º
=
2
2
x = 8 6 cm Resposta
16 x
2
3
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
x 2 . 8 = 16=
2
2
x = 8 2 cm Resposta
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
12
sen 45º
=
6 6
sen x
=
2
2
12 6 6
sen x
sen x =
2
3
x = 60º ou x = 120º Resposta
y
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
12
sen 45º
=
6 6
sen y
sen y =
2
3
Portanto y = 60º ou y = 120º
Se y = 60º, então
x + 60 + 45 = 180
x = 75º
Se y = 120º, então
x + 120 + 45 = 180
x = 15º
x = 15º ou x = 75º Resposta
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215
24) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da 
circunferência circunscrita ao triângulo.
A
B C
60º 45º
x
8
 c
m
AB
C
30º 120º
12 cm
x
30º
105º
x
20 cm
30º
118
º
x
20 
cm
sen 118º = 0,88
25) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da 
circunferência circunscrita ao triângulo.
28) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da 
circunferência circunscrita ao triângulo.
29) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da 
circunferência circunscrita ao triângulo.
7 cmx
120º
135º
y
z
3 cm
5 cm
30º
26) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
27) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
12 cm
30
º
x
15º
30º
18 cm
x
30) Na figura abaixo, determine as medidas de x, y e z.
Jeca 122
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216
24) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da 
circunferência circunscrita ao triângulo.
A
B C
60º 45º
x
8
 c
m
AB
C
30º 120º
12 cm
x
30º
105º
x
20 cm
30º
118
º
x
20 
cm
sen 118º = 0,88
25) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da 
circunferência circunscrita ao triângulo.
28) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da 
circunferência circunscrita ao triângulo.
29) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da 
circunferência circunscrita ao triângulo.
7 cmx
120º
135º
y
z
3 cm
5 cm
30º
26) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
27) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
12 cm
30
º
x
15º
30º
18 cm
x
30) Na figura abaixo, determine as medidas de x, y e z.
Jeca 122
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
x
sen 60º
=
8
sen 45º
2R=
x
=
8 2R=
3
2 2
2
x =
8 3
2
=
8 6
2
= 4 6 cm (resp)
8 2R=
2
2
> R = 4 2 cm (resp)
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen Bc
sen C
2R= =
x
sen 30º
=
12
sen 120º
x
=
12
1
2 2
3
30º
x =
12 3
3
cm Resposta= 4 3
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
12
sen 30º
2R=
12 2R=
1
2
2R = 24 
R = 12 cm Resposta
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
135
º
x
sen 135º
=
18
sen 30º
x
=
18
1
22
2
x = 18 2 cm Resposta
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
20
sen 45º
=
x
sen 30º
x
=
1
22
2
x = 10 2 cm Resposta
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
20
sen 118º
=
x
sen 30º
x
=
1
2
x = 11,36 cm Resposta
45º
20
0,88
20
Pitágoras
2 2 3
7 = x + 3
x = 2 10 cm
Lei dos cossenos
2 2 2
y = 7 + 5 - 2 . 7 . 5 . cos 120º
2
y = 49 + 25 - 70 . (- 0,5)
2
y = 49 + 25 + 35 = 109
y = 109 cm
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
y
sen 135º
=
z
sen 30º
z
=
1
22
2
109
 2 . 109 z =
2
=
218
2
cm
 Resposta
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217
A
B C
D
E
F
G
H J
L
33) (Ibmec- SP) Na figura abaixo, suponha que as 
medidas dos segmentos BC, BD, CF, BG e CG sejam 
todas iguais a 2 e que CF e BD sejam, respectiva-
mente, as bissetrizes dos ângulos BCE e CBG.
a) Determine a medida do segmento BE.
b) Calcule sen 75º (Sugestão: 75º = 45º + 30º)
c) Determine a medida do segmento BF.
32) Dado um triângulo de lados 4, 5 e 6, com 
ângulos internos a, b e c, prove que a = 2b.
4
5
6
a
bc
34) (ITA-SP) No quadrilátero ABCD da figura abai-
xo, temos BC = CD. Então podemos garantir que:
a
b
g
q
A
B
C
D
a)
b) g . b = a . q
c) tg a = tg g
2
d) (BC) = AD . BD
e) tg a . tg b = tg g . tg q
sen b =
sen a
sen q
sen g
Jeca 123
A
B
C
D
E
31) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, 
AB = BC = CD = DE = 2 e ABC = BCD = 2p / 3 e
CDE = p / 2. Calcule a distância entre os pontos A e E.
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218
A
B C
D
E
F
G
H J
L
33) (Ibmec- SP) Na figura abaixo, suponha que as 
medidas dos segmentos BC, BD, CF, BG e CG sejam 
todas iguais a 2 e que CF e BD sejam, respectiva-
mente, as bissetrizes dos ângulos BCE e CBG.
a) Determine a medida do segmento BE.
b) Calcule sen 75º (Sugestão: 75º = 45º + 30º)
c) Determine a medida do segmento BF.
32) Dado um triângulo de lados 4, 5 e 6, com 
ângulos internos a, b e c, prove que a = 2b.
4
5
6
a
bc
34) (ITA-SP) No quadrilátero ABCD da figura abai-
xo, temos BC = CD. Então podemos garantir que:
a
b
g
q
A
B
C
D
a)
b) g . b = a . q
c) tg a = tg g
2
d) (BC) = AD . BD
e) tg a . tg b = tg g . tg q
sen b =
sen a
sen q
sen g
Jeca 123
A
B
C
D
E
31) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, 
AB = BC = CD = DE = 2 e ABC = BCD = 2p / 3 e
CDE = p / 2. Calcule a distância entre os pontos A e E.
2
2 2
2
120º
x y
d
30º 45º
45º
2 2 2
Pitágoras y = 2 + 2
y = 8 = 2 2 
Lei dos cossenos.
2 2 2
x = 2 + 2 - 2 . 2 . 2 . (-1/2)
2
x = 12
x = 2 3 
Lei dos cossenos.
2 2 2
d = x + y - 2 . x . y . cos 45º
2 2 2
d = (2 3 ) + (2 2 ) - 2 . 2 3 . 2 2 . 2 / 2
2
d = 20 - 8 3
d = 2 5 - 2 3 (resp)
30º
30º
15
º
30º
30º
45º
D BCF é isósceles
Portanto BFC = FBC = 75º
No D BCE, tem-se
B = 75º , C = 60º , E = 45º
a) Lei dos senos
Portanto BE = 6 Resposta
b) sen 75º = sen(30º + 45º) = 
= sen 30º.cos 45º + sen 45º.cos 30º
 sen 75º Resposta
2
sen 45º
= BE
sen 60º
=
2 + 6
4
c) Lei dos cossenos no D BCF
2 2 2
(BF) = 2 + 2 - 2 . 2 . 2 . cos 30º
BF = 2 2 - 3 Resposta
c) Pela Lei dos senos
2
sen 75º =
BF
sen 30º
Resolvendo, tem-se BF = 6 - 2 Resposta
Observação - 2 2 - 3 = 6 - 2 (mesma resposta)
Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2 a b cos a
2 2 2
6 = 4 + 5 - 2 . 4 . 5 . cos a cos a =
1
8>
2 2 2
4 = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . cos b cos b = 3
4
2 2
sen b + cos b = 1 sen b = 7
4
2 2cos 2b = cos b - sen b = 9
16
7 2 1
8
=
cos a = cos 2b = 
>
>
16 16
=
1
8
Portanto a = 2b
x
x
y
No D ABC , tem-se pela Lei dos senos
x
sen a =
y
sen b
No D ADC , tem-se pela Lei dos senos
Portanto 
sen g sen q
x
=
y
= sen b
sen ax
y
= sen q
sen gx
y
sen b
sen a
= sen q
sen g
Resposta a
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219
Respostas dos exercícios da Aula 10.
01) existe e é obtusângulo
02)
a) triângulo retângulo
b) triângulo acutângulo
c) triângulo acutângulo
d) não existe o triângulo
e) não existe o triângulo
f) triângulo acutângulo
g) triângulo obtusângulo
h) triângulo acutângulo
03) S = {c c R I 2 < c < 16 }
04) triângulo obtusângulo
05) 4 2 cm
06) 2 6 cm
07) 4( 3 + 1) cm
08) 6 3 cm e 6 2 cm
09) 6 6 cm e 6 2 cm
10) 39 cm
11) 2 37 cm
12) 11 / 14
13) 1 / 7
14) 4 3 / 7
15) 2 7 cm
16) (8 7 / 7) cm
17) S = { c | 3 5 < c < 3 13 }
18) 30º
19) (5 7 / 4) cm
20) 8 cm
21) 10 2 milhas
22) 337 metros
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 124
R
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220
Respostas dos exercícios complementares da Aula 10.
01) 
a) triângulo retângulo
b) triângulo acutângulo
c) triângulo obtusângulo
d) não existe
e) triângulo obtusângulo
f) triângulo retângulo
g) não existe
h) triângulo acutângulo
2) 2 41 - 20 3 cm
3) 145 - 72 2 cm
4) 151 cm
5) 117 = 3 13 cm
6) 171 = 3 19 cm
7) 2 41 + 20 2 cm
8) 8 2 + 3 cm
9) -7 / 32
10) cos a = 61 / 100 cos b = -11 / 80
11) 7 cm
12) cos a = -11 / 24 sen a = tg a = 
13) 
a) -11 / 40 
b) 310
14) 
a) 61 / 100 
b) 610 cm
455
24
455
11
2
5
15) (2 3 - 3 / 3) cm
16) 6 cm
17) 3 cm ou 7 cm
18) 8 2 cm
19) 4 6 cm
20) 8 6 cm
21) 8 2 cm
22) 60º ou 120º
23) 15º ou 75º
24) x = 4 6 cm e R = 4 2 cm
25) 4 3 cm
26) 12 cm
27) 18 2 cm
28) 10 2 cm
29) 11,36 cm
30) x = 2 10 cm y = 109 cm z cm
31) 2 5 - 2 3
32) demonstração abaixo
33) 
a) 6
b) ( 2 + 6 ) / 4
c) 6 - 2
34) a
=
218
2
4
5
6
a
bc
Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2 a b cos a
2 2 2
6 = 4 + 5 - 2 . 4 . 5 . cos a cos a =
1
8>
2 2 2
4 = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . cos b cos b = 3
4
2 2sen b + cos b = 1 sen b = 7
4
2 2cos 2b = cos b - sen b = 9
16
7 2 1
8
=
cos a = cos 2b = 
Resolução.
32)
>
>
16 16
=
1
8 Portanto a = 2b
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221
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 11
Circunferência e círculo.
I) Elementos da circunferência.
A
B
C
D
r
r
r
a
P
C - centro da circunferência
AC = r - raio da circunferência
AB = 2r - diâmetro da circunferência
ACD = a - ângulo central
APD - arco da circunferência
AD - corda da circunferência
Dados sobre a circunferência (ou sobre o círculo)
c = 2pr - perímetro ou comprimento da circunferência.
2
S = p r - área do círculo.
360º - abertura, em graus, de uma voltacompleta na circunferência.
2p rad - abertura, em radianos, de uma volta completa na circunferência.
II) Exercícios.
01) Determinar o perímetro e a área de um círculo de 
raio 7 m.
02) Determinar o diâmetro e a área de um círculo cujo 
perímetro mede 36p cm.
03) A roda de um automóvel tem um diâmetro que 
mede 50 cm. Determine a distância percorrida por 
esse veículo após uma de suas rodas completar 1750 
voltas. Adotar p = 3,14 e supor que a roda não 
deslize durante a rolagem.
04) Determine quantas voltas por segundo deve dar 
cada roda de um automóvel na velocidade linear 
constante de 31,4 m/s, sabendo que o raio de cada 
roda é 25 cm e que a roda não desliza durante a 
rolagem. (adotar p = 3,14)
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222
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 11
Circunferência e círculo.
I) Elementos da circunferência.
A
B
C
D
r
r
r
a
P
C - centro da circunferência
AC = r - raio da circunferência
AB = 2r - diâmetro da circunferência
ACD = a - ângulo central
APD - arco da circunferência
AD - corda da circunferência
Dados sobre a circunferência (ou sobre o círculo)
c = 2pr - perímetro ou comprimento da circunferência.
2
S = p r - área do círculo.
360º - abertura, em graus, de uma volta completa na circunferência.
2p rad - abertura, em radianos, de uma volta completa na circunferência.
II) Exercícios.
01) Determinar o perímetro e a área de um círculo de 
raio 7 m.
02) Determinar o diâmetro e a área de um círculo cujo 
perímetro mede 36p cm.
03) A roda de um automóvel tem um diâmetro que 
mede 50 cm. Determine a distância percorrida por 
esse veículo após uma de suas rodas completar 1750 
voltas. Adotar p = 3,14 e supor que a roda não 
deslize durante a rolagem.
04) Determine quantas voltas por segundo deve dar 
cada roda de um automóvel na velocidade linear 
constante de 31,4 m/s, sabendo que o raio de cada 
roda é 25 cm e que a roda não desliza durante a 
rolagem. (adotar p = 3,14)
Jeca 126
c = 2pR = 2 . p . 7 = 14p cm
2 2 2
S = pR = p7 = 49p cm
c = 2pR = 36p cm
R = 36p / 2p = 18 cm
d = 2R = 2 . 18 = 36 cm
2 2 2
S = pR = p . 18 = 324p cm Resposta
2R = 50 cm R = 25 cm = 0,25 m
d = n . c = n . 2pR = 1 750 . 2 . p . 0,25
d = 1 750 . 2 . 3,14 . 0,25 = 2 747,5 m Resposta
R = 25 cm = 0,25 m
d = n . c = n . 2pR 
31,4 = n . 2 . 3,14 . 0,25
n =
31,4
2 . 3,14 . 0,25
= 20 volta Resposta
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223
06) (UNIFESP-SP) A figura mostra duas roldanas cir-
culares ligadas por uma correia. A roldana maior, 
com raio de 12 cm, gira fazendo 100 rotações por 
minuto, e a função da correia é fazer a roldana menor 
girar. Admita que a correia não escorregue.
 Para que a roldana menor faça 150 rotações por 
minuto, seu raio, em centímetros, deve ser:
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 4
07) (VUNESP-SP) Em um jogo eletrônico, o 
"monstro" tem a forma de um setor circular com raio de 
1 cm, como mostra a figura.
1 rad
1 c
m
"monstro"
 A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e 
o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do 
"monstro", em cm, é:
a) p - 1
b) p + 1
c) 2p - 1
d) 2p
e) 2p + 1
05) (UFRJ-RJ) Precorrendo uma distância de 450 m, 
as rodas de um automóvel dão 250 voltas. Calcule o 
raio das rodas.
08) (UFJF-MG) Testes efetuados em um pneu de 
corrida constataram que, a partir de 185 600 voltas, 
ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à 
segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu 
é de 0,5 m, ele poderá percorrer, sem riscos para o 
piloto, aproximadamente:
a) 93 km
b) 196 km
c) 366 km
d) 592 km
e) 291 km
10) (Mack-SP) O ponteiro dos minutos de um relógio 
mede 4 cm. Supondo p = 3, a distância, em centíme-
tros, que a extremidade desse ponteiro percorre em 
25 minutos é:
a) 15
b) 12
c) 20
d) 25
e) 10
O
A
B
C
D
a
Jeca 127
09) (J) A figura abaixo representa um setor circular de 
centro O e ângulo central a. Os arcos AC e BD 
têm comprimentos 4p cm e 4,8p cm , respectiva-
mente. Sendo os segmentos AB e CD congruentes e 
iguais a 2 cm, determine a medida do segmento OB.
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224
06) (UNIFESP-SP) A figura mostra duas roldanas cir-
culares ligadas por uma correia. A roldana maior, 
com raio de 12 cm, gira fazendo 100 rotações por 
minuto, e a função da correia é fazer a roldana menor 
girar. Admita que a correia não escorregue.
 Para que a roldana menor faça 150 rotações por 
minuto, seu raio, em centímetros, deve ser:
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 4
07) (VUNESP-SP) Em um jogo eletrônico, o 
"monstro" tem a forma de um setor circular com raio de 
1 cm, como mostra a figura.
1 rad
1 c
m
"monstro"
 A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e 
o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do 
"monstro", em cm, é:
a) p - 1
b) p + 1
c) 2p - 1
d) 2p
e) 2p + 1
05) (UFRJ-RJ) Precorrendo uma distância de 450 m, 
as rodas de um automóvel dão 250 voltas. Calcule o 
raio das rodas.
08) (UFJF-MG) Testes efetuados em um pneu de 
corrida constataram que, a partir de 185 600 voltas, 
ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à 
segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu 
é de 0,5 m, ele poderá percorrer, sem riscos para o 
piloto, aproximadamente:
a) 93 km
b) 196 km
c) 366 km
d) 592 km
e) 291 km
10) (Mack-SP) O ponteiro dos minutos de um relógio 
mede 4 cm. Supondo p = 3, a distância, em centíme-
tros, que a extremidade desse ponteiro percorre em 
25 minutos é:
a) 15
b) 12
c) 20
d) 25
e) 10
O
A
B
C
D
a
09) (J) A figura abaixo representa um setor circular de 
centro O e ângulo central a. Os arcos AC e BD 
têm comprimentos 4p cm e 4,8p cm , respectiva-
mente. Sendo os segmentos AB e CD congruentes e 
iguais a 2 cm, determine a medida do segmento OB.
Jeca 127
d = n . c = n . 2pR
450 = 250 . 2pR
R = 450 / 500p = 9 / 10p m (resp)
x 2
x 
- 2
AC = a
2p
2 . p . (x - 2)
AC = a .(x - 2)
4p = a .(x - 2)
a = 4p / (x - 2)
BD = a
2p
2 . p . x
BD = a . x
4,8 p = a . x
a = 4,8 p / x
4p
x - 2
=
4,8 p
x
x = 12 Resposta
n . 2pR = n . 2pRM M m m
100 . 2 . p . 12 = 150 . 2 . p . Rm
R = = 8 cm Resposta a m
100 . 2 . p . 12
150 . 2 . p
O ângulo central do arco de circunferência tem 
abertura (2p - 1) radianos.
Perímetro = d + 1 + 1
2p rad ------------- c = 2pR
(2p - 1) rad ----------- d
d =
2.p.1.(2p - 1)
2p
= 2p - 1
Perímetro = d + 1 + 1 = 2p - 1 + 1 + 1 = 2p + 1
Resposta e
d = 185 600 . c = 185 600 . 2.p.R
R = 0,25 m
d = 185 600 . 2 . 3,14 . 0,25 = 291 392 m
Aproximadamente 291 km Resposta e
150ºR = 4
25 minutos corresponde a um ângulo central de 150º
d = 2.p.R . 150/360
d = 2 . 3 . 4 . 150 / 360
d = 10 cm Resposta e
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225
12) (UFLa-MG) Os raios das rodas traseiras de um 
trator medem 75 cm e dão 30 voltas, ao mesmo 
tempo em que as rodas dianteiras dão 90 voltas. O 
raio de cada uma das rodas dianteiras é:
a) 20 cm
b) 30 cm
c) 25 cm
d) 15 cm
e) 22 cm.
11) (Fatec-SP) Em um motor há duas polias ligadas 
por uma correia, de acordo com o esquema abaixo.
 Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre 
seus centros é de 30 cm, qual das medidas abaixo 
mais se aproxima do comprimento da correia ?
a) 122,8 cm
b) 102,4 cm
c) 92,8 cm
d) 50 cm
e) 32,4 cm
13) (Unisa-SP) Um hexágono regular de lado 3 cm 
está inscrito numa circunferência. Nessa circunfe-
rência, um arco de medida 100º, em centímetros, 
tem comprimento:
a) 3p / 5
b) 5p / 6
c) p
d) 5p / 3
e) 10p / 3
14) (UFPI-PI) Numa circunferência na qual está 
inscrito umquadrado de lado 10 cm, o comprimento, 
em cm, de um arco dessa circunferência, medindo 
120º é:
a) 10 2 p / 3
b) 5 p / 3
c) 5 7 p / 3
d) 10 3 p / 2
e) 5 2 p / 3
15) (UEG-GO) Na figura abaixo, os segmentos AB e 
BC correspondem, respectivamente, aos lados de 
um hexágono regular e de um quadrado, ambos 
inscritos na circunferência que tem raio 6 cm. Deter-
mine o comprimento do arco ABC.
A
B
C
16) (Unifesp-SP) Um inseto vai se deslocar sobre 
uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um pon-
to A até um ponto B, diametralmente opostos, con-
forme a figura abaixo. O menor trajeto possível que o 
inseto pode percorrer tem comprimento, em metros, 
igual a:
a) p / 2
b) p
c) 3p / 2
d) 2p
e) 3p
A
B
Jeca 128
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226
12) (UFLa-MG) Os raios das rodas traseiras de um 
trator medem 75 cm e dão 30 voltas, ao mesmo 
tempo em que as rodas dianteiras dão 90 voltas. O 
raio de cada uma das rodas dianteiras é:
a) 20 cm
b) 30 cm
c) 25 cm
d) 15 cm
e) 22 cm.
11) (Fatec-SP) Em um motor há duas polias ligadas 
por uma correia, de acordo com o esquema abaixo.
 Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre 
seus centros é de 30 cm, qual das medidas abaixo 
mais se aproxima do comprimento da correia ?
a) 122,8 cm
b) 102,4 cm
c) 92,8 cm
d) 50 cm
e) 32,4 cm
13) (Unisa-SP) Um hexágono regular de lado 3 cm 
está inscrito numa circunferência. Nessa circunfe-
rência, um arco de medida 100º, em centímetros, 
tem comprimento:
a) 3p / 5
b) 5p / 6
c) p
d) 5p / 3
e) 10p / 3
14) (UFPI-PI) Numa circunferência na qual está 
inscrito um quadrado de lado 10 cm, o comprimento, 
em cm, de um arco dessa circunferência, medindo 
120º é:
a) 10 2 p / 3
b) 5 p / 3
c) 5 7 p / 3
d) 10 3 p / 2
e) 5 2 p / 3
15) (UEG-GO) Na figura abaixo, os segmentos AB e 
BC correspondem, respectivamente, aos lados de 
um hexágono regular e de um quadrado, ambos 
inscritos na circunferência que tem raio 6 cm. Deter-
mine o comprimento do arco ABC.
A
B
C
16) (Unifesp-SP) Um inseto vai se deslocar sobre 
uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um pon-
to A até um ponto B, diametralmente opostos, con-
forme a figura abaixo. O menor trajeto possível que o 
inseto pode percorrer tem comprimento, em metros, 
igual a:
a) p / 2
b) p
c) 3p / 2
d) 2p
e) 3p
A
B
Jeca 128
30 cm
d = 2 . 30 + 2 . c/2 = 2 . 30 + 2 . p . 10
d = 60 + 2 . 3,14 . 10 = 122,8 cm (resp)
aH aQ
R = 6 cm
a = 360/60 = 60ºH
a = 360/4 = 90ºQ
A medida do arco ABC é 150º
Regra de três
360º -------------- 2pR
150º --------------- x
x = 150 . 2 . p . 6 / 360
x = 5p cm Resposta
 A menor distância entre os pontos A e B é uma semicircunfe-
rência de raio 50 cm.
d = 2.p.R / 2 = 2 . p . 0,50 /2 = p/2 Resposta a
R = 3
3
3
3
100º
x
 Se o hexágono tem lado 3 cm, então a circunferência tem raio 
3 cm.
 Regra de três
360º --------------------- 2pR
100º --------------------- x
x = 2 . p . 3 . 100 / 360 = 5p/3 Resposta d 
10
10
120º
x
R
R
Pitágoras
2 2 2
(2R) = 10 + 10 = 200
R = 5 2
x = 2.p.R . 120/360 = 2.p.5 2 . 120/360
x = 10p 2 /3 cm Resposta a
 A distância percorrida por uma roda dianteira é igual à distância 
percorrida por uma roda traseira.
d = dD T
n . 2pR = n . 2pRD D T T
90 . 2 . p . R = 30 . 2 . p . 75D
R = D
30 . 2 . p . 75
90 . 2 . p
= 25 cm Resposta c
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227
17) (UFSCAR-SP) A sequência de figuras mostra um 
único giro do ponto A, marcado em uma roda circular, 
quando ela rola, no plano, sobre a rampa formada 
pelos segmentos RQ e QP.
 Além do que indicam as figuras, sabe-se que o raio 
da roda mede 3 m e que ela gira sobre a rampa sem 
deslizar em falso. Sendo assim, o comprimento da 
rampa RQ + QP, em m, é igual a:
a) 5p + 2 3
b) 4p + 3 5
c) 6p + 3
d) 7p - 3
e) 8p - 3 5
50 cm
18) (J) Três polias de raio 10 cm têm os seus centros 
equidistantes 50 cm, como representado na figura 
abaixo. Adotando p = 3, determine o comprimento da 
correia que envolve as três polias.
correia
polia
correia
20) (FUVEST-SP) A figura representa duas polias cir-
culares C e C de raios R = 4 cm e R = 1 cm, 1 2 1 2
apoiadas em uma superfície plana em P e P , 1 2
respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem 
folga. Sabendo-se que a distância entre os pontos P 1
e P é 3 3 cm, determine o comprimento da correia.2
P1 P23 3 cm
A
B
C
19) (J) Uma pista de automobilismo tem comprimento 
de 1 milha (1640 m) e é composta por uma semicir-
cunferência maior e três semicircunferências menores 
congruentes. Determinar os raios das semicircunfe-
rências sabendo que B, C e D são os centros das 
semicircunferências e os pontos A, B, C, D e E são 
colineares. (Adotar p = 3,14)
D
E
Jeca 129
12
0º
R Q
P
A
12
0º
R Q
P
A
figura 1
figura 3
R Q
P
A
figura 2
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228
17) (UFSCAR-SP) A sequência de figuras mostra um 
único giro do ponto A, marcado em uma roda circular, 
quando ela rola, no plano, sobre a rampa formada 
pelos segmentos RQ e QP.
Q
A
50 cm
18) (J) Três polias de raio 10 cm têm os seus centros 
equidistantes 50 cm, como representado na figura 
abaixo. Adotando p = 3, determine o comprimento da 
correia que envolve as três polias.
correia
polia
correia
20) (FUVEST-SP) A figura representa duas polias cir-
culares C e C de raios R = 4 cm e R = 1 cm, 1 2 1 2
apoiadas em uma superfície plana em P e P , 1 2
respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem 
folga. Sabendo-se que a distância entre os pontos P 1
e P é 3 3 cm, determine o comprimento da correia.2
P1 P23 3 cm
A
B
C
19) (J) Uma pista de automobilismo tem comprimento 
de 1 milha (1640 m) e é composta por uma semicir-
cunferência maior e três semicircunferências menores 
congruentes. Determinar os raios das semicircunfe-
rências sabendo que B, C e D são os centros das 
semicircunferências e os pontos A, B, C, D e E são 
colineares. (Adotar p = 3,14)
D
E
Jeca 129
R
P
S
T
3
0
º
30º
60º
60º
RS tem o comprimento de um arco de 150º
ST tem o comprimento de um arco de 60º
TP tem o comprimento de um arco de 150º
SQ = QT é o cateto oposto do triângulo CSQ
tg 30º = x/3 SQ = x = 3 tg 30º = 3 3 / 3 = 3 m
RQ + QP = RS + SQ + QT + TP = 2(RS + SQ)
RQ + QP = 2(150 . 2 . p . 3 / 360 + 3 ) 
RQ + QP = 5p + 2 3 m (resp)
C
3
x
>
a
3
1
1
3 3 cm
tg a = co / ca = =
a = 60º
d - comprimento da correia
d = 2 . 3 3 + 2 . p 1 + 2 . p . 4
d = 6 3 + +
d = 6( 3 + p) cm (resp) 
3
3 3 
3
120º
240º
120
360
240
360
2p
3
16p
3
60º
120
º
50 cm
 O comprimento da correia é a soma de três trechos retos de 
comprimento 50 cm e três arcos de circunferência de raio 10 
cm e ângulo central 120º.
 Os três arcos somados são iguais a uma circunferência com-
pleta.
C = 3 . 50 + 2pR = 3 . 50 + 2 . p . 10
C = 150 + 20p = 10(15 + 2p) cm
p = 3
C = 210 cm Resposta
R R
R R
R R
1 640 2.p.R
2
1 2.p.3R3. + .
2
=
1 640 = 3pR + 3pR = 6pR
R = 1 640 / 6p = 1 640 /18,84
R = 87,05 m
R' = 3R = 261,15 m Resposta
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geometria plana
229
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Circunferência e círculo.
Exercícios complementares da aula 11.
01) (UEPB-PB) Um ciclista de uma prova de resistên-
cia deve percorrer 502,4 km sobre uma pista circular 
de raio 200m. Considerando p = 3,14, o número de 
voltas que ele deve dar é:
a) 500
b) 350
c) 450
d) 400
e) 300
02) (UCS-RS) A razão entre os comprimentosda 
Linha do Equador e do diâmetro da Terra é igual à 
razão entre os comprimentos de uma circunferência 
qualquer e de seu diâmetro. Essa afirmação é:
a) verdadeira, e a razão referida vale p / 2.
b) verdadeira, e a razão referida vale p.
c) verdadeira, e a razão referida vale 3p / 2.
d) verdadeira, e a razão referida vale 2p.
e) falsa.
O
A
B
C
D
a
04) (J) A figura abaixo representa um setor circular de 
centro O e ângulo central a. Os arcos AC e BD 
têm comprimentos 4p e 4,8p , respectivamente. 
Sendo os segmentos AB e CD congruentes e iguais a 
2 cm, determine a medida do ângulo a.
06) (J) Uma pessoa dispõe de uma corda com 46p m 
de comprimento e pretende fazer duas circunferên-
cias concêntricas com ela; uma circunferência menor 
de raio 10 m e outra maior, conforme a figura abaixo.
Determine a distância d entre as circunferências.
d
03) (UFRJ-RJ) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira 
em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície 
lisa e horizontal. Determine o menor número de voltas 
completas para a roda percorrer uma distância maior 
que 10 m.
A
B
05) (J) Na figura abaixo, A e B são os pontos médios 
de dois lados de um pentágono regular de perímetro 
60 m. Sendo C um vértice do pentágono e o centro do 
setor circular, determine o perímetro da região som-
breada. (Adote p = 3)
C
Jeca 130
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geometria plana
230
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Circunferência e círculo.
Exercícios complementares da aula 11.
01) (UEPB-PB) Um ciclista de uma prova de resistên-
cia deve percorrer 502,4 km sobre uma pista circular 
de raio 200m. Considerando p = 3,14, o número de 
voltas que ele deve dar é:
a) 500
b) 350
c) 450
d) 400
e) 300
02) (UCS-RS) A razão entre os comprimentos da 
Linha do Equador e do diâmetro da Terra é igual à 
razão entre os comprimentos de uma circunferência 
qualquer e de seu diâmetro. Essa afirmação é:
a) verdadeira, e a razão referida vale p / 2.
b) verdadeira, e a razão referida vale p.
c) verdadeira, e a razão referida vale 3p / 2.
d) verdadeira, e a razão referida vale 2p.
e) falsa.
O
A
B
C
D
a
04) (J) A figura abaixo representa um setor circular de 
centro O e ângulo central a. Os arcos AC e BD 
têm comprimentos 4p e 4,8p , respectivamente. 
Sendo os segmentos AB e CD congruentes e iguais a 
2 cm, determine a medida do ângulo a.
06) (J) Uma pessoa dispõe de uma corda com 46p m 
de comprimento e pretende fazer duas circunferên-
cias concêntricas com ela; uma circunferência menor 
de raio 10 m e outra maior, conforme a figura abaixo.
Determine a distância d entre as circunferências.
d
03) (UFRJ-RJ) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira 
em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície 
lisa e horizontal. Determine o menor número de voltas 
completas para a roda percorrer uma distância maior 
que 10 m.
A
B
05) (J) Na figura abaixo, A e B são os pontos médios 
de dois lados de um pentágono regular de perímetro 
60 m. Sendo C um vértice do pentágono e o centro do 
setor circular, determine o perímetro da região som-
breada. (Adote p = 3)
C
Jeca 130
n = número de voltas
c = 2pR = comprimento de uma volta
d = 502 400 m = distância percorrida
d = n . c = n . 2pR = n . 2 . 3,14 . 200 = 502 400
n = 502 400 / 2 . 3,14 . 200 = 400 voltas (resp)
c = 2pR - comprimento da linha do Equador.
d = 2R - diâmetro da Terra
c
d
=
2pR
2R
p= Resposta b
c = 2.p.R = 2 . 3,14 . 5 = 31,4 cm
10 m = 1 000 cm
n . 31,4 = 1 000
n = 1 000/31,4 = 31,84 voltas
Portanto, n = 32 voltas Resposta
AC = a
2p
2 . p . (x - 2)
AC = a .(x - 2)
4p = a .(x - 2)
a = 4p / (x - 2)
BD = a
2p
2 . p . x
BD = a . x
4,8 p = a . x
a = 4,8 p / x
4p
x - 2
=
4,8 p
x
x = 12 a = 4,8p/12 = 0,4p = 2p/5 radianos = 72º
Resposta
12
12
12
6
6
6
6
xa
a = 540 / 5 = 108º
Comprimento do arco x
x = 2pR . 108/360
x = 2 . 3 . 6 . 108/360
x = 10,8 cm
Perímetro da região sombreada
Per = 2p = 2 . 6 + 3 . 12 + x
Per = 2p = 48 + 10,8 = 58,8 cm Resposta
Comprimento da circunferência 
menor
c = 2pR = 2.p.10 = 20p m
Comprimento da circun-
ferência maior
c' = 46p - 20p = 26p m
Raio da circunferência maior
26p = 2pR'
R' = 26p/2p = 13 m
Distância d = R' - R = 13 - 10 = 3 m Resposta
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geometria plana
231
07) (J) Uma mesa circular deve acomodar 8 pessoas, 
de tal forma que cada pessoa tenha disponível um 
arco de circunferência de comprimento 60 cm. 
Adotando p = 3, determine o raio da mesa.
60ºO
A
B
C
08) (J) Na figura abaixo, o arco ABC é 1 cm mais 
comprido que a corda AC. Determine a medida do 
raio da circunferência.
09) Uma circunferência tem raio R. Aumentando-se o 
raio para R + d, determine:
a) o comprimento da circunferência original;
b) o comprimento da circunferência após o raio ter sido 
aumentado;
c) o aumento do comprimento da segunda circunferên-
cia em relação à circunferência original.
10) (J) A figura abaixo representa duas polias de raios 
30 cm e 20 cm. Um motor aclopado à polia maior 
trabalha com 1750 rotações por minuto. Supondo que 
a correia que une as polias não escorregue, determine 
o nº de rotações por minuto da polia menor.
11) Calcule o comprimento de um arco de 2 radianos 
numa circunferência de raio 40 cm.
12) Calcule o raio de uma circunferência, sabendo que 
um arco de 3p / 2 radianos mede 50 cm.
Jeca 131
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232
07) (J) Uma mesa circular deve acomodar 8 pessoas, 
de tal forma que cada pessoa tenha disponível um 
arco de circunferência de comprimento 60 cm. 
Adotando p = 3, determine o raio da mesa.
60ºO
A
B
C
08) (J) Na figura abaixo, o arco ABC é 1 cm mais 
comprido que a corda AC. Determine a medida do 
raio da circunferência.
09) Uma circunferência tem raio R. Aumentando-se o 
raio para R + d, determine:
a) o comprimento da circunferência original;
b) o comprimento da circunferência após o raio ter sido 
aumentado;
c) o aumento do comprimento da segunda circunferên-
cia em relação à circunferência original.
10) (J) A figura abaixo representa duas polias de raios 
30 cm e 20 cm. Um motor aclopado à polia maior 
trabalha com 1750 rotações por minuto. Supondo que 
a correia que une as polias não escorregue, determine 
o nº de rotações por minuto da polia menor.
11) Calcule o comprimento de um arco de 2 radianos 
numa circunferência de raio 40 cm.
12) Calcule o raio de uma circunferência, sabendo que 
um arco de 3p / 2 radianos mede 50 cm.
Jeca 131
45º
6
0
 cm
R
360 / 8 = 45º
Regra de três
360º 2pR
 45º 60 cm
2 . 3 . R = 360 . 60 / 45 = 480
R = 480 / 6 = 80 cm (resp)
R
R
R
AC = AC + 1 = R + 1
AC =
a
360
2pR.
AC =
60
360
2pR.
AC =
pR
3
AC = AC + 1 = R + 1
pR
3
= R + 1 pR = 3R + 3 R(p - 3) = 3
R =
3
(p - 3)
cm Resposta
a) c = 2pR
b) c' = 2p(R + d) = 2pR + 2pd
c) Dc = c' - c = (2pR + 2pd) - 2pR = 2pd
 A distância percorrida por um ponto A na 1ª polia é igual à dis-
tância percorrida por um ponto B na 2ª polia.
A
B
d = d n . 2pR = n . 2pRA B A A B B
1 750 . 2 . p . 30 = n . 2 . p . 20B
n = 2 625 rpm RespostaB
Regra de três
2p Radianos ---------------- c = 2pR
2 Radianos ----------------------- x
x =
2 . 2pR
2p
= 2.R = 2 . 40 = 80 cm
x = 80 cm Resposta
Regra de três
2p Radianos ---------------- c = 2pR
3p/2 Radianos ----------------- 50
2pR . 3p
2
= 2p . 50
R =
100
3p
cm Resposta
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geometria plana
233
13) (UFSCar-SP) Uma pizza circular será fatiada, a 
partir do centro, em setores circulares. Se o arco de 
cada setor medir 0,8 radiano, obtém-se um número 
máximo de N fatias idênticas, sobrando,no final, 
uma fatia menor que é indicada na figura por fatia
N + 1.
 Considerando p = 3,14, o arco da fatia N + 1, em 
radiano, é
a) 0,74
b) 0,72
c) 0,68
d) 0,56
e) 0,34
fatia 1
fatia 2
fatia 3
fatia N
fatia N + 1
d
d/2
d/2
d d
A
E
C
D
F
14) (FGV-SP) Na figura estão representados dois 
quadrados de lado d e dois setores circulares de 90º 
e raio d. Sabendo que os pontos A, E e C estão 
alinhados, a soma dos comprimentos do segmento 
CF e do arco de circunferência AD, em função de d, 
é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
(2 3 + p)
6
(3 + p)
d
6
(4 3 + p)
12
d
d(12 + p)
24
(2 3 + p)
12
d
d
15) (UESB-BA) O setor de 60º destacado na figura 
abaixo, corresponde à superfície de um canteiro 
circular plano, no qual pretende-se plantar duas 
roseiras por metro quadrado. Se o canteiro tem 42 m 
de diâmetro, quantas roseiras deverão ser plantadas ?
(Use p = 22/7)
a) 22
b) 88
c) 231
d) 462
e) 924
60º
Jeca 132
16) (J) A figura abaixo representa duas polias que têm 
raios 58 cm e 18 cm e a distância entre os seus 
centros é de 80 cm. Determine o comprimento da cor-
reia que envolve as duas polias. (p = 3)
correia
(GeoJeca)
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234
13) (UFSCar-SP) Uma pizza circular será fatiada, a 
partir do centro, em setores circulares. Se o arco de 
cada setor medir 0,8 radiano, obtém-se um número 
máximo de N fatias idênticas, sobrando, no final, 
uma fatia menor que é indicada na figura por fatia
N + 1.
 Considerando p = 3,14, o arco da fatia N + 1, em 
radiano, é
a) 0,74
b) 0,72
c) 0,68
d) 0,56
e) 0,34
fatia 1
fatia 2
fatia 3
fatia N
fatia N + 1
d
d/2
d/2
d d
A
E
C
D
F
14) (FGV-SP) Na figura estão representados dois 
quadrados de lado d e dois setores circulares de 90º 
e raio d. Sabendo que os pontos A, E e C estão 
alinhados, a soma dos comprimentos do segmento 
CF e do arco de circunferência AD, em função de d, 
é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
(2 3 + p)
6
(3 + p)
d
6
(4 3 + p)
12
d
d(12 + p)
24
(2 3 + p)
12
d
d
15) (UESB-BA) O setor de 60º destacado na figura 
abaixo, corresponde à superfície de um canteiro 
circular plano, no qual pretende-se plantar duas 
roseiras por metro quadrado. Se o canteiro tem 42 m 
de diâmetro, quantas roseiras deverão ser plantadas ?
(Use p = 22/7)
a) 22
b) 88
c) 231
d) 462
e) 924
60º
Jeca 132
2p = 2 . 3,14 = 6,28 radianos (arco de uma volta)
6,28 / 0,8 = 6,85
Portanto
6,28 = 7 . 0,8 + x = 5,6 + x
x = 6,28 - 5,6 = 0,68 radianos (resp)
16) (J) A figura abaixo representa duas polias que têm 
raios 58 cm e 18 cm e a distância entre os seus 
centros é de 80 cm. Determine o comprimento da cor-
reia que envolve as duas polias. (p = 3)
correia
(GeoJeca)
d/2
d
d
(2 3 + p) d
6
Se d = 42 m , então R = 21 m
2 2 2
Área do círculo S = pR = p(21) = 441 . 22/7 = 1 386 m
Área do setor circular
S =
a
360
2
pR =
360
60 . 1 386 2231 m=
 Se serão plantadas duas roseiras por metro quadrado, então o 
número de roseiras plantadas será
N = 2 . 231 = 462 roseiras Resposta d
18
40
80
18
a
sen a =
40
80
1
2
a = 30º=
120º240º
60º
60º
a
b
c
 O comprimento da correia será a soma dos comprimentos dos 
arcos a e b e dos dois segmentos retos c.
cos 30º = c80
c = 80.cos 30º = 80 3 /2 = 40 3 cm 
a =
q
360
.2pR =
360
. 2 . 3 . 58240 = 232 cm
b =
q
360
.2pR =
360
. 2 . 3 . 18120 = 36 cm
Comprimento total da correira
d = a + b + 2c = 232 + 36 + 2(40 3 ) 
d = (268 + 80 3 ) cm Resposta
a
a
d/2
d
1sen a =
co
hip
= =
2
Portanto a = 30º
AD = 30
360
2.p.d pd=
6
tg a = tg 30º = CF / EF = CF / d
3 =
CF
d3
CF = d 3 /3
AD + CF = 
pd
6
+ d 3
3
=
Resposta a
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235
17) (UFLa-MG) Amarre um barbante, bem ajustado, 
em volta de uma bola de futebol. Agora amarre um 
barbante, bem ajustado, em volta de uma bola de 
gude. Se você aumentar 1 m no comprimento de 
cada um dos dois barbantes e fizer uma 
circunferência com cada um deles, haverá uma folga 
d entre a bola de futebol e o primeiro barbante e uma 1
folga d entre a bola de gude e o segundo barbante.2
 Assinale a alternativa correta.
a) d > d1 2
b) d < d1 2
c) d = d + 11 2
d) d = d1 2
2 2
e) p(d - d ) = 12 1
d1 d2futebol
gude
18) (J) Dado um círculo C de área S, determinar qual 
o aumento necessário no raio desse círculo para se 
obter um segundo círculo de área 3S.
19) (J) Estudos aerodinâmicos recomendam que a 
velocidade escalar da ponta de uma hélice de avião 
seja inferior à velocidade do som no ar (340 m/s). 
Determine a máxima rotação por minuto que uma 
hélice de diâmetro 1,70 m pode atingir para obedecer 
o recomendado pela aerodinâmica. (Adote p = 3,14)
Jeca 133
20) (J) Uma pista automobilística foi traçada tendo 
como base um pentágono regular e cinco círculos 
congruentes, cujos centros estão sobre os vértices do 
pentágono e se tangenciam. Sabendo que a pista tem 
3 648 m de comprimento, determine o raio de cada 
círculo e o comprimento da única reta dessa pista.
Adote p = 3. (GeoJeca)
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236
17) (UFLa-MG) Amarre um barbante, bem ajustado, 
em volta de uma bola de futebol. Agora amarre um 
barbante, bem ajustado, em volta de uma bola de 
gude. Se você aumentar 1 m no comprimento de 
cada um dos dois barbantes e fizer uma 
circunferência com cada um deles, haverá uma folga 
d entre a bola de futebol e o primeiro barbante e uma 1
folga d entre a bola de gude e o segundo barbante.2
 Assinale a alternativa correta.
a) d > d1 2
b) d < d1 2
c) d = d + 11 2
d) d = d1 2
2 2
e) p(d - d ) = 12 1
d1 d2futebol
gude
18) (J) Dado um círculo C de área S, determinar qual 
o aumento necessário no raio desse círculo para se 
obter um segundo círculo de área 3S.
19) (J) Estudos aerodinâmicos recomendam que a 
velocidade escalar da ponta de uma hélice de avião 
seja inferior à velocidade do som no ar (340 m/s). 
Determine a máxima rotação por minuto que uma 
hélice de diâmetro 1,70 m pode atingir para obedecer 
o recomendado pela aerodinâmica. (Adote p = 3,14)
Jeca 133
c = 2pRA A
R = c / 2pA A
c = c + 1 = 2pRB A B
R = (c + 1) / 2pB A
d = R - R1 B A
d = (c + 1 - c ) / 2p 1 A A
d = 1 / 2p1
c = 2pRC C
R = c / 2pC C
c = c + 1 = 2pRD C D
R = (c + 1) / 2pD C
d = R - R2 D C
d = (c + 1 - c ) / 2p 2 C C
d = 1 / 2p2
Portanto d = d (resp)1 2
e = 360/5 = 72º
108º 2
5
2
º
162º
10
8º
162º
20) (J) Uma pista automobilística foi traçada tendo 
como base um pentágono regular e cinco círculos 
congruentes, cujos centros estão sobre os vértices do 
pentágono e se tangenciam. Sabendo que a pista tem 
3 648 m de comprimento, determine o raio de cada 
círculo e o comprimento da única reta dessa pista.
Adote p = 3. (GeoJeca)
108
162
162
108
252
792º
R
R
R
R
R
R
R
R
R
 O comprimento total da pista é uma reta de comprimento 2R e 
a soma dos arcos de circunferência, cujo total é 792º.
Regra de três
360º ----------- 2pR
792º ----------- x
x = 792 . 2 . p . R / 360
x = 13,2 R
d = x + 2R
3648 = 13,2 R + 2R = 15,2 R
R = 3648/15,2 = 240 m
a)
R = 240 m
 Resposta a)
b) Comprimento da
reta = 2R
2R = 2.240 = 480 m
 Resposta b)
r R
2
S = p.r
2
r = S/p
r 
2
3S = p.R
2
R = 3S/p
R 
=
S
p =
S.p
p
3S
p= =
3.S.p
p
Aumento necessário do raio
DR = R - r = 3.S.pp
- S.p
p
S
3S
DR =
 3 . S.p - S.p
p =
DR = S.p .( 3 - 1)p
Resposta
Se d = 1,70 m , então R = 0,85 m
Comprimento de uma volta
c = 2pR = 2 . 3,14 . 0,85 = 5,338 m
n = nº de voltas da hélice em 1 segundo
n . c = n . 5,338 < 340 (restrição aerodinâmica)
n < 340 / 5,338
n < 63,694 voltas por segundo
Por minuto, tem-se
RPM = 63,694 . 60 = 3821 voltas Resposta
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237
Respostas dos exercícios da Aula 11.
2
01) 14p m e 49p m
2
02) 36 cm e 324p cm
03) 2747,5 m
04) 20 voltas
05) (0,90 / p) m
06) 8 cm
07) e
08) e
09) 12 cm
10) e
11) a
12) c
13) d
14) a
15) 5p cm
16) a
17) a
18) 210 cm
19) 87,05 m e 261,15 m
20) 6( 3 + p) cm
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
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geometria plana
238
Respostas dos exercícios complementares da Aula 11.
01) d
02) b
03) 32 voltas
04) 72º
05) 58,8 m
06) 3 m
07) 80 cm
08) (3 / p - 3) cm
09)
a) 2pr
b) 2p(r + d)
c) 2pd
10) 2625 rpm
11) 80 cm
12) (100 / 3p) cm
13) c
14) a
15) d
16) (80 3 + 268) cm
17) d) 
18) DR = [ S.p .( 3 - 1)] / p
19) 3821 rpm
20) 240 m e 480 m
Importante para mim.
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239
I) Polígono regular.
e
e
e
e
e
i
i
i
ii
a
 Um polígono é regular se tem:
a) todos os lados congruentes entre si;
b) todos os ângulos internos congruentes entre si;
c) todos os ângulos externos congruentes entre si.
3 lados - triângulo equilátero
4 lados - quadrado
5 lados - pentágono regular
6 lados - hexágono regular
 etc
Classificação dos polígonos regulares
Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.
Medida de cada ângulo externo de um polígono regular.
i =
Si
n >
180 (n - 2)
i = n
e =
Se
n >
360e = n
(importante)
Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e 
circunscrito numa circunferência.
ângulo
central
C
II) Principais polígonos regulares.
1) Triângulo equilátero. 3) Hexágono regular.2) Quadrado.
60º
 Todo hexágono regular pode ser 
dividido em seis triângulos equiláte-
ros.
l
l
l
l
l
l
l
l
l l
l
l
R
 =
 l
r
l 3
2
 =r R = ll 3
6
 =r R = l
2
 =r R =l 3
3
l 2
2
r
30º
R
BICO
 Em todo triângulo equilátero os 
quatro pontos notáveis (BICO) coin-
cidem num mesmo ponto.
R
r
45º
III) Apótema de um polígono regular.
 O apótema de um polígono regular é a distância entre o centro do polígono e o ponto médio de qualquer lado.
O apótema é o raio da circunferência inscrita no polígono.
Exercício 01 - Determinar o raio da circunferência inscrita e o raio da circunferência circunscrita em um 
quadrado de lado 12 cm.
12 cm
l - lado do polígono regular
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 12
Inscrição e circunscrição de 
polígonos regulares.
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geometria plana
240
I) Polígono regular.
e
e
e
e
e
i
i
i
ii
a
 Um polígono é regular se tem:
a) todos os lados congruentes entre si;
b) todos os ângulos internos congruentes entre si;
c) todos os ângulos externos congruentes entre si.
3 lados - triângulo equilátero
4 lados - quadrado
5 lados - pentágono regular
6 lados - hexágono regular
 etc
Classificação dos polígonos regulares
Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.
Medida de cada ângulo externo de um polígono regular.
i =
Si
n >
180 (n - 2)
i = n
e =
Se
n >
360e = n
(importante)
Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e 
circunscrito numa circunferência.
ângulo
central
C
II) Principais polígonos regulares.
1) Triângulo equilátero. 3) Hexágono regular.2) Quadrado.
60º
 Todo hexágono regular pode ser 
dividido em seis triângulos equiláte-
ros.
l
l
l
l
l
l
l
l
l l
l
l
R
 =
 l
r
l 3
2
 =r R = ll 3
6
 =r R = l
2
 =r R =l 3
3
l 2
2
r
30º
R
BICO
 Em todo triângulo equilátero os 
quatro pontos notáveis (BICO) coin-
cidem num mesmo ponto.
R
r
45º
III) Apótema de um polígono regular.
 O apótema de um polígono regular é a distância entre o centro do polígono e o ponto médio de qualquer lado.
O apótema é o raio da circunferência inscrita no polígono.
Exercício 01 - Determinar o raio da circunferência inscrita e o raio da circunferência circunscrita em um 
quadrado de lado 12 cm.
12 cm
l - lado do polígono regular
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pelo prof. Jeca
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Inscrição e circunscrição de 
polígonos regulares.
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R
r
r = 12 / 2 = 6 cm
R = d / 2 = 12 2 / 2 = 6 2 cm
 (resp)
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241
02) Determine o raio da circunferência inscrita num tri-
ângulo equilátero de lado 4 cm.
03) Determine o raio da circunferência circunscrita num 
triângulo equilátero de lado 8 cm.
04) Determine o raio da circunferência circunscrita 
num quadrado de lado 14 cm.
05) Determine o lado de um hexágono regular circuns-
crito em uma circunferência de raio 3 cm.
06) Determine o lado de um quadrado inscrito num cír-
culo de raio k.
07) Determine o raio de um círculo inscrito num hexá-
gono regular de lado 2k.
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242
02) Determine o raio da circunferência inscrita num tri-
ângulo equilátero de lado 4 cm.
03) Determine o raio da circunferência circunscrita num 
triângulo equilátero de lado 8 cm.
04) Determine o raio da circunferência circunscrita 
num quadrado de lado 14 cm.
05) Determine o lado de um hexágono regular circuns-
crito em uma circunferência de raio 3 cm.
06) Determine o lado de um quadrado inscrito num cír-
culo de raio k.
07) Determine o raio de um círculo inscrito num hexá-
gono regular de lado 2k.
Jeca 137
30º
30º
2 2
r
tg 30º = co / ca = r / 2
r = 2 tg 30º
r = 2 3 / 3 cm (resp)
30º
4
R
4
cos 30º
=
ca
hip
4
R
=
4R
cos 30º
=
=
8 3
3
cm 
Resposta
45º
7 cm
R
sen 45º =
co
hip
7
R
=
7
=R
sen 45º
= 7 2 cm
Resposta
60º
l
3
l
l
sen 60º =
co
hip
3
=
3
=
sen 60º
= 2 3 cm
Resposta
l
l
2k
x
x
Pitágoras
2 2 2 2
(2k) = x + x = 2x
2 2
4k = 2x
2 2 2
x = 4k /2 = 2k
2
x = 2k = k 2 Resposta
2k 2k
2k
r
60º
sen 60º =
co
hip
r
2k
=
r = 2k.sen 60º = 2k 3 /2
r = k 3 Resposta
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243
R
r
h
08) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero 
é 8 cm, determine:
a) a altura do triângulo;
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
8 cm
8 
cm
8 cm
09) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero 
é 12 cm, determine:
a) o lado do triângulo;
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
R
r
h
10) Determine a medida do lado de um triângulo equi-
látero inscrito numa circunferência de raio 5 cm.
11) Determine o raio da circunferência inscrita num 
hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 
7 cm.Jeca 138
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244
R
r
h
08) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero 
é 8 cm, determine:
a) a altura do triângulo;
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
8 cm
8 
cm
8 cm
09) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero 
é 12 cm, determine:
a) o lado do triângulo;
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
R
r
h
10) Determine a medida do lado de um triângulo equi-
látero inscrito numa circunferência de raio 5 cm.
11) Determine o raio da circunferência inscrita num 
hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 
7 cm.
Jeca 138
60º
a) sen 60º = h / 8
 h = 8 sen 60º
 h = 8 3 / 2
 h = 4 3 cm (resp)
b) r = h / 3 = 4 3 / 3 cm (resp)
c) R = 2.r = 2 . 4 3 / 3
 R = 8 3 / 3 cm (resp)
60º
12l
b) r = h/3 = 12/3 = 4 cm
a)
c) R = 2r = 2 . 4 = 8 cm
sen 60º co
hip
=
sen 60º =
12
l
l = 12
sen 60º
l = 8 3 cm
l
R =
 5
l/2
30º
cos 30º =
ca
hip
=
l/2
5
l
=
2
5.cos 30º =
5 3
2
l = 5 3 cm Resposta R = 7
60º
r
sen 60º =
co
hip
r
7
=
r = 7.sen 60º = 7. 3 /2
r = 7 3 /2 cm Resposta
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geometria plana
245
12) Qual é a razão entre o lado de um triângulo equilá-
tero e o lado de um quadrado circunscritos à mesma 
circunferência ?
13) Qual é a razão entre o lado de um hexágono regu-
lar e o lado de um quadrado circunscritos à mesma 
circunferência ?
14) Qual é a razão entre o perímetro do hexágono re-
gular circunscrito e o perímetro do triângulo equilátero 
inscrito numa mesma circunferência ?
15) Qual é a razão entre o lado do hexágono regular 
circunscrito e o perímetro do quadrado inscrito numa 
mesma circunferência ?
Jeca 139
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246
12) Qual é a razão entre o lado de um triângulo equilá-
tero e o lado de um quadrado circunscritos à mesma 
circunferência ?
13) Qual é a razão entre o lado de um hexágono regu-
lar e o lado de um quadrado circunscritos à mesma 
circunferência ?
14) Qual é a razão entre o perímetro do hexágono re-
gular circunscrito e o perímetro do triângulo equilátero 
inscrito numa mesma circunferência ?
15) Qual é a razão entre o lado do hexágono regular 
circunscrito e o perímetro do quadrado inscrito numa 
mesma circunferência ?
Jeca 139
L /2Q
L /2 T
30º
r
L lado do quadradoQ
L lado do triânguloT
L = 2rQ
tg 30º = r / L /2T
L .tg 30º = 2.rT
L = 2r / ( 3 / 3)T
L = 2r . 3 / 3T
L = 2r 3 cmT
LT
LQ
=
2r 3
2r
= 3 (resp)
L /2H
L /2Q
3
0
º
tg 30º =
co
ca =
L /2H
L /2Q
3
3
=
LH
LQ
LH
LQ
3
3
= Resposta
LH
L /2TR
R
30
º
30º
cos 30º =
ca
hip
R
LH
=
LH =
R
cos 30º
=
2R 3
3
cos 30º =
ca
hip R
=
L /2T
cos 30º
2R
=
LT
LT = 2R.cos 30º = 2R 3 /2 = R 3
PerH
PerT
=
6.LH
3.LT
=
6. 2R 3
3
3.R 3
= 4
3
Resposta
LH L /2Q
RR
45º30º
cos 45º =
ca
hip R
=
L /2Q
LQ
=
2
R.cos 45º =
R 2
2
LQ = R 2
cos 30º =
ca
hip
R
=
LH
LH =
R
cos 30º 
=
2R 3
3
LH
PerQ
=
4.LQ
LH =
2R 3
3
4.R 2
=
6
12
Resposta
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247
1) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :
a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.
b) o apótema do triângulo.
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
d) o lado do triângulo.
R
R
r
r
h
h
l l
l
2) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 5k, determinar em função de k :
a) a altura do triângulo.
b) o raio da circunferência inscrita e o apótema.
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
5k 5k
5k
3) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita a um quadrado é 8 cm, determinar :
a) o apótema e o raio da inscrita.
b) o lado do quadrado.
c) o perímetro do quadrado.
rR
l
l
l
l
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Inscrição e circunscrição de polígonos
 regulares. 
Exercícios complementares da aula 12.
Jeca 140
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geometria plana
248
1) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :
a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.
b) o apótema do triângulo.
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
d) o lado do triângulo.
R
R
r
r
h
h
l l
l
2) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 5k, determinar em função de k :
a) a altura do triângulo.
b) o raio da circunferência inscrita e o apótema.
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
5k 5k
5k
3) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita a um quadrado é 8 cm, determinar :
a) o apótema e o raio da inscrita.
b) o lado do quadrado.
c) o perímetro do quadrado.
rR = 8
l
l
l
l
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Inscrição e circunscrição de polígonos
 regulares. 
Exercícios complementares da aula 12.
Jeca 140
3
60º
a) r = h/3 = 3/3 = 1 cm (resp)
b) a = r = 1 cm (resp)
c) R = 2r = 2 . 1 = 2 cm (resp)
d) sen 60º = h/l = 3/l
3
2
=
3
l
l =
3
6
=
6 3
3
= 2 3 cm (resp)
60º
a)
b) r = h/3 =
c) R = 2r = 
sen 60º co
hip
=
h
h
=
5k
h = 5k.sen 60º = 5k 3 /2
5k 3 /2
3
=
5k 3
6
a = r =
5k 3
6
5k 3
3
45º
b) l = 2r = 8 2 cm 
a)
c) Perímetro = 4l = 32 2 cm
sen 45º =
co
hip
r
8
=
a = r = 8.sen 45º = 8 2 /2 = 4 2 cm
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249
rR
k
k
k
k
5) Sabendo-se que um hexágono regular tem lado 7 cm, determinar :
a) o raio da circunferência circunscrita ao hexágono.
b) o apótema e o raio da circunferência inscrita no hexágono.
c) o perímetro do hexágono.
6) Sabendo-se que o apótema de um hexágono regular é 3k, determinar em função de k :
a) o raio da circunferência inscrita no hexágono.
b) o raio da circunferência circunscrita no hexágono.
c) o lado e o perímetro do hexágono.
Jeca 141
4) Sabendo-se que um quadrado tem lado k, determinar em função de k :
a) o perímetro do quadrado.
b) o apótema do quadrado e o raio da circunferência inscrita no quadrado..
c) a diagonal do quadrado e o raio da circunferência circunscrita.
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250
4) Sabendo-se que um quadrado tem lado k, determinar em função de k :
a) o perímetro do quadrado.
b) o apótema do quadrado e o raio da circunferência inscrita no quadrado..
c) a diagonal do quadrado e o raio da circunferência circunscrita. rR
k
k
k
k
5) Sabendo-se que um hexágono regular tem lado 7 cm, determinar :
a) o raio da circunferência circunscrita ao hexágono.
b) o apótema e o raio da circunferência inscrita no hexágono.
c) o perímetro do hexágono.
6) Sabendo-se que o apótema de um hexágono regular é 3k, determinar em função de k :
a) o raio da circunferência inscrita no hexágono.
b) o raio da circunferência circunscrita no hexágono.
c) o lado e o perímetro do hexágono.
Jeca 141
a) 2p = 4k (resp)
b) a = r = k/2 (resp)
2 2 2 2
c) Pitágoras d = k + k = 2k 
 
 d = k 2 (resp)
 d = 2R
 R = d/2 = k 2 / 2 (resp)
R = 7 cm
R R
a) O triângulo é equilátero. Portanto R = lado = 7 cm
60º
7 
cm r
b) sen 60º =
co
hip
r
7
=
r = 7.sen 60º = 7 3 /2 cm
apótema = raio da inscrita (a = r = 7 3 /2 cm)
c) Perímetro = 2p = 6 . 7 = 42 cm 
Resposta
Resposta
Resposta
a) apótema = raio da inscrita 
Portanto a = r = 3k
3kR
60º
b) sen 60º =
co
hip
3k
R 
=
R
=
3k
sen 60º
= 2k 3
c) l = R = 2k 3
Perímetro = 6.l = 12k 3
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251
7) Determinar a razão entre o perímetro de um triângulo equilátero e o perímetro de