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Universidade Federal do Paraná 2◦ semestre 2015. Algebra Linear, CM 005 Olivier Brahic Lista de exercícios 1 Sistemas de equações lineares I Exercícios da Seção 1.1 Exercício 1: Use a substituição reversa para resolver cada um dos seguintes sistemas de euquações: a) { x1 − 3x2 = 2 2x2 = 6. b) x1 + x2 + x3 = 8 2x2 + x3 = 5 3x3 = 9. c) x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 5 3x2 + x3 − 2x4 = 1 − x3 + 2x4 = −1 4x4 = 4 d) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 5 2x2 + x3 − 2x4 + x5 = 1 4x3 + x4 − 2x5 = 1 x4 − 3x5 = 0 2x5 = 2. Exercício 2: Escreve a matriz de coeficientes para para cada um dos sistemas do exercício 1. Exercício 3: Em cada um dos seguintes sistemas, interprete cada equação como uma linha no plano. Para cada sistema, traça o gráfico das linhas e determine geometricamente o número de soluções. a) { x1 + x2 = 4 x1 − x2 = 2. b) { x1 + 2x2 = 4 −2x1 − 4x2 = 4. c) { 2x1 − x2 = 5 −4x1 + 2x2 = −6. d) x1 + x2 = 1 x1 − x2 = 1 −x1 + 3x2 = 3 e) x1 + x2 = 5 x1 − x2 = 1 −x1 + 3x2 = 3 Exercício 4: Escreva uma matriz aumentada para cada um dos sistemas do exercício 3. Exercício 5: Escreva o sistema de equações que corresponde a cada uma das seguintes ma- trizes aumentadas: a) ( 3 2 8 1 5 7 ) b) ( 5 −2 1 3 2 3 −4 0 ) 1 c) 2 1 4 −14 −2 3 4 5 2 6 −1 d) 4 −3 1 2 4 3 1 −5 6 5 1 1 2 4 8 5 1 3 −2 7 Exercício 6: Resolve cada um dos seguintes sistemas: a) { x1 − 2x2 = 5 3x1 + x2 = 1. b) { 2x1 + x2 = 8 4x1 − 3x2 = 6. c) { 4x1 + 3x2 = 4 2 3x1 + 4x2 = 3. d) x1 + 2x2 − x3 = 1 2x1 − x2 + x3 = 3 −x1 + 2x2 + 3x3 = 7. e) 2x1 + x2 + 3x3 = 1 4x1 + 3x2 + 5x3 = 1 6x1 + 5x2 + 5x3 = −3. f) 3x1 + 2x2 + x3 = 0 −2x1 + x2 − x3 = 2 2x1 − x2 + 2x3 = −1. g) 1 3x1 + 2 32x2 + 2x3 = −1 x1 + 2x2 + 3 2x3 = 3 2 1 2x1 + 2x2 + 12 5 x3 = 1 10 . h) x2 + x3 + x4 = 0 3x1 + 3x3 − 4x4 = 7 x1 + x2 + x3 + 2x4 = 6 2x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 6 Exercício 7: Os dois seguintes sistemas: a) { 2x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 = 5. b) { 2x1 + x2 = −1 4x1 + 3x2 = 1. têm mesma matriz de coeficientes, mas diferentes lados direitos. Resolva ambos os sistemas simultaneamente, eliminando o primeiro elemento da segunda linha da matriz aumentada:( 2 1 3 −1 4 3 5 1 ) e execute a substituição reversa para cada coluna correspondente aos segundos membros. Exercício 8: Resolva os dois sistemas: a) x1 + 2x2 − 2x3 = 1 2x1 + 5x2 + x3 = 9 x1 + 3x2 + 4x3 = 9. b) x1 + 2x2 − 2x3 = 9 2x1 + 5x2 + x3 = 9 x1 + 3x2 + 4x3 = −2 usando a eliminação em uma matriz aumentada 3×5 e depois executando duas substituições reversas. 2 Correções: Correção do Exercício 1: Usando a substituição reversa, encontremos: a) { x1 = 11 x2 = 3. b) x1 = 4 x2 = 1 x3 = 3. c) x1 = −2 x2 = 0 x3 = 3 x4 = 1 d) x1 = −2 x2 = 3 x3 = 0 x4 = 3 x5 = 1. Correção do Exercício 2: As matrizes de coeficientes dos sistemas do exercício 1 são: a) ( 1 −3 0 2 ) b) 1 1 10 2 1 0 0 3 c) 1 2 2 1 0 3 1 2 0 0 −1 2 0 0 0 4 d) 1 1 1 1 1 0 2 1 −2 1 0 0 4 1 −2 0 0 0 1 −3 0 0 0 0 2 3 Correção do Exercício 3: Em cada um dos seguintes sistemas, interprete cada equação como uma linha no plano. Para cada sistema, traça o gráfico das linhas e determine geometricamente o número de soluções. a) { x1 + x2 = 4 x1 − x2 = 2. única solução: b) { x1 + 2x2 = 4 −2x1 − 4x2 = 4. sem solução: c) { 2x1 − x2 = 5 −4x1 + 2x2 = −6. sem solução: 4 d) x1 + x2 = 1 x1 − x2 = 1 −x1 + 3x2 = 3 sem solução: e) x1 + x2 = 5 x1 − x2 = 1 −x1 + 3x2 = 3 única solução: Correção do Exercício 4: As matrizes aumentadas dos sistemas do exercício 3 são: a) ( 1 1 4 1 −1 2 ) b) ( 1 2 4 −2 −4 4 ) c) ( 2 −1 5 −4 2 −6 ) d) 1 1 11 −1 1 −1 3 3 e) 1 1 51 −1 1 −1 3 3 Correção do Exercício 5: Os sistemas de equações que correspondem as matrizes aumen- tadas são: a) { 3x1 + 2x2 = 8 x1 + 5x2 = 7. b) { 5x1 − 2x2 + x3 = 3 2x1 + 3x2 − 4x3 = 0. c) 2x1 + x2 + 4x3 = −1 4x1 − 2x2 + 3x3 = 4 5x1 + 2x2 + 6x3 = −1. d) 4x1 − 3x2 + x3 + 2x4 = 4 3x1 + x2 − 5x3 + 6x4 = 5 x1 + x2 + 2x3 + 4x4 = 8 5x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 7. 5 Correção do Exercício 6: O conjunto de solução dos sistemas são dadas por: a) S = {(1,−2)} b) S = {(3, 2)} c) S = {(1/2, 3/2)} d) S = {(1, 1, 2)} e) S = {(−3, 1, 2)} f) S = {(−1, 1, 1)} g) S = {(1, 1,−1)} h) S = {(4,−3, 1, 2)} Correção do Exercício 7: Os dois seguintes sistemas: a) { 2x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 = 5. b) { 2x1 + x2 = −1 4x1 + 3x2 = 1. têm mesma matriz de coeficientes, mas diferentes lados direitos. As operações para resolver esses sistemas sendo determinadas pela matriz de coeficiente (e não pelo lado direito) podemos resolver ambos sitema simultaneamente. Para eliminar o primeiro elemento da segunda linha da matriz aumentada, usemos operações em linhas: L1 L2 ( 2 1 3 −1 4 3 5 1 ) ; L1 L2 − L1 ( 2 1 3 −1 0 3− 2 5− 6 1 + 2 ) = ( 2 1 3 −1 0 1 −1 3 ) . Segue que cada um dos sistemas é equivalentes a um sistema onde basta fazer a substituição reversa: a) { 2x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 = 5. ⇐⇒ { 2x1 + x2 = 3 x2 = −1. ⇐⇒ { x1 = 2 x2 = −1. b) { 2x1 + x2 = −1 4x1 + 3x2 = 1. ⇐⇒ { 2x1 + x2 = −1 x2 = 3. ⇐⇒ { x1 = −2 x2 = 3. Correção do Exercício 8: De maneira semelhante, podemos resolver simultaneamente os dois sitemas, obtemos os seguintes conjuntos de solução: a) S = {(−1, 2, 1)} b) S = {(3, 1,−2)} Referências [1] Steven J. Leon, Álgebra Linear com aplicações, 8a edição, LTC 2011. 6
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