algebra linear td3

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Paraná 2◦ semestre 2015.
Algebra Linear, CM 005 Olivier Brahic
Lista de exercícios 3
Aritmética Matricial
Exercício 1: Se A =
 3 1 4−1 0 1
2 2 2
 e B =
 1 0 2−3 1 1
2 −4 1
, calcule:
a) 2A, ᵀ
b) A+B
c) 2A− 3B
d) (2A)ᵀ − (3B)ᵀ
e) AB
f) BA
g) AᵀBᵀ
h) (BA)ᵀ
Exercício 2: Para cada um dos pares de matrizes que se seguem, determine se é possível
multiplicar a primeira matriz pela segunda. Se for possível, execute a multiplicação.
a)
(
3 5 1
−2 0 2
)  2 11 3
4 1

b)
 4 −26 −4
8 −4
 ( 1 2 3 )
c)
 1 4 30 1 4
0 0 2
  3 21 1
4 5

d)
(
4 6
2 1
) (
3 1 5
4 1 6
)
e)
(
4 6 1
2 1 1
) (
3 1 5
4 1 6
)
f)
 4−1
3
, ( 3 2 4 5 )
Exercício 3: Para que pares no exercício 2 é possível multiplicar a segunda matriz pela
primeira, e qual seria a dimensão da matriz produto ?
Exercício 4: Escreva cada dos seguintes sistemas de equações como uma equação matricial.
a)
{
3x1 + 2x2 = 1
2x1 − 3x2 = 5. b)

x1 + x2 = 5
2x1 + x2 − x3 = 6
3x1 − 2x2 + 2x3 = 7.
c)

2x1 + 3x2 + x3 = 4
x1 + x2 + 2x3 = 2
3x1 + 4x2 − x3 = 0.
Exercício 5: Se A =
(
2 4
1 3
)
, B =
( −2 1
0 4
)
e C =
(
3 1
2 1
)
verifique que:
a) (A+B)+C = A+(B+C),
b) A(BC) = (AB)C,
c) A(B + C) = AB +AC,
d) (A+B)C = AC +AB.
Exercício 6: Seja A =
(
1 2
1 −2
)
, b =
(
4
0
)
e c =
( −3
−2
)
a) Escreva b como uma combinação linear dos vetores coluna a1 e a2.
b) Use o resultado da parte a) para determinar a solução do sistema Ax = b. O sistema tem
outras soluções ? Explique.
c) Escreva c como como uma combinação linear dos vetores coluna a1 e a2.
1
Exercício 7: Para cada um dos escolhos de A e b a seguir, determine se o sistema Ax = b é
consistente, examine como b se relaciona com os vetores coluna de A. Explique sua resposta
em cada caso.
a) A =
(
2 1
−2 1
)
, b =
(
3
1
)
b) A =
(
1 4
2 3
)
, b =
(
5
5
) c) A =
 3 2 13 2 1
3 2 1
, b =
 10
−1

Exercício 8: Explique por que cada uma das seguintes regras algébricas não funcionam
quando os números reais a e b são substituidos por matrizes n× n A e B:
a) (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2, b) (a+ b)(a− b) = a2 − b2,
Exercício 9: Encontre matrizes A e B, não nulas, tais que AB = 0. Encontre matrizes não
nulas A, B, C tais que AC = BC e A 6= B.
Exercício 10: A matriz A =
(
1 −1
1 −1
)
tem a propriedade A2 = 0. É possivel para uma
matriz simétrica 2× 2 ter essa propriedade ? Demostre sua resposta.
Exercício 11: Seja A =
(
1/2 1/2
−1/2 −1/2
)
. Calcule A2, A3. Que serà An ?
Exercício 12: Seja A =

0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
. Mostre que A4 = 0 para n ≥ 4.
Exercício 13: Seja A uma matriz n×n e sejam x e y vetores em Rn. Mostre que se Ax = Ay
e x 6= y, então A deve ser singular.
Exercício 14: Dado R =
(
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
)
. Mostre que R é não singular e R−1 = Rᵀ.
Exercício 15: Uma matriz n × n A é dita uma involução se A2 = I. Considere q matriz
G =
(
cos θ sin θ
sin θ − cos θ
)
. Mostre que G é involução. Qual é a inversa de G ?
Exercício 16: Uma matriz A é dita uma idempotente se A2 = A. Mostre que cada uma das
seguintes matrizes é idempotente:
a)
(
1 0
1 0
)
, b)
(
2/3 1/3
2/3 1/3
)
, c)
 1/4 1/4 1/41/4 1/4 1/4
1/2 1/2 1/2
.
Exercício 17: Seja A uma matriz idempotente. Mostre que I − A tambem é idempotente.
Mostre que I +A é não singular e (I +A)−1 = I −A/2.
2
Correções
Correção do Exercício 1: Se A =
 3 1 4−1 0 1
2 2 2
 e B =
 1 0 2−3 1 1
2 −4 1
,
Calculemos que:
a) 2A =
 6 2 8−2 0 2
4 4 4
,
b) A+B =
 4 1 6−4 1 2
4 −2 3

c) 2A− 3B =
 3 2 27 −3 −1
−2 16 1

d) (2A)ᵀ − (3B)ᵀ =
 4 4 02 −2 12
4 0 2

e) AB =
 8 −15 111 −4 −1
0 −6 8

f) BA =
 7 5 8−8 −1 −9
12 4 6

g) AᵀBᵀ =
 7 −8 125 −1 4
8 −9 6

h) (BA)ᵀ =
 7 −8 125 −1 4
8 −9 6

Correção do Exercício 2:
Lembremos que a multiplicação de matrizes é uma definida como uma aplicação:
Mm,n(R)×Mn,r(R)→Mm,r(R),
onde m,n, r ∈ N∗. Em particular, para que o produto AB de duas matrizes A e B seja bem
definido, o número de colunas de A tem que conferir com o número de linhas de B.
a)
(
3 5 1
−2 0 2
)
·
 2 11 3
4 1
 = ( 15 19
4 0
)
b) O produto não é definido.
c)
 1 4 30 1 4
0 0 2
 ·
 3 21 1
4 5
 =
 19 2117 21
8 10

d)
(
4 6
2 1
)
·
(
3 1 5
4 1 6
)
=
(
36 26 40
10 11 8
)
e) O produto não é definido.
f)
 4−1
3
·( 3 2 4 5 ) =
 12 8 16 20−3 −2 −4 −5
9 6 12 15

Correção do Exercício 3: Semelhantemente, calculemos:
a)
 2 11 3
4 1
 · ( 3 5 1−2 0 2
)
=
 4 10 4−3 5 7
10 20 6

b)
(
1 2 3
) ·
 7 −26 −4
8 −4
 = ( 43 −22 )
c) O produto não é definido.
3
d) O produto não é definido.
e)
(
3 1 5
4 1 6
)
·
(
4 6 1
2 1 1
)
=
 4 10 4−3 5 7
10 20 6

f) O produto não é definido.
Correção do Exercício 4: Escreva cada dos seguintes sistemas de equações como uma
equação matricial.
a) Consideremos as matrizes A,x e b, definidas por:
A :=
(
3 2
2 −3
)
∈M2,2(R), x :=
(
x1
x2
)
∈M2,1(R), b :=
(
1
5
)
∈M2,1(R),
então, é immediato verificar que o sistema linear pode ser escrito matricialmente assim:{
3x1 + 2x2 = 1
2x1 − 3x2 = 5.
⇐⇒
(
3 2
2 −3
)
·
(
x1
x2
)
=
(
1
5
)
⇐⇒ A · x = b.
b) Semelhantemente, considerando as matrizes A,x e b definidas por:
A :=
1 1 02 1 −1
3 −2 2
 ∈M3,3(R), x :=
x1x2
x3
 ∈M3,1(R), b :=
56
7
 ∈M3,1(R),
então, é immediato verificar que o sistema linear pode ser escrito matricialmente assim:
x1 + x2 = 5
2x1 + x2 − x3 = 6
3x1 − 2x2 + 2x3 = 7.
⇐⇒
1 1 02 1 −1
3 −2 2
 ·
x1x2
x3
 =
56
7

⇐⇒ A · x = b.
c) Semelhantemente, considerando as matrizes A,x e b definidas por:
A :=
2 3 11 1 2
3 4 −1
 ∈M3,3(R), x :=
x1x2
x3
 ∈M3,1(R), b :=
42
0
 ∈M3,1(R),
então, é immediato verificar que o sistema linear pode ser escrito matricialmente assim:
2x1 + 3x2 + x3 = 4
x1 + x2 + 2x3 = 2
3x1 + 4x2 − x3 = 0.
⇐⇒
2 3 11 1 2
3 4 −1
 ·
x1x2
x3
 =
42
0

⇐⇒ A · x = b.
Correção do Exercício 5: É so fazer as contas, e verificar que conferem as igualdades !
Correção do Exercício 6: Seja A =
(
1 2
1 −2
)
, b =
(
4
0
)
e c =
( −3
−2
)
4
a) Escreva b como uma combinação linear dos vetores coluna a1 e a2. A amatriz A tem
colunas:
A =
(
1 2
1 −2
)
isso é: a1 =
(
1
1
)
e a2 =
(
2
−2
)
.
É fácil escrever b como combinação linear de a1 e a2, da seguinte maneira:
b =
(
4
0
)
=
(
2.1 + 2
2.1− 2
)
= 2.
(
1
1
)
+
(
2
−2
)
= 2.a1 + a2.
b) Escrevemos explicitamente o sistema Ax = b, obtemos:
Ax = b ⇐⇒
(
1 2
1 −2
)
·
(
x1
x2
)
=
(
4
0
)
⇐⇒
{
x1 + 2x2 = 4
x1 − 2x2 = 0.
Observe que x = (x1, x2) é solução do sistema se e somente se: x1.a1 + x2.a2 = b, ou seja,
exatamente quando (x1, x2) é o próprio par de coeficientes que permitem escrever b como
combinação linear de a1 e a2. Isto segue da seguinte conta:{
x1 + 2x2 = 4
x1 − 2x2 = 0.
⇐⇒ x1.
(
1
1
)
+ x2.
(
2
−2
)
=
(
4
0
)
Vimos no a) que b é combinação linear de a1 e a2, com coeficientes x1 = 2 e x2 = 1, logo
(x1, x2) = (2, 1) é solução do sistema. É claro que (x1, x2) = (2, 1) é a única solução pois
os vetores a1 e a2 não são colineares (faça um desenho, se precisa).
Pode-se verificar resolvendo o sistema, que de fato, o conjunto solução é dado por:
S ={(2, 1)}.
c) Tentando repetir o raciocinho, revela-se mais difícil escrever c direitamente como uma
combinação linear de a1 e a2:
c =
( −3
−2
)
?
= x1.
(
1
1
)
+ x2
(
2
−2
)
= x1.a1 + x2.a2.
Porem, sempre vale que conseguir (x1, x2) como acima é equivalente a resolver um sistema:
x1.
(
1
1
)
+ x2.
(
2
−2
)
=
( −3
−2
)
⇐⇒
{
x1 + 2x2 = 4
x1 − 2x2 = 0.
Logo basta reslover o sistema. Obtemos o seguinte conjunto solução S = {(−5/2,−1/4)}.
Podemos verificar que, de fato:
−5
2
(
1
1
)
− 1
4
(
2
−2
)
=
( −3
−2
)
.
Alem disso, a solução do sistema sendo única, este é a única maneira de escrever c como
combinação linear de a1 e a2. Note que esta unicidade segue de a1 e a2 (não depende do
escolho de c).
Correção do Exercício 7: Para cada um dos escolhos de A e b a seguir, determine se o
sistema Ax = b é consistente, examine como b se relaciona com os vetores coluna de A.
Explique sua resposta em cada caso.
5
a) O sistema associado é dado por: {
2x1 + x2 = 3
−2x1 + x2 = 1.
Ele é consistente, e tem solução única S = {(1/2, 2)}. Obtemos b como combinação linear
das colunas de A: (
3
1
)
=
1
2
(
2
−2
)
+ 2
(
1
1
)
.
b) O sistema associado é dado por: {
x1 + 4x2 = 5
2x1 + 3x2 = 5.
Ele é consistente, e tem solução única S = {(1, 1)}. Obtemos b como combinação linear
das colunas de A: (
5
5
)
=
(
1
2
)
+
(
4
3
)
.
c) O sistema associado é dado por: 
3x1 + 2x2 + x3 = 1
3x1 + 2x2 + x3 = 0
3x1 + 2x2 + x3 = −1.
Ele é inconsistente, S = ∅, logo é impossível obter b como combinação linear das colunas
de A (o que é fácil ver num desenho em R3 tambem).
Correção do Exercício 8: Explique por que cada uma das seguintes regras algébricas não
funcionam quando os números reais a e b são substituidos por matrizes n× n A e B:
a) Sendo duas matrizes n× n, A e AB, temos :
(A+B)2 = (A+B)(A+B)
= A(A+B) +B(A+B)
= AA+AB +BA+BB
= A2 +AB +BA+B2 6= A2 + 2AB +B2
pois para matrizes AB 6= BA em geral, logo AB +BA 6= 2AB tambem.
b) Semelhantemente:
(A+B)(A−B) = A(A−B) +B(A−B)
= AA−AB +BA−BB
= A2 −AB +BA−B2 6= A2 −B2
pois para matrizes AB 6= BA em geral, logo −AB +BA 6= 0.
6
Correção do Exercício 9:
a) Sejam A,B ∈M2,2(R) as matrizes dadas por:
A :=
(
0 1
0 1
)
, B :=
(
1 1
0 0
)
.
Então verifica-se facilmente que AB = 0, embora nem A nem B seja nula.
Observação. O que é importante aqui é de notar que este fenômeno não acontece com
o produto de números reais, ou complexos: pois se ab = 0, com a, b ∈ R ou C, então
necessariamente, tem-se a = 0 ou b = 0... Este exibe um comportamento bastante singular
das matrizes em relação ao produto.
b) Usando as regras álgebricas do produto matricial, podemos observar o seguinte:
AB = AC ⇐⇒ AB −AC = 0
⇐⇒ A(B − C) = 0.
Logo podemos usar o item a) precedente para conseguir matrizes explicitas, pegando por
exemplo:
A :=
(
0 1
0 1
)
, B :=
(
1 0
0 0
)
, C :=
(
0 −1
0 0
)
.
Verifica-se facilmente que AB = BC, embora B e C sejam matrizes diferentes.
Observação. De novo, o objetivo deste exercício e de ressaltar algumas diferenças entre o
produto matricial e o produto em R ou em C. Neste case, observe que não pode-se ’dividir’
pela matriz A para simplificar a igualdade: temos AB = AC, embora B 6= C e A 6= 0.
Veremos que pode-se simplificar jà que a matriz A é invertível, o que não é o caso neste
particular exemplo.
Correção do Exercício 10: Seja A ∈M2,2(R) uma matriz simétrica, então A é necessaria-
mente da forma:
A =
(
a b
b c
)
.
Logo pode-se calcular facilmente que:
A2 = A.A =
(
a b
b c
)
·
(
a b
b c
)
=
(
a2 + b2 ab+ bc
ab+ bc b2 + c2
)
.
Em particular, é fácil ver que se A2 = 0, então a2 + b2 = b2 + c2 = 0, o que implica que
a = b = c = 0. Concluímos que a matriz nula A = 0 é a única matriz simétrica 2× 2 tal que
A2 = 0.
Observação. Este resultado não vale se não sopormos que A seja simétrica. O exemplo mais
básico serià o segnuinte: considere a seguinte matriz, que não é simétrica:
A =
(
0 1
0 0
)
.
Então é fácil verificar que A satisfaz A2 = 0, porem A 6= 0. De novo, observe a diferença com
o produto usual em R ou C.
7
Correção do Exercício 11: Calculemos que:
A2 =
(
1/2 1/2
−1/2 −1/2
)
·
(
1/2 1/2
−1/2 −1/2
)
=
(
1/4− 1/4 1/4− 1/4
−1/4 + 1/4 −1/4 + 1/4
)
=
(
0 0
0 0
)
Logo A2 = 0. Segue que A3 = A2.A = 0.A = 0, e semelhantemene, para n ≥ 2 temos
An = A2.An−2 = 0.An−2 = 0.
Observação. Para ser rigoroso, teria que proceder por indução, como no seguinte exercicio.
Correção do Exercício 12: Calcula-se facilmente que:
A =

0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0

A2 =

0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0

A3 =

0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

A4 =

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
 .
Observação. O que é surprendente neste exemplo é que tem-se: A 6= 0, A2 6= 0, A3 6= 0,
porem, A4 = 0. Pode observar como a linha diagonal de 1 "esta subindo", ate desaparecer...
Este descreve de maneira intuitiva o comportamente de matrizes não nulas cuja potencia An
se anula para n suficientemente grande.
Jà que A4 se anula, é fácil ver que An = 0 para n ≥ 4. Mostremos isto por indução: notemos
(Pn) a seguinte propriedade:
(Pn) : An = 0.
Calculemos acima que (Pn) é verdade para n = 4. Agora, suponha que (Pn) seja satisfeita,
então temos:
An+1 = An.A
∗
= 0.A = 0
onde usàmos (Pn) em ∗. Logo (Pn)⇒ (Pn+1) e podemos concluir que An = 0 para n ≥ 4.
Correção do Exercício 13: Seja A uma matriz n×n e x e y vetores em Rn tais que Ax = Ay
e x 6= y. Vamos provar por contradição que A é singular.
8
Suponha que A é não singular, ou seja, que A admite uma inversa A−1. Então, teremos:
Ax = Ay ⇒ A−1(Ax) = A−1.(Ay)
⇒ A−1A︸ ︷︷ ︸
=I
x = A−1.A︸ ︷︷ ︸
=I
y
⇒ Ix︸︷︷︸= x = Iy︸︷︷︸
=y
⇒ x = y.
Este contradiz a hipótese que x 6= y, logo A não pode ser invertível.
Correção do Exercício 14: Calcula-se que:
R.Rᵀ =
(
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
)
·
(
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
)
=
(
cos2 θ + sin2 θ cos θ sin θ − sin θ cos θ
sin θ cos θ − sin θ cos θ cos2 θ + sin2 θ
)
=
(
1 0
0 1
)
Seguem duas coisas desta conta: o fato que R é não singular, e tambem o fato que R−1 = Rᵀ.
Correção do Exercício 15: Calcula-se que:
G2 = G.G =
(
cos θ sin θ
sin θ − cos θ
)
·
(
cos θ sin θ
sin θ − cos θ
)
=
(
cos2 θ + sin2 θ cos θ sin θ − sin θ cos θ
sin θ cos θ − sin θ cos θ cos2 θ + sin2 θ
)
=
(
1 0
0 1
)
Uma matriz n×n A é dita uma involução seA2 = I. Considere a matrizG :=
(
cos θ sin θ
sin θ − cos θ
)
.
Logo G2 = I, isso é, G é uma involução. Em particular, G.G = I, logo G é não singular, e a
inversa de G a a própria matriz G.
Observação. Note de novo a diferença com o calculo usual em R ou C, onde os únicos
números g reais ou complexos tais que g2 = 1 são 1 e −1.
Correção do Exercício 16: Basta verificar fazendo cada vez as contas que A2 = A.
Correção do Exercício 17: Suponha que A é uma matriz idempotente, iso A verifica A2 =
A. Então, para verificar que I −A tambem o é. calculemos:
(I −A)2 = (I −A)(I −A)
= I(I −A)−A(I −A)
= II − IA−AI +AA
= I −A−A+A
= I −A,
logo I −A tambem é idempotante.
9
Para ver que I +A é não singular e (I +A)−1 = I −A/2, basta calcular:
(I +A)(I −A/2) = (I +A)(I −A/2)
= I(I −A/2) +A(I −A/2)
= II − IA/2 +AI −AA/2
= I −A/2−A+A/2
= I.
Referências
[1] Steven J. Leon, Álgebra Linear com aplicações, 8a edição, LTC 2011.
10