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Economia Matemática 1 Notas de aula Prof. Dr. Paulo Matos UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ FACULDADE DE ECONOMIA, ATUÁRIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE CAMPUS DE SOBRAL CURSO DE GRADUAÇÃO EM ECONOMIA UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ FACULDADE DE ECONOMIA, ATUÁRIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE CAMPUS DE SOBRAL CURSO DE GRADUAÇÃO EM ECONOMIA ii Sumário PROGRAMA DA DISCIPLINA 1 1. INTRODUÇÃO À ECONOMIA 5 2. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 37 3. ÁLGEBRA LINEAR 87 Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 1 Programa da disciplina Professor: Paulo Rogério Faustino Matos Contatos: ���� (paulomatos@caen.ufc.br) www.caen.ufc.br/~paulomatos Período: 2008 – II Carga horária/ Créditos: 96 horas/ 6 créditos Horário da Disciplina: Segunda-feira das 18:30 às 22:10 e Terça-feira das 18:30 às 20:10 Pré-requisitos: S/P I – OBJETIVO Esta primeira disciplina em Economia Matemática do programa de Graduação em Economia da UFC será composta por três seções: i) uma primeira parte abordando aspectos gerais e introdutórios sobre economia, mais especificamente, a ciência econômica, métodos quantitativos e econométricos e modelagem, ii) uma segunda, em que dá-se início ao estudo propriamente dito de cálculo diferencial e integral com uma única variável e por fim iii) uma última seção, onde serão vistos os tópicos associados a modelos lineares e álgebra matricial. Em todas estas seções, o objetivo maior será propiciar ao aluno não somente um primeiro contato com métodos quantitativos per si, mas sim familiarizá-lo com as técnicas, fazendo-o reconhecer sua relevância e aplicação quando da solução de modelos econômicos. Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 2 II – AVALIÇÃO A média final do aluno será determinada a partir da realização de uma média aritmética de duas notas “bimestrais”, em que cada uma será igualmente composta por uma avaliação intermediária (AI) e uma avaliação final (AF), com pesos de 20% e 80%, respectivamente. Dessa forma, a nota final respeitará a seguinte ponderação: Nota Disciplina = (0,2 . AI1 + 0,8 . AF1) + (0,2 . AI2 + 0,8 . AF2) 2 III – EMENTA Introdução à economia; Cálculo diferencial e integral; Álgebra linear IV – CONTEÚDO PROGRAMÁTICO I. Introdução à economia: 1. Natureza da economia matemática (CW – 1) 2. Modelos econômicos (CW – 2) 3. Introdução à matemática (CW – 2 e 3) II. Cálculo diferencial e integral: 1. Derivada (CW – 6, 7, 8 e 10) 2. Integral (CW – 14) III. Álgebra linear: 1. Álgebra matricial (CW – 4 e 5) 2. Sistemas de equações (CW – 5 ) Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 3 V – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFIAS Bibliografia Básica: [CW] Chiang, A. e Wainwright, K. “Matemática para economistas”. Ed. Campus, 2005 [SB] Simon, C, e Blume, L. “Mathematics for economists”. Norton, 1994 [ANPEC] Exame Nacional da ANPEC – Matemática. www.anpec.org.br/exame Bibliografia Auxiliar: [G] Guidorizi, H “Um Curso de cálculo”, volumes 1, 2 e 3. LTC, 2001 [CW] Costa, B. e Werzler, F. “Álgebra Linear”. Editora Harbra, 1986 Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 4 VI – METODOLOGIA - Aulas presenciais teóricas - Análise de modelos econômicos - Resolução de exercícios VII – CURRICULUM RESUMIDO DO PROFESSOR Paulo Rogério Faustino Matos é Doutor em Economia pela Fundação Getulio Vargas (EPGE/FGV-RJ) e Engenheiro Civil pela Universidade Federal do Ceará (UFC). Autor de artigos acadêmicos em finanças de nível internacional e Professor Adjunto nas áreas de Finanças, Finanças Internacionais e Microeconomia nos programas de Graduação e Pós-graduação em economia da UFC (CAEN) e em instituições como a FGV-RJ, sua experiência profissional inclui ainda os serviços especializados de consultoria e assessoria econômico-financeira, sendo sócio-fundador da M&M Consultoria e Assessoria Ltda. Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 5 1. Introdução à economia “Economia: uma matéria imperialista. E os métodos quantitativos têm papel fundamental neste contexto!” 1.1. Natureza da economia matemática 1.1.1. Definição de economia Do Aurélio Ferreira; Novo Dicionário da Língua Portuguesa, 1986: - economia, [do latim oeconomia]: 1. A arte de bem administrar uma casa ou estabelecimento particular. 2. Contenção ou moderação nos gastos. 3. Ciência que trata dos fenômenos relativos à produção, distribuição, acumulação e consumo de bens. 1.1.2. Divagação Economia: uma matéria imperialista. E os métodos quantitativos têm papel fundamental neste contexto! A economia avança a partir do desenvolvimento de modelos de fenômenos sociais. Mas o que seria um modelo? Por modelo, entende-se uma representação simplificada da realidade, podendo ser expresso em palavras ou equações, como por exemplo, um mapa. Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 6 Uma idéia fundamental na arte da modelagem consiste em focar nas características essenciais da realidade, eliminando ou omitindo detalhes irrelevantes para entender o funcionamento da economia. 1.1.3. E a economia matemática? Qual seria a relevância, o papel da economia matemática neste contexto de imperialismo da economia como ciência? a. Relevância acadêmica: - Comportamento otimizador dos agentes econômicos (consumidores, firmas e governo) - Prêmios Nobel de Economia: de 1969 à 2007 foram 61 vencedores, dos quais temos alguns poucos psicólogos, filósofos, cientistas político, alguns físicos e vários matemáticos de formação (mais de dez), sendo que, em todos os casos, independentemente da graduação, são todos possuidores de forte e sólida formação em métodos quantitativos. b. Citações: - Segundo Platão: “ ... não entrem os que não souberem geometria ...” - Em O preço do desafio (Warner Bros.), o professor de matemática diz aos alunos que esta disciplina ama-se ou odeia-se, sendo esta a grande niveladora. E na prática? Valendo-se da tríade” ler, escrever e contar”, a matemática ocupa o lugar das disciplinas que mais reprova.” Observe este histograma. Figura 1.1. Alunos da 3ª série do ensino médio em língua portuguesa e matemática – 2004. Fonte : SPAECE 0,0 1,8 16,0 76,7 80,4 21,4 3,6 0,0 0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 Muito Crítico Crítico Intermediário Adequado Português Matemática Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 7 Mas seria a economia matemática um ramo distinto da economia, assim como a finanças, a organização industrial? Segundo o autor do livro texto, não. Trata-se de uma abordagem da análise econômica na qual o economista utiliza símbolos matemáticos para enunciar um problema, recorrendo também a teoremas matemáticos conhecidos para auxiliar o raciocínio. De uma forma mais geral, sabe-se que todo livro didático elementarsério em economia faz uso de matemática, seja sob um arcabouço de álgebra matricial, cálculo diferencial e integral, equações diferencias e em diferenças, otimização estática ou dinâmica. Em qualquer análise teórica, o objetivo é a partir de um conjunto de premissas, hipóteses, fazendo-se uso de um processo de raciocínio, obter um conjunto de resultados e conclusões. Sob uma abordagem matemática, em vez de literária, as hipóteses e conclusões serão enunciadas em símbolos matemáticos e não em palavras, em equações e não em sentenças. Além disso, usa-se a lógica e os teoremas matemáticos e não a lógica literária. E a questão da análise geométrica como ferramenta matemática vis-à-vis o algebrismo? Trata-se de um trade-off entre intuição, visualização e praticidade versus generalização. E o papel das críticas feitas sobre teorias obtidas matematicamente de maneira pouco realista? Segundo o autor do livro texto, o termo não-realista não deveria ser utilizado nem mesmo para criticar a teoria econômica em geral, quer a abordagem seja ou não matemática. Teoria seria, por natureza ou definição, uma abstração do mundo real, um recurso para tentar isolar apenas os fatores e as relações mais essenciais, de modo que se possa estudar o ponto crucial do problema em questão, livre das inúmeras complicações do mundo real. A falta de realismo seria um truísmo não válido! O autor claramente segue uma vertente normativa de metodologia oficial estabelecida em 1953 por Milton Friedman. Em contrapartida, a academia tem assumido uma postura positiva, em que o realismo das hipóteses é fundamental, onde os testes empíricos somente são feitos para teorias tidas como razoáveis por um grupo de economistas conceituados. Afinal, que jornal publicaria trabalhos empíricos aceitando ou rejeitando uma teoria em que ninguém acredita? Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 8 1.2. Modelos econômicos Toda abordagem teórica em economia faz-se através do uso de uma modelagem que consiste em uma simplificação da realidade, tendo em vista sua complexidade. Neste contexto, passa a ser relevante que iniciemos o estudo da economia matemática pelos componentes de um modelo matemático, o qual consistirá em um sistema de equações que, a partir de um conjunto de premissas, relacionam variáveis entre si, sendo necessário o uso de operações matemáticas visando obter conclusões sobre o comportamento destas variáveis. 1.2.1. Variáveis Algo cujo valor pode mudar. Dentre as mais usadas em economia e seus respectivos símbolos, temos preço (P), lucro (π), receita (R), custo (C), renda (Y), retorno líquido (r),... Quando do estudo de escopo da economia, vimos que pode se definir uma “visão de economista”, aquela sobre questões na área de ciências sociais baseada em 4 ingredientes: a. otimização; b. equilíbrio; c. eficiência e d. expectativas racionais Neste contexto, quando da solução de um modelo matemático entende-se a obtenção dos valores de equilíbrio para algumas variáveis do modelo. Estas variáveis, cujos valores se pretende obter usando o modelo, são ditas endógenas. Todo modelo porém, possui outras variáveis cujos valores são tidos como dados no problema e não originados pelo modelo, ditas exógenas. Alguns exemplos seriam: portfolio theory e decisão da estrutura ótima de capital de uma empresa. É importante atentar para o fato de que uma variável endógena em uma abordagem pode ser exógena em outra. Exemplo: preço em modelos de equilíbrio e de consumo. Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 9 1.2.2. Constantes Uma constante é uma grandeza que não muda e, portanto, é a antítese da variável. Quando uma constante está ligada a uma variável (multiplicando-a) ela é normalmente denominada coeficiente daquela variável. Obs.: O coeficiente pode ser numérico ou literal, sendo comum chamá-la neste último caso de parâmetro cujo valor poderá ser obtido via calibração ou estimação. Comumente, representamos os parâmetros de um modelo por letras ou do nosso alfabeto, ou do alfabeto grego. 1.2.3. Equações e identidades Relações matemáticas entre variáveis. Os três principais tipos seriam: a. Equação definicional: estabelece uma identidade entre duas expressões alternativas que têm exatamente o mesmo significado. Neste tipo de equaçõ, faz-se uso do símbolo (≡) que denota “ser idêntico a”. Por exemplo, lucro é definido como sendo receita menos despesa, ou seja, π ≡ R – C. b. Equações comportamentais: especificam como uma variável se comporta em resposta a mudanças em outras variáveis. Exemplos: função de produção e utilidade do investidor a la Markowitz. c. equação condicional: determina um requisito a ser satisfeito. Exemplo: equilíbrio. 1.3. Introdução à matemática 1.3.1. Conjuntos numéricos A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objetos e ter registros numéricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em que procurava abstrair a natureza por meio de processos de determinação de quantidades. E essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos. Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 10 Definição: Um conjunto é uma coleção de objetos ou entidades bem definidos. Os objetos ou entidades que pertencem a um conjunto são chamados os elementos do conjunto. Um conjunto está determinado por uma lista de seus elementos ou pela especificação de uma regra que determine se um dado objeto ou entidade pertence ou não a ele. Tal regra é denominada uma propriedade característica. Para representar um conjunto, escrevemos os seus elementos ou a sua propriedade característica entre chaves. Exemplo 1.1: Literal: A = {a, b, c}. Significa que o conjunto A é formado pelos elementos a, b e c. Numérico: B = {l, 2, 3, 4, 5, 6}. Significa que o conjunto B é formado pelos números 1, 2, 3, 4, 5, 6. Com uso de notação matemática: C = {x: x é um inteiro ímpar}. Significa que o conjunto C é constituído de todos os inteiros ímpares. D = {y: y é um inteiro} significa que o conjunto D se compõe de todos os números inteiros. Aplicação: Isoquanta, conjunto de todas as combinações de insumos que resultam no mesmo nível de produção. Observações e notações: A notação x ∈ S significa que a entidade ou objeto x é um elemento do conjunto S. A notação x ∉ S significa que x não é um elemento do conjunto S. Se todo elemento do conjunto S é também um elemento do conjunto T, dizemos que S é um subconjunto de T (representado pela notação S ⊂ T, ou seja, S está contido em T, ou ainda, T ⊃ S, T contém S ). A notação padrão lista os elementos separados por vírgulas entre chaves (o uso de "parêntesis" ou "colchetes" é incomum) como os seguintes exemplos: W= {1, 2, 3} H = {1, 2, 2, 1, 3, 2} P = {x: x é um número inteiro tal que 0 < x < 4} O que falar sobre estes exemplos? Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 11 Tipos de conjuntos numéricos: a. Conjunto dos Números Naturais: Como decorrência da necessidade de contar objetos surgiram os números naturais que é simbolizado pela letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja: N = {0, 1, 2, 3, …} b. Conjunto dos Números Inteiros: Chama-seo conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, o seguinte conjunto: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} c. Conjunto dos Números Racionais: O conjunto dos números racionais, simbolizado pela letra Q, é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de uma fração p/q, com p e q inteiros quaisquer e q diferente de zero: Q = {p/q | p,q ∈ Z e q ≠ 0} Obs.: Como todo número inteiro pode ser escrito na forma p/1, então Z é um subconjunto de Q. d. Conjunto dos Números Reais: O conjunto dos números reais é simbolizado pela letra ℜ . Estes números são usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fracção decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta. Desse modo todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos números irracionais são subconjuntos de ℜ . É importante observar que sempre que Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 12 falarmos em número, sem qualquer qualificação, entenderemos tratar-se de um número real. e. Conjunto dos Números Irracionais (I): Como o próprio nome sugere um número irracional é todo número real não racional, isto é, todo número real que não pode ser obtido como uma fração p/q, onde p e q são inteiros e q diferente de zero. São exemplos de números irracionais 31/3, π = 3,14159 e = 2,718282. Ou seja, nenhum deles pertence a Q.1 Figura 1.2. Diagrama dos conjuntos f. Conjunto dos Números Complexos: O conjunto dos números complexos, simbolizado pela letra C, foi criado para dar sentido às raízes de índice par de números negativos, com a definição da unidade imaginária i igual a raiz quadrada de -1, e são constituídos de elementos na forma a + bi, onde a e b são reais. Desse fato temos que ℜ está contido em C. Como a matemática elementar envolve números reais, devemos estar familiarizados com algumas propriedades fundamentais do sistema de números reais. 1 Atribui-se a John Napier a descoberta do número de Neper. Um número irracional que surge como limite, para valores muito grandes de n, da sucessão de (1 + 1/n)n . Representa-se por e, sendo e = 2,718281828459... Este número está estreitamente aparentado com o número π. A fórmula de Euler relaciona de forma elegante estes dois números irracionais tão famosos. Fórmula de Euler: eix = cos x + i sen x e para x = π, temos e iππππ = -1. O número π apareceu no cálculo da área e do perímetro do círculo, enquanto o e é importante em quase todas as áreas do conhecimento: economia, engenharia, biologia, sociologia. Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 13 Operações com conjuntos numéricos: Assim como procedemos com números, podemos também realizar operações específicas com conjuntos de dados. a. União: Executar a união entre alguns conjuntos significa formar um novo conjunto contendo exatamente todos aqueles elementos (e somente aqueles) que pertencem aos conjuntos que foram unificados. Formalmente, temos que A ∪ B = { x | x ∈ A ou x ∈ B}. Exemplo 1.2: W = {1, 2, 3} e H = {2, 4, 6, 8}. W ∪ H = ? b. Interseção: A interseção de alguns conjuntos, por outro lado, é um novo conjunto que contém somente aqueles elementos que pertençam necessariamente a todos estes conjuntos em questão. Formalmente, temos que A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}. Exemplo 1.3: W= {1, 2, 3} e H = {2, 4, 6, 8} W ∩ H = ? E o Diagrama de Venn ? c. Universo: Suponha que para um caso específico, os alunos desta turma sejam todos os elementos existentes. Assim, podemos nos referir a estes alunos como sendo o Universo. d. Conjunto vazio: O menor subconjunto de qualquer conjunto é dito o conjunto nulo ou vazio, representado por {} ou ∅. e. Complemento: O conjunto complemento de um conjunto A consiste no conjunto composto por todos os elementos do Universo que não pertençam ao conjunto A. Formalmente, temos que Complemento de A = A = {x | x ∈ U e x ∉ A}. Exemplo 1.4: Qual o conjunto complemento do conjunto de torcedores do Guarany de Sobral desta turma? Exemplo 1.5: Qual o conjunto complemento de U? Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 14 Exercícios sobre conjuntos numéricos: # 1: Suponha que haja nesta sala, a qual possui um total de 37 alunos, 11 engenheiros, 12 advogados, 10 administradores e 8 psicólogos. Sabemos ainda que dos 11 engenheiros, 1 também é advogado, sendo os todos demais formados apenas em engenharia. Os administradores somente possuem uma única formação. Defina o universo neste caso e cada um dos conjuntos, desenhando-os em um diagrama de Venn. # 2: O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. Mostre. # 3: Exercícios 1 a 7 da seção 2.3 do livro texto, página 15. 1.3.2. Relações e funções Antes de iniciarmos o estudo de funções propriamente dito, é importante que tenhamos noções sobre os pares ordenados e o respectivo ramo da matemática. Geometria analítica: também chamada geometria de coordenadas é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, também em três ou mais dimensões. O sistema de coordenadas cartesianas é constituído de duas retas perpendiculares ao plano (plano cartesiano). Uma é escolhida como sendo horizontal e a outra como vertical. Essas retas interceptam num ponto 0, chamado de origem. A reta horizontal é chamada eixo x, e a reta vertical é chamada eixo y. Uma escala numérica é colocada ao longo dos eixos x e y. Pares ordenados: Um ponto no plano cartesiano pode ser representado de modo único no sistema de coordenadas por um par ordenado (x, y), onde x é o primeiro número e y é o segundo. O primeiro número é representado no eixo x e o segundo no eixo y. No par ordenado (x, y), o x é chamado de abscissa ou coordenada de P, o y é Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 15 chamado de ordenada ou coordenada de P. Por fim, x e y conjuntamente são chamados de coordenadas do ponto P (x, y). Exemplo 1.6: Quantidades consumidas dos bens x e y podem ser representadas por um par ordenado. O gráfico a seguir seria uma boa representação neste caso? Exemplo 1.7: Quantidade de insumo e produto a partir do processo de produção de uma firma. Exemplo 1.8: Gráfico abaixo. Gráfico de dispersão: Peso x altura dos alunos do MPESP 40 50 60 70 80 90 100 110 140 150 160 170 180 190 200 210 Altura (cm) P es o ( kg ) Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 16 Assim, de forma resumida, podemos afirmar que, no plano cartesiano, cada ponto é representado por um único par ordenado (x, y), x e y números reais. A recíproca também é verdadeira, ou seja, cada par ordenado (x, y) representa um único ponto no plano cartesiano. Por fim, o plano cartesiano é obtido associando-se a cada um dos eixos o conjunto dos números reais. Formalmente, em notação de conjunto,como se deveria representar o plano cartesiano? Conjuntos do tipo {(x, y) / x, y ∈ R}, nos quais a ordem é importante. Uma vez compreendida o que são pares ordenados e como representá-los, podemos passar a estudar as funções, possivelmente a ferramenta mais importante em álgebra e certamente a mais importante em economia. Por quê? Funções: Trata-se de um dos conceitos mais importantes da matemática, cuja a intuição poderia ser dada pela seguinte colocação: “ocorre sempre que pretendemos relacionar duas ou mais grandezas variáveis.” Exemplo 1.9: Seja a tabela abaixo a distribuição do gasto total apenas com salários dos funcionários de algumas unidades da SEFAZ e as respectivas arrecadações em algum mês. Unidade Salários Arrecadação SEFAZ 1 100,45 2,55 SEFAZ 2 90,89 3,40 SEFAZ 3 86,50 2,05 SEFAZ 4 180,00 5,90 SEFAZ 5 145,00 4,98 SEFAZ 6 125,00 4,04 SEFAZ 7 80,56 5,30 Observando esta tabela, será que poderíamos explicar bem a arrecadação de cada uma dessas unidades a partir apenas de dados de gasto mensal com salários da unidade? Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 17 Observando o gráfico, será que poderíamos associar estas duas variáveis através de uma relação única? Supondo que sim, o que isso quer dizer? Caso contrário, o que poderia estar ocorrendo? Em razão de situações como esta, precisamos ter noção sobre funções de várias variáveis, sob uma abordagem tanto algébrica, como gráfica. Mais especificamente, em muitas situações práticas, o valor de uma determinada quantidade, depende dos valores de duas outras ou de três outras. Então, é usual representar estas relações como funções de várias variáveis. Sejam A e B dois conjuntos. Uma função é uma relação em que a cada elemento de A, se associa um único elemento de B , e é indicada por f : A B→ . X – variável independente – DOMÍNIO Y – variável dependente – IMAGEM Gráfico de dispersão: Gasto salarial vs. arrecadação por unidade da SEFAZ 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 50,00 75,00 100,00 125,00 150,00 175,00 200,00 Gasto salarial (mil reais) A rr ec ad aç ão ( m il h õe s de r ea is ) Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 18 Empregando a linguagem das funções: a. O conjunto A é o domínio da função. b. O conjunto B é o contradomínio da função. c. O elemento y de B, associado ao elemento x de A, é denominado imagem de x. d. O subconjunto de B formado pelos elementos que são imagens dos elementos de A é denominado conjunto imagem ou apenas imagem da função. Exemplo 1.10: Em quais destes itens temos funções: A relação entre os conjuntos A e B é dada através de uma regra de associação expressa na forma y = f (x). Esta regra diz, que o elemento x ∈A, chamado de variável independente, está relacionado de modo único ao elemento y = f (x) ∈B, chamado de variável dependente. O conjunto A é chamado de domínio e indicamos A = Dom( f ) e o conjunto B , de contradomínio. O conjunto imagem, indicado como Im( f ) é o conjunto dos elementos de B aos quais foram associados elementos de A isto é: Im( f ) ={y ∈B | y = f (x) para algum x ∈A}. O número y ∈B, y = f (x) recebe o nome de valor da função f no ponto x. Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 19 Exemplo 1.11: Numa fábrica, uma quantidade chamada de produção (Q), depende do número de homens-hora (L) e do número de máquinas (K), usadas para produzir algum produto. A representação funcional dessa relação é . O mesmo conceito se estende para qualquer número de variáveis explicativas. Formalmente, seja D um subconjunto de , onde . Chama-se função de , toda relação que associa a cada par ordenado pertencente a D um único número real indicado por f(x, y). O conjunto D é chamado domínio da função e f(x, y) é chamado de imagem de f ou valor de f em (x, y). Em outras palavras, uma função real de duas variáveis, consiste em: a. Um conjunto D de pares ordenados de números reais (x, y) , chamado de domínio da função. Estas variáveis x e y também são ditas argumentos da função. b. Uma regra f que associa a cada par ordenado no domínio um único número real, denotado por z = f(x, y), ou que mapeia o conjunto dado pelas coordenadas em z. Formalmente, usa-se também a seguinte notação: f : D→ ℜ Relacionando as definições e elementos funções em um contexto de modelagem, temos que as variáveis x e y são chamadas variáveis independentes, e a variável z, que depende dos valores de x e y é chamada de variável dependente. Como no caso de uma função real de uma variável, o número z = f(x, y) é chamado de valor de f no ponto (x, y), como ilustrado abaixo. z ( )yx , ( )yxf , D x y ( )KLfQ ,= 2ℜ ( ){ }ℜ∈=ℜℜ=ℜ yxyx ,|,.2 2ℜ⊂D Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 20 Obs.: Quando não for especificado o domínio de uma função, convenciona-se que o mesmo é o mais amplo subconjunto dos reais, de modo que a imagem seja um número real. Além disso, se a função for decorrente de uma situação prática, os valores de x e y devem assumir valores compatíveis com as características de variáveis consideradas (por exemplo, se x e y forem quantidades, elas não podem ser negativas). Exemplo 1.12: O domínio da função é ...... Exemplo 1.13: O domínio da função é ...... Exemplo 1.14: Considere a função . Determine o seu domínio. Operações com funções: Sejam f e g duas funções definidas num mesmo conjunto A Podemos definir como: a. Soma de funções, a função s definida em A, tal que s(x) = f (x) + g(x) recebe o nome de função soma de f e g. Exemplo 1.15: Se f (x) = x3 e g(x) = 3x2 + 2, com x ∈ ℜ , então a função s definida em ℜ , tal que s(x) = x3 + 3x2 + 2 é a soma de f e g. b. Produto de funções, a função p definida em A, tal que p(x) = f (x).g(x) recebe o nome de função produto de f e g. Exemplo 1.16: Se f (x) = x3 e g(x) = 3x2 + 2, com x ∈ ℜ , então a função s definida em ℜ , tal que p(x) = x3.(3x2 + 2) = 3x5 + 2x3 é a soma de f e g. c. Divisão de funções, se g(x) ≠ 0 para todo x ∈A, a função q definida em A, tal que q(x) = )( )( xg xf é o quociente de f e g. Exemplo 1.17: Sejam f (x) = x4 e g(x) = x4 + 2, com x ∈ ℜ . A função q definida em ℜ tal que, q(x) = 24 4 +x x é o quociente das funções f e g. ( ) yxyxf +=, ( ) xy yx yxf − + = 3 , ( ) 224, yxyxf −−= Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 21 Representação Geométrica de Funções de Duas Variáveis: Muitas vezes, o gráfico de uma função fornece mais informações do que sua própria forma analítica. Em geral, estamos interessados em saber se a função é crescente ou decrescente, se ela possui valor(es) máximo(s) ou mínimo(s), e outras informações importantes que não estão visíveis em sua formula, mas são notórias nos gráficos de uma determinada função. O gráfico (ou imagem) de uma funçãode duas variáveis é o conjunto de todos os pontos tais que e pertencem ao domínio de f. Dessa forma, a função pode ser visualizada graficamente. Chama-se gráfico de f ao conjunto dado formalmente por A representação geométrica de G(f) no espaço é em geral uma superfície!!!!! Exemplo 1.18: Seja a função definida no . Represente-a graficamente. Curvas de Nível: Outro modo de visualizar graficamente uma função de duas variáveis z = f(x, y), consiste em representar no plano xy, as chamadas curvas de nível z x y 5 ( ) ( ) ( ){ }yxfzzyxfG ,|,, 3 =ℜ∈= ( ) 5, == yxfz 3ℜ 3 +ℜ Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 22 da função f. Formalmente, quando atribuímos a z um valor k, o conjunto dos pontos que satisfazem a equação f(x, y) = k formam, em geral, uma curva, que é chamada de curva de nível da função f correspondente ao valor k. Exemplo 1.19: Seja a função de arrecadação (z) de uma determinada unidade da SEFAZ dada pela seguinte relação matemática , onde: z consiste na arrecadação em milhões de reais, x o gasto com salários de funcionários e y o gasto com tecnologia em geral, equipamentos, softwares, Represente o gráfico desta função para o caso de a = b = 1 e as respectivas curvas de nível. Que conclusões podemos tirar? Graficamente, temos uma superfície dada por um parabolóide de revolução. Tipos de funções: A seguir, iremos classificar e identificar as principais características das funções com apenas um argumento, sendo a extensão dos tipos trivial para o caso de mais de uma variável. ( )1,0,1 ( )0,0,0 ( )4,2,0 x y z ( ) 22 .., ybxayxfz +== Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 23 Funções injetoras, par impar.... Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 24 a. Função constante: f(x) = c onde c é um número real qualquer. Exemplo 1.20: Seja a função de produção de uma firma dada por f(k) = 2, ou seja, a produção é sempre constante, para todos os valores de insumo k. Seria razoável economicamente falando? Como ficaria a representação gráfica? b. Função polinomial: A função constante pode ser vista como um caso particular das funções polinomiais, as quais são dadas por f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn onde a0, a1, ... an são números reais e n é um número inteiro positivo. Temos que o a potência mais alta envolvida, ou seja, o valor de n é dito o grau da função. Observe a seguir os casos particulares: - n = 0: função constante; - n = 1: função linear; - n = 2: função quadrática; - n = 3: função cúbica e assim por diante; c. Função linear ou afim: Em sua forma mais geral, temos y = a0 + a1x onde a0 é o intercepto ou coeficiente linear e a1 é a inclinação ou coeficiente angular da reta que consiste na representação gráfica deste tipo de função. Assim, quando a1 é positivo (negativo), temos uma reta positivamente (negativamente) inclinada ou uma função crescente (decrescente). O gráfico da função do 1o grau é representado por uma reta Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 25 não paralela ao eixo x nem ao eixo y. Observe em mais detalhes os gráficos gerais a seguir, em que y = ax + b. Quais os sinais dos parâmetros? Exemplo 1.21: Qual seria o incremento em y, caso houvesse um incremento de ∆ em x? d. Função módulo: É a função definida por f (x) = | x | = <− ≥ 0, 0, xx xx Exemplo 1.22 : O gráfico da função módulo é o seguinte: f(x) = |x| f(x) = |x –2| e. Função quadrática: Em sua forma mais geral, temos y = a0 + a1x + a2x2 onde a0 é o intercepto e a2 é o parâmetro que define a concavidade da curva (parábola) que representa este tipo de função. Assim, quando a2 é positivo (negativo), temos uma curva em formato de “sorriso” (tristeza), ou seja, convexa (côncava).2 Graficamente: 2 Somente quando do estudo de derivada, poderemos nos aprofundar demonstrando o motivo de tais deduções gráficas, além da determinação de máximos e mínimos. Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 26 curva convexa curva côncava Em funções assim, os ponto de máximo ou mínimo são dados por . As raízes3 (valores no domínio que zeram a função) são dadas por f. Função racional: Em sua forma mais geral, temos , onde f(.) e g(.) são funções polinomiais. Um caso particular importante é dado por f(x) = a e g(x) = x, quando teremos uma representação gráfica dada por hipérbole retangular, curva que não toca os eixos horizontal e vertical mais aproxima-se assintoticamente, o que fica mais claro quando do estudo de limites. g. Função não-algébrica: Qualquer função que seja composta por funções polinomiais, ou racionais são ditas algébricas. Todas as demais são ditas não- algébricas. Dentre as mais comuns nesta categoria, destacam-se a função exponencial. 3 O hábito de dar o nome para a fórmula de resolução da equação de segundo grau ao matemático, astrólogo e astrônomo indiano Bhaskara (1114-1185) se estabeleceu apenas no Brasil há quase 50 anos, sendo no entanto inadequada, já que apesar de problemas envolvendo tais equações terem aparecido há 4.000 anos, somente a partir do século XVI, tal fórmula foi desenvolvida pelo atemático francês Viéte. 2 02 2 11 2 4 a aaaa −±− 2 1 2a a− )( )( xg xf y= Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 27 g.1. Função Exponencial: a. Termos da potenciação: an = b, onde a é a base, n o expoente e an ou b a potência. b. Potência com expoente natural: an = a.a.a. ... .a ( n fatores ) c. Propriedades da função exponencial: a0 = 1 a1 = a (am)p = amp a-n = 1 / an am : an = am-n am . an = am+n (a .b) n = an . bn (a : b) n = an / b n Conhecidos os detalhes das operações exponenciais, a função f : ℜ → ℜ , definida por f (x) = ax, com a ∈ *+ℜ e a ≠ 1 e x ∈ ℜ , é denominada função exponencial de base a. Exemplo 1.23: f (x) = 3x (a base é 3). Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 28 Generalizando, eis os gráficos padrão desta função: - quando a > 1 → função crescente; D = ℜ ; Im = *+ℜ . - quando 0 < a < 1 → função decrescente; D = *+ℜ ; Im = * +ℜ g.2. Função logarítmica: Definimos como logaritmo, o operador matemático tal que, para a > 0 e a ≠ 1, se y = loga (x), então ay = x. a. Propriedades da função logarítmica: Para x, y > 0, valem as seguintes propriedades. Propriedade do produto: loga (xy) = loga (x) + v. Propriedade do quociente: loga )( y x = loga (x) - loga (y) . Propriedadeda potenciação: loga (yx) = x loga (y) Conhecidos os principais detalhes das operações logarítmicas, seja a um número positivo e a ≠ 1. A função definida por y = f (x) = loga (x), x > 0 , recebe o nome de função logarítmico de base a . Exemplo 1.24: f (x)= log10 (x) Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 29 Generalizando, eis os gráficos padrão desta função: a > 1 0 < a < 1 Generalizando, para o caso em que houver mais de um argumento, dizemos que a função é linear, quando a ordem do expoente for no máximo unitária em todos os seus argumentos, quadrática, quando a ordem for no máximo 2 para cada um dos argumentos, e assim vai. Exercícios sobre relações e funções # 4: Seja f uma função definida por: , então f(1,2) = , então f(1,2) = , então f(1,2) = ( ) yxyxf 2, 2 += ( ) 33, yxyxf += ( ) 3, 2 ++= xyxyxf Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 30 # 5: Seja a tabela abaixo a distribuição dos gastos apenas com equipamentos (mil de reais), com salários dos funcionários (mil de reais) de algumas unidades da SEFAZ e as respectivas arrecadações (milhões de reais) em algum mês. Tente explicar estes dados a partir de uma função de arrecadação, cujos argumentos são os gastos. Unidade Equipamentos Salários Arrecadação SEFAZ 1 55,38 100,45 2,55 SEFAZ 2 156,80 90,89 3,40 SEFAZ 3 32,09 86,50 2,05 SEFAZ 4 234,00 180,00 5,90 SEFAZ 5 211,03 145,00 4,98 SEFAZ 6 155,10 125,00 4,04 SEFAZ 7 369,08 80,56 5,30 # 6: Resolver as questões abaixo. a. Seja a função f(x) = 4x-3, calcule: f(-2) f(a+1) b. Faça o gráfico da função f(x) = -x2 +2 com o Dom (f) = { }3,2,1,0,1,2,3 −−− c. Determine o domínio e a imagem das funções abaixo: f(x) = |4-x| g(x) = < ≤<− −≤− xse xse xse 24 211 13 # 7: Exercícios 1 a 6 da seção 2.5 do livro texto, página 25. Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 31 1.3.3. Análise de equilíbrio em economia Neste processo de formação de economistas com forte base em métodos quantitativos, cabe como extensão do tópico funções, o estudo de equilíbrio de modelos. Neste escopo, é importante que se entenda ainda melhor o que significaria equilíbrio. Definição: Equilíbrio consiste em um conjunto de variáveis selecionadas inter- relacionadas ajustadas umas às outras e forma que não haja incentivo nem tendência inerente à mudança de nenhuma destas variáveis. Uma importante aplicação desta noção consiste na análise de equilíbrio estático, em que se dá um choque em uma das variáveis exógenas e observa-se o que ocorre com as variáveis endógenas do modelo. Equilíbrio parcial vs. equilíbrio geral de mercado: A teoria da Decisão consiste na própria teoria clássica sobre o comportamento (otimizador) dos agentes, consumidor e da firma, a partir da abordagem de escolha individual. Uma das mais importantes extensões desta teoria inicial aborda o estudo do Equilíbrio em mercados (leia-se aí o estudo de aspectos tais como existência, unicidade, estabilidade, ...) e dos teoremas fundamentais de bem-estar. De forma pouco precisa, entenda-se equilíbrio em um determinado mercado, como sendo o resultado ou alocação, na qual cada agente (consumidores e firmas) está fazendo "o melhor que pode" dadas as ações dos demais agentes. A abordagem de Equilíbrio Parcial, originalmente desenvolvida por Marshall (1920), assume/prevê um mercado para um determinado bem (ou cesta de bens), no qual o gasto total dos consumidores constitui apenas uma pequena fração de todo o seu orçamento, da sua renda. Sendo isso verdade, é razoável assumir que em decorrência de mudanças no mercado deste bem (em estudo): i) os preços dos demais bens da economia permaneçam praticamente inalterados e ii) o efeito-renda neste mercado seja desprezível. Uma forma simples e intuitiva de captar todos esses efeitos é através de uma modelagem de dois bens, na qual: i) todo o gasto com os demais bens da economia (exceto o bem em questão) é considerado como um gasto com uma cesta Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 32 de bens (bem numerário) e ii) a utilidade do agente é quase-linear neste bem numerário. Porém esta mesma análise pode ser feita de maneira menos restritiva, sob uma perspectiva de Equilíbrio Geral. Metodologicamente, essa abordagem adota que a economia se comporte como um sistema fechado de variáveis inter-relacionadas no qual devemos determinar os valores de equilíbrio de todas as variáveis simultaneamente. Desta forma, uma vez que haja uma perturbação na economia, o nível de equilíbrio de todas as variáveis endógenas deve ser recalculado.4 Outra particularidade desta abordagem consiste na redução/limitação das variáveis exógenas a uma pequena quantidade de physical realities ou primitivos, ou seja, conjunto de agentes, preferências, tecnologia, dotações dos agentes. Estamos portanto diante de uma teoria, primeiramente desenvolvida formalmente por Walras (1874), a qual, usando apenas os fundamentos ou primitivos da economia e a partir das hipóteses de que todos agentes se comportam como tomadores de preço e há cotação de preço para todos os bens (incluindo os que eventualmente não sejam transacionados em um determinado equilíbrio), determina as quantidades (de consumo e produção) e os preços de equilíbrio da economia. Equilíbrio parcial – Construção do modelo: Uma vez que somente uma mercadoria esteja sendo considerada, é necessário, em uma modelagem mais simples possível, incluir apenas três equações no modelo: uma descrevendo o comportamento da demanda (Qd), uma outra da oferta (Qs) e uma terceira definindo a condição de equilíbrio, a qual será dada intuitivamente pelo excesso de demanda nulo, Qd ≡ Qs. O que seria de se esperar do comportamento da demanda e da oferta com relação ao preço do bem em questão? Exemplo 1.24: Um modelo canônico linear pode ser representado pelo seguinte sistema de equações: Qd = Qs Qd = a – bP (a, b >0) Qd = -c + dP (c, d >0) 4 Caso estivéssemos sob uma abordagem de equilíbrio parcial, então simplesmente desconsideraríamos o impacto sobre variáveis endógenas as quais não estivessem diretamente relacionadas ao choque em questão. Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 33 Represente graficamente esta modelagem e caracterize o equilíbrio neste mercado. Obs.: Convencionou-se situar a variável dependente no eixo vertical. Como ficaria a solução de equilíbrio deste modelo? Ou seja, quais os valores da demanda, oferta e preço de equilíbrio, respectivamente Q*d, Q*s e P* tais que, as três equações simultâneas que definem o modelo sejam satisfeitas? O que deveria ocorrer quando da variação nos parâmetros b e d? Neste exemplo anterior, vimos a mais simples das abordagens, por se tratar de equilíbrio parcial com funções de demanda e oferta lineares. Haveria mudanças significativas quando do uso de funções demandae oferta não-lineares? Exemplo 1.25: Um modelo canônico não-linear pode ser representado pelo seguinte sistema de equações: Qd = Qs Qd = 4 –P2 Qd = 4P - 1 Represente graficamente esta modelagem e caracterize o equilíbrio neste mercado. Usando o método gráfico ou a fórmula de raízes em equações do 2º grau,5 como ficaria a solução de equilíbrio deste modelo? Ou seja, quais os valores da demanda, oferta e preço de equilíbrio, respectivamente Q*d, Q*s e P* tais que, as três equações simultâneas que definem o modelo sejam satisfeitas? Podemos assegurar unicidade do equilíbrio neste caso? E usando a intuição, o sentido econômico? Há ainda casos em que as funções que definem o modelo são equações de graus mais elevados, cúbica, quártica, etc. Nestes casos, tanto o esboço gráfico, como a solução analítica são mais complexos, sendo interessante a tentativa de se usar inicialmente a técnica da fatoração, em que se reescreve a equação de n-ésimo grau como o produto de n equações, sendo trivial identificar as raízes do problema. Equilíbrio geral – Construção do modelo: Como já dito anteriormente, todas estas análise aqui discutidas foram feitas sob um contexto de equilíbrio parcial. Sob um 5 Para um texto objetivo e claro sobre o equívoco de se atribuir tal fórmula à Bhaskara, ver o site http://sandroatini.sites.uol.com.br/bhaskara.htm Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 34 cenário mais realista, poderiam ser feitas de maneira menos restritiva, sob uma perspectiva de Equilíbrio Geral. Metodologicamente, esta abordagem adota que a economia se comporte como um sistema fechado de variáveis inter-relacionadas no qual devemos determinar os valores de equilíbrio de todas as variáveis simultaneamente, ou seja, em que o excesso de demanda por cada um dos bens seja nula. Uma forma bem didática de entender uma abordagem de equilíbrio geral seria através de um simples exemplo, em que ao ir ao supermercado, o consumidor acaba comprando banana e/ou mamão com base nos preços de ambos. Uma vez que haja algum grau de substitutabilidade ou de complemetaridade entre estas duas frutas, o preço de uma irá interferir em sua demanda pela outra e vice- versa. Exemplo 1.26: Um modelo canônico não-linear pode ser representado pelo seguinte sistema de equações: Qdi = Qsi Qs1 = -2 + 3P1 Qd1 = 10 – 2P1 + P2 Qs2 = -1 + 2P2 Qd2 = 15 + P1 - P2 Represente graficamente esta modelagem e caracterize o equilíbrio neste mercado. Como ficaria a solução de equilíbrio deste modelo? Ou seja, quais os valores da demanda, oferta e preço de equilíbrio, respectivamente Q*d, Q*s e P* nos dois mercados tais que, todas as equações simultâneas que definem o modelo sejam satisfeitas? Podemos assegurar unicidade do equilíbrio neste caso? Para este consumidor, estes bens são complementares ou substitutos? Por fim, não necessariamente, precisamos limitar esta discussão a apenas dois bens, ou mesmo ao impacto cruzado apenas nas funções demanda. Porém, na medida em que inserimos mais bens nesta economia, teremos mais variáveis endógenas, o que pode tornar o problema bem mais trabalhoso e complexo, dependendo das funções envolvidas. Assim, para casos mais gerais, visando abordar aspectos como existência, Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 35 inconsistência e unicidade do equilíbrio, torna-se interessante o estudo de equações simultâneas a partir de um arcabouço de matrizes. Estudo de caso: Macroeconomia - Análise de Renda Nacional a la Keynes Embora até aqui a análise de equilíbrio tenha sido feita apenas levando-se em consideração mercados de bens, podemos claramente também estender a técnica, a intuição para um estudo de caso de conjuntura macroeconômica, mais especificamente em contas nacionais. Para tal, usemos o modelo de renda nacional elaborado por John Maynard Keynes, um dos maiores economistas do mundo, infelizmente morto precocemente. Modelo: Y = C + I0 + G0 C = a +bY (a > 0, 0 < b <1), onde Y e C consistem respectivamente na renda (ou produto) e no consumo agregados, ambos endógenos e I0 e G0 representam respectivamente o investimento e o consumo do governo, ambos exógenos. Observe que na primeira equação, toda a produção agregada ou é destinada ao consumo de famílias, ou do governo, ou para investimento, enquanto o consumo das famílias se dá sob um regime em que uma parte é tida como autônoma e uma outra parte como fração constante da renda, sendo o parâmetro b a propensão marginal ao consumo. Estamos assim diante de um sistema com duas equações e duas variáveis endógenas, em que não deverá haver inconsistência, nem redundância. Determine os valores de equilíbrio de renda e de consumo neste modelo, Y* e C*. Observação: Por ser uma modelagem literal, Y* e C* deverão ser funções cujos argumentos deverão ser apenas parâmetros e variáveis exógenas. Isso é muito importante! Exercícios sobre análise de equilíbrio em economia. Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 36 # 7. Qual seria a interpretação para os termos destacados na definição de equlíbrio, ou seja, selecionadas, inter-relacionadas e inerente? # 8: Exercícios 1 a 5 da seção 3.2 do livro texto, página 35. # 9: Exercícios 1, 2, 3, 6 e 7 da seção 3.3 do livro texto, página 40. # 10: Exercício 3 da seção 3.4 do livro texto, página 45. # 11: Exercícios 1, 2 e 3 da seção 3.5 do livro texto, página 47. Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 37 2. Cálculo diferencial e integral “O estudo do limite de uma função consiste em uma das idéias fundamentais do cálculo, distinguindo-o da álgebra e da geometria!” 2.1. Derivada 2.1.1. Noções de limite e continuidade de funções Ter noções de limites e continuidade consiste no ponto de partida para o cálculo de derivadas e integrais. A noção de limite fornece um caminho preciso para distinguir o comportamento de algumas funções que variam continuamente, e o comportamento de outras funções que podem variar independente do modo como se controla as variáveis. No cálculo e em suas aplicações, nos interessam, em geral, os valores f(x) de uma função f que estejam próximos de um número a pertencente ao domínio, mas não necessariamente no próprio a. Exemplo 2.1: Seja a função com somente um argumento dada por É possível calcular f(2)? O que ocorre quando x se aproxima de 2? Parece que quanto mais próximo de 2 está x, mais próximo de 4/3 está f(x). 63 2 )( 23 − − = x xx xf Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 38 Observe que se efetuarmos a simplificação da função e depois esboçarmos seu gráfico, veremos que de fato quanto mais próximo de 2 está x, mais próximo de 4/3 está f(x). Independente se x está se aproximando de 2 por valores mais altos ou baixos. Exemplo 2.2: Considere a função f(x) = Como seria o gráfico desta função? O que acontece quando x tende a 5 pela esquerda? E o que acontece quando x tende a 5 pela direita? Formalmente, adotamos a seguinte notação: Havendo então limites por cada um dos lados, como analisar aquestão da existência ou não do limite de uma função? Existência do limite de uma função: Formalmente .... se e somente se Assim, para calcular o limite de uma função é preciso obter primeiramente os limites ambos os laterais. Para tal, o recurso gráfico, a construção de uma tabela com valores cada vez mais próximos de a e principalmente, o algebrismo para reduzir ou simplificar a função são extremamente úteis. Isso se dá pelo fato de que muitas vezes, 63 2 )( 23 − − = x xx xf >−− <− 563 53 2 xsexx xsex = −→5 )(lim x xf = +→5 )(lim x xf Lxf ax = +→ )(lim Lxf ax = −→ )(lim Lxf ax = → )(lim Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 39 apenas substituindo o valor de x na função gera uma indeterminação, ou seja, algo do tipo Exemplo 2.3: Seja f(x) = 2x – 1. Calcule Exemplo 2.4: Considere o gráfico a seguir. Qual o limite da função q(v) quando v tende a N? E quando v tende para ? E quando v tende para ? Exemplo 2.5: Seja f(x) = 1/x. Qual o limite de f(x) quando x tende a zero? Exemplo 2.6: Seja f(x) = 1/x2. Qual o limite de f(x) quando x tende a zero? Exemplo 2.7: Considere os gráficos a seguir. Obtenha os limites laterais quando x tende para N. 2 )(lim →x xf ∞+ ∞− Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 40 Exemplo 2.8: Considere os gráficos a seguir. Obtenha os limites laterais quando x tende para N. y q L L v v�� Formalmente: Quando v tende para N, o limite de q = g(v) será L, se para toda vizinhança de L (intervalo aberto contendo L), não importa quão pequena, for possível achar uma vizinhança correspondente de N excluindo v = N tal que, para todo valor de v nesta vizinhança de N, sua imagem esteja na vizinhança inicialmente escolhida de L. Propriedades de limite: a. Se q(v) = a.v + b, então b. Se q(v) = , então c. d. e. �v b�avq → += .)(lim kv �v k�vq → =)(lim [ ] �v vqvq → =± )()(lim 21 �v vq → ±)(lim 1 �v vq → )(lim 2 [ ] �v vqvq → =⋅ )()(lim 21 �v vq → ⋅)(lim 1 �v vq → )(lim 2 �v �v vq vq → → )(lim )(lim 2 1 �v vq vq → = )( )( lim 2 1 Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 41 Exemplo 2.9: Calcule o limite da função abaixo, quando v tende para zero: q(v) =[ (2 + v)3 – 8]/ v, v ≠ 0. Regras e dicas para o cálculo de limites do tipo: a. Sempre calcular os limites laterais. b. Fazer o uso de tabelas nas quais se usa valores cada vez mais próximos de N. c. Substituir f(N) quando a função não tiver mudança de regime, de comportamento para diferentes intervalos do domínio. d. Quando x tender para o infinito, pode ser útil simplificar a função dividindo o numerador e o denominador ambos por x. e. Quando for uma função racional, pode ser útil inicialmente substituir f(N) e em caso de indeterminação do tipo zero dividido por zero, atentar para a simplificação a partir de uma fatoração que isole a raiz das equação do numerador e denominador, eliminando o problema. f. Fazer uso das propriedades de limites. g. Quando a função possuir termos do tipo potência fracionária, exemplo, substituir este termo por uma função ou termo sem potência fracionária . Definição de função contínua: Uma função f(x) é dita contínua em x = a se e somente se o limite desta função em a existe e possui valor igual a f(a). Quando uma função f(x) é dita descontínua em x = a, então isso se dá ou em razão da não existência do limite desta em a, ou se este limite existir mas não coincidir com o valor de f(a). Propriedades de função contínua: Estas são algumas das propriedades de funções contínuas. Sejam f(x) e f(x) duas funções contínuas em x = a. Então �x xf → )(lim x zx = Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 42 a. A soma f(x) + f(x) também será uma função contínua em x = a b. A diferença f(x) - g(x) também será uma função contínua em x = a c. O produto f(x) . g(x) também será uma função contínua em x = a d. O quociente f(x) / g(x) também será uma função contínua em x = a, desde que g(a) ≠ 0. e. A composição da função composta f o g (x) = f(g(x)) é contínua em x = a, desde que g(x) seja contínua em x = a e f(x) seja contínua em g (a). f. A função polinomial de grau n é contínua nos reais. g. Uma função racional é contínua em todo número real de seu domínio. h. As funções logarítmica e exponencial são contínuas em todo o seu domínio. Generalizando .... As noções de limite desenvolvidas até o momento para funções com somente um argumento são todas válidas e análogas para funções com vários argumentos!!! Exercícios sobre noções de limite e continuidade em funções # 1: Calcule os limites a seguir: a. Limite de q(v) = 2 + v2 quando v tende a zero. b. Limite de q(v) = v2/v quando v tende a zero. # 2: Calcule os limites das funções: a. q(v) = 3 – 9v + v2 quando v tende a 0 e v tende a 3; b. quando x se aproxima de 1 c. 1 2 )( 2 − −+ = x xx xf 0 22)( lim → −+ h h xhx Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 43 # 3: Calcule os limites das funções: a. b. # 4: Calcule os limites das funções: a. quando x se aproxima de 1 b. quando x se aproxima de 1 c. quando x se aproxima de -1 d. quando x se aproxima de 5/3 e. quando x se aproxima de 2 f. quando x se aproxima de -1 # 5: Verifique se a função a seguir é contínua em 2: f(x) = # 6: Calcule os limites das funções: a. quando x se aproxima de 1 b. quando x se aproxima de 1 6lim 323 )0,0(),( ++− → yxyyx yx ..,2),( )0,0(),(,),( lim 22 )0,0(),( ccyxf yxyxyxf yx = ≠+= → 1 2 )( 2 − −+ = x xx xf 1 13 )( − + = x x xf 1 )1).(23( )( 2 + −+ = x xx xf 53 27 )( 2 − −+ = x xx xf 2 1 )( 3 − − = x x xf 65 18102 )( 2 23 −− ++− = xx xxx xf 2,97 2,5 2,12 <− = >+ xx x xx 1 1 )( 3/1 − − = x x xf 1 1 )( 4/1 − − = x x xf Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 44 # 7: Exercícios 1, 2 e 3 da seção 6.4 do livro texto, página 131. # 8: Exercícios 1, 2 e 3 da seção 6.6 do livro texto, página 137. 2.1.2. Incrementos e taxa de variação Muitos fenômenos envolvem grandezas que variam ao longo do tempo ou cross- section.Neste sentido, a derivada pode ser vista e usada como uma ferramenta matemática no estudo das taxas nas quais grandezas, físicas ou não, variam! De forma mais específica, estamos entrando no mundo de estudo da estática comparativa propriamente dito, em que uma vez que se saiba as noções de equilíbrio, compara-se os diferentes equilíbrios que podem surgir em razão de mudanças nas variáveis exógenas. Neste estudo, desprezamos o processo de ajuste e características como a trajetória e o timing deste ajuste, ou mesmo se este novo equilíbrio é instável como o inicial ou não, uma vez que nos interessamos apenas pelo estado inicial da economia (antes da variação) e final (depois). Suponha, por exemplo, ceteris paribus, que haja uma mudança por parte do COPOM (Comitê de Política Monetária do Banco Central do Brasil) da taxa de juros SELIC (Sistema Especiação de Liquidação e Custódia). Poderíamos estar preocupados com a inflação no país apenas nos momentos antes e depois da mudança da taxa de juros. O quanto tempo levaria, ou como isso se daria seriam detalhes irrelevantes em uma estática comparativa. Definição: Taxa de variação consiste na taxa em que uma variável endógena varia relativa à variação em um determinado parâmetro ou variável exógena. Por essa razão, o conceito de derivada assume uma significância preponderante em estática comparativa, pois diz respeito diretamente a esta taxa de variação! Só para termos uma idéia ..... Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 45 Definição: Seja a função y = f(x). A derivada de y em relação a x pode ser vista como uma resposta (ou uma taxa de variação) de y dada uma variação muito pequena ou incremento de x, denotado por ∆x. Iremos assim formalizar o conceito de taxa de variação de uma variável endógena (em equilíbrio de acordo com um modelo) em razão da variação em uma exógena através do uso das funções. Exemplo 2.10: Seja uma função dada por y = f(x) = x2 + 1. Caso x passe do valor unitário para 3, calcule ∆x e ∆y. De um modo geral, inicialmente temos: - Função y = f(x). - Valor inicial do argumento x = x0. - Valor inicial da função y = f(x0) Eis que ... Havendo uma variação ∆x no valor de x, temos: - Valor final de x = x0 + ∆x - Valor final de y = f(x0 + ∆x) - Variação de y = ∆y = f(x0 + ∆x) - f(x0) As variações ∆x e ∆y podem ser vistas no gráfico a seguir: Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 46 Definição: O quociente recebe o nome de taxa média de variação da função f(x) quando x passa do valor x0 para o valor x = x0 +Δx, e expressa a variação média ou relativa sofrida pelos valores da função f(x) entre esses dois pontos. Tão logo se tenha absorvido o conceito de taxa de variação para o caso de um único argumento, a generalização para funções com mais argumentos será natural! Exemplo 2.11: Seja a função f, tal que f(x) = 2x + 1, para x real. Determine a taxa média de variação de f, quando x passa de x0 = 1 para x0 +Δx = 4. Exemplo 2.12: Seja a função f, tal que f(x) = x2 + 4, para x real. Determine a taxa média de variação de f, quando x passa de x0 = 2 para x0 +Δx = 5. Exemplo 2.13: Na prática, seja y = f(k) uma função de produção, cujo argumento seja o insumo capital. Qual seria a variação na produção dada uma variação muito pequena de capital? Que nome damos a essa taxa? Exemplo 2.14: Determine a taxa média de variação das funções seguintes entre os pontos indicados abaixo. f(x) = 3; entre os pontos x = 2 e x = 4. f(x) = x2 + x; entre os pontos x = - 2 e x = 2. f(x) = 1 – 1/x; entre os pontos x = 3 e x = 6. x xfxxf xx xfxf x y ∆ −∆+ = − − = ∆ ∆ )()()()( 0 0 0 Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 47 Exemplo 2.15: Seja C = f(Q) uma função que mensure o custo em relação à quantidade produzida. A variação do custo dada uma variação muito pequena da quantidade produzida é chamada custo marginal, CMg, pois trata-se da variação do custo em razão de uma variação marginal ou muito pequena, infinitesimal da produção. Neste sentido, como poderíamos representar esta taxa média de variação quando de variações marginais ou muito pequenas no argumento da função? 2.1.3. Definição de derivada Definição: Como já antecipado, a derivada de uma função f em relação à variável x é a função f ‘(x) acima, se o referido limite existir, ou seja, uma razão entre variações instantâneas. Neste caso, diz-se, nesse caso, que a função f(x) é derivável em x. Podemos ser ainda mais específicos se necessário. Em vez de definirmos a derivada de uma função em todo o seu domínio, podemos definir a derivada apenas em um valor específico do domínio. Definição: Se x0 for um número particular no domínio f, então a derivada da função f no ponto x0, denotada por f’(x0), é dada por: se este limite existir. Diz-se, nesse caso, que a função f(x) é derivável em x0, ou seja, existe f’(x0). Por esta definição, podemos dizer então que a derivada de uma função no ponto x0 é a taxa média de variação da função neste ponto, quando ocorre uma variação muito pequena em x (Δx → 0). Até o momento só fizemos uso de uma notação, atribuída ao matemático Lagrange. Outras notações de derivada são: x xfxxf xf x ∆ −∆+ = →∆ )()( lim)(' 0 x xfxxf xf x ∆ −∆+ = →∆ )()( lim)(' 00 0 0 ')('' )( fxfy dx xdf dx dy ==== Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 48 Diferenciabilidade de funções: a. Quando uma função y = f(x) tem derivada em um ponto x0 qualquer, ela é diferenciável ponto x0. b. Se uma função tem derivada para os valores de x dentro de um intervalo [a, b], ela é diferenciável no intervalo [a, b]. c. Se uma função tem derivada para todos os valores de x nos quais ela é definida, ou seja, todo o domínio, a função é diferenciável. d. Nem todas as funções são diferenciáveis! Exemplo 2.16: Calcule a derivada de: a. f (x) = ax +b. Agora, obtenha f’(2). b. g (x) = 15x - 10. Agora, obtenha g’(2). c. h (x) = -25x - 2. Agora, obtenha h’(2). Exemplo 2.17: Calcule a derivada de: a. f (x) = ax2 + bx +c. Agora, obtenha f’(2). b. g (x) = 10x2 + x + 2. Agora, obtenha g’(2). c. h (x) = 5x2 + 5x +5. Agora, obtenha h’(2). Exemplo 2.18: Calcule a derivada de: a. f (x) = ax3 + bx2 +cx + d. Agora, obtenha f’(2). b. g (x) = 10x3 + 5x2 +2x + 1. Agora, obtenha g’(2). c. h (x) = 100x3 + 10x2 +10x + 1. Agora, obtenha h’(2). Exemplo 2.19: Calcule a derivada de: a. f (x) = ax3 + bx2 +cx + d. Agora, obtenha f’(2). b. g (x) = ax3 + bx2. Agora, obtenha g’(2). c. h (x) = cx + d. Agora, obtenha h’(2). d. f’(2) = g’(2) + h’(2)? Será que esta relação vale para todo x, f’(x) = g’(x) + h’(x)? Exemplo 2.20: Calcule a derivada de: a. f (x) = exp(ax). Agora, obtenha f’(2). b. g (x) = exp(2x). Agora, obtenha g’(2). Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 49 2.1.4. Interpretação geométrica da derivada A derivada de uma função f em um ponto x = a, se esta existir, tem um significado geométrico muito importante que está relacionado a tangente, a inclinaçãoda curva que representa f neste ponto x = a. O gráfico abaixo ajudará na compreensão desta informação. Vemos que a função y = f(x) é uma curva. A reta s corta esta função em dois pontos (P e Q) e sua inclinação é igual a α. Podemos então observar que a tangente de α igual a: A medida que traçamos outras retas que estejam localizadas entre as retas s e t, observamos que a cada nova reta mais próxima de t temos: x → x0 (x fica cada vez mais próximo de x0). Como Δx = x – x0 , então quando x → x0 implica que Δx → 0. A reta t é tangente a função y no ponto P. Isso quer dizer que a tangente de β deve ser dada por Concluindo: A derivada de uma função f(x) quando existe, assume em cada ponto x0, um valor que é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f(x) nesse ponto. 0 0 )()( xx xfxf x y − − = ∆ ∆ )(' )()( lim 0 00 0 xf x xfxxf x = ∆ −∆+ →∆ Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 50 Exemplo 2.21: As funções abaixo possuem derivada no ponto x0? Implicações sobre o comportamento da função e o sinal da derivativa a. Se a função tem taxa de crescimento negativa no ponto e a inclinação da reta tangente no ponto é negativa. b. Se a taxa de variação da função é zero no ponto e a reta tangente no ponto é horizontal. c. Se a função tem taxa de crescimento positiva no ponto e a inclinação da reta tangente no ponto é positiva. O uso da derivada como inclinação da curva em um ponto específico ou em um intervalo pode ser útil quando da classificação de uma função, se esta é crescente ou decrescente, ou constante. Definição: Dizemos que uma função f(x) = f(x1, x2, ...) é crescente se para todo x ≥ x’ ambos pertencentes ao Dom (f) ⇒ f(x) ≥ f(x’). Dizemos que uma função f(x) = f(x1, x2, ...) é estritamente crescente se para todo x >> x’ ambos pertencentes ao Dom (f) ⇒ f(x) > f(x’). Dizemos que uma função f(x) = f(x1, x2, ...) é fortemente crescente se para todo x ≥ x’, mas x ≠ x’ ambos pertencentes ao Dom (f) ⇒ f(x) > f(x’). Analogamente para o caso de funções decrescentes. 0= dx dy 0< dx dy 0> dx dy Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 51 Em caso de funções crescentes, seja fracamente, estritamente, ou fortemente, o que seria de se esperar do sinal da derivada da função? Exemplo 2.23: Seja o gráfico da função custo total a. Decrescente para valores de Q à esquerda de Q0; b. Tem taxa de variação zero no ponto Q0; c. Crescente para valores de Q à esquerda de Q0; Por fim, antes de entrarmos nas regras de derivação, é importante analisar a relação entre a diferenciabilidade de uma função e a continuidade desta. Vimos no exemplo 2.21 que existem funções descontínuas as quais não possuem derivada no “local” da descontinuidade. Exemplo 2.24: Observe o gráfico a seguir. a. Será que existe um limite desta função em x = x0? Seria esta função contínua neste ponto? Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 52 b. E a derivada neste ponto? Dica: Use a intuição geométrica. Este é um exemplo de que a condição de diferenciabilidade exige algo além da continuidade: suavidade da função. Mais precisamente, dizemos ser a função contínua uma condição necessária para ser diferenciável, ou seja, se houver diferenciabilidade é contínua, se não for contínua, não é diferenciável. Demonstração: Visando carregar menos a notação, adote que a continuidade da função em N seja dada por e que a derivada neste ponto seja O que queremos demonstrar é que a diferenciabilidade implica na continuidade. Assim, tome o limite em ambos os lados da relação a seguir: Assim, dado que existe a derivada de f em N, podemos assegurar continuidade. 2.1.5. Regras de derivação O cálculo da derivada de uma função pela definição, dependendo da função, pode ser bastante complicado. Contudo, com base na definição de derivada da função, é possível obter várias regras que facilitam muito o trabalho. São as chamadas regras de derivação para soma, produto e quociente de funções. Elas são importantes no cálculo de derivadas de qualquer função. )()(lim �fxf�x =→ �x �fxf �f �x − − = → )()( lim)(' ).( )()( )()( �x �x �fxf �fxf − − − =− − − − =− →→→ ).( )()( lim)(lim)(lim �x �x �fxf �fxf �x�x�x )(lim. )()( )()(lim �x �x �fxf �fxf �x�x − − − =− →→ 00).(')(lim).(')()(lim ==−=− →→ �f�x�f�fxf �x�x Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 53 a. Derivada da função constante: Se f (x) = k , onde k é uma constante, então f’(x) = 0 . Demonstração: Sala de aula! Exemplo 2.25: Se f(x) = 4, então f’(x) = b. Derivada da função linear: Se f (x) = ax + b , onde a e b são constantes e a ≠ 0 , então f’(x) = a. Demonstração: Sala de aula! Exemplo 2.26: Se f(x) = 5x + 4, então f’(x) = Se f(x) = 2 – 7x, então f’(x) = c. Derivada da função potência: Se f (x) = xn , onde n pertence ao conjunto de números naturais, então f’(x) = n.xn-1. Demonstração: Sala de aula! Exemplo 2.27: Se f(x) = x4, então f’(x) = Se f(x) = x2, então f’(x) = d. Derivada da função soma: Sejam g(x) e h(x) duas funções deriváveis no ponto x . Defina f (x) = g(x) + h(x), a qual também será derivável no ponto x e f’(x) = g’(x) + h’(x) . Demonstração: Sala de aula! Exemplo 2.28: Se f(x) = x4 + 3x2, então f’(x) = e. Derivada da função produto: Sejam u(x) e v(x) duas funções deriváveis em x. Defina f (x) = u(x).v(x), a qual será derivável em x, e f’(x) = u(x).v’(x) + u’(x).v(x). Demonstração: Sala de aula! Exemplo 2.29: Se f(x) = (x2 + 3)(3x + 1), então f’(x) = Se f(x) = (x2 + x + 1)2, então f’(x) = Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 54 f. Derivada da função quociente: Sejam u(x) e v(x) duas funções deriváveis no ponto x. Seja f(x) = u(x)/v(x), com v(x) ≠ 0. Então, Demonstração: Sala de aula! Exemplo 2.30: Se f(x) =1/x, então f’(x) = Se f(x) = 3x/ (x+2), então f’(x) = g. Definição de logaritmo: Na matemática, o número de Euler, e, assim chamado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial, etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos): a qual vale aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287. Este número também pode ser escrito como a soma
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