Calculo I - Diferencial e Integral I

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA
DO CEARÁ - CAMPUS CEDRO
Professor: Ms. Maxwell de Sousa Pita
Aluno (a): Turno:
Curso: Período:
Carga Horária: 80 Horas
Notas de Aula de Cálculo Diferencial e
Integral I
UNIDADE II
1 Derivada
1 Derivada
Introduziremos a derivada considerando, inicialmente, sua interpretação geométrica
como a inclinação de uma reta tangente a uma curva. Uma função que tenha uma derivada
será denominada derivável.
1.1 Reta Tangente
Seja y = f(x) uma curva do R2 e sejam P (x0, y0) e Q(x, y) dois pontos distintos da
curva y = f(x). Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e Q. Considerando
o triângulo retângulo PMQ, na figura abaixo, temos que a inclinação da reta s (ou
coeficiente angular de s) é dado por
m =
y − y0
x− x0 = tgθ.
Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em direção a P .
Diante disto, a inclinação da reta secante s variará. A medida que Q vai se aproximando
cada vez mais de P , a inclinação da secante varia cada vez menos, tendendo para um
valor limite constante. Este limite é chamado de coeficiente angular da reta tangente t à
curva no ponto P .
2
1.1 Reta Tangente
Definição 1.1 O coeficiente angular da curva y = f(x) em um ponto P (x0, y0) é o nú-
mero
m = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
desde que o limite exista. A reta tangente à curva y = f(x) em P é a reta que passa
por P e tem esse coeficiente angular.
Observação 1.1 Fazendo x = x0 + h, se x → x0, então h → 0. Assim, podemos
reescrever o coeficiente angular como
m = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
desde que o limite exista.
Observação 1.2 A equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto P (x0, y0) é dada
por
y − y0 = m(x− x0).
onde m é o coeficiente angular da reta.
Exemplo 1.1 Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva y = x2 + 6x + 9,
no ponto P (x0, y0).
Solução: Por definição, sabemos que o coeficiente angular da reta tangente à curva
3
1.1 Reta Tangente
y = x2 + 6x+ 9, no ponto P (x0, y0) é
m = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
= lim
h→0
(x0 + h)
2 + 6(x0 + h) + 9− (x20 + 6x0 + 9)
h
= lim
h→0
2x0h+ h
2 + 6h
h
= lim
h→0
(2x0 + h+ 6)
= 2x0 + 6.
Logo, o coeficiente angular da reta tangente é m = 2x0 + 6.
Exemplo 1.2 Encontre a equação da reta tangente à curva y = 2x2 + 3 no ponto cuja
abscissa é 2.
Solução: O ponto da curva y = 2x2 + 3, cuja abscissa é 2, é o ponto P (2, f(2)), onde
f(2) = 2.22 + 3 = 11.
Assim, vamos encontrar o coeficiente angular da reta tangente à curva y = 2x2+3 no
ponto P (2, 11). Temos
m = lim
h→0
f(2 + h)− f(2)
h
= lim
h→0
2(2 + h)2 + 3− 11
h
= lim
h→0
8 + 8h+ 2h2 − 8
h
= lim
h→0
(8 + 2h)
= 8.
Logo, a equação da reta tangente é
y − 11 = 8(x− 2) ⇒ y = 8x− 5.
Exemplo 1.3 Considere a curva y =
√
x. Determine a equação da reta tangente a curva
e paralela à reta r : 4x− 2y + 2 = 0
Solução: Inicialmente, lembremos que duas retas são paralelas quando os seus coefici-
entes angulares são iguais.
4
1.1 Reta Tangente
Vamos primeiro determinar o coeficiente angular da reta tangente à curva y =
√
x
num ponto P (x0, y0). Temos,
m = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
= lim
h→0
√
x0 + h−√x0
h
= lim
h→0
(
√
x0 + h−√x0)(
√
x0 + h+
√
x0)
h(
√
x0 + h+
√
x0)
= lim
h→0
x0 + h− x0
h(
√
x0 + h+
√
x0)
=
1
2
√
x0
.
Portanto, m = 1
2
√
x0
.
Como a reta que queremos deve ser paralela a 4x − 2y + 2 = 0, ou seja, y = 2x + 1.
Podemos escrever m = 1
2
√
x0
= 2, pois o coeficiente angular de y = 2x+ 1 é 2.
Assim, como m = 1
2
√
x0
= 2, concluímos que x0 =
1
16
.
Logo, a equação da reta tangente no ponto P ( 1
16
, 1
4
) é
y − 1
4
= 2(x− 1
16
) ⇒ y = 2x+ 1
8
.
Exemplo 1.4 Determine a equação da reta normal à curva y = x3 no ponto P (1, 1).
Solução: Recordemos que a reta normal a uma curva num ponto dado, é a reta perpen-
dicular à reta tangente neste ponto. Além disso, duas retas t e n são perpendiculares se
mt.mn = −1, onde mt e mn são os coeficientes angulares das retas t e n, respectivamente,
num dado ponto P .
Vamos então calcular o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P (1, 1).
mt = lim
h→0
f(1 + h)− f(1)
h
= lim
h→0
(1 + h)3 − 1
h
= lim
h→0
1 + 3h+ 3h2 + h3 − 1
h
= lim
h→0
(3 + 3h+ h2)
= 3.
5
2 A Derivada
Assim, temos mt = 3 e mn = −13 . Dessa forma, a equação da reta normal no ponto
P (1, 1) é
y − 1 = −1
3
(x− 1) ⇒ y = −1
3
x+
4
3
.
2 A Derivada
2.1 Derivada de uma Função num Ponto
Definição 2.1 A derivada de uma função y = f(x) num ponto x0, denotada por f
′(x0),
é definida pelo limite
f ′(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
desde que o limite exista.
Lembrando que x = x0 + h, podemos escrever f
′(x0) como
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 .
Assim, geometricamente, f ′(x0) representa o coeficiente angular da reta tangente à curva
y = f(x) no ponto P (x0, f(x0)).
2.2 Derivada de uma Função
Definição 2.2 A derivada de uma função y = f(x), é a função denotada por f ′(x), tal
que seu valor em qualquer x ∈ D(f) é definido por
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
desde que o limite exista.
Dizemos que f é derivável quando existe a derivada em todos os pontos de seu domínio.
Observação 2.1 Outras notações que podem ser utilizadas para a derivada são:
f ′(x) = y′ = Dxf =
dy
dx
.
6
2.2 Derivada de uma Função
Exemplo 2.1 Seja f(x) = x2 + 1. Determine f ′(3).
Solução: Pela definição de derivada de uma função num ponto, em x0 = 3, temos que
f ′(3) = lim
h→0
f(3 + h)− f(3)
h
= lim
h→0
(3 + h)2 + 1− 10
h
= lim
h→0
10 + 6h+ h2 − 10
h
= lim
h→0
(6 + h)
= 6.
Portanto, f ′(3) = 6.
Exemplo 2.2 Seja f(x) =
x− 2
x+ 3
. Determine f ′(x).
Solução: Temos,
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
x+h−2
x+h+3
− x−2
x+3
h
= lim
h→0
(x+ h− 2)(x+ 3)− (x− 2)(x+ h+ 3)
(x+ h+ 3)(x+ 3)h
= lim
h→0
x2 + 3x+ xh+ 3h− 2x− 6− x2 − xh− 3x+ 2x+ 2h+ 6
(x+ h+ 3)(x+ 3)h
= lim
h→0
5h
(x+ h+ 3)(x+ 3)h
= lim
h→0
5
(x+ h+ 3)(x+ 3)
=
5
(x+ 3)2
.
Exemplo 2.3 Dada f(x) = x
1
3
. Determine f ′(x).
Solução: Por definição, temos
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
(x+ h)
1
3 − x 13
h
7
3 Diferenciabilidade
Fazendo uma troca de variáveis. Sejam x+ h = u3 e x = a3. Então,
f ′(x) = lim
u→a
u− a
u3 − a3
= lim
u→a
u− a
(u− a)(u2 + au+ a2)
= lim
u→a
1
u2 + au+ a2
=
1
3a2
.
Como a = x
1
3
, obtemos f ′(x) =
1
3x
2
3
.
3 Diferenciabilidade
Como a definição de derivadas envolve limites, a derivada de uma função existe quando
o limite da definição 2.2 existe. Nos pontos em que esse limite existe dizemos que f é
diferenciável, nos pontos em que esse limite não existe dizemos que f não é diferenciável.
Geometricamente, os pontos em que f é diferenciável são aqueles onde a curva
y = f(x) tem uma reta tangente, e os pontos em que f não é diferenciável são aque-
les onde a curva não tem reta tangente. De modo informal, os pontos nos quais f não
é diferenciável mais comumente encontrados podem ser classificados como: picos, pontos
de tangência vertical e pontos de descontinuidade.
Exemplo 3.1 Verifique que a função f(x) = |x| não é diferenciável em x = 0.
Solução: Pela definição de derivada de uma função em um ponto, temos que
f ′(0) = lim
h→0
f(0 + h)− f(0)
h
= lim
h→0
|h|
h
8
3.1 Continuidade de Funções Deriváveis
Daí, obtemos que
lim
h→0
|h|
h
=
 1, se x > 0−1, se x < 0
Como os limites laterais são diferentes, dizemos que o limite lim
h→0
|h|
h
não existe. Conse-
quentemente, f ′(0) não existe.
Observação3.1 A função f(x) = |x| é contínua em x = 0 e no entanto não é derivável
em x = 0.
3.1 Continuidade de Funções Deriváveis
De acordo com a observação feita no exemplo 3.1, concluímos que se f é contínua em
um ponto, não implica na existência de f ′ nesse ponto. A recíproca porém é verdadeira.
Vejamos um teorema que nos garante a continuidade da função nos pontos em que esta é
derivável.
Teorema 3.1 Se uma função y = f(x) é derivável em x = a, então a função é contínua
em x = a.
Observação 3.2 O teorema acima nos garante que nos pontos de descontinuidade a fun-
ção não pode ter derivada.
4 Derivadas Laterais
Definição 4.1 Seja y = f(x) uma função definida em x = x0, então a derivada à direita
de f em x0, denotada por f
′
+(x0), é definida por
f ′+(x0) = lim
h→0+
f(x0 + h)− f(x0)
h
,
desde que o limite exista.
Definição 4.2 Seja y = f(x) uma função definida em x = x0, então a derivada à es-
querda de f em x0, denotada por f
′
−(x0), é definida por
f ′−(x0) = lim
h→0−
f(x0 + h)− f(x0)
h
,
desde que o limite exista.
9
5 Regras de Derivação
Observação 4.1 Pelo teorema da unicidade dos limites temos que, se f ′+(x0) = f
′
−(x0),
então f é derivável em x0.
Exemplo 4.1 Seja f(x) =
 2x− 1, se x < 1x2, se x ≥ 1 , calcule a derivada em x = 1.
Solução: Sabemos que f ′(1) existe se as derivadas laterais existirem e forem iguais.
As derivadas laterais são:
f ′−(1) = lim
h→0−
f(1 + h)− f(1)
h
= lim
h→0−
2 + 2h− 1− 1
h
= 2;
f ′+(1) = lim
h→0+
f(1 + h)− f(1)
h
= lim
h→0+
1 + 2h+ h2 − 1
h
= lim
h→0+
(2 + h) = 2.
Como f ′+(1) = f
′
−(1), então f é derivável em x = 1 e f
′(1) = 2.
Exemplo 4.2 Seja f(x) = (x− 2)|x|, determine f ′(0).
Solução: Aplicando a definição de módulo, podemos reescrever f como
f(x) =
 x2 − 2x, se x ≥ 0−(x2 − 2x), se x < 0
As derivadas laterais são:
f ′−(0) = lim
h→0−
f(0 + h)− f(0)
h
= lim
h→0−
−(0 + h)2 + 2(0 + h)− 0
h
= 2;
f ′+(0) = lim
h→0+
f(0 + h)− f(0)
h
= lim
h→0+
(0 + h)2 − 2(0 + h)− 0
h
= −2.
Logo, f ′(0) não existe, pois f ′+(0) 6= f ′−(0).
5 Regras de Derivação
Nesta seção apresentaremos algumas regras de derivação, que permitem determinar as
derivadas das funções sem o uso da definição.
5.1 Derivada de uma Função Constante
Teorema 5.1 Se f(x) = k para todo x ∈ D(f), com k ∈ R, então f ′(x) = 0.
Exemplo 5.1 Se f(x) = 8, então f ′(x) = 0.
10
5.2 Regra da Potência
5.2 Regra da Potência
Teorema 5.2 Se f(x) = xn, com n ∈ N, então f ′(x) = nxn−1.
Exemplo 5.2 (i) Se f(x) = x6, então f ′(x) = 6x5.
(ii) Se f(x) = x, então f ′(x) = 1.
Observação 5.1 Pode-se estender a regra da potência para expoentes racionais.
5.3 Derivada do Produto de uma Constante por uma Função
Teorema 5.3 Se f for uma função diferenciável em x e c for um número real constante,
então cf também é diferenciável em x e
(cf)′ = cf ′.
Exemplo 5.3 a) Se f(x) = 3x4, então f ′(x) = 12x3.
b) Se f(x) = x
3
pi
, então f ′(x) = 3
pi
x2.
5.4 Derivada da Soma e Diferença de Funções
Teorema 5.4 Se f e g forem funções diferenciáveis em x, então f ± g também é dife-
renciável em x e
(f ± g)′ = f ′ ± g′.
O teorema 5.4 se aplica para um número finito de funções, isto é, a derivada da soma
ou diferença de um número finito de funções é igual à soma ou diferença de suas derivadas,
se estas existirem.
Exemplo 5.4 Se f(x) = 6 3
√
x+ 3x2 − 7. Determine f ′(x).
Solução: Aplicando a propriedade da derivada da soma e diferença, temos que
f ′(x) = (6 3
√
x+ 3x2 − 7)′ = (6 3√x)′ + (3x2)′ − (7)′
Pelas propriedades da derivada de uma constante por uma função e da derivada de uma
função constante, segue que
f ′(x) = 6(x
1
3 )′ + 3(x2)′ − 0.
11
5.5 Regra do Produto
Aplicando a regra da potência, obtém-se
f ′(x) = 6.
1
3
x
1
3
−1 + 3.2x2−1 =
2
x
2
3
+ 6x =
2
3
√
x2
+ 6x.
5.5 Regra do Produto
Teorema 5.5 Se f e g forem funções diferenciáveis em x, então f.g também é diferen-
ciável em x e
(f.g)′ = f.g′ + f ′.g.
Exemplo 5.5 Seja f(x) = (x3 + 2)(2x4 + 3x). Determine f ′(x).
Solução: Pela regra do produto, temos que
f ′(x) = (x3 + 2)(2x4 + 3x)′ + (x3 + 2)′(2x4 + 3x) = (x3 + 2)(8x3 + 3) + (3x2)(2x4 + 3x).
Exemplo 5.6 Se f(x) = x2
√
x. Determine f ′(x).
Solução: [1] Pela regra do produto, temos
f ′(x) = (x2)(x
1
2 )′ + (x2)′(x
1
2 ) = (x2)(
1
2
x−
1
2 ) + (2x)(x
1
2 ) =
5
2
x
3
2 .
Solução: [2] Reescrevendo f , temos que f(x) = x
5
2
. Pela regra da potência, obtemos
que
f ′(x) =
5
2
x
5
2
−1 =
5
2
x
3
2 .
5.6 Regra do Quociente
Teorema 5.6 Se f e g forem funções diferenciáveis em x e g 6= 0, então f
g
também é
diferenciável em x e (f
g
)′
=
g.f ′ − f.g′
g2
.
12
6 Derivada da Função Composta
Exemplo 5.7 Seja f(x) =
x2 + 2
3x− 1 . Determine f
′(x).
Solução: Pela regra do quociente, temos que
f ′(x) =
(3x− 1)(x2 + 2)′ − (x2 + 2)(3x− 1)′
(3x− 1)2 =
(3x− 1).2x− (x2 + 2).3
(3x− 1)2 =
3x2 − 2x− 6
(3x− 1)2 .
Exemplo 5.8 Seja f(x) =
2 + x2h(x)
x3
. Se h é derivável, h(1) = −2 e h′(1) = 10.
Calcule f ′(1). A função f é contínua em x = 1?
Solução: Como h é derivável então existe h′(x) Assim, pela regra do quociente, temos
que
f ′(x) =
x3(2 + x2h(x))′ − (2 + x2h(x))(x3)′
x6
=
x3(x2h′(x) + h(x)2x)− (2 + x2h(x))3x2
x6
=
x(x2h′(x) + h(x)2x)− (2 + x2h(x))3
x4
.
Em x = 1, temos que
f ′(1) = h′(1) + 2h(1)− 6− 3h(1).
Sabemos que h(1) = −2 e h′(1) = 10. Assim,
f ′(1) = 10 + 2.(−2)− 6− 3.(−2) = 6.
Como f ′(1) existe, f é derivável em x = 1 e, portanto f é contínua em x = 1.
6 Derivada da Função Composta
Consideremos duas funções deriváveis f e g onde y = f(u) e u = g(x). Para todo x
tal que g(x) está no domínio de f , podemos escrever y = f(u) = f(g(x)), isto é, podemos
considerar a função composta (f ◦ g)(x).
A seguir apresentamos a regra da cadeia, que nos dá a derivada da função composta
(f ◦ g) em termos das derivadas de f e g.
Teorema 6.1 (Regra da Cadeia) Se y = f(u) e u = g(x) são funções deriváveis,
então a função composta y = f(g(x)) também é derivável e
(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)).g′(x).
13
6 Derivada da Função Composta
Se y = f(u) e u = g(x), então
y′ = f ′(u).u′.
Exemplo 6.1 Determine as derivadas das funções abaixo.
a) y =
√
5x+ 2
Solução: Faça u = 5x + 2, então y =
√
u e u′ = 5. Logo, pela regra da cadeia
temos que
y′ = [u
1
2 ]′.u′ ⇒ y′ = 1
2
√
u
.5 ⇒ y′ = 5
2
√
5x+ 2
.
b) h(x) = (3x2 + 1)3.(x− x2)2
Solução: Neste caso temos o produto de duas funções
f(x) = (3x2 + 1)3 e g(x) = (x− x2)2
Pela regra do produto, temos
h′(x) = f(x).g′(x) + f ′(x).g(x).
Determinando f ′(x) e g′(x) pela regra da cadeia, temos
f ′(x) = 3(3x2 + 1)2.6x e g′(x) = 2(x− x2).(1− 2x).
Logo,
h′(x) = (3x2 + 1)3.2(x− x2).(1− 2x) + 3(3x2 + 1)2.6x.(x− x2)2
= 2(3x2 + 1)3(x− x2)(1− 2x) + 18x(3x2 + 1)2(x− x2)2.
c) y =
(3x+ 2
2x+ 1
)5
Solução: Faça u =
3x+ 2
2x+ 1
, então y = u5. Aplicando a regra da cadeia, temos
y′ = 5u4.u′
14
6 Derivada da Função Composta
Logo,
y′ = 5
(3x+ 2
2x+ 1
)4
.
(2x+ 1).3− (3x+ 2).2
(2x+ 1)2
= 5
(3x+ 2
2x+ 1
)4
.
−1
(2x+ 1)2
.
d) f(x) =
3
√√
2x2 − x
Solução: Podemos reescrever f(x) = [(2x2 − x) 12 ] 13 = (2x2 − x) 16 . Daí, pela regra
da cadeia temos
f ′(x) =
1
6
(2x2 − x)− 56 .(2x2 − x)′
=
1
6
(2x2 − x)− 56 .(4x− 1)
=
4x− 1
6(2x2 − x) 56 .
e) f(x) = (2x2 − x)4.
(x2 + 2
3x− 1
)
Solução: Pela regra do produto, segue que
f ′(x) = (2x2 − x)4.
(x2 + 2
3x− 1
)′
+ [(2x2 − x)4]′.
(x2 + 2
3x− 1
)
. (1)
Pela regra da cadeia, temos que
[(2x2 − x)4]′ = 4(2x2 − x)3.(2x2 − x)′ = 4(2x2 − x)3(4x− 1). (2)
Pela regrado quociente, segue que(x2 + 2
3x− 1
)′
=
(3x− 1).2x− (x2 − 2).3
(3x− 1)2 =
3x2 − 2x− 6
(3x− 1)2 . (3)
Substituindo (2) e (3) em (1), temos que
f ′(x) = (2x2 − x)43x
2 − 2x− 6
(3x− 1)2 + 4(2x
2 − x)3(4x− 1)
(x2 + 2
3x− 1
)
.
15
7 Derivada da Função Inversa
7 Derivada da Função Inversa
Teorema 7.1 Seja y = f(x) uma função definida num intervalo aberto I. Suponha que
f admita uma função inversa x = g(y) contínua. Se f é derivável e f ′(x) 6= 0 para todo
x ∈ I, então g = f−1 é derivável e
g′(y) =
1
f ′(x)
=
1
f ′(g(y))
.
Exemplo 7.1 Seja f(x) = 8x3, então f ′(x) = 24x2. Além disso, x = 1
2
3
√
y. Logo, se
x 6= 0 e g é a inversa de f , temos que
g′(y) =
1
24x2
=
1
24(1
2
3
√
y)2
=
1
6y
2
3
.
8 Derivada das Funções Trigonométricas
1. Derivada da Função Seno: Se f(x) = senx, então f ′(x) = cos x.
2. Derivada da Função Cosseno: Se f(x) = cos x, então f ′(x) = −senx.
3. Derivada da Função Tangente: Se f(x) = tg x, então f ′(x) = sec2 x.
4. Derivada da Função Cotangente: Se f(x) = cotg x, então f ′(x) = −cosec2 x.
5. Derivada da Função Secante: Se f(x) = sec x, então f ′(x) = secx.tg x.
6. Derivada da Função Cossecante: Se f(x) = cosecx, então f ′(x) = −cosecx.cotgx.
Observação 8.1 As derivadas das funções trigonométricas podem ser generalizadas utilizando-
se a regra da cadeia.
1. Se y = senu, então y′ = cosu.u′.
2. Se y = cosu, então y′ = −senu.u′.
3. Se y = tg u, então y′ = sec2 u.u′
4. Se y = cotg u, então y′ = −cosec2 u.u′.
5. Se y = secu, então y′ = secu.tg u.u′.
16
8 Derivada das Funções Trigonométricas
6. Se y = cosecu, então y′ = −cosecu.cotg u.u′.
Exemplo 8.1 Se f(x) =
cosx
1 + cotg x
, determine f ′(x).
Solução: Pela regra do quociente, temos
f ′(x) =
(1 + cotg x).(cosx)′ − cosx.(1 + cotg x)′
(1 + cotg x)2
f ′(x) =
(1 + cotg x).(−sen x)− cosx.(−cosec2 x)
(1 + cotg x)2
f ′(x) =
−sen x− sen x.cotg x+ cosx.cosec2 x
(1 + cotg x)2
.
Exemplo 8.2 Se f(x) = sen (
√
3x2 − 1), determine f ′(x).
Solução: Faça u =
√
3x2 − 1, então y = sen u. Pela regra da cadeia, temos
y′ = [sen u]′.u′ = cosu.u′
y′ = cos(
√
3x2 − 1).[(3x2 − 1) 12 ]′
y′ = cos(
√
3x2 − 1).1
2
(3x2 − 1)− 12 (3x2 − 1)′
y′ = cos(
√
3x2 − 1). 3x√
3x2 − 1 .
Exemplo 8.3 Se f(x) = cos(sen (
√
x+ 1)), determine f ′(x).
Solução: Faça u = sen(
√
x+ 1), então y = cosu. Pela regra da cadeia, temos que
y′ = [cosu]′.u′ = −sen u.u′
y′ = −sen (sen (√x+ 1))[sen (√x+ 1)]′
y′ = −sen (sen (√x+ 1)). cos(√x+ 1).(√x+ 1)′
y′ = −sen (sen (√x+ 1)). cos(√x+ 1). 1
2
√
x+ 1
.
Exemplo 8.4 Se f(x) = tg (
√
sen (x2)), determine f ′(x).
17
9 Derivada das Funções Trigonométricas Inversas
Solução: Faça u =
√
sen (x2), então y = tg u. Pela regra da cadeia, temos que
y′ = [tg u]′.u′ = sec2 u.u′
y′ = sec2(
√
sen (x2)).[(sen (x2))
1
2 ]′
y′ = sec2(
√
sen (x2)).
1
2
(sen (x2))−
1
2 .[sen (x2)]′
y′ = sec2(
√
sen (x2)).
1
2
(sen (x2))−
1
2 . cos(x2).2x
y′ = sec2(
√
sen (x2))
x cos(x2)√
sen (x2)
.
Exemplo 8.5 Se f(x) = cotg (x2 + x+ 1), determine f ′(x).
Solução: Faça u = x2 + x+ 1, então y = cotg u. Pela regra da cadeia, temos que
y′ = [cotg u]′.u′ = −cosec2 u.u′
y′ = −cosec2 (x2 + x+ 1).(x2 + x+ 1)′
y′ = −cosec2 (x2 + x+ 1).(2x+ 1).
Exemplo 8.6 Se f(x) = cosec (x+1
x−1), determine f
′(x).
Solução: Faça u = x+1
x−1 , então y = cosec u. Pela regra da cadeia, temos que
y′ = −cosec u.cotg u.u′
y′ = −cosec
(x+ 1
x− 1
)
.cotg
(x+ 1
x− 1
)
.
−2
(x− 1)2
y′ =
2
(x− 1)2 cosec
(x+ 1
x− 1
)
.cotg
(x+ 1
x− 1
)
.
9 Derivada das Funções Trigonométricas Inversas
1. Derivada da função Arco Seno: Seja f : [−1, 1] → [−pi
2
, pi
2
] definida por
f(x) = arcsenx. Então, y = f(x) é derivável em (−1, 1) e
f ′(x) =
1√
1− x2 .
18
9 Derivada das Funções Trigonométricas Inversas
2. Derivada da função Arco Cosseno: Seja f : [−1, 1] → [0, pi] definida por
f(x) = arccosx. Então, y = f(x) é derivável em (−1, 1) e
f ′(x) = − 1√
1− x2 .
3. Derivada da função Arco Tangente: Seja f : R → (−pi
2
, pi
2
) definida por
f(x) = arctg x. Então, y = f(x) é derivável e
f ′(x) =
1
1 + x2
.
4. Derivada da função Arco Cotangente: Seja f : R → (0, pi) definida por
f(x) = arccotg x. Então, y = f(x) é derivável e
f ′(x) = − 1
1 + x2
.
5. Derivada da função Arco Secante: Seja f(x) = arcsec x definida para |x| ≥ 1.
Então, y = f(x) é derivável para |x| > 1 e
f ′(x) =
1
|x|√x2 − 1 .
6. Derivada da função Arco Cossecante: Seja f(x) = arccosec x definida para
|x| ≥ 1. Então, y = f(x) é derivável para |x| > 1 e
f ′(x) = − 1|x|√x2 − 1 .
Observação 9.1 As derivadas das funções trigonométricas inversas podem ser generali-
zadas utilizando-se a regra da cadeia.
1. Se y = arcsenu, então y′ =
u′√
1− u2 .
2. Se y = arccosu, então y′ = − u
′
√
1− u2 .
3. Se y = arctg u, então y′ =
u′
1 + u2
.
4. Se y = arccotg u, então y′ = − u
′
1 + u2
.
5. Se y = arcsecu, então y′ =
u′
|u|√u2 − 1 , |u| > 1.
19
10 Derivada da Função Exponencial
6. Se y = arccosecu, então y′ = − u
′
|u|√u2 − 1 , |u| > 1.
Exemplo 9.1 Determine a derivada das funções abaixo.
a) y = arcsen (x+ 1)
Solução: Faça u = x+ 1, então y = arcsen u. Assim, temos
y′ =
u′√
1− u2 =
1√
1− (x+ 1)2 .
b) y = arctg (1−x
2
1+x2
)
Solução: Faça u = 1−x
2
1+x2
, então y = arctg u. Segue que
y′ =
u′
1 + u2
=
(1+x2).(−2x)−(1−x2).2x
(1+x2)2
1 + (1−x
2
1+x2
)2
=
−2x
1 + x4
.
10 Derivada da Função Exponencial
Teorema 10.1 Se f(x) = ax, com a > 0 e a 6= 1, então f ′(x) = ax ln a.
Observação 10.1 Se a = e, então para f(x) = ex, segue que
f ′(x) = ex ln e ⇒ f ′(x) = ex.
Observação 10.2 A derivada da função exponencial pode ser generalizada com a utili-
zação da regra da cadeia.
1. Se y = au, com a > 0, a 6= 1, então y′ = au ln a.u′.
2. Se y = eu, então y′ = eu.u′.
Exemplo 10.1 Determine a derivada das funções:
20
11 Derivada da Função Logarítmica
a) y = 5
√
2x2+3x
Solução: Faça u =
√
2x2 + 3x, então y = 5u. Pela regra da cadeia, temos que
u′ = [(2x2 + 3x)
1
2 ]′ =
1
2
(2x2 + 3x)−
1
2 .(2x2 + 3x)′ =
4x+ 3
2
√
2x2 + 3x
Assim, segue que
y′ = 5u ln 5.u′ = 5
√
2x2+3x ln 5.
4x+ 3
2
√
2x2 + 3x
.
b) y = e
√
ex2
Solução: Faça u =
√
ex2, então y = eu. Pela regra da cadeia, temos que
u′ = [(ex
2
)
1
2 ]′ =
1
2
(ex
2
)−
1
2 .(ex
2
)′ = xex
2
(ex
2
)−
1
2 = x
√
ex2 .
Logo, temos
y′ = eu.u′ = e
√
ex
2
.x
√
ex2 .
11 Derivada da Função Logarítmica
Teorema 11.1 Se f(x) = loga x, com a > 0 e a 6= 1, então f ′(x) = 1x loga e.
Observação 11.1 Se a = e, então para f(x) = loge x = lnx, segue que
f(x) = lnx ⇒ f ′(x) = 1
x
.
Observação 11.2 A derivada da função logarítmica pode ser generalizada com a utiliza-
ção da regra da cadeia.
1. Se y = loga u, com a > 0, a 6= 1, então y′ = u′u loga e.
2. Se y = lnu, então y′ = u
′
u
.
Exemplo 11.1 Determine a derivada das seguintes funções.
21
12 Derivação Implícita
a) y = ln( e
x
x+1
)
Solução: Temos y = lnu, com u = e
x
x+1
. Logo,
y′ =
u′
u
=
(x+1)ex−ex.1
(x+1)2
ex
x+1
=
x
x+ 1
.
b) y = ln(sen(e−2x))
Solução: temos y = lnu, com u = sen(e−2x). Pela regra da cadeia, temos que
u′ = (sen(e−2x))′ = cos(e−2x).(e−2x)′ = cos(e−2x).(e−2x).(−2x)′ = −2e−2x. cos(e−2x).
Assim, obtemos
y′ =
u′
u
=
−2e−2x. cos(e−2x)
sen(e−2x)
= −2e−2xcotg(e−2x).
12 Derivação Implícita
Quando a relação entre x e y é dada por uma equação da forma F (x, y) = 0, dizemos
que y é uma função implícita de x.
Exemplo 12.1 A equação x2+2y− 3 = 0 define implicitamentea função y = 1
2
(3−x2).
Nem sempre é possível definir a forma explícita de uma função definida implicitamente.
Por exemplo, a função x3 + y2 = 3xy não pode ser expressa na forma y = f(x).
O método da derivação implícita permite encontrar a derivada de uma função assim
definida, sem a necessidade de explicitá-la.
Este método consiste em derivar ambos os membros da equação em relação a x e isolar
y′ na equação resultante.
12.1 Derivada de uma Função Definida Implicitamente
Suponha que F (x, y) = 0 define implicitamente uma função derivável y = f(x). A
derivada de uma função na forma implícita é obtida utilizando-se a regra da cadeia. Assim,
é possível determinar y′ sem explicitar y.
22
12.1 Derivada de uma Função Definida Implicitamente
Exemplo 12.2 Derive implicitamente as funções abaixo.
a) x2 + y2 = 9
Solução: Derivando ambos os membros com relação a x, temos que
(x2 + y2)′ = (9)′ ⇒ 2x+ 2y.y′ = 0 ⇒ y′ = −x
y
.
b) x3 + y2 = 3xy
Solução: Derivando ambos os membros com relação a x, temos que
(x3 + y2)′ = (3xy)′ ⇒ 3x2 + 2y.y′ = 3x.y′ + 3y ⇒ 2y.y′ − 3x.y′ = 3y − 3x2
⇒ y′(2y − 3x) = 3y − 3x2 ⇒ y′ = 3y − 3x
2
2y − 3x .
c) y4 + 3xy + 2 ln y = 0
Solução: Derivando ambos os membros com relação a x, temos que
(y4 + 3xy + 2 ln y)′ = (0)′ ⇒ 4y3y′ + 3xy′ + 3y + 2y
′
y
= 0
⇒ 4y4y′ + 3xyy′ + 3y2 + 2y′ = 0 ⇒ y′(4y4 + 3xy + 2) = −3y2
⇒ y′ = −3y
2
4y4 + 3xy + 2
.
d) y7 + ln(sen(xy2)) = e2x
3+x
Solução: Derivando ambos os membros com relação a x, temos que
(y7 + ln(sen(xy2)))′ = (e2x
3+x)′
⇒ 7y6y′ + (sen(xy
2))′
sen(xy2)
= e2x
3+x(2x3 + x)′
⇒ 7y6y′ + cos(xy
2)(xy2)′
sen(xy2)
= e2x
3+x(6x2 + 1)
⇒ 7y6y′ + (x2yy′ + y2)cotg(xy2) = (6x2 + 1)e2x3+x
⇒ y′(7y6 + 2xycotg(xy2)) = (6x2 + 1)e2x3+x − y2cotg(xy2)
⇒ y′ = (6x
2 + 1)e2x
3+x − y2cotg(xy2)
7y6 + 2xycotg(xy2)
.
23
13 Derivadas de Ordem Superior
13 Derivadas de Ordem Superior
Se a derivada f ′ de uma função f for diferenciável, então a derivada de f ′ será
denotada por f ′′, sendo chamada de derivada segunda de f . À medida que tivermos
diferenciabilidade, poderemos continuar o processo de diferenciar derivadas para
obter as derivadas terceira, quarta, quinta e mesmo as derivadas mais altas de f .
As derivadas sucessivas de f são denotadas por
f ′, f ′′, f ′′′, f (4), f (5), ...
chamadas de derivadas primeira, segunda, terceira ordem e assim por diante. Acima
da derivada terceira, denotamos por inteiros entre parênteses a indicação da ordem
da derivada. Nesta notação, a derivada de ordem n é denotada por
f (n) : n-ésima derivada de f.
Derivadas sucessivas também podem ser denotadas por
f ′(x) = y′ =
dy
dx
f ′′(x) = y′′ =
d2y
dx2
f ′′′(x) = y′′′ =
d3y
dx3
f (4)(x) = y(4) =
d4y
dx4
.
.
.
f (n)(x) = y(n) =
dny
dxn
.
Exemplo 13.1 Obtenha a derivada de sexta ondem das funções abaixo.
a) y = x5 − 3x3 + x2 + 5
24
13 Derivadas de Ordem Superior
Solução: Temos que
y′ = 5x4 − 9x2 + 2x
y′′ = 20x3 − 18x+ 2
y′′′ = 60x2 − 18
y(4) = 120x
y(5) = 120
y(6) = 0.
Note que, y(n) = 0, ∀ n ≥ 6.
b) y = a2x, para a > 0 e a 6= 1
Solução: Temos que
y′ = 2 ln a.a2x; y′′ = (2 ln a)2.a2x; y′′′ = (2 ln a)3.a2x
y(4) = (2 ln a)4.a2x; y(5) = (2 ln a)5.a2x; y(6) = (2 ln a)6.a2x.
Note que, y(n) = (2 ln a)n.a2x, ∀ n ∈ N.
c) y = senx
Solução: Temos que
y′ = cos x; y′′ = −sen x; y′′′ = − cosx
y(4) = sen x; y(5) = cosx; y(6) = −sen x.
Exemplo 13.2 Determine o valor das constantes A e B para que a função
y = A sen(2x) +B cos(2x)
satisfaça a equação
y′′ + y′ − 2y = sen(2x). (4)
25
13 Derivadas de Ordem Superior
Solução: Temos
y′ = 2A cos(2x)− 2B sen(2x)
y′′ = −4A sen(2x)− 4B cos(2x)
Substituindo na equação (4), obtemos
−4A sen(2x)−4B cos(2x)+2A cos(2x)−2B sen(2x)−2(A sen(2x)+B cos(2x)) = sen(2x)
logo,
(2A− 6B) cos(2x)− (6A+ 2B) sen(2x) = sen(2x).
Por comparação, segue que
 2A− 6B = 0−6A− 2B = 1 ⇒ A = − 320 e B = − 120 .
26
14 Tabela de Derivadas
14 Tabela de Derivadas
Nesta tabela u e v são funções diferenciáveis de x e c, n e a são constantes.
1. y = c ⇒ y′ = 0
2. y = x ⇒ y′ = 1
3. y = c.u ⇒ y′ = c.u′
4. y = u+ v ⇒ y′ = u′ + v′
5. y = u.v ⇒ y′ = u.v′ + u′.v
6. y =
u
v
, (v 6= 0) ⇒ y′ = v.u
′ − u.v′
v2
7. y = un ⇒ y′ = n.un−1.u′
8. y = au, (a > 0, a 6= 1) ⇒ y′ = au. ln a.u′
9. y = eu ⇒ y′ = eu.u′
10. y = loga u, (a > 0, a 6= 1) ⇒ y′ = u′u loga e
11. y = lnu ⇒ y′ = u′
u
12. y = senu ⇒ y′ = cosu.u′
13. y = cosu ⇒ y′ = −senu.u′
14. y = tg u ⇒ y′ = sec2 u.u′
15. y = cotg u ⇒ y′ = −cosec2 u.u′
16. y = secu ⇒ y′ = secu.tg u.u′
17. y = cosecu ⇒ y′ = −cosecu.cotg u.u′
18. y = arcsenu ⇒ y′ = u′√
1−u2
19. y = arccosu ⇒ y′ = − u′√
1−u2
20. y = arctg u ⇒ y′ = u′
1+u2
27
14 Tabela de Derivadas
21. y = arccotg u ⇒ y′ = − u′
1+u2
22. y = arcsecu, |u| ≥ 1 ⇒ y′ = u′|u|√u2−1 , |u| > 1
23. y = arccosecu, |u| ≥ 1 ⇒ y′ = − u′|u|√u2−1 , |u| > 1
28
15 Lista 3 - Unidade II
15 Lista 3 - Unidade II
1. Use a definição para determinar a derivada da função f(x) = x2+1 e depois calcule
f ′(0) e f ′(−1).
2. Determine a derivada da função y = f(x), usando a definição.
a) y = 2x3 b) y = 2x2 − 3x c) y = 1
x+ 1
3. Seja f uma função definida em R por f(x) =
 −x, se x ≤ 02, se x > 0
a) Calcule f ′(−1). b) Existem as derivadas f ′+(0) e f ′−(0)? c) f é derivável em
x = 0?
4. Em cada caso, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f , no ponto cuja
abscissa é dada.
a) f(x) = x
2
3
; x0 = 8 b) f(x) =
√
x; x0 = 3
5. Determine a equação da reta tangente à parabola y = x2, com inclinação m = −8.
Faça um gráfico ilustrando a situação.
6. Determine a equação da reta que tangencia o gráfico da função y = x2 + 3x e é
paralera à reta y = 4x+ 2.
7. Seja y = ax2 + bx. Encontre os valores de a e b, sabendo que a tangente à curva no
ponto P (1, 5) tem inclinação m = 8.
8. Determine a equação para a reta normal à curva y = x2 + 1 no ponto P (2, 5).
9. Investigue a derivabilidade da função dada no ponto indicado.
a) f(x) =
 x2, se x ≤ 0x, se x > 0 ; x = 0
b) f(x) =

√
x, se 0 < x < 1
2x− 1, se 1 ≤ x < 2
; x = 1
29
15 Lista 3 - Unidade II
c) f(x) =

2− x2, se x < −2
−2, se |x| ≤ 2
2x− 6, se x > 2
; x = 2 e x = −2
10. Considere a função f definida por f(x) =
 x2, se x ≤ 12, se x > 1
a) Escoce o gráfico de f . b) f é contínua em x = 1? c) f é derivável em x = 1?
11. Suponha que f seja uma função derivável em R, satisfazendo f(a + b) = f(a) +
f(b) + 5ab, ∀ a, b ∈ R. Se lim
h→0
f(h)
h
= 3, determine f ′(x).
12. Dadas as funções f(x) = x2 + ax e g(x) = bx, determine a e b de modo que f ′(x) + g′(x) = 1 + 2xf(x)− g(x) = x2
13. Usando as regras de derivação, encontre as derivadas das funções abaixo.
a) f(x) = pix2 b) f(x) = (2x+ 1)(3x2 + 6)
c) f(x) =
(x− a)2
x− b d) f(x) =
3x2 + 5x− 1
x− 1
e) f(x) =
2− x2
x− 2 f) f(x) =
2
3
(5x− 3)−1(5x+ 3)
14. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
a) f(x) =
pi
x
+ ln 2 b) f(x) =
1
4
− 1
3
x+ x2 − 2x4
c) f(x) =
1 +
√
x
1−√x d) f(x) = x arcsenx
e) f(x) =
(x2 + 1)arctg x− x
2
f) f(x) = ex cosx
g) f(x) =
1
x
+ 2 lnx− lnx
x
h) f(x) = (3− 2senx)5
i) f(x) = 2x+ 5 cos3 x j) f(x) =
√
3 senx− 2 cosx
5
k) f(x) =
√
xex + x l) f(x) = arccos (ex)
m) f(x) = sen (3x) + cos(x
5
+
√
x) n) f(x) =
1 + cos(2x)
1− cos(2x)
o) f(x) = ln(senx) p) f(x) = ln x2 + ln(lnx)
30
15 Lista 3 - Unidade II
15. Sabendo-se que g(−1) = 2, f(2) = −3, g′(−1) = −1
3
e f ′(2) = 6, determine as
equações das retas tangente e normal à curva h(x) = f(g(x)), em x = −1.
16. Se h(x) = [f(x)]3 + f(x3), calcule h′(2), sabendo que f(2) = 1, f ′(2) = 7 e f ′(8)=
−3.
17. Calcular a derivada de cada uma das funções abaixo.
a) f(x) =
1
a
(bx2 + ax)3 b) f(t) =
( 7t+ 1
2t2 + 3
)3
c) f(x) = 3
√
(3x2 + 6x− 2)2 d) f(t) =
√
2t+ 1
t− 1
e) f(x) =
1
3
e3−x f) f(x) = e
x
2 (x2 + 5x)
g) f(x) = log2(2x+ 4) h) f(x) = 2
3x2+6x
i) f(t) = ln
(1
t
+
1
t2
)
j) f(x) = cos(pi
2
− x)
k) f(x) = cos2 x sen (2x) l) f(x) = sen3 (3x2 + 6x)
m) f(x) = 3 tg (2x+ 1) +
√
x n) f(x) =
3 sec2 x
x
o) f(x) = e2x cos(3x) p) f(θ) = −cosec2 (θ3)
q) f(x) = (x tg x) r) f(x) = (arcsenx)2
s) f(x) = arcsec
√
x t) f(x) = ln(cos2 x)
u) f(x) = [1 + (1 + x5)6]7 v) f(x) = ln
√
2− x
3− x
18. Calcular as derivadas sucessivas até a ordem indicada.
a) f(x) = 3x4 − 2x; n = 5 b) f(x) = e2x+1; n = 3
c) f(x) = ln(2x); n = 2 d) f(x) = tg x; n = 3
e) f(x) = arctg x; n = 2 f) f(x) =
1
ex
; n = 4
19. Cada uma das funções abaixo define, implicitamente, y como função de x. Determine
dy
dx
.
a) y3 = x+ y b) y = sen (2x+ y) c) 4 cosx.sen y = 1
d)
√
xy = 1 + x2y e) x3 + x2y + y2 = 0 f) y3 =
x− y
x+ y
31
15 Lista 3 - Unidade II
20. Mostre que o ponto (2, 4) está na curva x3 + y3 − 9xy = 0. Em seguida, encontre a
equação da reta tangente à curva nesse ponto.
21. Verifique que a função f(x) = xe−x é solução da equação xy′ = (1− x)y.
22. Se a e b são constantes quaisquer, verifique que a função y = ae−x+ be−2x é solução
da equação y′′ + 3y′ + 2y = 0.
32
16 Respostas e Sugestões
16 Respostas e Sugestões
1. f ′(x) = 2x, f ′(0) = 0 e f ′(−1) = −2
2. a) 6x2 b) 4x− 3 c) − 1
(x+1)2
3. a) −1 b) f ′+(0) = 0 e f ′−(0) = −1 c) não
4. a) y = 1
3
x+ 4
3
b) y = 1
2
√
3
(x− 3) +√3
5. y = −8x− 16
6. y = 4x− 1
4
7. a = 3 e b = 2
8. 4y + x− 22 = 0
9. a) não existe f ′(0) b) não existe f ′(1) c) não existe f ′(−2) e f ′(2)
10. b) não c) não
11. 5x+ 3
12. a = 1
2
e b = 1
2
13.
a) 2pix b) 18x2 + 6x+ 12 c) x
2−2bx+2ab−a2
(x−b)2
d)
3x2−6x−4
(x−1)2 e)
−x2+4x−2
(x−2)2 f) − 20(5x−3)2
14.
a) − pi
x2
b) −1
3
+ 2x− 8x3
c)
1√
x(1−√x)2 d)
x√
1−x2 + arcsenx
e) x arctg x f) ex(cosx− senx)
g)
2
x
− 2
x2
+ lnx
x2
h) −10 cosx(3− 2 senx)4
i) 2− 15 cos2 x senx j) 3 cosx+2 sen x
2
√
15 sen x−10 cosx
k)
ex(x+1)+1
2
√
x(ex+1)
l) − ex√
1−e2x
33
16 Respostas e Sugestões
m) 3 cos(3x)− (1
5
+ 1
2
√
x
)sen(x
5
+
√
x) n) −4 sen(2x)
[1−cos(2x)]2
o) cotg x p) 2 lnx
x
+ 1
x lnx
15.
Equação da reta tangente: y = −2x− 5
Equação da reta normal: y = 1
2
x− 5
2
16. −15
17.
a)
1
a
[3(bx2 + ax)2(2bx+ a)] b) 21(7t+1)
2(2t2+3)−12t(7t+1)3
(2t2+3)4
c)
12(x+1)
3 3
√
3x2+6x−2 d) − 32√(2t+1)(t−1)3
e) − e3−x
3
f) e
x
2 (1
2
x2 + 9
2
x+ 5)
g)
2 log2 e
2x+4
h) 6 ln 2(x+ 1)23x
2+6x
i) − t+2
t2+t
j) sen(pi
2
− x)
k) 2 cos2 x cos(2x)− 2 sen(2x) cosx senx l) 3(6x+ 6) sen2(3x2 + 6x)
m) 6 sec2(2x+ 1) + 1
2
√
x
n)
6x sec2 x tg x−3 sec2 x
x2
o) −3e2xsen(3x) + 2e2x cos(3x) p) −6 θcosec2(θ3)cotg(θ3)
q) x sec2 x+ tg x r) 2 arcsen x√
1−x2
s)
1
2|x|√x−1 , |x| > 1 t) −2 cosx sen xcos2 x
u) 7[1 + (1 + x5)6]6.6(1 + x5)5.5x4 v) −1
2(2−x)(3−x)
18.
a) f ′(x) = 12x3 − 2, f ′′(x) = 36x2, f (3)(x) = 72x, f (4)(x) = 72, f (5)(x) = 0
b) f ′(x) = 2e2x+1, f ′′(x) = 4e2x+1, f (3)(x) = 8e2x+1
c) f ′(x) = 1
x
, f ′′(x) = − 1
x2
d) f ′(x) = sec2 x, f ′′(x) = 2 sec2 x tg x, f (3)(x) = 2 sec4 x+ 4 sec2 x tg2 x
e) f ′(x) = 1
1+x2
, f ′′(x) = − 2x
(1+x2)2
f) f ′(x) = − 1
ex
, f ′′(x) = 1
ex
, f (3)(x) = − 1
ex
, f (4)(x) = 1
ex
34
16 Respostas e Sugestões
19.
a) y′ = 1
3y2−1 b) y
′ = 2 cos(2x+y)
1−cos(2x+y)
c) y′ = tgx tg y d) y′ = 2y
√
xy(2x+1)
x−2x2√xy
e) y′ = −3x
2−2xy
x2+2y
f) y′ = 2y
3y2(x+y)2+2x
20. 5y − 4x− 12 = 0
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