Control Aula20 dominio da frequencia

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Profa Ninoska Bojorge
Análises de sistemas no domínio 
da frequência
Departamento de Engenharia Química e de Petróleo – UFF 
Disciplina: TEQ102- CONTROLE DE PROCESSOS 
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Resposta de Frequência
2
CONCEITO: Consiste de um método gráfico-analítico que permite a 
observação da resposta de um sistema, para um sinal de entrada 
senoidal, cuja frequência é variada dentro de uma faixa pré-estabelecida.
A resposta em regime permanente de um sistema linear e invariante no 
tempo sujeito a um entrada senoidal será senoidal na mesma frequência, 
com amplitude e fase diferentes.
Função de Transferência Senoidal: G(jω)
1) MÓDULO :
2) FASE :
)(
)()(
jwX
jwYjwG =
)(
)()(
jwX
jwYjwG ∠=∠
G(s)
X(s) Y(s)
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Domínio frequência
A representação do domínio do tempo dá a amplitude do sinal no instante 
de tempo escolhido.
No domínio da frequência, separa-se conceitualmente as senóides que 
formam o sinal.
3
Domínio do tempo versus domínio da frequência
Domínio da frequênciaDomínio do tempo
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Domínio frequência
4
L(x(t)) = X(s)
F(x(t)) = X(jω)
como já vimos, a transformada de Laplace:
A Transformadas de Fourier:
Na verdade as Transformadas de Laplace e as Transformadas de 
Fourier são representações que estão muito relacionadas uma com a 
outra. Em muitos casos, se substituirmos ‘s’ por ‘jω’, isto é, fazendo-se 
‘s’ ser um número complexo com parte real nula e parte imaginária ‘ω’, 
s = 0 + jω = jω
obtemos a Transformadas de Fourier a partir da Transformada de 
Laplace
X(s) = X(0+jω) = X(jω), Y(s) = Y(0+jω) = Y(jω), etc.
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0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0
- 1
-0 . 8
-0 . 6
-0 . 4
-0 . 2
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
Sinais sinodais
Alta frequência: mudança rápida
ω = 2π / T rad/tempo
� = A sen(ωt)
5
Período (T)
Amplitide 
de pico
Amplitide de 
pico a pico
Frequência ω = 2π 1
T
ω: número de oscilações em um segundo, no SI → hertz;
1 rad/s = 0,159154943274 Hz.
Baixa frequência: mudança lenta
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Entradas senoidais
Objetivo: Estudar a resposta de um sistema lineal estável ante mudanças 
tipo senoidal na entrada
Nos centraremos no estado estacionário
U(s)
Y(s) = G(s) U(s)
)s(D
)s(N)s(G
s
A)s(U 22 =ω+
ω=
6
G(s)
Y(s)
Métodos de resposta em frequência: Varia-se a frequência do sinal de entrada 
dentro de um certo intervalo e estuda-se a resposta resultante.
Seja: 
e:
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j
jAGajDjaAjNjs para
j
jAGajDjaAjNjs para
jsjssbsDjsasDjsaAsN
sDjsjs
jsjssbsDjsasDjsa
s
A
sD
sN
sD
sb
js
a
js
a
s
A
sD
sNsUsGsY
2
)()(2)(
2
)()(2)(
))()(()()()()()(
)())((
))()(()()()()(
)(
)(
)(
)(
)(
)()()()(
22
22
ωωωωωω
ωωωωωω
ωωωωω
ωω
ωωωω
ω
ω
ωωω
ω
−−=−−=−−=
===
−++++−=
−+
−++++−=+
+−++=+==
7
logo:
Resposta em frequência
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))(arg()()(
2
)(
2
)(
2
)(
2
)(
2
)()(lim
......
2
)(
2
)()(
)(
)()]([)(
)()(
1111
ωφφωωω
ωω
ωω
ωω
ωω
φωφω
ωφωφ
ωω
ωω
jGtsenjGA
j
eejGAy
e
j
ejGA
e
j
ejGA
y
e
j
jAGe
j
jAGtyy
:ioestacionár estado no estável, é D(s) se
e
j
jAGe
j
jAGty
sD
sbL
js
aL
js
aLsYLty
tjtj
tj
j
tj
j
tjtj
t
tjtj
=+=−=
+−=
+−−==
++−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+==
+−+
∞
−−∞
−
∞→∞
−
−−−−
8
Assim, aplicando a transformada inversa, temos:
Resposta em frequência
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))(arg(
)()(
ωφ
φωω
jG
tsenjGAy
=
+=∞)t(Asen)t(u ω=
A resposta oscila com a mesma frequência ω, mas atenuada por um 
fator |G(jω)| e desfasada um ângulo φ = arg(G(jω)) , que dependem 
de ω.
9
U(s)
G(s)
Y(s)
Resposta em Frequência: Resposta em regime permanente de um 
sistema a uma entrada senoidal
Resposta em frequência
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os valores da atenuação |G(jω)| e o desfase φ = arg(G(jω)) que introduz 
um sistema lineal dependem só de G(s) e podem representar-se em 
função da frequência ω em diversos tipos de diagramas, ao substituir a 
variável s por jω em G(s) e calcular o módulo e argumento do complexo 
G(jω) resultante.
( ) ( ) ( )
( ) 2222
2
2222
2
32))(arg(
92
41)(
32
12
23
12)(
23
12)(
ω
ωωω
ωω
ωω
ωω
ω
ωω
ωω
−−=+−
+=
+−
+=++
+=⇒++
+=
arctgarctgjGjG
j
j
jj
jjG
ss
ssG
10
Resposta em frequência
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Resposta em frequência
Forma Gráfica:
¾ Diagramas de Bode ou gráficos logarítmicos
¾ Diagrama de Nyquist ou diagrama polar
¾ Diagrama do Logaritmo do módulo versus ângulo 
de fase (carta de Nichols)
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Diagrama de Bode
12
Hendrik Wade Bode 
(1905-1982), 
Os diagramas de Bode (de módulo e de fase) são uma das 
formas de caracterizar sinais no domínio da frequência.
arg(G(jω)) em graus
|G(jω)| em dB
dB = 20log |G(jω|
A função de transferência senoidal de um sistema representada graficamente: 
• Módulo versus Frequência e 
• Ângulo de Fase versus Frequência.
Uso de Escalas Logarítmicas: simplificam a sua construção, manipulação e 
interpretação.
Construção dos Diagramas de Bode
Abscissas → eixo ω (frequência em rad/s) 
→ escala logarítmica
Ordenadas → eixo M (módulo em dB) →
M = 20 log |G(jω)|
→ ∠ G = Fase (em grau)
M
ód
ul
o 
(d
B
) 
Fa
se
 (g
ra
us
) 
ω (rad/s)
Traçado das Curvas: 
• corresponde a plotar a curva G(s) para 
s = jw. 
• Como é uma curva de variável 
complexa, deve-se apresentar 
conjuntamente as duas curvas: parte 
real e imaginária ou Módulo e Fase 
(forma usada).
13
1 oitava = variação correspondente a ω2 = 2 x ω1 (uma oitava corresponde à: 
o dobro /ou a metade, dependendo do sentido (para direita ou para esquerda 
/ aumentando-se / ou diminuindo-se). 
Construção dos Diagramas de Bode
1 década = variação correspondente a 
ω 2 = 10 x ω1, assim:
14
Módulo (M) = 20 log |G(jω)| [deciBel = dB]
Fase (Φ) = ∠ G(jω) [graus = °]
Freqüência
(rad/s)
abs(G(jw))
20*log (abs(G(jw)) 
[dB]
∠ G(jw), 
[radianos]
∠ G(jw), 
[graus]
0.1
0.2
0.4
0.8
1
2
4
8
10
ω (rad/s ou Hz)
FA
S
E
 (Φ
)
20
 lo
g 
|G
(jw
)| 
ω (rad/s ou Hz)
Lembrando que:
Construção dos Diagramas de Bode
15
Os diagramas de Bode são construídos para funções de transferên-
cia G(jw) e são dois:
diagramas de Bode de módulo
e
diagramas de Bode de fase.
Os diagramas de Bode de módulo são gráficos de
|G(jω)| em dB (|G(jω) |dB)
x
ω (com escala logarítmica)
Os diagramas de Bode de fase são gráficos de 
G(jω) em graus
x
ω (com escala logarítmica)
Construção dos Diagramas de Bode
Indica o ganho 
relativo espectral.
Indica desfasamento 
harmônico do sinalde 
saída em relação ao de 
entrada.
Resumindo: 
16
¾ Definição: Função de transferência
¾ Curva de Módulo ou Amplitude: |G(jw)|dB
Obs.: Zeros tem contribuição positiva e pólos tem contribuição negativa na curva de módulo.
¾ Curva de Fase: Φ (jw)
Obs.: Zeros tem contribuição positiva e os pólos tem contribuição negativa na curva de fase.
Construção dos Diagramas de Bode
Matematicamente: 
)...])([(
)...])([()(
4422
3311
jwxsjwxs
jwxsjwxsKsG ++++
++++=
...)((log20...)((log20log20 22
2
2
2
1
2
1 −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +++= wwxwwxKM
[ ] ...-] x / w)tg[(w arc - ...x / w)(warctg 2211 +++=φ
17
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18
1. O sinal de saída é uma senoidal que tem a mesma freqüência, ω, 
com o sinal de entrada, x(t) =Asinωt.
2. A amplitude do sinal de saída, , é uma função da freqüência ω e 
de uma amplitude, A:
Aˆ
2 2
ˆ (13-2)
ω τ 1
=
+
KAA
Características de Resposta de 
Frequência
de Processos de 1ª Ordem
3. A saída tem uma mudança de fase, φ, em relação à entrada. A 
quantidade de deslocamento de fase depende ω.
( )1
2 2
ˆ and φ tan ωτ
ω τ 1
−= = −
+
KAA
Para qdo t → ∞ onde 
(1)
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que podem, por sua vez, ser dividido pelo ganho de processo para produzir a 
razão de amplitude normalizada (ARN)
N 2 2
1AR (13-3b)
ω τ 1
=
+
Dividindo ambos lados da eq (1) pela amplitude do sinal de entrada A resulta o 
razão de amplitude, AR (amplitude ratio)
2 2
ˆ
AR (13-3a)
ω τ 1
= =
+
A K
A
(2)
(3)
Características de Resposta de 
Frequência
de Processos de 1ª Ordem continuação...
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20
1. O sinal de saída é uma senoidal que tem a mesma freqüência, ω, com o 
sinal de entrada, x(t) =Asinωt.
2. A amplitude do sinal de saída, , é uma função da freqüência ω e de uma 
amplitude, A:
Aˆ
2 2
ˆ (13-2)
ω τ 1
=
+
KAA
Características de Resposta de 
Frequência
de Processos de 1ª Ordem
3. A saída tem uma mudança de fase, φ, em relação à entrada. A quantidade de 
deslocamento de fase depende ω.
( )1
2 2
ˆ and φ tan ωτ
ω τ 1
−= = −
+
KAA
Para qdo t → ∞ onde 
(1)
continuação...
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que podem, por sua vez, ser dividido pelo ganho de processo para produzir a 
razão de amplitude normalizada (ARN)
N 2 2
1AR (13-3b)
ω τ 1
=
+
Dividindo ambos lados da eq (1) pela amplitude do sinal de entrada A resulta o 
razão de amplitude, AR (amplitude ratio)
2 2
ˆ
AR (13-3a)
ω τ 1
= =
+
A K
A
(2)
(3)
continuação...
Características de Resposta de 
Frequência
de Processos de 1ª Ordem
⇒
22
Método Shortcut para encontrar a Resposta de 
Frequência
Etapa 1. Substituir s = jω em G(s) para o obter G (jω). .
Etapa 2. Racionalizar G(jω); Deseja-se expressar na forma.
G(jω)=R + jI
onde R e I são funções de ω. Simplificando G(jω) multiplicando 
o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do 
denominador.
Etapa 3. A razão de amplitude e a fase de G(s) são dadas por :
2 2
1
AR
tan ( / )
R I
I Rϕ −
= +
=
Lembrar
Este método consiste em:
23
Exemplo 1
Encontrar a resposta de frequência de um sistema de primeira ordem, com
( ) 1 (13-16)τ 1G s s= +
Solução
Primeiro , substitui -se na função de transferência ωs j=
( ) 1 1ω (13-17)τ ω 1 ωτ 1G j j j= =+ +
Em seguida, multiplique o numerador e o denominador pelo complexo 
conjugado do denominador, , ou seja,ωτ 1j− +
( ) ( )( )
( )
2 2
2 2 2 2
ωτ 1 ωτ 1ω ωτ 1 ωτ 1 ω τ 1
ωτ1 (13-18)
ω τ 1 ω τ 1
j jG j
j j
j R jI
− + − += =+ − + +
−= + = ++ +
(1)
(2)
(3)
24
onde:
Da etapa 3 do Método Shortcut:
2 2
1 (13-19a)
ω τ 1
R = +
2 2
ωτ (13-19b)
ω τ 1
I −= +
2 2
2 2
2 2 2 2
1 ωτAR
ω τ 1 ω τ 1
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠R I
também,
( ) ( )1 1 1φ tan tan ωτ tan ωτ (13-20b)− − −⎛ ⎞= = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
I
R
(4a)
(4b)
( )
( )
2 2
2 2 22 2
1 ω τ 1AR (13-20a)
ω τ 1ω τ 1
+= =
++
ou
(5a)
(5b)
25
Exercício:
110
5)( += ssG
ωs j=
110
5)( += jwjwG
)110)(110(
)110(5)( +−+
+−=
jwjw
jwjwG
)110(
)110(5)( 22 +
+−=
w
jwjwG
)110(
)50(
)110(
5
2222 +
−++ w
wj
w
=
Continuem...
26
Freqüência
(rad/min)
Módulo
abs(G(jw))
Módulo
20*log (abs(G(jw)) 
[dB]
∠ G(jw), 
[rad]
RA
∠G(jw),
[graus]
0.001
0,01
0,1
0.2
0.4
0.8
1
2
4
8
10
Exercício:
110
5)( += ssG
E completar a seguinte tabela