A RETA e O PLANO

Prévia do material em texto

A RETA
EQUAÇÃO VETORIAL e EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
1º) No plano ( IR2 )
Consideremos a reta “r” que passa pelo ponto ),( 00 yxA e 
tem a direção do vetor não nulo ),( bav =

.
 Estes elementos são suficientes para determinar a reta 
“r” e, portanto, também são suficientes para equacioná-la 
como veremos a seguir.
r
0
X
Y
v
A
Seja ),( yxP um ponto qualquer de “r”. ( P é ponto 
variável sobre “r”).
Por construção qualquer vetor AP é paralelo ao vetor v . 
Assim, para cada ponto P o vetor AP é proporcional ao vetor 
v , onde o coeficiente de proporcionalidade é a variável real t 
chamada parâmetro. Assim,
IRtvtAP ∈= ,
ou
ou
ou
P
P
P
P
A
0
X
Y r
v
IRtvtAP ∈+= ,
( ) ( ) ( ) IRtbatyxyx ∈+= ,,,, 00
Equação Vetorial da Reta “r”
Daí,
Equações Paramétricas da Reta “r”
Por exemplo:
A reta “r” que passa pelo ponto )2,1(−A e tem a direção 
do vetor )2,2( −=v

 tem equação vetorial 
( ) ( ) IRt,t22t,21yx,r ∈−+−=∴
Atribuindo valores reais para o parâmetro t obtemos 
pontos de da reta “r”:
rAPt ∈−=⇒= )2,1(0
rBPt ∈=⇒= )0,1(1
rCPt ∈−=⇒= )2,3(2
rDPt ∈−=⇒−= )4,3(1
rEPt ∈=⇒= )1,0(
2
1
IRt
tbyy
taxx
∈


+=
+=
,
0
0
 ( ) ( ) ℜ∈++= ttbytaxyx ,,, 00
2º) No espaço ( IR3 ) 
O desenvolvimento é análogo mudando apenas o fato de 
que os pontos possuem uma 3ª coordenada e os vetores uma 
3ª componente.
Consideremos a reta “r”determinada por:
 o ponto ),,( 000 zyxA
 o vetor não nulo ),,( cbav =

Sendo ),,( zyxP um ponto qualquer (variável) de “r” temos:
IRtvtAP ∈= ,
ou 
ou
v
r
A
0 Y
X
Z
 IRtvtAP ∈+= ,

( ) ( ) ( ) IRtcbatzyxzyx ∈+= ,,,,,,, 000
Equação Vetorial da Reta “r”
Daí, 
Equações Paramétricas da Reta “r”
IRt
tczz
tbyy
taxx
∈



+=
+=
+=
,
0
0
0
 ( ) ( ) IRttcztbytaxzyx ∈+++= ,,,,, 000
# Reta Definida por Dois Pontos #
A reta definida por dois pontos A e B, tem a direção do 
vetor AB .
Exemplo:
A reta r, determinada pelos pontos A(1, -2, -3) e B(3, 1 , -
4), tem a direção do vetor AB = v = (2, 3, -1)
E as equações paramétricas



−−=
+−=
+=
t3z
3t2y
2t1x
 com direção do vetor v e passa 
pelo ponto A
Analogamente



−−=
+=
+=
t4z
3t1y
2t3x
 com direção do vetor v e 
passa pelo ponto B
EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA
Das equações paramétricas, supondo abc ≠ 0, vem:
c
zzt
b
yyt
a
xxt
1
1
1
−
=
−
=
−
=
 Logo 
c
zz
b
yy
a
xx 111 −
=
−
=
−
Exemplo
As equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(3, 0, 
-5) e tem a direção do vetor v = (2, 2, -1) são:
1
5z
2
y
2
3x
−
+
==
−
EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA
Às equações simétricas da reta
c
zz
b
yy
a
xx 111 −
=
−
=
−
Pode-se dar outra forma, isolando as variáveis y e z e 
expressando em função de x
Assim
b
yy
a
xx 11 −
=
−
 c
zz
a
xx 11 −
=
−
11 yxa
bx
a
by +−= 11 zxa
cx
a
cz +−=
Fazendo: Fazendo:
m
a
b
= pa
c
=
nyx
a
b
11 =+− qzxa
c
11 =+−
Vem: Vem:
nmxy += qpxz +=
Estas equações são as equações reduzidas da reta
RETAS PARALELAS AOS PALNOS E AOS EIXOS 
COORDENADOS
I) Se uma das componentes de v é nula 
Paralela ao plano e aos eixos
II) Se duas componentes de v são nulas
Paralela ao eixo do vetor kouji ,
ÂNGULO DE DUAS RETAS
Chama-se ângulo de duas retas (θ) r1 e r2o menor ângulo 
diretor de r1 e de um vetor diretor de r2 .
Observamos que θ ∈ [0 , 90º]
CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE DUAS RETAS
A condição de paralelismos das retas r1 e r2 é a mesma dos 
vetores diretores de r1 e r2.
v2m.v1 = ou 
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
==
CONDIÇÃO DE ORTOGONALIDADE DE DUAS RETAS
A condição de ortogonalidade das retas r1 e r2 é a mesma 
dos vetores 1v e 2v que definem as direções dessas retas, 
isto é:
v1 . v2 = 0
A2
A1
r2
r1
v2
v1
CONDIÇÃO DE COPLANARIDADE DE DUAS RETAS
As retas r1 e r2 são coplanares se os vetores v1 , v2 e 
21 AA forem coplanares, isto é,
(v1 ,v2 , 21 AA ) = 0 
ou seja 
(v1 ,v2 , 21 AA ) = 0
zzyyxx
cba
cba
121212
222
111
=
−−−
POSIÇÃO RELATIVAS DE DUAS RETAS
Se duas retas estão contidas no mesmo plano dizemos que são
coplanares. Caso contrário são denominadas reversas.
As retas coplanares podem ser paralelas (distintas ou 
coincidentes) ou concorrentes.
Resumindo, duas retas r1 e r2 podem ser:
* Concorrentes : r1 ∩ r2 = {P}
Paralelas:

Distintas : r1 ∩ r2 = φ Coincidentes : r1 ≡ r2
• Reversas:
Isto é, não situadas no mesmo plano, nesse caso 
r1 ∩ r2 = φ 
O PLANO
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO
 Seja A(x1,y1,z1) um ponto pertencente a um plano pi e 
)0,0,0( , ≠++=
→→→→→
nkcjbian um vetor normal (ortogonal) ao 
plano. O plano pi pode ser definido como sendo o conjunto de 
todos os pontos P(x,y,z) do espaço tais que o vetor →AP é 
ortogonal a →n . O ponto P pertence a pi se, e somente se : 
0. =
→→
APn
Tendo em vista que:
0),,).(,,(
: ),,,( ),,(
111
111
=−−−
−−−==
→→
zzyyxxcba
ficaequaçãoazzyyxxAPecban
 
0)()()( 111 =−+−+− zzcyybxxa
ou, ainda: 0111 =−−−++ czbyaxczbyax
A B 
 
 
Fazendo: :,111 vemdczbyax =−−− 
 
 0=+++ dczbyax . 
Esta é a equação geral ou cartesiana do plano pi . 
♦ Observações: a) Da forma com que definimos o plano pi, 
vimos que ele fica perfeitamente identificado por um de 
seus pontos A e por um vetor normal 
cbacomacban ,, , ),,( pi=
→
 não simultaneamente nulos. 
Qualquer vetor ,0, ≠
→
knk é também vetor normal ao plano.
 
 b) Sendo →n um vetor ortogonal ao plano pi, ele será 
ortogonal a qualquer vetor representado no plano. Em 
particular, se 
→→
21 vev são vetores não colineares, e paralelos 
ao plano, em virtude de →n ser ortogonal, ao mesmo tempo, 
a 
→→
21 vev , tem-se: 
→→→
= 21 vxvn .
 c) É importante observar que os três coeficientes a, b e c 
da equação geral 0=+++ dczbyax representam as 
componentes de um vetor normal ao plano. Por exemplo, se 
um plano pi é dado por: ,05423: =+−+ zyxpi um de seus 
vetores normais é: ).4,2,3( −=
→
n Este mesmo vetor 
→
n é 
também normal a qualquer plano paralelo a pi.
 Assim, todos os infinitos planos paralelos a pi têm equação 
geral do tipo: ,0423 =+−+ dzyx na qual d é o 
elemento que diferencia um plano de outro. O valor de d está 
identificado quando se conhece um ponto do plano.
 
DETERMINAÇÃO DE UM PLANO
Vimos que um plano é determinado por um de seus pontos e 
por um vetor normal a ele. Existem outras formas de 
determinação de um plano nas quais estes dois elementos 
(ponto e vetor normal) ficam bem evidentes. Algumas destas 
formas serão a seguir apresentadas.
Assim, existe apenas um plano que:
1.) passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores 
→→
21 vev 
não colineares.
Neste caso: 
→→→
= 21 vxvn .
2.) Passa por dois pontosA e B e é paralelo a um vetor →v 
não colinear ao vetor →AB . 
 
 Neste caso: ;
→→→
= ABxvn
3.) passa por três pontos A, B e C não em linha reta.
Neste caso: →→→
= ACxABn
4.) contém duas retas r1 e r2 concorrentes.
Neste caso: 
→→→
= 21 vxvn , sendo 
→→
21 vev vetores diretores de r1 
e r2 ;
5.) contém duas retas r1 e r2 paralelas.
Neste caso: ,211
→→→
= AAxvn sendo 1
→
v um vetor diretor de r1 (ou 
r2) e A1 ∈ r1 e A2 ∈ r2.
 
6.) contém uma reta r e um ponto .rB ∉
 Neste caso:
→→→→
= vdoABxvn sen, um vetor diretor de r e
 A∈ r.
 Observação: Nos seis casos apresentados de 
determinação de planos, um vetor normal →n sempre é 
dado pelo produto vetorial de dois vetores 
representados no plano. Estes dois vetores são 
chamados vetores-base do plano.
⇒ Exemplos:
 1º.) Determinar a equação geral do plano que passa pelo 
ponto )4,3,1( −A e é paralelo aos vetores 
).1,1,1( )2,1,3( 21 −=−=
→→
vev
 2º.) Estabelecer a equação geral do plano determinado 
pelos pontos )1,2,1( )1,1,0();1,1,2( CeBA −− .
 3º.) Estabelecer a equação cartesiana do plano que 
contém a reta )1,2,3( 
3
4
: −

=
=
Bpontooe
y
x
r .
PLANOS PARALELOS AOS EIXOS E AOS PLANOS 
COORDENADOS
Casos Particulares
 A equação 0=+++ dczbyax na qual a, b e c 
não são nulos, é a equação de um plano 
pipi ),,( , anormalvetorumcbansendo =
→
. Quando uma ou 
duas das componentes de →n são nulas, ou quando d = 0, está-se 
em presença de casos particulares. 
i) Plano que passa pela origem
 Se o plano 0=+++ dczbyax passa pela origem: 
 0 ,00.0.0. ==+++ déistodcba
Assim a equação: 0=++ czbyax representa a 
equação de um plano que passa pela origem.
i i) Planos Paralelos aos Eixos Coordenados
 Se apenas uma das componentes do vetor ),,( cban =
→
é 
nula, o vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, e, 
portanto, o plano pi é paralelo ao mesmo eixo:
I) se xxcbna 0//0),,0(,0 pi∴⊥==
→
 e a equação geral dos 
planos paralelos ao eixo 0x é: .0=++ dczby
A figura mostra o plano de equação: .0632 =−+ zy 
 
 
 Com raciocínio análogo, vamos concluir que:
II) os planos paralelos ao eixo 0y têm equação da forma: 
;0=++ dczax
III) os planos paralelos ao eixo Oz têm equação da forma: 
.0=++ dbyax
 
♦ Observações: 
 a) A equação 042 =−+ yx , como vimos, representa no espaço 3ℜ 
um plano paralelo ao eixo 0z. Porém, esta mesma equação, 
interpretada no plano 2ℜ , representa uma reta.
 b) Se na equação :
0 
,0 0
=+
==++
byaxequaçãoa
dfizemosdbyax
 representa um plano que 
passa pela origem e, portanto, contém o eixo 0z.
ii i) Planos Paralelos aos Planos Coordenados
 Se duas das componentes do vetor normal ),,( cban =
→ são nulas, 
→
n é colinear a um dos vetores )1,0,0( )0,1,0( )0,0,1( ===
→→→
koujoui ,e, 
portanto, o plano pi é paralelo ao plano dos outros dois vetores:
I) se yxkcccnba 0//)1,0,0(),0,0(,0 pi∴=====
→→ e a equação geral 
dos planos paralelos ao plano x0y é: 
. :,0 ,0
c
dzvemccomodcz −=≠=+
Os planos cujas equações são da forma z = k são paralelos ao 
plano x0y.
A figura abaixo mostra o plano de equação z = 4.
 A equação z = 4 pode também ser apresentada sob a forma 
0400 =−++ zyx na qual vemos que qualquer ponto do tipo A 
(x,y,4) satisfaz esta equação e )1,0,0(=
→
k é um vetor normal 
ao plano.
 
 Com raciocínio análogo, vamos concluir que:
II) os planos paralelos ao plano x0z têm por equação: y = 
k;
III) os planos paralelos ao plano y0z têm por equação: x = 
k.
As figuras abaixo mostram os planos 
2: ; 3: 21 == xy pipi respectivamente
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO
Seja A (x0 , y0, z0) um ponto doe um plano e 
( ) ( )222111 ,,,, cbavecbau == dois vetores não colineares. Um ponto 
P (x, y, z) pertence ao plano que passa por A e é paralelo 
aos vetores veu se ,e somente se, existem números reais h 
e t tais que :
 vtuhAP +=
Escrevendo a equação em coordenadas, obtemos:
(x-x0 , y – y0 , z – z0 ) = h(a1 , b1 , c1 ) + t (a2 , b2 ,c2)
Donde:



++=
++=
++=
tchczz
tbhbyy
tahaxx
210
210
210
Estas são as equações paramétricas do plano.
ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS
Sejam os planos
0dzcybxa
e
0dzcybxa
22222
11111
=+++pi
=+++pi
:
:
Então, ( )1111 cban ,,= e ( )2222 cban ,,= são vetores normais a 1pi 
e 2pi , respectivamente (figura abaixo)
Chama-se ângulo de dois planos 1pi e 2pi o menor ângulo 
que um vetor normal de 1pi forma com um vetor normal de 2pi . 
Sendo θ este ângulo, tem-se:
21
21
.
.
cos
nn
nn
=θ ou 2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121cos
cbacba
ccbbaa
++⋅++
++
=θ 
POSIÇÕES DE PARALELISMO E PERPENDICULARISMO DE 
DOIS PLANOS
Sejam os planos
0dzcybxa
e
0dzcybxa
22222
11111
=+++pi
=+++pi
:
:
 Então, ( ) 11111 cban pi⊥= ,, e ( ) 22222 cban pi⊥= ,,
As condições de paralelismo e de perpendicularismo de 
dois planos são as mesmas de seus respectivos vetores 
normais, isto é:
I) Se 
2
1
2
1
2
1
2121 c
c
b
b
a
ann ==∴pipi //,//
Obs.: 
a) Se além das igualdades anteriores se tiver também
2
1
2
1
2
1
2
1
d
d
c
c
b
b
a
a
===
os planos 1pi e 2pi serão coincidentes porque, nesse caso, a 
equação de 2pi é obtida de 1pi mediante a multiplicação por um 
número, o que não altera a equação de 1pi .
II) Se 0ccbbaann 2121212121 ===∴⊥pi⊥pi ,
POSIÇÕES DE PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO
Para a reta r e o plano pi anteriores, temos:
I. Se nvr ⊥pi ,//
O paralelismo de r e pi implica a ortogonalidade dos 
vetores nev
2. Se nvr //,/ pi⊥
O perpendicularismo de r e pi implica o paralelismo dos vetores 
nev .
Exemplo:
Verificar se a reta 
12
1
3
2:
−
=
−
+
=
− zyxr é perpendicular ao plano 
05369: =+−−pi zyx .
CONDIÇÕES PARA QUE UMA RETA ESTEJA CONTIDA NUM 
PLANO
Uma reta r esta contida num plano pi se:
I. O vetor diretor v de r é ortogonal ao vetor n , normal 
ao plano pi;
II. Um ponto A pertencente a r pertence também ao plano.
Obs.: Uma reta r está também contida num plano pi se 
dois pontos A e B pertencentes a r pertencem a esse plano.
Exemplo : Verificar se a reta 



−−=
+=
+=
tz
ty
tx
r
23
1
2
: 
está contida no plano 0123: =−++pi zyx .
Solução:
(a) O ponto A (2, 1, -3) pertence à reta r, verificaremos se 
pi∈A :
( )
00
01616
013.212.3
0123
=
=−−+
=−−++
=−++ zyx
Logo A (2, 1, -3) também pertence ao plano pi.
Mas só essa condição não é suficiente para garantir que pi∈r .
(b) Verificar se o ( )2,1,1 −=rv é ortogonal a ( )2,1,3=n 
(vetor normal ao plano pi).
( ) ( ) 04132,1,32,1,1 =−+=−=  nvr . 
 Logo, rv é ortogonal a n ;
Conclusão: Como rA∈ e pi∈A , e rv é ortogonal a n , então 
podemos afirmar que a reta r pertence ao plano pi.
INTERSECÇÃO DE DOIS PLANOS
A intersecção de dois planos não paralelos é uma reta. 
O nosso problema será determinar a equação que define esta 
reta.
Sejam 1pi e 2pi planos não paralelos. Para determinar a 
reta intersecção de 1pi e 2pi resolveremos o sistema composto 
por suas equações.
Exemplo: Determinar a equação da reta intersecção dos 
planos 
 0725:1 =++−pi zyx e 0433:2 =++−pi zyx .
Solução: Montamoso seguinte sistema:


=++−
=++−
0433
0725
zyx
zyx
O sistema acima é indeterminado.
 Isso é bastante claro quando entendemos que a 
intersecção de dois planos é uma reta e esta tem infinitos 
pontos.
Para obtermos a equação da reta que representa os 
infinitos pontos de intersecção entre os dois planos 
procuramos escrever duas das variáveis em função de uma 3ª 
variável, que chamamos de variável livre.
Como fazer então:
( )




=++−
=++−
ambos. de somaa efetuamos seguidaem e 1- por
 equações das uma ndomultiplicaz variável a oseliminarem
zyx
zyx
0433
0725
y) caso (no variáveis das uma isolamosyx
zyx
zyx
→=−−−


=++−
=−−+−
+
032
0433
0725
32 −−= xy
Agora substituímos 32 −−= xy na primeira ou na segunda 
equação do primeiro sistema.
Substituindo 32 −−= xy na equação 0725 =++− zyx , 
teremos:
( )
07645
073225
=++++
=++−−⋅−
zxx
zxx
Agora isolando z, teremos:
139 −−= xz
As equações reduzidas da reta r intersecção dos planos 
1pi e 2pi serão:


−−=
−−=
139
32
:
xz
xy
r
INTERSEÇÃO DE RETA E PLANO
A intersecção entre uma reta r e um plano pi é um 
ponto, que chamaremos de I. Para determinar as coordenadas 
do ponto I resolvemos o sistema composto pelas equações 
REDUZIDAS da reta r e pela equação do plano pi.
Exemplo: Determinar o ponto de intersecção da reta 
3
4
2
3: −=−= zyxr com o 
plano 09253: =−−+pi zyx .
1º passo: obter as equações reduzidas da reta r.
Neste exemplo faremos y e z em função de x.
32
2
3
+=
=
−
xy
xy
 e
43
3
4
−=
=
+
xz
xz
Logo as equações reduzidas de r são:


−=
+=
43
32
:
xz
xy
r
Se I (x, y, z) é ponto de intersecção de r e pi, então suas coordenadas devem verificar as 
equações do sistema formado pelas equações de r e de pi:



=−−+
−=
+=
09253
43
32
zyx
xz
xy
Resolve-se este sistema substituindo 32 += xy e 43 −= xz na equação 
09253 =−−+ zyx .
( ) ( )
0147
098615103
0943.232.5.3
=+
=−+−++
=−−−++
x
xxx
xxx
2−=x
Para 2−=x ( ) 32.2 +−=y e ( ) 42.3 −−=z
1−=y 10−=z
Logo I (-2, -1, -10)
Interseção de Plano com os eixos e Planos Coordenados
(a) Seja o plano 0632: =−++pi zyx
Como os pontos dos eixos são da forma (x, 0, 0), 
(0, y, 0) e (0, 0, z), basta fazer na equação do plano duas 
variáveis iguais a zero para se encontrar a terceira, e assim 
obter as interseções com os eixos. Assim:
I) Se y = z = 0, 3062 =∴=− xx e ( )0,0,31A é a interseção do 
plano pi com o eixo dos x.
II) Se x = z = 0, 2063 =∴=− yy e ( )0,2,01A é a interseção do 
plano pi com o eixo dos y.
III) Se x = y = 0, 606 =∴=− zz e ( )6,0,01A é a interseção do 
plano pi com o eixo dos z.
z
y
x
( )0,2,02A
( )6,0,03A
( )0,0,31A
(b) Como as equações dos planos coordenados são x = 0, y= 0 
e z = 0, basta fazer, na equação do plano, uma variável 
igual a zero para se encontrar uma equação nas outras 
duas variáveis e, assim, obter as interseções com os 
planos coordenados. Então:
0632: =−++pi zyx
I) Se 063,0 =−+= zyx , a reta 

+−=
=
63
0
:1 yz
x
r é a interseção 
de pi com o plano yOz.
II) Se 062,0 =−+= zxy , a reta 

+−=
=
62
0
:1 xz
y
r é a interseção 
de pi com o plano xOz.
III) Se 0632,0 =−+= yxz , a reta 


+−=
=
2
3
2
0
:1 xy
z
r é a interseção 
de pi com o plano xOy.
	Sejam os planos
	Posições de Paralelismo e Perpendicularismo de dois planos
		Sejam os planos
	Posições de Paralelismo e Perpendicularismo entre reta e plano
	O paralelismo de r e  implica a ortogonalidade dos vetores 
	2. Se 
	O perpendicularismo de r e  implica o paralelismo dos vetores .
	Condições para que uma reta esteja contida num plano