Algebra2_Aula_16_Volume_01

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Classes laterais 
e o grupo quociente
ob
je
tiv
os
16AULA
Pré-requisitos 
Meta da aula 
Apresentar os conceitos de classes laterais 
à esquerda e classes laterais à direita, suas 
propriedades, e o conceito de grupo quociente.
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
• identificar e calcular classes laterais;
• identificar em que condições uma operação se torna bem definida no 
conjunto das classes laterais à esquerda;
• identificar as características de um grupo quociente.
 Você vai precisar dos conhecimentos 
sobre grupos das Aulas 12 a 15.
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INTRODUÇÃO Na aula anterior apresentamos e provamos o Teorema de Lagrange. Ele é um 
dos teoremas mais importantes da teoria dos grupos e afirma que a ordem 
de todo subgrupo divide a ordem do grupo finito. Para provar o Teorema de 
Lagrange, foi preciso introduzir o conceito de classe lateral de um grupo. Mais 
precisamente, vimos os conceitos de classe lateral à esquerda e classe lateral à 
direita. Na demonstração do Teorema de Lagrange foi necessário trabalhar apenas 
com as classes laterais à esquerda. No entanto, um dos objetivos desta aula é a 
construção dos grupos quocientes que desempenham, em teoria dos grupos, 
um papel análogo aos anéis quocientes em teoria dos anéis. Na construção dos 
grupos quocientes será necessário lidar com subgrupos em que as classes laterais 
à esquerda e à direita são iguais. Estes subgrupos são chamados de subgrupos 
normais e serão nosso objeto de estudo na próxima aula.
Vamos iniciar revendo os conceitos de classe lateral à esquerda e à direita.
DEFINIÇÃO 1 (CLASSE LATERAL)
Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Dado a ∈ G, chamamos 
de uma classe lateral à esquerda de G com respeito a H ao conjunto
 
De modo análogo, chamamos de classe lateral à direita de G com 
respeito a H ao conjunto
 .
Observações
1. Se G é um grupo aditivo, então denotamos a classes laterais 
aH e Ha por
 e
 
respectivamente.
2. Se e é o elemento neutro do grupo G, vimos que eH = He = H. 
Mais ainda, a ∈ aH e a ∈ Ha para todo a ∈ G.
aH a . h h H= ∈{ }.
Ha h a h H= ⋅ ∈{ }
a H a h h H+ = + ∈{ }
H a h a h H+ = + ∈{ },
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Exemplo 1
Seja G o grupo aditivo dos números inteiros, ou seja, o grupo (Z, +). 
Considere, agora, o subgrupo 
 
dos múltiplos de 4. Vamos calcular todas as classes laterais à esquerda 
de H. Já sabemos, pela Observação 2, que 
 
Agora, veja que 
 
consiste em todos os inteiros que deixam resto 1 na divisão 
por 4. Da mesma forma,
 
consiste em todos os inteiros que deixam resto 2 na divisão 
por 4, e
 
consiste em todos os inteiros que deixam resto 3 na divisão por 4. Pelo 
Algoritmo da Divisão em Z, o resto da divisão de qualquer inteiro por 4 
só pode ser 0, 1, 2 ou 3. Assim, todo inteiro pertence a uma das classes 
laterais H = 0 + H, 1 + H, 2 + H ou 3 + H. Portanto, 
 H = 0 + H, 1 + H, 2 + H e 3 + H 
são as únicas classes laterais à esquerda de H = 4Z em Z.
H Z t t Z= = ∈4 4{ }
0 0+ = + =H H H.
1 1 1 4+ = + ∈ = + ∈H h h H t t Z{ } { }
3 3 3 4+ = + ∈ = + ∈H h h H t t Z{ } { }
2 2 2 4+ = + ∈ = + ∈H h h H t t Z{ } { }
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ATIVIDADE 
1. Mostre que H = H + 0, H + 1, H + 2 e H + 3 são as únicas 
classes laterais à direita de H = 4Z em (Z, +).
Como você observou na Atividade 1, H + 1 consiste nos inteiros 
que deixam resto 1 na divisão por 4, H + 2 consiste nos inteiros que 
deixam resto 2 na divisão por 4 e H + 3 consiste nos inteiros que deixam 
resto 3 na divisão por 4, segue que 
0 + H = H + 0 = H; 1 + H = H + 1; 2 + H = H + 2 e 
3 + H = H + 3.
Ou seja, as classes laterais à esquerda e à direita são iguais, sempre 
que obtidas com o mesmo elemento, 
 a + H = H + a para todo a ∈ Z.
No entanto, nem sempre isto acontece, como veremos no próximo 
exemplo.
Exemplo 2
Seja G o grupo das permutações de 
3 elementos, onde 
 e ,
e seja H = { I, β }. Para fins de consulta, lembre-se de que a tabela de 
multiplicação do grupo S
3
 é dada por 
S I3
2 2= { , , , , , }α α β βα βα
α = 





1 2 3
2 3 1
β = 





1 2 3
1 3 2
x I α α2 β βα βα2 
I I α α2 β βα βα2
α α α2 I βα2 β βα
α2 α2 I α βα βα2 β
β β βα βα2 I α α2
βα βα βα2 β α2 I α
βα2 βα2 β βα α α2 I
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No Exemplo 2 da Aula 20, vimos que apenas três classes laterais 
à esquerda com respeito a H, que são:
IH = {I, β} = H; αH = {α, βα2}; α2H = {α2, βα};
pois, as demais são cópias das já obtidas:
βH = {β, I} = H; βαH = {βα, α2} = α2 H; βα2H = {βα2 ,α}= αH.
Observe que temos três classes laterais à esquerda distintas: 
H, aH e α2 H. Na próxima atividade, você vai calcular as classes laterais 
à direita com respeito à H.
ATIVIDADE 
2. Mostre que as classes laterais à direita com respeito 
a H = {I, β}, em S
3
, são
Observe que temos três classes laterais à esquerda distintas:
H, Hα e Hα2. Comparando as classes laterais à esquerda com as classes 
laterais à direita, temos
 αH = {α, βα2} = Hα2 e α2H = {α2, βα} = αH.
Portanto, temos que 
 αH ≠ Hα e α2H ≠ Hα2,
diferente do que ocorreu no exemplo anterior, ou seja, encontramos 
elementos a ∈ S
3
 tais que 
 aH ≠ Ha.
Nas seguintes proposições, vamos relembrar algumas propriedades 
fundamentais das classes laterais. Estas propriedades já foram estudadas 
na aula passada.
HI = {I, β} = H; Hα = {α, βα}; Hα2 = {α2, βα2};
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PROPOSIÇÃO 1 (PROPRIEDADES DAS CLASSES LATERAIS 
À ESQUERDA)
Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e a, b ∈ G.
1. aH ≠ bH se, e somente se, b–1 . a ∈ H.
2. Se aH ∩ bH ≠ ∅, então aH = bH. Ou, equivalentemente, 
se aH ≠ bH, então aH ∩ bH = ∅.
3. Se G é um grupo finito, então todas as classes laterais têm |H| 
elementos, isto é, |aH| = |H| para todo a ∈ G. Em outras palavras, todas 
as classes laterais à esquerda têm o mesmo número de elementos.
4. Se G é um grupo finito, então existem elementos a
1
, a
2
, ..., ak 
∈ G, com a
1
 = eG, tal que 
 G = a
1
H ∪ a
2
H ∪ ... ∪akH,
e a união é disjunta.
Uma propriedade idêntica, com uma demonstração análoga, vale 
para as classes laterais à direita.
PROPOSIÇÃO 2 (PROPRIEDADES DAS CLASSES LATERAIS 
À DIREITA)
Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e a, b ∈ G.
1. Ha = Hb se, e somente se, a . b –1 ∈ H.
2. Se Ha ∩ Hb ≠ ∅, então, Ha = Hb. Ou, equivalentemente, 
se Ha ≠ Hb, então Ha ∩ Hb ≠ ∅.
3. Se G é um grupo finito, então todas as classes laterais têm |H| 
elementos, isto é, |Ha| = |H| para todo a ∈ G. Em outras palavras, todas 
as classes laterais à direita têm o mesmo número de elementos.
4. Se G é um grupo finito, então existem elementos a
1
, a
2
, ...,a
2
 ∈ G com a
1 
= eG, tal que 
 G = Ha
1
 ∪ Ha
2
 ∪ ... ∪Hak,
e a união é disjunta.
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Uma conseqüência destas propriedades é que existem o mesmo 
número de classes laterais à esquerda e à direita, mesmo que não sejam 
iguais, no sentido de que existam elementos a ∈ G tais que
 aH ≠ Ha.
No entanto, um caso especial e muito importante é quando elas 
coincidem, ou seja, quando 
 aH = Ha para todo a ∈ G.
Neste caso, poderemos fazer a construção dos chamados grupos 
quocientes que são semelhantes aos anéis quocientes já estudados 
anteriormente. Na verdade, veremos que a condição aH = Ha, para 
todo a ∈G, permitirá definir uma operação binária no conjunto
 G/H = {aH | a ∈ G}
das classes laterais que fará deste conjunto um grupo, chamado 
grupo quociente. Mas isto é uma longa história que só terminará na 
próxima aula.
DEFINIÇÃO 2 (CONJUNTO DAS CLASSES LATERAIS)
Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Denotamos por
 
 G/H = {aH | a ∈ G}
o conjunto das classes laterais à esquerda com respeito a H.
Exemplo 3
Seja G o grupo (Z, +) e H = 4Z = {4t | t ∈ Z}. Pelo que vimos no 
Exemplo 1, as únicas classes laterais à esquerda com respeito a H = 4Z 
são H = 0 + H, 1 + H, 2 + H e 3 + H. Logo,
 G/H = {H, 1 + H, 2 + H, 3 + H}
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ATIVIDADE 
ou ainda, particularizando a notação para este exemplo, temos
 Z/4Z = {4Z, 1 + 4Z, 2 + 4Z, 3 + 4Z}.
Exemplo 4
Seja G o grupo S
3 
=
 
{I, α, α2β, βα, βα2} das permutações de 
3 elementos, onde 
 e ,
e seja o subgrupo H
 
=
 
{I, α, α2}. Usando a tabela de multiplicação de S
3
, 
contida no Exemplo 2, temos que 
Portanto,
α = 





1 2 3
2 3 1
β = 





1 2 3
1 3 2
( ) ( ){ , , } { , , }
{ , , }
βα βα α α βα βα α βα α
βα β βα β
2 2 2 2 2 2 2
2
H I I
H.
= = ⋅ ⋅ ⋅ =
=
G H H H= { , }.β
3. Mostre que as classes laterais à direita com respeito a 
H
 
=
 
{I, α, α2}, em S
3
, são iguais às respectivas classes laterais 
à esquerda, calculadas no Exemplo 4.
IH I I II I I I H;
H I I
= = = =
= = ⋅
{ , , } { , , } { , , }
{ , , } { , ,
α α α α α α
α α α α α αα α
2 2 2
2 αα α α
α α α α α α α α α α α
2 2
2 2 2 2 2 2 2
} { , , }
{ , , } { , , } { , }
= =
= = ⋅ ⋅ =
I H;
H I I I, ==
= = =
=
H;
H I Iβ β α α β βα βα β βα βα
βα βα α α
{ , , } { , , } { , , };
( ) ( ){ , , }
2 2 2
2H I == ⋅ ⋅ ⋅ =
=
{ , , }
{ , , }
βα βα α βα α
βα βα β β
I 2
2 H;
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Nosso projeto, agora, é construir uma operação binária no 
conjunto das classes laterais G/H = {aH | a ∈ G} de modo a torná-lo 
um grupo. A forma natural de definirmos uma operação binária em 
G/H será reproduzir o que foi feito para os anéis quocientes. Vamos 
formalizar estas idéias.
DEFINIÇÃO 2 (OPERAÇÃO EM G/H)
Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Definimos a seguinte 
operação no conjunto das classes laterais G/H = {aH | a ∈ G}:
 aH . bH = (ab)H para todo aH, bH ∈ G/H.
No entanto, precisamos saber se esta operação está bem definida, 
ou seja, se ela independe da escolha dos representantes a e b das classes 
laterais aH e bH, respectivamente. Nesta primeira etapa, vamos provar 
que se as classes laterais à esquerda e à direita coincidem, isto é, se
 aH = Ha para todo a ∈ G,
então a operação binária acima estará, de fato, bem definida 
em G/H.
Proposição 3 
Sejam G um grupo e H um subgrupo de G tal que aH = Ha para 
todo a ∈ G. Se aH = a
1
H e bH = b
1
H, com a, a
1
, b, b
1 
∈ G, então
 ,
ou, equivalentemente,
Isto significa que a operação em G/H não depende dos 
representantes a e b escolhidos nas classes laterais aH e bH.
aH bH a H b H⋅ = ⋅1 1
abH a b H.= 1 1
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Demonstração
Para concluir que , provaremos as duas 
inclusões e 
Seja abh ∈ (ab)H, h ∈ H, um elemento genérico de abH. 
Vamos provar que abh ∈ (a
1
b
1
)H. Como a ∈ aH = a
1
H, então existe 
h
1
 ∈ H tal que a = a
1
h
1
. Analogamente, de b ∈ bH = b
1
H, existe h
2
 ∈ H 
tal que b = b
1
h
2
. Agora, é aqui o ponto crucial, como Hb
1
 = b
1
H e h
1
b
1
 
∈ Hh
1
, então, existe h
3
 ∈ H tal que h
1
b
1
 = b
1
h
3
. Logo, juntando todas 
estas informações, temos
( ) ( )ab H a b H= 1 1
( ) ( )ab H a b H⊂ 1 1 ( ) ( )a b H ab H.1 1 ⊂
abh a h b h h a a h b b h
a h b h h
= = =
=
( )( ) ;
( ) ;
1 1 1 2 1 1 1 2
1 1 1 2
pois e 
pela lei associativa
pois = =
=
a b h h h h b b h
a b h h h
1 1 3 2 1 1 1 3
1 1 3 2
( ) ;
( ); ppela lei associativa
pois = ∈ = ∈a b h a b H h h h h H1 1 4 1 1 4 3 2; .
Isto prova que abh ∈ (a
1
b
1
)H e, portanto, que (ab)H ⊂ (a
1
b
1
)H. 
A inclusão contrária, (a
1
b
1
)H ⊂ (ab)H, é feita de modo análogo e será 
uma de suas atividades finais.
Exemplo 5
Seja G o grupo (Z, +) e H = 4Z = {4t | t ∈ Z}. Pelo que vimos no 
Exemplo 3,
Lembre, do curso de Álgebra I, que 
Logo, 
 
Como 
 
para todo a ∈ Z, então, pela Proposição 3, a operação binária está bem 
definida em Z/4Z. Mais precisamente, temos que 
G H Z Z Z Z Z Z= = + + +4 4 1 4 2 4 3 4{ , , , }.
4 0 4 0 1 4 1 2 4 2 3 4 3Z Z Z Z Z= + = + = + = + =; ; , .
Z Z4 0 1 2 3= { , , , }.
a Z Z a+ = +4 4
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 para todo a, b ∈ Z,
ou, equivalentemente,
 para todo a, b ∈ Z.
A tabela desta operação, em Z/4Z, é dada por
 
Podemos, agora, concluir a construção do grupo quociente.
Teorema 1 (O Grupo Quociente)
Sejam G um grupo e H um subgrupo de G tal que aH = Ha para 
todo a ∈ G. Então G/H, munido da operação definida em G/H, é um grupo. 
Chamamos este grupo de grupo quociente de G com respeito a H. 
Em particular, eH = H é o elemento neutro do grupo e a–1H é o 
elemento inverso de aH. Denotamos isto por
 
 e
Demonstração
Como aH = Ha para todo a ∈ G, então, pela Proposição 3, 
a operação de G/H está bem definida. Vamos verificar os axiomas de 
grupo para (G/H, .).
G1. A operação é associativa:
( ) ( ) ( )a Z b Z a + b Z+ + + = +4 4 4
a b a + b+ =
e e H = HG H G= ( )aH a H− −=1 1
aH bH . cH aH bc H
a bc H
ab c H
⋅ = ⋅
=
=
( ) ( )
( ( ))
(( ) ) ; pela associatividadde em G
ab H . cH
aH . bH cH
=
= ⋅
( )
( ) .
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 3 2
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ATIVIDADES FINAIS
1. Seja G o grupo das permutações de 3 elementos, 
onde 
e seja o subgrupo H = {I, α, α2}. Conclua que a operação em G/H está bem definida 
e monte a tabela de operação do grupo quociente.
G2. O elemento neutro é eH = H com e o elemento neutro de G:
 
 aH . eH = (ae)H = aH e eH . aH = (ea)H = aH.
Denotamoseste elemento por eG/H = eGH = H.
G3. O elemento inverso de aH ∈ G/H é a–1H:
 Denotamos este elemento por .
Exemplo 6
Seja G o grupo (Z, +) e H = 4Z = {4t | t ∈ Z}. Como vimos no 
Exemplo 5, 
 
é um grupo quociente cujo elemento neutro é . 
Observe que ele coincide com o grupo (Z
4
, +) das classes residuais 
módulo 4.
aH a H aa H = eH e a H . aH a a H eH.⋅ = = =− − − −1 1 1 1( ) ( )
( )aH a H− −=1 1
G H Z 4Z= = { , , , }0 1 2 3
e ZG H = + =0 4 0
S I3
2 2= { , , , , , }α α β βα βα
α β= 




 =






1 2 3
2 3 1
1 2 3
1 3 2
e ,
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2. Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e a, b ∈ G. Mostre que Ha = Hb
se, e somente se, a . b–1 ∈ H.
3. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G tal que aH = Ha para todo a ∈ G. Se 
aH = a
1
H e bH = b
1
H, com a, a
1
 , b, b
1
 ∈ G, então prove que (a
1
b
1
)H ⊂ (ab)H.
R E S U M O
Nesta aula revimos os conceitos de classe lateral à esquerda e classe lateral à 
direita:
 aH = {a . h | h ∈ H } e Ha = {h . a | h ∈ H}.
Em seguida, vimos as propriedades das classes laterais à esquerda e das classes 
laterais à direita:
1. aH = bH se, e somente se, b –1 . a ∈ H.
2. Se aH ∩ bH ≠ ∅, então aH = bH. Ou, equivalentemente, se aH ≠ bH, então, 
aH ∩ bH ≠ ∅.
3. Se G é um grupo finito então, todas as classes laterais têm |H| elementos, isto 
é, |aH| = |H| para todo a ∈ G.
4. Se G é um grupo finito, então existem elementos a
1
, a
2
, ..., ak ∈ G com 
a
1 
= eG, tal que 
e a união é disjunta.
5. Ha = Hb se, e somente se, a . b –1 ∈ H.
6. Se Ha ∩ Hb ≠ ∅, então, Ha = Hb. Ou, equivalentemente, se Ha ≠ Hb, então 
Ha ∩ Hb = ∅.
G a H a H a H,k= ∪ ∪ ∪1 2 L
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7. Se G é um grupo finito, então todas as classes laterais têm |H| elementos, isto 
é, |Ha| = |H| para todo a ∈ G.
8. Se G é um grupo finito, então existem elementos a
1
, a
2
, ..., ak ∈ G, com 
a
1
 = e
G
, tal que 
e a união é disjunta.
Depois, vimos que no conjunto das classes laterais à esquerda,
 G /H = {aH | a ∈ G},
podemos definir a operação 
 para todo 
Em seguida, vimos que esta operação está bem definida sempre que aH = Ha 
para todo a ∈ G, isto é, se as classes laterais à esquerda e à direita coincidem. 
Neste caso, construímos o grupo quociente G/H.
Atividade1 
Pela Observação 2, já sabemos que 
Agora, veja que 
 
G = Ha Ha Hak1 2∪ ∪ ∪L ,
aH .bH ab H= ( ) aH bH G H, ∈
0 0+ = + =H H H
H h h H t t Z+ = + ∈ = + ∈2 2 4 2{ } { }
RESPOSTAS COMENTADAS
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consiste em todos os inteiros que deixam resto 1 na divisão por 4. Da mesma 
forma,
 consiste em todos os inteiros que deixam resto 2 na divisão por 4, e
 consiste em todos os inteiros que deixam resto 3 na divisão por 4. Pelo Algoritmo 
da Divisão em Z, o resto da divisão de qualquer inteiro por 4 só pode ser 0, 1, 2 
ou 3. Assim todo inteiro pertence a uma das classes laterais H = H + 0, H + 1, 
H + 2 ou H + 3. Portanto, 
 H = H + 0, H + 1, H + 2 e H + 3
são as únicas classes laterais à direita de H = 4Z em Z.
Atividade 2 
Usando a tabela de multiplicação de S3, temos
Assim, obtemos somente três classes laterais distintas: H, Hα e Hα2.
Atividade 3
Usando a tabela de multiplicação de S3, contida no Exemplo 2, vamos calcular 
todas as classes laterais:
H I I I H H;
H I
α α α α α α α α α α α α
α α α α
= = ⋅ ⋅ ⋅ = = =
= =
{ , , } { , , } { , , }
{ , , } {
2 2 2
2 2 2 II
H H;
H = {I, } = {I . , . ,
⋅ ⋅ ⋅ = =
=
α α α α α α α
α
β α α β β α β α
2 2 2 2 2
2
2
, , } { , , }
,
I
22 2
2 2
. } = { , , } = H;
H I I
β β βα βα β
βα α α βα βα α βα α βα( ) { , , }( ) { , , }= = ⋅ ⋅ ⋅ = {{ , , }
( )
( ) { , , }( ) { , ,
βα β βα
βα β
βα α α βα βα α βα α
2
2 2 2 2 2
=
= = ⋅ ⋅
H = H;
H I I 22 2
2 2
⋅ =
=
βα
βα βα β βα β
}
{ , , } ( )H = H.
HI = {I, β}I = {H, βI} = {I, β} = H;
Hα = {I, β}α = {Iα, βα} = {α, βα};
Hα2= {I, β}α2 = {Iα2, βα2} = {α2, βα2};
Hβ = {I, β}β = {Iβ, β2} = {β, I} = H;
Hβα = {I, β}βα = {I . βα, β . βα} = {βα, α} = Hα;
Hβa2 = {I, β}βα2 = {I . βα2, β . βα2} = {βα2, α2} = Hα2.
H h h H t t Z+ = + ∈ = + ∈2 2 4 2{ } { }
H h h H t t Z+ = + ∈ = + ∈3 3 4 3{ } { }
228 C E D E R J
Álgebra II | Classes laterais e o grupo quociente
C E D E R J 229
A
U
LA
 
1
6
 
Atividade Final 1
Vimos, na Atividade 3, que aH = Ha para todo a ∈ S3. Portanto, pela Proposição 
3, a operação em G/H está bem definida. Temos que
A tabela da operação em G/H é dada por
 
pois,
onde H é o elemento neutro de G/H.
Atividade Final 2
(⇒) Vamos supor, primeiramente, que Ha = Hb. Queremos provar que a . b–1 ∈ H. 
Sabemos que a ∈ Ha = Hb, logo, existe h ∈ H tal que a = h . b. Portanto,
X H βH
H H βH
βH βH H
G/H = {H, βH},
β β βH H H IH H⋅ = = =2
a.b h.b a = h.b
h b .b
h . e
h H
− −
−
= ⋅
= ⋅
=
= ∈
1 1
1
( )
( )
.
b ; pois 
(⇐) Vamos, agora, supor que a . b–1 ∈ H. Queremos provar que Ha = Hb.
Vamos provar, inicialmente, a inclusão Ha ⊂ Hb. Como a . b–1 ∈ H, então, existe 
h
1
 ∈ H tal que a . b–1 = h
1
 . Portanto, a = h
1
 . b. Seja, agora, h . a ∈ Ha, h ∈ H, um 
elemento genérico de Ha. Então, temos
 
Como H é subgrupo e h, h
1 
∈ H, então h
1
 . h ∈ H e, portanto, 
h.a h h b a = h b
h.h
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
( )
( ) .
1 1
1
 ; pois 
b
h.a h.h b Hb.= ⋅ ∈( )1
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A
U
LA
 
1
6
 
Daí, segue que h . a ∈ Hb para todo h ∈ H, ou seja, Ha ⊂ Hb. A inclusão contrária, 
Hb ⊂ Ha, é completamente análoga à anterior. Portanto, segue que Ha = Hb.
Atividade Final 3
Seja a
1 
b
1 
h
1 
∈ (a
1 
b
1 
)H, h ∈ H, um elemento genérico de a
1 
b
1
H. Vamos provar 
que a
1 
b
1 
h
1 
∈ (ab)H. Como a
1 
∈ a
1
H = aH, então existe h
1 
∈ H tal que a
1 
= ah
1
. 
Analogamente, de b
1 
∈ b
1
H = bH, existe 
 
h
2
 ∈ H tal que b
1 
= bh
2
. Agora, é aqui o 
ponto crucial, como Hb = bH e h
1 
h ∈ Hb, então existe h
3 
∈ H tal que h
1 
b = bh
3
. 
Logo, juntando todas estas informações, temos
a b h ah bh h a ah b bh
a h b h h
1 1 1 2 1 1 1 2
1 2
= = =
=
( )( ) ;
( ) ;
pois e 
pela leei associativa
pois 
pela lei
= =
=
a bh h h h b bh
ab h h h
( ) ;
( );
3 2 1 3
3 2 associativa
pois = ∈ = ∈abh abH h h h h H4 4 3 2; .
Isto prova que a
1 
b
1 
h
 
∈ (ab)H e, portanto, que (a
1 
b
1 
)H ⊂ (ab)H.