3a lista de Cálculo II

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3ª lista de Cálculo II 
1-2. Calcule a integral dupla e primeiro identifique o 
volume do sólido. 
1.
3 , {( , ) 2 2,1 6}
R
dA R x y x y     
 
2. 
(4 2 ) , [0,1] [0,1]
R
y dA R  x
 
3-8. Calcule as iterações das integrais. 
3. 
3 1
1 0
(1 4 )xy dxdy 
 
4. 
22
0 0
sinx ydydx

 
 
5. 
2 1
8
0 0
(2 8)x dxdy 
 
6. 
4 2
1 1
x y
dydx
y x
 
 
 
 
 
7. 
1 1
5
0 0
( )u v dudv 
 
8. 
2
2
0 0
senr d dr 

 
 
9-12. Calcule as integrais duplas. 
9. 
 2 3 4(6 5 ) , ( , ) 0 3,0 1
R
x y y dA R x y x y     
 
10. 
 
2
2
, ( , ) 0 1, 3 3
1
R
xy
dA R x y x y
x
     

 
11. 
   sin( ) , 0, 6 x 0, 3
R
x x y dA R   
 
12. 
   
2
, 0,1 x 0,2x y
R
xye dA R 
 
13. Encontre o volume do sólido que está sob o plano 
3 2 12x y z  
 e acima do retângulo 
 ( , ) 0 1, 2 3R x y x y     
. 
14. Encontre o volume do sólido situado abaixo da 
parabolóide elíptica 
2 24 9 1x y z  
e acima do 
retângulo 
   1,1 x 2,2R   
. 
15. Encontre o volume do sólido cercado pela 
superfície 
2secz x y
e os planos 
0, 0, 2, 0,e y 4z x x y     . 
16. Encontre o volume do sólido cercado pela 
parabolóide 
2 22 ( 2)z x y   
e os planos 
1, 1, 1, 0,e y 4z x x y     
. 
17. Encontre o valor médio de f sobre o dado 
retângulo. 
  2,f x y x y
, R possui vértices 
( 1,0),( 1,5),(1,5),(1,0) 
. 
18-19. Calcule as iterações das integrais. 
18. 
4
2
0 0
y
xy dxdy 
 
19. 
2 cos
sin
0 0
e drd
    
 
20-25. Calcule as integrais duplas. 
20. 
 2 , ( , ) 1 1, 2
D
y dA D x y x y x y       
 
21. 
 , ( , ) 0 ,0 sin
D
xdA D x y x y x    
 
22. 
 2 , ( , ) 0 4,0xy
D
y e dA D x y y x y    
 
23. 
cos ,
D
x ydA
D é limitada por 
0, ², 1y y x x  
 
24. 
3 ,
D
y dA
D é uma região triangular com vértices 
(0,2),(1,1),(3,2)
. 
25. 
(2 ) ,
D
x y dA
D é limitada por um círculo com 
centro na origem e de raio 2. 
26-30. Encontre o volume do sólido dado. 
26. Abaixo do plano 
2 0x y z  
e acima da região 
limitada por 
4ex y y x 
. 
27. Abaixo da superfície 
z xy
e acima do triângulo 
com vértices 
(1,1),(4,1),e(1,2)
. 
 
3ª lista de Cálculo II 
28. Limitada pelas coordenadas planas e o plano 
3 2 6x y z  
. 
29. Cercada pelos cilindros 
2 2,z x y x 
 e os planos 
0, 4z y 
. 
30. Limitada pelo cilindro 
2 2 1x y 
e os planos 
, 0, 0y z x z  
no primeiro octante. 
31. Encontre o volume do sólido pela subtração de dois 
volumes. O sólido é cercado pelos cilindros parabólicos 
2 21 , 1y x y x   
e os planos 
2x y z  
, 
2 2 10 0x y z   
. 
32-34. Esboce a região da integração e mostre a ordem 
da integração. 
32. 
4
0 0
( , )
x
f x y dydx 
 
33. 2
2
3 9
0 9
( , )
y
y
f x y dxdy

  
 
34. 
2 ln
1 0
( , )
x
f x y dydx 
 
35-38. Calcule a integral pela ordem reversa de 
integração. 
35. 
21 3
0 3
x
y
e dxdy 
 
36. 
4 2
30
1
1x
dydx
y   
37. 
 
38. 
1 2
2
0 arcsen
cos 1 cos
y
x xdxdy 

 
39. Expresse D como a união de regiões do tipo I ou do 
tipo II e calcule a integral. 
2
D
x dA
 
 
40. Calcule 
2 3( tan 4)
D
x x y dA 
 onde 
  2 2, 2D x y x y  
.[sugestão: Explore o fato de 
que D é simétrica com relação a ambos os eixos]. 
41. Compute 
2 21 ,
D
x y dA 
 onde D é o disco 
2 2 1x y 
, primeiro identifique a integral com o 
volume do sólido. 
42-43 Uma região
R
 é mostrada na figura. Decida se 
você deve usar coordenadas polares ou retangulares e 
escreva 
( , ) 
R
f x y dA
 como uma integral iterada, onde 
f
é uma função qualquer contínua em 
R
. 
42. 43. 
 
44. Esboce a região cuja área é dada pela integral 
2 7
4
 r dr d


  
e calcule-a 
45-48 Calcule a integral dada, colocando-a em 
coordenadas polares. 
45. 
 
D
xy dA
, onde
D
 é o disco com centro na origem 
e raio 3 
46. 
2 2cos(x +y ) 
R
dA
, onde
R
é a região acima do eixo
x
e dentro da circunferência
2 2 9x y 
 
1 2
2
0 arcsen
cos 1 cos
y
x xdxdy 

 
3ª lista de Cálculo II 
47. 
2 2
 x y
D
e dA 
, onde
D
é a região delimitada pelo 
semicírculo
24x y 
 e o eixo 
y
 
48. 
 
R
y
arctg dA
x
 
 
 

, onde
 2 2( , ) /1 4,0R x y x y y x     
 
49-50 Utilize a integral dupla para determinar a área da 
região. 
49. Um laço da rosácea
cos3r 
 
50. A região interior a ambos os círculos 
cos e r r sen   
51-55 Utilize coordenadas polares para determinar o 
volume do sólido dado. 
51. Abaixo do cone 
2 2z x y 
e acima do disco
2 2 4x y 
 
52. Delimitado pelo hiperbolóide
2 2 2 1x y z   
 e 
pelo plano
2z 
 
53. Uma esfera de raio
a
 
54. Acima do cone
2 2z x y 
e abaixo da esfera 
2 2 2 1x y z  
 
55. Dentro do cilindro
2 2 4x y 
 e do elipsóide 
2 2 24 4 64x y z  
 
56-57 Calcule a integral iterada, convertendo-a antes 
para coordenadas polares. 
56. 23 9
2 2
3 0
( ) 
x
sen x y dy dx


 
 
57. 21 2
0
( ) 
y
y
x y dx dy

 
 
58. Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros. A 
profundidade é constante ao longo das retas de leste 
para oeste e cresce linearmente de 1 metro na 
extremidade sul pra dois metros na extremidade norte. 
Encontre o volume da água da piscina. 
59. Utilize as coordenadas polares para combinar a 
soma 
1 2 2 4 ²
1/ 2 1 ² 1 0 2 0
x x x
x
xydydx xydydx xydydx


       
em uma única integral dupla. Em seguida calcule essa 
integral dupla. 
60 a 62. Calcule a integral iterada. 
60. 
1
0 0 0
6
z x z
xydydxdz

  
 
61. 
3 1 1 ²
0 0 0
z
yze dxdzdy

  
 
62. 
 
/ 2
0 0 0
cos
y x
x y z dzdxdy

   
 
63 a 67. Calcule a integral tripla. 
63. 
2
E
xdV
, onde 
 { , , | 0 2;0 4 ²;0 }E x y z y x y z y        
64. 
6 
E
xy dV
, onde 
E
 está abaixo do plano 
1z x y  
 e acima da região do plano 
xy
 limitada 
pelas curvas 
, 0, 1y x y x  
. 
65. 
² y
E
x e dV
, onde 
E
 é delimitado pelo cilindro 
parabólico 
1 ²z y 
 e pelos planos 
0, 1, 1z x x   
 
66. 
² 
T
x dV
, onde 
T
 é o tetraedro sólido com 
vértices 
(0,0,0)
,
(1,0,0)
,
(0,1,0)
 e 
(0,0,1)
. 
67. 
 
E
x dV
, onde 
E
 é limitado pelo paraboloide 
4 ² 4 ²x y z 
 e pelo plano 
4x 
. 
68-69 Use a integral tripla para determinar o volume do 
sólido dado. 
68. O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o 
plano 
2 4x y z  
. 
69. O sólido delimitado pelo cilindro 
²x y
 e pelos 
planos 
0z 
 e 
1x z 
. 
70. Marque o ponto da coordenada cilíndrica 
(2, 4, 1)
. A seguir, encontre as coordenadas 
retangulares do ponto. 
71. Mude a coordenada retangular 
(1, 1, 4)
 para 
cilíndrica. 
 
3ª lista de Cálculo II 
72. Descreva em palavras a superfície daequação 
4 
. 
73. Identifique a superfície cuja da equação 
4 ²z r 
. 
74. Esboce o sólido descrito pela desigualdade 
0 2, 2 2, 0 1r z        . 
75. Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela 
integral 4 2 4
0 0 r
r dz d dr

  
 e calcule essa integral. 
76. Calcule 
2 2 
E
x y dV
, onde
E
é a região que 
está dentro do cilindro
2 2 16x y 
e entre os planos 
5z  
e 
4z 
. 
77. Calcule 
 
E
y dV
, onde
E
é o sólido que está entro 
os cilindros
2 2 1x y 
e 
2 2 4x y 
, acima do plano 
xy
e abaixo do plano 
2z x 
. 
78. Calcule 
2 
E
x dV
, onde
E
 é a região que está 
dentro do cilindro
2 2 1x y 
, acima do plano
0z 
e 
abaixo do cone 
2 2 24 4z x y 
. 
79. Ache o volume da região 
E limitada pelos 
parabolóides 
2 2z x y 
e 
2 236 3 3z x y  
. 
80. Calcule a integral, transformando para coordenadas 
cilíndricas. 
2
2 2 2
2 4 2
2 4
 
y
y x y
xz dzdxdy

     
 
81. Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são 
dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares 
do ponto. 
(a) 
(1,0,0)
 
(b) 
(2, / 3, / 4) 
 
82. Mude de coordenadas retangulares para esféricas. 
 (a) 
(1, 3,2 3)
 
(b) 
(0, 1, 1) 
 
83. Escreva com palavras a superfície cuja equação é 
dada. 
3

 
 
84. Identifique a superfície cuja equação é dada. 
sen sen  
 
85. Escreva a equação em coordenadas esféricas. 
2 2 2z x y 
 
86. Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 
2, 0 , 0
2 2
    
   
 
87. Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e 
calule-a. 
3
26 2
0 0 0
sen d d d  
 
    
 
88. Escreva a integral tripla de uma função contínua 
arbitrária 
( , , )f x y z
em coordenadas cilíndricas ou 
esféricas sobre o sólido mostrado. 
 
89. Calcule 
2 2 2( )
B
x y z dV 
, onde
B
 é a bola com 
centro na origem e raio 5. 
90. Calcule 
E
zdV
, onde
E
 está entre as esferas
2 2 2 1x y z  
 e
2 2 2 4x y z  
 no primeiro octante.