Capítulo 3 - Aula 2

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Cálculo de massa específica teórica para metais
n = número de átomos associados à célula unitária
A = “peso” atômico
VC = volume da célula unitária
NA = número de Avogadro (6,023 x 1023 átomos/mol)
Massa específica do cobre
Raio atômico Rcu = 0,128nm
Estrutura cristalina CFC
Peso atômico A = 63,5 g/mol
4 átomos inteiros
Assim;
Comparado ao valor encontrado na literatura, 8,94 g/cm3 ,
8,89 g/cm3 é um ótimo valor.
Polimorfismo
Alguns materiais podem apresentar mais de uma estrutura 
cristalina.
Alotropia
Grafita – estrutura estável em condições ambiente.
Diamante – forma sob pressões extremamente elevadas.
Grafita
Diamante
Hexagonal
Cúbica
Alotropia
Ferro
Na temperatura ambiente, o Ferro tem estrutura CCC, número de coordenação 8, fator de empacotamento de 0,68 e um raio atômico de 1,241Å.
A 910°C, o Ferro passa para estrutura CFC, número de coordenação 12, fator de empacotamento de 0,74 e um raio atômico de 1,292Å.
A 1394°C o ferro passa novamente para CCC.
CCC
CFC
CCC
Até 910°C
De 910-1394°C
De 1394°C-PF
SISTEMAS CRISTALINOS
A geometria de uma célula unitária é definida por 6 parâmetros:
 Comprimento das três arestas a, b e c
 Os três ângulos entre os eixos 
Parâmetros de rede
Existem sete combinações para os parâmetros de rede:
cúbico, tetragonal, hexagonal, ortorrômbico, romboédrico
monoclínico, triclínico.
Parâmetros de rede versus geometrias das células unitárias
Parâmetros de rede versus geometrias das células unitárias
Parâmetros de rede versus geometrias das células unitárias
 O sistema cúbico exibe o maior grau de simetria.
 O sistema triclínico apresenta o menor grau de simetria.
Qual a diferença entre estrutura cristalina e sistema cristalino? 
Uma estrutura cristalina é descrita tanto pela geometria da
célula unitária como pelos arranjos dos átomos em seu
interior.
O sistema cristalino é descrito apenas em termos da geometria
da célula unitária.
As estruturas cristalinas cúbica de faces centradas CFC e cúbica
de corpo centrado CCC são estruturas cristalinas que pertencem
ao sistema cristalino cúbico.
Transformação alotrópica do estanho (Sn)
room temperature
Tetragonal de corpo centrado
Cristalina cúbica
 Aumento no volume
Efeitos
 Diminuição da massa específica
Consequências 
Desintegração do metal estanho branco em um pó grosseiro
alótropo de cor cinza.
“Doença do estanho”
As primeiras evidências de deterioração do estanho foram 
vistas em tubos de órgãos de igrejas e nos botões dos
uniformes dos soldados de Napoleão me marcha para a Rússia.
PONTOS, DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Com frequência é necessário especificar um ponto no interior
de uma célula unitária.
Coordenadas dos pontos
A posição de qualquer ponto no interior de uma célula unitária
pode ser especificada em termos de suas coordenadas,calcula-
das como múltiplos fracionários (q, r e s) dos comprimentos
das arestas das células unitárias (a, b e c).
q comprimento fracionário de a ao longo de x
r comprimento fracionário de b ao longo de y
s comprimento fracionário de c ao longo de z
q, r e s são menores ou iguais à unidade
Localização de ponto com coordenadas específicas
Para a célula unitária mostrada na figura abaixo localize o ponto
com coordenadas ¼ 1 ½ .
Identificação dos parâmetros
a = 0,48 nm
b = 0,46 nm
c = 0,40 nm
Comprimentos fracionários
Dessa maneira:
qa = ¼ (a) = ¼ (0,48) = 0,12 nm
rb = 1 (b) = 1 ( 0,46) = 0,46 nm
sc = ½ (c) = ½ (0,40) = 0,20 nm
q = ¼ r = 1 s = ½ 
Especificação das coordenadas de pontos
Especifique as coordenadas para todas as posições atômicas
em uma célula unitária CCC.
Para cada um dos pontos devem ser determinados os
comprimentos fracionários q, r, s.
cubo: a = b = c = 
(aresta)
Parâmetros de rede do
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Ponto 1 – comprimentos fracionários qa ra sa = 0a 0a 0a (000)
Ponto 2 – comprimentos fracionários qa ra sa = 1a 0a 0a (100)
Ponto 3 – comprimentos fracionários qa ra sa = 1a 1a 0a (110)
Ponto 4 – comprimentos fracionários qa ra sa = 0a 1a 0a (010)
Ponto 5 – comprimentos fracionários qa ra sa = ½ a ½ a ½ a (½ ½ ½ )
Ponto 6 – comprimentos fracionários qa ra sa = 0a 0a 1a (001)
Ponto 7 – comprimentos fracionários qa ra sa = 1a 0a 1a (101)
Ponto 8 – comprimentos fracionários qa ra sa = 1a 1a 1a (111)
Ponto 9 – comprimentos fracionários qa ra sa = 0a 1a 1a (011)
Direções cristalográficas
Uma direção cristalográfica é definida como uma linha entre
dois pontos ou um vetor que parte da origem.
Três índices direcionais dão a direção cristalográfica 
As direções
são mostradas na célula abaixo.
Os índices devem ser números inteiros.
Determinação dos índices de direção
Determine os índices de direção da célula abaixo.
q = ½ a, r = 1a e s = 0a
(½ 1 0)
É necessário reduzir os índices ao
menor conjunto de números inteiros.
(½ 1 0) = [u v w] = [1 2 0]
2 x
Construção de uma direção cristalográfica específica
Esboce uma direção
cúbica. 
no interior de uma célula unitária
Deve-se construir uma célula unitária apropriada em um
sistema de eixos coordenados.
(o,o,o)
q = 1 a, r = -1a e s = 0a
(1 -1 0)
Planos cristalográficos
Com exceção do sistema hexagonal, os planos cristalográficos de
todos os sistemas cristalinos são especificados por três índices
de Miller (h k l).
Planos paralelos possuem índices idênticos e são equivalentes.
Procedimento para determinação dos índices de Miller.
1 - Se o plano passa pela origem selecionada, outro plano para-
lelo deve ser construído no interior da célula ou uma nova ori-
gem deve ser estabelecida no vértice de uma outra célula uni-
tária.
2 – O plano cristalográfico interceptará cada um dos três eixos
ou será paralelo a algum deles. O comprimento da intersecção
do plano com cada eixo é determinado em termos dos parâme-
tros de rede (a, b, c)
3 – Os valores inversos desses números são calculados. Um
plano que é paralelo a um eixo pode ser considerado como
tendo uma intersecção no infinito e, portanto, um índice igual
a zero. 
4 – Se necessário, esses três números são modificados para o
conjunto de menores números inteiros pela multiplicação ou
divisão por um fator comum.
5 – Finalmente, os índices inteiros, não separados por virgulas,
são colocados entre parênteses, obtendo-se (h k l).
 Uma intersecção no lado negativo da origem é indicada por
uma barra ou por um sinal de menos posicionado sobre o índi-
ce apropriado.
Determinação de índices Planares (Miller)
Determine os índices de Miller para o plano mostrado na figura
a seguir: 
O plano passa através da origem selecionada O, assim, uma
nova origem deve ser selecionada no vértice de uma célula
unitária adjacente. A nova origem foi chamada de O’ e é mos-
trada a seguir:
Esse plano é paralelo ao eixo X’ e a
interseção pode ser considerada como
sendo .
As interseções com os eixos Y’ e Z’ são,
respectivamente, e . 
Assim, em termos dos parâmetros de rede a = , b = -1 e c = ½, 
essas interseções são:
Assim, (h, k, l) = 
Construção de um plano cristalográfico específico
Construa um plano no interior de uma célula unitária
cúbica.
( h k l ) = 
Solução
plano paralelo ao eixo X
Intercepta o eixo Y em -b
Intercepta o eixo Z em c
O plano é indicado por linhas que representam as suas interse-
ções com os planos que formam as faces da célula unitária ou
de suas extensões.
Arranjos atômicos
O arranjo atômico para um plano cristalográfico depende da
estrutura cristalina.
Os planos atômicos (110) para as estruturas cristalinas CFC e
CCC estão representados a seguir.
Célula unitária CFC representada por esferas reduzidas mostrando o
plano (110). (b) Empacotamento atômico de um plano (110) em um cris-
tal CFC.
Célula unitária CCC representada por esferas reduzidas
mostrando o plano (110). (b) Empacotamento atômico de um
plano(110) em um cristal CCC.
Densidade Linear e Planar
Densidade linear (DL) é definida como o número de átomos
por unidade de comprimento cujos centros estão sobre o vetor
direção cristalográfica específica, ou seja:
Exemplo: Encontrar a densidade linear da direção [110] para a
estrutura cristalina CFC.
Face inferior da célula unitária CFC.
O vetor direção [110] vai do centro do áto-
mo X, passa pelo átomo Y e chega ao centro
do átomo Z.
Temos que
Como:
Exemplo: Seja a seção de um plano (110) no interior de uma
célula unitária CFC. Determine a densidade planar da seção.
Densidade planar (DP) é definida como o número de átomos
por unidade de área que estão contidos em um plano cristalo-
gráfico específico, ou seja:
Dos seis átomos centralizados nesse plano,
apenas ¼ dos átomos A, C, D e F e a metade
dos átomos B e E estão sobre o plano. Assim,
2 é o número de átomos do plano.
Área do plano = comprimento x largura = 
Área do plano = 
Como
=