Resistência dos Materiais

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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO ESPÍRITO SANTO - CEFETES
UNIDADE DE SÃO MATEUSUNIDADE DE SÃO MATEUS
N õ d R i tê i dNoções de Resistência dos 
MateriaisMateriais
Prof. João Paulo Barbosa
São Mateus, 2008São Mateus, 2008
Introdução
A Resistência dos materiais é um ramo da mecânica que
estuda as relações entre cargas externas aplicadas a umç g p
corpo deformável e a intensidade das forças internas que
atuam dentro do corpo.
Abrangência
Cálculo da deformação do corpo
Estudo da estabilidade do corpo quando ele está submetido aEstudo da estabilidade do corpo quando ele está submetido a
forças externas.
NNomes
Mecânica dos materiais e Mecânica dos corpos deformáveis
Corpos sólidos considerados: Barras com carregamentosp g
axiais, eixos em torção , vigas em flexão e colunas em
compressão.
Introdução
Por que o entendimento do
comportamento mecânicop
é essencial?
Pense nos parafusos que sãoPense nos parafusos que são 
usados no acoplamento da
estrutura apresentada na 
figura ao ladofigura ao lado.
Forças Externas: Força de superfície ou força de corpo.
Forças de superfície: Causadas pelo contato direto de umForças de superfície: Causadas pelo contato direto de um 
corpo com a superfície de outro Força distribuída na área 
de contato entre os corpos.
Caso particular: Carga concentrada Por que?
Forças de Corpo: Um corpo 
exerce uma força sobre outro,
sem contato físico direto entresem contato físico direto entre
eles. Ex: Efeitos causados pela
gravidade da terra…etc
Os objetivos do estudo da resistência dos
t i i ãmateriais, são:
•Analisar o comportamento dos elementos oup
estruturas quando estes estão sendo solicitados;
•Determinar as propriedades dos elementos•Determinar as propriedades dos elementos
(dimensões, forma, material) que o fazem ser
capaz de resistir à ação destas solicitações;capaz de resistir à ação destas solicitações;
•Descobrir as possíveis causas das falhas dos
l telementos.
Esforços externos ou ç
carregamentos
Os esforços externos que estão interagindo
com o elemento a ser estudado devem sercom o elemento a ser estudado, devem ser
determinados com certa exatidão, para que
o projeto seja validoo projeto seja valido.
Os esforços externos podem ser divididos
em:
Forças externas;ç ;
Momentos externos.
Forças externasç
• Quanto ao ponto de aplicaçãop p ç
• Quanto ao fato de serem ação ou reação
• Quanto em relação ao eixo• Quanto em relação ao eixo
• Quanto à direção relativa a uma seção
• Quanto ao tipo de carregamento
Força Normal N e Força Cortante Q
• A força normal N é perpendicular aA força normal N é perpendicular a
superfície ou seção, enquanto que a força
cortante Q é tangencial a esta superfície ouco ta te Q é ta ge c a a esta supe c e ou
seção.
Momentos externos
• Momentos de torçãoç
• Momentos de flexão
MOMENTO DE FLEXÃO
Momento fletor
O t fl t t d• O momento fletor tende a encurvar as
barras ou eixos
MOMENTO DE TORÇÃO
Momento de torção
• O momento torçor ou torque tende a
produzir giro ou deslizamento entre asproduzir giro ou deslizamento entre as
seções de um eixo.
SOLICITAÇÕES MECÂNICAS
COMBINAÇÃO
F
COMBINAÇÃO
Solicitações Simples
São Cinco os tipos básicos de carregamentos (forças e
momentos) que podem submeter os elementos de
máquinasmáquinas.
Tração: Cabo de aço;Tração: Cabo de aço;
Compressão: Latas de refrigerantes empilhadas;Compressão: Latas de refrigerantes empilhadas;
Corte ou cisalhamento: Chapas parafusadas Corte deCorte ou cisalhamento: Chapas parafusadas, Corte de
chapas (guilhotina);
Flexão: Viga ou eixo;
Torção: Chave apertando um parafuso.
Solicitações simples
• Tração 
Solicitações simplesSolicitações simples
C ã• Compressão
Solicitações simples
• Cisalhamento ou corte ocorre quando se aplicaq p
um esforço tangencial à área da seção
transversal da peça de modo a produzir nesta
área uma pressão maior que a máxima pressãoárea uma pressão maior que a máxima pressão
(tensão admissível) suportada pela peça em
questãoquestão.
Solicitações simples
• Cisalhamento ou corte
Solicitações simples
• Flexão quando se aplica um esforço
t t fib i dcortante na peça, as fibras superiores da
peça serão comprimidas e as fibras
inferiores serão tracionadas o ice ersainferiores serão tracionadas, ou vice-versa.
Solicitações simples
• Torção quando atuar um torque em uma de suas
extremidades e um contra torque na extremidadeextremidades e um contra-torque na extremidade
oposta. Assim, tendem a produzir rotação sobre o
eixo longitudinal da barra.eixo longitudinal da barra.
Resumo
Solicitações Compostas
Combinações das solicitações simples aplicadas
l t d á iem peças e elementos de máquinas.
Identifique as solicitações
• Eixo de transmissão
Identifique as solicitações
• Barra em forma de L
Identifique as solicitações
• Elo de corrente
Identifique as solicitações
• Viga e tirante
Ensaio de TraçãoEnsaio de Tração
(b)
TENSÃO DEFORMAÇÃO
PlásticaElástica
Tensão
σmaxσmax
σy
Fratura
σy
D f ãDeformação
Gráfico Tensão versus Deformaçãoç
Região de escoamento Zona plástica
σ
g Zona plástica
Zona
σmáxima
Zona 
elástica
= 
F/
a
σ
=
θ( )E = tg θ(Mpa)
ε = δ/L
Deformação plástica - dutilidade
frágil
Dutilidade = ( Lf - L0 )/L0
oug
dútil
ou
Estricção = (A0 – Af)/Af
ns
ão
Te
n
ε
D f ã ã
ε
Deformação
permanente
Recuperação
elástica
Tensões
Tensão: Esforço interno distribuído ao longo
de uma seção da peça mecânica Parecede uma seção da peça mecânica. Parece
Pressão mas não é!!!
Tensão Normal: σ = P/A (Força Normal);
Tensão Cisalhante: Esforço interno para
suportar força de corte ou cisallhamento
di t ib id l d ã ddistribuido ao longo da seção da peça
T ã Ci lh t Q/ATensão Cisalhante: τ = Q/A;
MÓDULO DE ELASTICIDADE
Módulo de elasticidade (GPa)Liga metálica
207Liga de aço 1020
Módulo de elasticidade (GPa) Liga metálica
207Liga de aço 1040
207Liga de aço 4140
193Liga aço inox 304 (18Cr-8Ni) 
71Liga de Al 7075 71Liga de Al 7075
110
304
Liga de latão (Cu-Zn) C26000
Nitreto de silício (Si N ) 304Nitreto de silício (Si3N4)
400Tungstênio
700 1200Di t t l 700-1200Diamante natural
Carregamento Axial
Deformação sob Carregamento Axial
D l i d H k
AE
P
E
E ===
σεεσ
• Da lei de Hooke:
AEE
• Da definição de extensão:
L
δε =
• A deformação é expressa por:
PL
=δ
AE
• Para variações da área da secção, 
propriedades e/ ou cargas aplicadas:propriedades e/ ou cargas aplicadas:
∑= ii
EA
LPδ
i iiEA
Deformação sob Carregamento Axial
•Analisando estruturas do tipo barras de eixos retos submetidos apenasAnalisando estruturas do tipo barras de eixos retos submetidos apenas
a tração e compressão. (Barras de seção transversal uniforme)
Tração e compressão
Tração e compressão
Lei de Hooke (cientista inglês – 1678)
Tração e compressão
Tração e compressão
Tração e compressão
Tração e compressão
Tração e compressão
Tensão (pressão) de escoamento : quando se entra na deformação
permanente do material que está submetido a esforços de tração ou
compressão. Esta situação ocorre após o limite máxima da deformação
elásticaelástica
Tensão de ruptura : quando se excede à máxima tensão (pressão) dop q (p )
material que está submetido a esforços de tração ou compressão. Neste
momento ocorre a estricção.
Tração e compressão
Exemplo
Exemplo
Exemplo
A barra rígida BDE rígido é suportada por dois elementos AB e CD O elemento AB é feito
Exemplo:
A barra rígida BDE rígido é suportada por dois elementos AB e CD. O elemento AB é feito
em alumínio (E = 70 GPa) e tem uma área de secção transversal de 500 mm2. O elemento
CD é de aço (E = 200 GPa) e tem uma área de secção transversal de 600 mm2. Para umaç ( ) ç
força de 30 kN aplicada na extremidade da barra BDE, determine o deslocamento:
a) do ponto B,
b) ponto D,
c) ponto E.
Resolução:
Descolamento do ponto D:Resolução:
=
′
′
HD
BH
DD
BB
( )
773
mm 200
mm 0.300
mm 514.0 −
=
x
x
mm7.73=x
′ HEEE
( )mm7.73400+
=
=
′
E
HD
HE
DD
EE
δ
mm 928.1
mm 7.73mm300.0
=
=
Eδ
↓= mm 928.1Eδ
Flexão
Vi ã b i id t á d ã t l•Vigas são barras comprimidas e retas com área da seção transversal
constante que suporta cargas aplicadas perpendicularmente ao seu eixo
longitudinal.longitudinal.
•Exemplos: Apoio dos pinos de edifícios, tabuleiro de uma ponte ou asa
d iã i d t ó l l d i d t tde avião, o eixo de um automóvel, a lança de um guindaste, etc.
•Vigas desenvolve força cortante e momento fletor que variam de pontoVigas desenvolve força cortante e momento fletor que variam de ponto
para ponto ao longo do seu eixo.
C id l t t d ã t l i ét i f it d•Consideremos elementos retos de seção transversal simétrica, feitos de
material homogêneo linear elástico.
São classificadas conforme seus apoios:
Vi b l ( i t d )•Viga em balanço ( ou viga engastada):
Viga apoiada em apenas uma das extremidades
por um apoio do tipo engastado.
•Viga simplesmente apoiada:
Viga apoiada em uma das extremidades por umg p p
apoio articulado fixo e na outra por um apoio
articulado móvel.
•Viga apoiada com extremidade em balanço:
Viga simples que se prolonga além de um ou
dos dois apoiosdos dois apoios.
Diagrama de Força Cortante e Momento Fletor
Ti d C t Vi•Tipos de Carregamento em uma Viga
oCarga concentrada: quando um carregamento é aplicada sobre uma
área muito pequena.área muito pequena.
oCarga distribuída: quando o carregamento está distribuído pelo eixo
da viga, são medidos pela sua intensidade que é expressa em
id d d f id d d di t i l [N/ ]unidades de força por unidade de distancia, por exemplo [N/m].
Podem ser
Carregamento uniformemente distribuído, ouCarregamento uniformemente distribuído, ou
Carregamento com variação linear.
oBinario: é um momento que atua sobre uma força.
•Quando uma viga sofre a ação de forças e momentos, são criadas
tensões e deformações no seu interior.tensões e deformações no seu interior.
•Para determinar essas tensões e deformações, pprimeiro devemos
t f t i t t õencontrar as forças e os momentos internos que atuam nas seções
transversais da viga.
Diagrama de Força Cortante e Momento Fletor
S b d l l l d t fl t d f t t•Sabendo-se calcular o valor do momento fletor e da força cortante nas
infinitas seções de uma viga torna-se possível traçar diagramas ou
gráficos que representem estes esforços.gráficos que representem estes esforços.
•A fim de projetar viga adequadamente é necessário determinar o
i lh t t á icisalhamento e momento máximos.
•Convenção de sinais: A força de cisalhamento V e o momento fletor MConvenção de sinais: A força de cisalhamento V e o momento fletor M
são positivos no sentido mostrado:
Tensão de Flexão
A Máxima tensão de flexão (σmax) produzido pelo momento Maximo será 
inferior à tensão admissível à flexão do material.
W
M
I
hM ff
adm ==≥
.
maxσσ
M M t fl t á i (N )
WI
Mf – Momento fletor máximo (Nmm);
h – altura da linha neutra ate a extremidade (mm);
I - momento de inércia da secção (mm4);I momento de inércia da secção (mm );
σ- Tensão normal num ponto na fibra externa (N/mm²);
W – Modulo de Resistencia da transferência ( N/mm).
h
IW =
h
Momento de Inércia, Raio de Giração e 
Módulo de Resistência:
Momento de Inércia, Raio de Giração e 
Módulo de Resistência:
Momento de Inércia, Raio de Giração e 
Módulo de Resistência:
Características Elásticas dos materiais
Obs.: È Comum encontrar-se o módulo de elasticidade em Mpa (megapascal)
Exemplo
D h di d f t t t fl t d i•Desenhar os diagramas de força cortante e momento fletor da viga
mostrada
Exemplo (Cont.)
Momento Fletor e Exforço Cortante
TORÇÃO
• Torção refere-se ao giro de uma 
barra quando carregada por torques 
que tendem a reproduzir rotação q p ç
sobre o eixo longitudinal da barra.
• Exemplos de barras em torção: O 
Giro de uma chave de fenda eixosGiro de uma chave de fenda, eixos 
propulsores, brocas de furadeiras, 
etc.
Transmissão de Potência
• Eixos e tubos com seção transversal circular são, com freqüência, 
empregados para transmitir potência gerada por maquinas.
• A potência é transmitida através de um movimento rotatório do eixo e• A potência é transmitida através de um movimento rotatório do eixo e 
a quantidade de potência transmitida depende do torque e da 
velocidade de rotação
• Um problema comum de dimensionamento é determinar o tamanho• Um problema comum de dimensionamento é determinar o tamanho 
do eixo de tal forma que ele transmita uma quantidade especifica de 
potência numa velocidade de rotação especicada sem exceder as 
tensões admissíveis do materialtensões admissíveis do material.
Torção em Eixos de Secção Circular
• A turbina exerce sobre o eixo de 
transmissão o momento torçor T.
• O eixo transmite o momento T ao 
gerador
O gerador reage exercendo sobre o
gerador.
• O gerador reage, exercendo sobre o 
eixo um momento igual e contrário T’.
Análise das Tensões num Eixo
• O momento torçor T tem a mesma
intensidade que a soma dos momentos
dF, em relação ao centro:
Análise das Tensões num Eixo
• O momento torçor produz tensões
tangenciais nas faces perpendiculares ao
eixo da barra.
• Condições de equilíbrio requerem aCondições de equilíbrio requerem a
existência de tensões tangenciais nas
duas faces formadas pelos planos que
passam pelo eixo.
• Considerando o eixo constituído por lâminas• Considerando o eixo constituído por lâminas
finas, verifica-se o deslizamento das
lâminas devido à aplicação de momentos,
com a mesma intensidade e sentidos
t t id d dopostos, nas extremidades da peça.
Deformações nos Eixos de Secção Circular
• O ângulo de torção é proporcional a T e ao
comprimento L do eixo:comprimento L do eixo:
L
T
∝
∝
φ
φ
φ
N i i l õ t i• Nos eixos circulares, as secções transversais
mantêm-se planas e não se deformam.
Deformações nos Eixos de Secção Circular
• A distorção numa barra circular variaA distorção numa barra circular varia
linearmente com a distância ao eixo da barra.
L ρφγρφγ == ou
L
L γρφγ ou 
maxmax e γργφγ
cL
c
==
Tensão de Torque
N d t t ã d i lh t ( ) d id l tτNo caso de ter tensão de cisalhamento ( ) produzido pelo torque 
Maximo será inferior a tensão admissível à torção do material.
maxτ
W
M
J
rM tt
adm ==≥
.
maxττ
Mf – Momento fletor máximo (Nmm);
r – Raio (mm);r Raio (mm);
J – Momento Polar de inércia da seção (mm4);
τ - Tensão cisalhante na fibra externa (N/mm²);
W M d l d R i t i d t f ê i ( N/ )W – Modulo de Resistencia da transferência ( N/mm).
r
JW =
r
Tensões no Regime Elástico
• A partir da equação anterior:
maxγργ G
c
G =
Aplicando a lei de Hooke vem:
maxτρτ
c
=
Aplicando a lei de Hooke, γτ G= , vem:
4
2
1 cJ π=
c
A tensão tangencial varia linearmente com
a distância ao eixo da barra.
• Recordar que:
J
c
dA
c
dAT max2max τρτρτ ∫ =∫ ==
• Fórmulas de torção no regime elástico:
( )4
1
4
22
1 ccJ −= π e TTc ρττ ==
• Fórmulas de torção no regime elástico:
( )2 e max JJ
ττ ==
Modos de Falha Torcionais
• Os materiais ductéis geralmente 
rompem por tensões tangenciaisrompem por tensões tangenciais. 
• Material dúctil.
• Material frágil.
Exemplo
Exercício de Esforços Internos de Torção
Para o carregamento indicado e considerando que os apoios A e BPara o carregamento indicado e considerando que os apoios A e B
permitem ao eixo girar livremente, represente o diagrama de esforços
internos de torção.
Exercício Resolvido 1
O eixo circular BC é oco e tem diâmetros deO eixo circular BC é oco e tem diâmetros de
90mm e 120mm, respectivamente interno e
externo. Os eixos AB e CD são maciços, com
diâmetro d. Determinar:
a) O valor máximo e mínimo da tensão tangencial no eixo BC;
b) O diâmetro necessário nos eixos AB e CD, se a tensão admissível no
material for de 65 MPamaterial for de 65 MPa.
• Considerar secções transversais nos eixos AB e BC,
e recorrer ao equilíbrio estático:
( ) ABx TM −⋅==∑ mkN60 ( ) ( )mkN14mkN60 −⋅+⋅==∑ BCx TM
CDAB TT =⋅= mkN6 mkN20 ⋅=BCT
A li fó l d t ã• Aplicar as fórmulas de torção no
regime elástico, para determinaras
tensões tangenciais no eixo BC:
• Aplicar a fórmula de torção no
regime elástico e determinar o
diâmetro necessário:
( ) ( ) ( )[ ]444
1
4
2 04500600==
ππ ccJ ( ) ( ) ( )[ ]
46
12
m1092.13
045.0060.0
22
−×=
−=−= ccJ
mkN665 ⋅
=== MPaTcTcτ
( )( )
m1092.13
m060.0mkN20
46
2
2max
×
⋅
=== −J
cTBCττ
m10938
65
3
3
2
4
2
max
−×=
===
c
c
MPa
cJ ππ
τ
MPa2.86=
mm45min1min ==
ττ c
m109.38 ×=c
mm8.772 == cd
MPa7.64
mm60MPa2.86
min
2max
=τ
τ c
MP764
MPa2.86max =τ
MPa7.64min =τ
Ângulo de Torção no Regime Elástico
L
cφγ =max
• Aplicando a Lei de Hooke,
T
JG
Tc
G
== max
max
τγ
I l d õ l d• Igualando as expressões e resolvendo em 
ordem ao ângulo,
JG
TL
=φ
∑=
i ii
ii
GJ
LTφ
• Dadas as dimensões e o momento torçor aplicado
Eixos Estaticamente Indeterminados
• Dadas as dimensões e o momento torçor aplicado, 
determinar as reacções ao momento em A e B.
• A partir do diagrama de corpo livre,
Conclui-se que o problema é estaticamente
ftlb90 ⋅=+ BA TT
Conclui-se que o problema é estaticamente 
indeterminado.
• Dividir o eixo em duas secções, as quais 
devem ter deformações compatíveis,
AB
BA T
JL
JLT
GJ
LT
GJ
LT
12
21
2
2
1
1
21 0 ==−=+= φφφ
ftlb9021 ⋅=+ AA T
JL
JLT
• Substituir na equação de equilíbrio inicial,
12JL
Exercício Resolvido 2
D i i i li d d fiDois eixos maciços são ligado por duas engrenagens como mostra a figura.
Para uma tensão tangencial admissível nos veios de 8000 psi e
G=11.2*10^6 psi. Calcular:
a) O maior momento torçor T0 que
pode ser aplicado à extremidadep p
do eixo AB.
b) O ângulo de torção da
extremidade A do eixo AB.
• Procede-se ao equilíbrio estático dos
dois veios de modo a obter o
momento torçor no veio CD em
• Relações cinemáticas de rotação das 
duas engrenagens:
momento torçor no veio CD em
função do momento torçor aplicado T:
CCBB rr φφ =
( )
( )
0
i4520
in.875.00
TFM
TFM B −==
∑
∑ CC
B
C
B
CCBB
r
r
rr
φφφ
φφ
in.875.0
in.45.2
==
=
( )
08.2
in.45.20
TT
TFM
CD
CDC
=
−==∑
CB
B
φφ 8.2=
• Cálculo do máximo momento torçor T0. • Cálculo do ângulo de torção na extremidade A do 
eixo AB.
( )( ).24in.lb561 ⋅AB inLTφ
( )in37500TcTAB
( )( )
( ) ( )
o
64
2
/
2 22rad3870
psi102.11in.375.0
.24in.lb561
×
==
AB
AB
BA
in
GJ
LTφ
π
( )
( )
inlb663
in.375.0
in.375.08000 4
2
0
max
=
==
T
Tpsi
J
cT
AB
AB
π
τ
( )( )
( ) ( )64/
o
psi10211in50
.24in.lb5618.2
2.22rad387.0
×
⋅
==
==
CD
CD
DC
in
GJ
LTφ
π
( )
( )in50
in.5.08.28000
in.lb663
4
0
max
0
==
⋅=
Tpsi
J
cT
T
CD
CD
π
τ
( ) ( )
( )
o
2
95.2rad514.0
psi102.11in.5.0
==
×CDGJ
( )
in.lb561
in.5.0
0
2
⋅=T
JCD
inlb5610 ⋅=T
( )
ooo
/
oo
48.102.2226.8
26.895.28.28.2
=+=+=
===
BABA
CB
φφφ
φφ
inlb5610 ⋅=T / BABA φφφ
o48.10=Aφ
Projecto de Eixos de Transmissão
• As principais especificações a 
serem consideradas são:
• Determinar o momento torçor,
- potência;
- velocidade de rotação. PPT
fTTP πω 2
==
==
fπω 2
• Determinar a secção do eixoO projectista deverá seleccionar • Determinar a secção do eixo,
τ Tc
=
• O projectista deverá seleccionar
materiais e dimensões adequadas,
de modo a não exceder a tensão
tangencial admissível.
( )maciços eixos
2
3
max
τ
π
τ
Tc
c
J
J
==
=g
( ) ( ) vazadoseixos
2
2
max
4
1
4
2
22
max
τ
π
τ
Tcc
cc
J
c
=−=
Torção em Barras de Secção Não Circular
A õ i d b d• As secções transversais de barras de 
secção não circular não permanecem 
planas. 
P b d ã t l• Para barras de secção rectangular 
constante,
Gabc
TL
abc
T
3
2
2
1
max == φτ
• Para valores elevados de a/b, a tensão 
tangencial máxima e o ângulo de torção g g ç
são os mesmos que para uma barra de 
secção rectangular. 
Flambagem de Colunas
• Carga Excêntrica – Fórmula Secante
M - Momento
P - Força Axial
E t i id de - Excentricidade
Flambagem de Colunas
• Carga Excêntrica – Fórmula Secante
O conjugado M sempre irá provocar flexão na coluna;
Exercício: Cargas Axial
Exercício: Cargas Axial
Exercício: Cargas Axial
Exercício: Torção
Exercício: Torção
Exercício: Torção
Exercício: Flexão
Exercício: Flexão
Exercício: Flexão
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