Física Clássica Aula 16

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Momento Angular
F´ISICA CLA´SSICA
Rafael,
Suzana
Bras´ılia, 1o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Rafael,Suzana F´ISICA CLA´SSICA
Momento Angular
Momento Angular
Rafael,Suzana F´ISICA CLA´SSICA
Momento Angular
Momento Angular de uma Part´ıcula
I A grandeza Momento Linear e´ bastante u´til no estudo do
movimento de translac¸a˜o de uma part´ıcula ou de um sistema
de part´ıculas.
I Um exemplo e´ a conservac¸a˜o do momento durante as coliso˜es.
I Para uma part´ıcula p = mv e para um sistema de part´ıculas
P = MvCM
I Qual a grandeza ana´loga para o movimento de rotac¸a˜o?
Rafael,Suzana F´ISICA CLA´SSICA
Momento Angular
Torque
I Considere uma part´ıcula de massa m que executa um
movimento de rotac¸a˜o em relac¸a˜o a uma origem O de um
referencial inercial. Esta part´ıcula tem momento p(t) e esta´
localizada na posic¸a˜o r(t)
I Sabemos que caso uma forc¸a F seja aplicada a esta part´ıcula
isto provocara´ um torque, dado por τ = r × F
I Como F = dpdt ⇒ τ = r × dpdt
I Observe que ddt (r × p) = r × dpdt + p× drdt .
I O u´ltimo termo desta equac¸a˜o e´ nulo, pois drdt = v =
p
m e
p× pm = 0.
I Assim, podemos escrever τ = ddt (r × p)
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Momento Angular
Torque
I Considere uma part´ıcula de massa m que executa um
movimento de rotac¸a˜o em relac¸a˜o a uma origem O de um
referencial inercial. Esta part´ıcula tem momento p(t) e esta´
localizada na posic¸a˜o r(t)
I Sabemos que caso uma forc¸a F seja aplicada a esta part´ıcula
isto provocara´ um torque, dado por τ = r × F
I Como F = dpdt ⇒ τ = r × dpdt
I Observe que ddt (r × p) = r × dpdt + p× drdt .
I O u´ltimo termo desta equac¸a˜o e´ nulo, pois drdt = v =
p
m e
p× pm = 0.
I Assim, podemos escrever τ = ddt (r × p)
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Momento Angular
Momento Angular de uma Part´ıcula
I Define-se momento angular l da part´ıcula em relac¸a˜o a` origem
O como
I l = rXp
I O seu mo´dulo e´ dado por l = rpsenθ onde θ e´ o aˆngulo entre
r e p
I A direc¸a˜o do vetor l e´ perpendicular ao plano formado por r e
p e o sentido e´ dado pela regra da ma˜o direita.
I O mo´dulo de l pode ser dado ainda por l = prp onde
rp = rsenθ conhecido tambe´m como ”brac¸o de alavanca”
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Momento Angular
Torque e Momento Angular de uma Part´ıcula
I Vimos que a partir da Primeira Lei de Newton podemos
escrever F = dpdt
I Agora no estudo das rotac¸o˜es, vemos que usando a definic¸a˜o
de torque e momento angular
I τ = d ldt
I Ou seja, o torque e´ igual a taxa de variac¸a˜o do momento
angular da part´ıcula.
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Momento Angular
Conservac¸a˜o do Momento Angular
I Uma consequeˆncia imediata desta lei e´ que se o torque
aplicado e´ nulo, d ldt = 0⇒ l = cte
I Ou seja, o momento angular e´ conservado, da mesma forma
que o momento linear e´ conservado quando a forc¸a resultante
e nula.
I Exerc´ıcio:
I Mostre que se a forc¸a resultante sobre a part´ıcula e´ uma forc¸a
central (F = |F|ˆr), o momento angular e´ conservado.
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Momento Angular
Conservac¸a˜o do Momento Angular
I Uma consequeˆncia imediata desta lei e´ que se o torque
aplicado e´ nulo, d ldt = 0⇒ l = cte
I Ou seja, o momento angular e´ conservado, da mesma forma
que o momento linear e´ conservado quando a forc¸a resultante
e nula.
I Exerc´ıcio:
I Mostre que se a forc¸a resultante sobre a part´ıcula e´ uma forc¸a
central (F = |F|ˆr), o momento angular e´ conservado.
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Momento Angular
Momento de Ine´rcia
I Exerc´ıcios:
I Considere uma part´ıcula que executa um movimento circular
uniforme. Calcule o seu momento angular, em func¸a˜o da
velocidade de rotac¸a˜o ω da part´ıcula.
I A quantidade mr2 encontrada no exerc´ıcio anterior e´ chamada
de momento de ine´rcia.
I Como fica enta˜o o momento angular da part´ıcula em termos
do momento de ine´rcia e da velocidade de rotac¸a˜o ω?
I Obtenha agora a energia cine´tica desta part´ıcula em termos
do momento de ine´rcia e da velocidade de rotac¸a˜o ω?
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Momento Angular
Momento Angular de um Sistema de Part´ıculas
I Para o ca´lculo do momento angular total L de um sistema de
part´ıculas, em relac¸a˜o a um dado ponto, deve-se adicionar
vetorialmente os momentos angulares de todas as part´ıculas
do sistema em relac¸a˜o ao mesmo ponto
I L = l1 + l2 + ...+ ln =
∑
li
I L =
∑
rixpi =
∑
mi rixvi
I Exerc´ıcio:
I Considere um sistema de part´ıculas, e usando a definic¸a˜o de
posic¸a˜o do centro de massa R e momento do centro de massa
P, mostre que L = L′ + RxP, onde L e´ o momento angular
total do sistema e L′ e´ o momento angular do sistema de
part´ıculas em relac¸a˜o ao centro de massa.Dica: escreva a
velocidade e a posic¸a˜o das part´ıculas em relac¸a˜o a um
referencial sobre o centro de massa.
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Momento Angular
Momento Angular de um Sistema de Part´ıculas
I Para o ca´lculo do momento angular total L de um sistema de
part´ıculas, em relac¸a˜o a um dado ponto, deve-se adicionar
vetorialmente os momentos angulares de todas as part´ıculas
do sistema em relac¸a˜o ao mesmo ponto
I L = l1 + l2 + ...+ ln =
∑
li
I L =
∑
rixpi =
∑
mi rixvi
I Exerc´ıcio:
I Considere um sistema de part´ıculas, e usando a definic¸a˜o de
posic¸a˜o do centro de massa R e momento do centro de massa
P, mostre que L = L′ + RxP, onde L e´ o momento angular
total do sistema e L′ e´ o momento angular do sistema de
part´ıculas em relac¸a˜o ao centro de massa.Dica: escreva a
velocidade e a posic¸a˜o das part´ıculas em relac¸a˜o a um
referencial sobre o centro de massa.
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Refereˆncias
I Livro texto, cap´ıtulo 11 (p. 231 - 236).
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