Aplicações da Integral

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Resumo Derivadas
Benedito R. Torres
11 de outubro de 2025
6. Aplicações da Integral
• Área entre curvas: A =
∫ b
a
|f(x)− g(x)|dx
• Volume por discos: V = π
∫ b
a
[f(x)]2dx
• Volume por cascas: V = 2π
∫ b
a
xf(x)dx
• Comprimento de arco: L =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2dx
• Área de superfície: S = 2π
∫ b
a
f(x)
√
1 + [f ′(x)]2dx
Exemplo: Área entre y = x2 e y =
√
x de 0 a 1
A =
∫ 1
0
(
√
x− x2)dx =
[
2
3
x3/2 − x3
3
]1
0
=
2
3
− 1
3
=
1
3
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Área = 1
3
y =
√
x
y = x2
x
y
6.1 Volume de Sólido de Revolução - Eixo x
• Método dos discos: Rotação em torno do eixo x
V = π
∫ b
a
[f(x)]2dx
1
Matrícula: 202502889488 Engenharia Elétrica
• Método das arruelas: Quando há um "buraco"
V = π
∫ b
a
(
[f(x)]2 − [g(x)]2
)
dx
Exemplo: Volume do sólido gerado pela rotação de y =
√
x em torno do eixo x, de 0 a 1
V = π
∫ 1
0
(
√
x)2dx = π
∫ 1
0
xdx = π
[
x2
2
]1
0
=
π
2
0.5
1
0.5
1
−0.5
0.5
1 y =
√
x
x
y
6.2 Volume de Sólido de Revolução - Eixo y
• Método dos discos: Rotação em torno do eixo y
V = π
∫ d
c
[g(y)]2dy
• Método das cascas cilíndricas: Alternativa útil
V = 2π
∫ b
a
xf(x)dx
Exemplo: Volume do sólido gerado pela rotação de y = x2 em torno do eixo y, de 0 a 1
(método das cascas)
V = 2π
∫ 1
0
x · x2dx = 2π
∫ 1
0
x3dx = 2π
[
x4
4
]1
0
=
π
2
6.3 Volume de Sólido por Seções Transversais
• Método das seções transversais: Área da seção transversal conhecida
V =
∫ b
a
A(x)dx
• A(x) é a área da seção transversal na posição x
Exemplo: Volume de uma pirâmide de base quadrada com lado L e altura h
A(x) =
(
L
h
(h− x)
)2
, V =
∫ h
0
(
L
h
(h− x)
)2
dx =
L2h
3
Aplicações da Integral 2
Matrícula: 202502889488 Engenharia Elétrica
6.4 Área de Superfície de Revolução
• Rotação em torno do eixo x:
S = 2π
∫ b
a
f(x)
√
1 + [f ′(x)]2dx
• Rotação em torno do eixo y:
S = 2π
∫ b
a
x
√
1 + [f ′(x)]2dx
Exemplo: Área da superfície gerada pela rotação de y =
√
x em torno do eixo x, de 0 a 1
f ′(x) =
1
2
√
x
, 1 + [f ′(x)]2 = 1 +
1
4x
S = 2π
∫ 1
0
√
x
√
1 +
1
4x
dx = 2π
∫ 1
0
√
x+
1
4
dx
6.5 Comprimento de Arco
• Fórmula do comprimento de arco:
L =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2dx
• Forma paramétrica:
L =
∫ t2
t1
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt
Exemplo: Comprimento do arco da parábola y = x2 de 0 a 1
f ′(x) = 2x, L =
∫ 1
0
√
1 + (2x)2dx =
∫ 1
0
√
1 + 4x2dx
L =
1
4
[
2x
√
1 + 4x2 + ln |2x+
√
1 + 4x2|
]1
0
=
√
5
2
+
1
4
ln(2 +
√
5)
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
y = x2
ds =
√
1 + (dy/dx)2dx
x
y
Aplicações da Integral 3
Matrícula: 202502889488 Engenharia Elétrica
6.6 Comprimento de Curva Paramétrica
• Curva paramétrica: x = x(t), y = y(t), t ∈ [t1, t2]
L =
∫ t2
t1
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt
Exemplo: Comprimento de uma circunferência de raio R (forma paramétrica)
x = R cos t, y = R sin t, t ∈ [0, 2π]
dx
dt
= −R sin t,
dy
dt
= R cos t
L =
∫ 2π
0
√
(−R sin t)2 + (R cos t)2dt =
∫ 2π
0
Rdt = 2πR
6.7 Área em Coordenadas Polares
• Área setor polar: dA = 1
2
r2dθ
• Área total:
A =
1
2
∫ β
α
[r(θ)]2dθ
• Área entre duas curvas polares:
A =
1
2
∫ β
α
(
[r2(θ)]
2 − [r1(θ)]
2
)
dθ
Exemplo: Área da cardioide r = 1 + cos θ
A =
1
2
∫ 2π
0
(1 + cos θ)2dθ =
1
2
∫ 2π
0
(1 + 2 cos θ + cos2 θ)dθ
A =
1
2
∫ 2π
0
(
1 + 2 cos θ +
1 + cos 2θ
2
)
dθ =
3π
2
−2 −1 1 2
−0.5
0.5
1
1.5
2
r = 1 + cos θdA = 1
2
r2dθ
x
y
Aplicações da Integral 4
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6.8 Comprimento de Curva em Coordenadas Polares
• Fórmula do comprimento em coordenadas polares:
L =
∫ β
α
√
[r(θ)]2 +
[
dr
dθ
]2
dθ
Exemplo: Comprimento da cardioide r = 1 + cos θ
dr
dθ
= − sin θ
L =
∫ 2π
0
√
(1 + cos θ)2 + (− sin θ)2dθ =
∫ 2π
0
√
2 + 2 cos θdθ
L =
∫ 2π
0
√
4 cos2
(
θ
2
)
dθ = 2
∫ 2π
0
∣∣∣∣cos(θ
2
)∣∣∣∣ dθ = 8
6.9 Centro de Massa
• Centro de massa de uma região plana:
x̄ =
1
A
∫ b
a
xf(x)dx, ȳ =
1
A
∫ b
a
1
2
[f(x)]2dx
• Centro de massa de um arco de curva:
x̄ =
1
L
∫
xds, ȳ =
1
L
∫
yds
Exemplo: Centro de massa de um semicírculo de raio R
y =
√
R2 − x2, A =
πR2
2
x̄ = 0 (por simetria)
ȳ =
1
A
∫ R
−R
1
2
(R2 − x2)dx =
2
πR2
· 1
2
∫ R
−R
(R2 − x2)dx =
4R
3π
−1 −0.5 0.5 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
y =
√
R2 − x2
ȳ = 4R
3π
Centro de massa
x
y
Aplicações da Integral 5
Matrícula: 202502889488 Engenharia Elétrica
6.10 Aplicações Físicas Adicionais
• Trabalho: W =
∫ b
a
F (x)dx
• Pressão hidrostática: P = ρg
∫ b
a
h(x)w(x)dx
• Força hidrostática: F = ρg
∫ b
a
h(x)L(x)dx
• Valor médio de uma função: fmed =
1
b−a
∫ b
a
f(x)dx
Exemplo: Trabalho para bombear água de um tanque cônico
Raio a altura y : r(y) =
R
h
y, Volume do disco: dV = π[r(y)]2dy
Peso do disco: dW = ρg · dV = ρgπ
(
R
h
y
)2
dy
Trabalho para bombear: dWbomba = (peso) × (distância) = ρgπ
(
R
h
y
)2
(h− y)dy
W = ρgπ
(
R
h
)2 ∫ h
0
y2(h− y)dy
Resumo das Fórmulas de Aplicação
Volumes
Discos (eixo x): V = π
∫ b
a
[f(x)]2dx
Arruelas (eixo x): V = π
∫ b
a
(
[f(x)]2 − [g(x)]2
)
dx
Cascas (eixo y): V = 2π
∫ b
a
xf(x)dx
Seções transversais: V =
∫ b
a
A(x)dx
Áreas e Comprimentos
Área polar: A =
1
2
∫ β
α
[r(θ)]2dθ
Comprimento de arco: L =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2dx
Comprimento polar: L =
∫ β
α
√
[r(θ)]2 +
[
dr
dθ
]2
dθ
Área de superfície: S = 2π
∫ b
a
f(x)
√
1 + [f ′(x)]2dx
Aplicações da Integral 6
Matrícula: 202502889488 Engenharia Elétrica
Centro de Massa
Região plana: x̄ =
1
A
∫ b
a
xf(x)dx, ȳ =
1
A
∫ b
a
1
2
[f(x)]2dx
Arco de curva: x̄ =
1
L
∫
xds, ȳ =
1
L
∫
yds
Aplicações da Integral 7